2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1.1 正弦定理(一) Word版含答案

§ 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 考： C 的大小与它的对边及AB B ，使边 AC 绕着极点的长度之间有如何的数C转动．思量关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角确地表示出来？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来 商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc 进而在直角三角形ABC 中，abcsin A sin B ．sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD = asin B bsin A ，则 a b c bsin A ，同理可得 sin C ，a bc sin B sin B 进而sin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即abc ．sin A sin Bsin C试一试 ：（ 1）在ABC中，必定建立的等式是（）．A ．a sin A bsinB B .a cosA b cosBC. a sin B bsin A D .a cosB bcosA（ 2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝ 8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（ 1）化边为角；（ 2）化角为边．（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值，如sin A asin B ；sinCb ．（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在ABC中，已知 A45，B60 ，a 42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45 ， C 60 ，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式 ：在 ABC 中， b3, B 60 , c 1, 求a 和A,C ．三、总结提高 ※ 学习小结1. 正弦定理：a b csin A sin B sin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展abc 为外接圆直径 .sin A sin B2R ，此中 2Rsin C学习评论1. 在 ABC 中，若cos Ab，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶ 1∶ 4，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ） .A ．1∶ 1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶ 1∶ 3D ．2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不可以确立4. 已知 ABC 中， sin A:sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a : b: c = ．5. 已知ABC 中，A 60 ， a3 ，则a b c=．sin A sin B sin C课后作业1.已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ k∶ (k＋1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．。

高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。

2. 学会运用正弦定理求解实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。

【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。

3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。

二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。

2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。

3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。

4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。

三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。

四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。

2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。

【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。

2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。

【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。

2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。

【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。

2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。

3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。

【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。

学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。

【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。

1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c .(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π4. 答案 (1)(2)(3)解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；c sin C＝c . 2．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是其外接圆的直径2R .3．解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一 正弦定理的推导与证明例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 证明 如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CD a＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C成立． 规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C. (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立？证明 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则CD b ＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD a ＝sin(180°－B )＝sin B ， 即CD ＝a sin B .因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 要点二 已知两角及一边解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 要点三 已知两边及一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4. 解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4. ∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1. (2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得a sin B ＝b sin A ，故选C. 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B. 3 C ．2D ．不确定 答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°＝6＝2R ，∴R ＝3.4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A＝2a ＝2 5.1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

《1.1.1正弦定理》
本课通过对任意三角形边长和角度关系的探索，使学生掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

【知识与能力目标】
1、使同学们理解正弦定理的推导过程；
2、能应用正弦定理解斜三角形，边角互化；
3、培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力。

【过程与方法目标】
让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

【教学重点】
理解并掌握正弦定理的证明方法。

【教学难点】
正弦定理的应用。

直尺、三角板、圆规等。

（一）复习背景，引入内容
师出示课件第2页，回顾之前了解的关于三角形的边角关系，带领学生进行一个简短的复习。

边与边之间的关系有哪些？
角与角之间又有哪些关系呢？
边与角又存在什么关系？
由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？→引入课题：正弦定理（二）正弦定理
1、正弦定理
展示正弦定理的内容，简单介绍及讲解。

打开课件第4页。

提出问题给出短暂时间思考：
（1）对任意三角形，这个等式都会成立吗？
（2）怎么样才能证明这个结论。

1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。

正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。

在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。

则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。

正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。

以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。

则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。

解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。

所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。

）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。

例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。

因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计1. 教学内容和目标1.1 教学内容正弦定理是三角函数的重要概念之一，本次教学内容主要包括：1.正弦定理的概念及其推导过程2.正弦定理的应用实例：求三角形边长和角度3.正弦定理与勾股定理的综合应用1.2 教学目标通过本次课程的学习，学生应该能够：1.掌握正弦定理的概念及其推导过程2.能够运用正弦定理解决实际问题，如求三角形边长和角度3.能够理解正弦定理与勾股定理的联系，运用两者综合解决问题2. 教学过程及安排2.1 教学过程1.引入（5分钟）：通过简单的实例或图片来引导学生回忆三角形的基本概念、角度和边长的定义及勾股定理。

2.学习正弦定理（30分钟）：介绍正弦定理的概念，讲解其推导过程，并通过实例演示如何运用正弦定理求解三角形的边长和角度。

3.练习（20分钟）：提供一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，观察学生练习情况，在学生练习完后进行讲解并指导学生，激发学生的学习兴趣和创造力。

4.综合应用（20分钟）：介绍正弦定理与勾股定理的联系，演示如何综合运用两者解决问题，通过实例让学生掌握综合应用的方法和技巧。

5.总结（5分钟）：对本节课所学的知识点进行总结归纳，提醒学生掌握基本概念、加强练习和思考，在人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理学习中取得更好的成绩。

2.2 安排1.教材：人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理。

2.时间：1课时（45分钟）。

3.教学方式：多媒体课件+讲解+练习+讨论。

3. 教学评估和反思3.1 教学评估1.学生练习题目解答情况，是否理解正弦定理的概念和应用方法。

2.课后作业的完成情况，能否熟练运用正弦定理解决问题。

3.学生的课堂参与度和表现情况。

3.2 教学反思1.本节课内容清晰，思路明确，符合学生的认知规律，但在举例操作过程中有一些练习较为复杂，需要老师提前做好示范。

2.在整个课堂过程中，讲师讲解清晰、运用多媒体较好，但应让学生更好地理解定理背后的设计思想，注重锻炼学生所获取的知识的应用能力。

1.1.1正弦定理学案
一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。

4、用正弦定理可解决下列那种问题
① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对
角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。

例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 ．(1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则A ＝90°.(2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B .(4)在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C. 答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确．对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C，所以a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，故(4)正确． [预习导引]1．正弦定理的常见变形(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(3)sin2α＝2sin αcos α.要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c 2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12. ∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二 在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°.∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C .∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．要点二 利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解 设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6. 令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )]＝cos A ＋sin(π6＋A ) ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)．由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)． 规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b 的取值范围．解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ， 所以1<2cos B <2，故1<c b <2.要点三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， ∴sin(A ＋π6)＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形．规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B . 由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A. 45°B. 30° C ．75° D ．90°答案 C解析 由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝ . 答案 0解析 由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C )＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．。