2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2.3.2 双曲线的几何性质

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 教学重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题.教学难点：双曲线的渐近线、离心率 教学过程： （一）复习回顾 椭圆的几何性质 （二）新课讲解1、范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，双曲线方程为22(0)x y m m -=≠.4、渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；思考：渐近线方程为by x a=±的双曲线方程一定是22221x y a b -=吗？渐近线方程为by x a=±⇔双曲线方程为()22220x y a b λλ-=≠.5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． 注：①已知双曲线22221x y a b-=，则其离心率e 与渐近线斜率b a ±的直接关系：2221b e a =+（双曲线的焦点在x 轴上），则e 越大，双曲线的张口越大.总结：例1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2.若双曲线的渐近线方程为43y x =±，则双曲线的离心率为 .若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为 .例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 例4. 求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线方程. 解:方法一：设双曲线方程为22221x y a b -=(a >0,b >0)，则22222021a b b⎧+==解之得22128a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴双曲线方程为221128x y -= 方法二：设双曲线的方程为216x λ-－24y λ+=1（416λ-<<），代入点（32，2），可得：4λ=，故所求双曲线方程为221128x y -=.。

课堂内容展示
合作探究
类型题：共渐近线的双曲线方程 思考：“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的 条件
例1 求证：双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y
a b
-=)0,0(>>b a 有共同的渐近线。

总结：1.与22
221x y a b -=)0,0(>>b a 共渐近线的双曲线方程可设为 2. 以x a b y ±=为渐近线的双曲线方程可设为 例2 求与双曲线
19
1622=-y x 共渐近线且过)3,32(-A 的双曲线的方程
练习1.求与双曲线x 2
－9y 2
＝81有公共的渐近线且过点A （-3，23）的双曲线的标
准方程。

2．求与椭圆6442
2
=+y x 共焦点，渐近线方程为03=±y x 的双曲线方程
3.设双曲线的渐近线方程为x y 2
1
±
=，焦距为10，求双曲线的方程
当堂检测
1.下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 （ ）
12
)(1
2)(1
164)(1
416)(2
2
222
222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A
2.与双曲线
x y 22
916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）A.x y 22144811-= B.22114481x y -+= C.x y 221691-= D.22
21(27/4)81
x y -+=。

2.3.2 双曲线的简单几何性质●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2. 课堂探究例题1 求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a 2＋b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 变式训练求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程得y 242－x 232＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．渐近线方程为：y ＝±43x .双曲线的方程例题2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.例题3 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3(b 2a 2)2－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .∴|PF 1|＝b 2a.由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°. 知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.忽略点在双曲线上的位置致误典例 已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－12.课堂小结1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±ab x .(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.课后习题一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2ba ＝1，又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5，故双曲线的方程为x 220－y 25＝1.【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 又其一条渐近线过点(4，－2)，∴b a ＝24，∴a ＝2b . 因此c ＝a 2＋b 2＝5b .∴离心率e ＝c a ＝52. 【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴ －1m＝2， ∴m ＝－14.【答案】 －147．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，离心率e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2 3. ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.令x 24－y 212＝0，得渐近线方程为3x ±y ＝0. 【答案】 (±4,0) 3x ±y ＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 容易知道|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即103a ≥2c ，∴e ≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53] 三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 【解】 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 则由题意可知－29－3216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1. (2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴2216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)．∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率的取值范围． 【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2， 点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2.s ＝d 1＋d 2＝2ab c ≥45c . 即5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2， ∴4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)知b ＝1. 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3.故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).(教师用书独具)备选例题已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．【解】 由⎩⎨⎧ x 2－y 2＝4y ＝k x －消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*) (1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点． 综上所述：当－233＜k ＜233，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞233时，直线l 与双曲线没有公共点．备选变式已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1， 则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72＜0， ∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝2·－2－－72＝6. 因此弦AB 的长为6.。

2.3.双曲线的几何性质 - 人教B版选修2-1教案一、学习目标1.掌握双曲线的定义和标准方程；2.了解双曲线的性质，包括焦点、准线、渐近线等；3.理解双曲线与直线的交点个数和位置关系。

二、知识回顾在学习双曲线之前，我们先来回顾一下一些相关的概念：1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是一个由两条相互垂直的直线所确定的平面，其中一条被称为x轴，另一条被称为y轴。

平面直角坐标系中的任意一点都可以用一个有序数对（x，y）来表示。

2. 椭圆椭圆是平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，O为椭圆的中心，a称为椭圆的长半轴，b称为短半轴，e称为离心率，e=√(1-b2/a2)。

椭圆的标准方程是(x2/a2)+(y2/b2)=1。

3. 双曲线双曲线是平面内到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。

F1和F2称为双曲线的焦点，O为双曲线的中心，a称为双曲线的半轴长。

双曲线分两类，一类是左开口的双曲线，另一类是右开口的双曲线。

左开口的双曲线的标准方程是(x2/a2)-(y2/b2)=1，右开口的双曲线的标准方程是(x2/a2)-(y2/b2)=-1。

三、学习重点1. 双曲线的焦点和准线对于左开口的双曲线，它的焦点在x轴上，离点O的距离为c=√(a2+b2)。

准线是与双曲线相交于中心点O并且与双曲线的两支都相切的两条直线，即x=-a和x=a。

对于右开口的双曲线，它的焦点在y轴上，离点O的距离为c=√(a2+b2)。

准线是与双曲线相交于中心点O并且与双曲线的两支都相切的两条直线，即y=-a和y=a。

2. 双曲线的渐近线对于左开口的双曲线，它的渐近线是两条直线y=±(b/a)x。

对于右开口的双曲线，它的渐近线是两条直线x=±(b/a)y。

3. 双曲线与直线的交点个数和位置关系(1)设直线的方程为y=kx+b，当k>0时，交点为2个，交点处在x轴上与准线相交；当k=0时，交点为2个，交点处在y轴上与准线相交；当k<0时，交点为0个。

高中数学人教B版选修2－1第二章《2.3.2双曲线的几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)知识与技能目标:①学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质;
②掌握双曲线标准方程中的几何意义,理解双曲线的渐近线的概念及求解渐近线方程;
③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

(2)过程与方法目标:①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,培养学生的观察能力,想象能力,数形结合能力,分析、归纳能力和逻辑推理能力,以及类比的学习方法;
②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

(3)情感、态度与价值观目标:培养学生对待知识的科学态度和探索精神,而且能够运用运动的,变化的观点分析理解事物。

2学情分析
我校是一所普通高中,学生的数学基础不是很好,但学生的思维还比较活跃,具备初步的探究和学习能力,学生类比椭圆几何性质的研究方法,自主研究获得双曲线的范围和对称性,没有太大的困难,但是对双曲线的渐近线的发现与认识会有一定的困难。

而且大多数的学生在学习中缺乏主动质疑的精神,主动发现、提出问题的能力比较薄弱,在数学思维的深度和广度方面还有欠缺,学习中只会关注结论,而忽视结论获得的过程,注重吸收教师所讲的知
3重点难点
教学重点:1.双曲线的几何性质:范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。

2.进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。

教学难点:虚轴概念的感性认识,渐近线的认识与理解。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动。

人教版高中选修(B版)2-12.3.2双曲线的几何性质课程设计一、前言双曲线是高中数学选修B课程中的重要内容，本文档将以人教版高中选修(B版)2-12.3.2双曲线的几何性质为主题，设计一节课程，旨在帮助学生更好地理解双曲线的相关知识，并培养学生的几何思维能力。

二、教学目标1.理解双曲线的定义及其与椭圆和抛物线的区别；2.掌握双曲线的焦距、离心率等基本概念；3.理解双曲线的平面几何性质：焦点、两焦连线与切线的性质等；4.培养学生的几何思维能力。

三、教学过程1. 导入环节通过举例子的方式引出本次课程的主题——双曲线，并介绍椭圆和抛物线之间的区别。

2. 讲授双曲线的基本概念讲解双曲线的定义、方程及其与椭圆和抛物线的区别。

特别是要突出双曲线的离心率大于1，焦点个数为2的特点。

3. 介绍双曲线的焦距和离心率通过图形的形式介绍双曲线的焦点及其性质，并定义焦距和离心率。

此时可以用具体的数值例子来说明焦距和离心率的概念。

4. 探究双曲线的平面几何性质通过展示一系列的图形，引导学生探究双曲线的平面几何性质，例如：焦距是切线的垂线、两焦连线恒过双曲线上任意一点等。

5. 巩固练习让学生根据所学知识自己找出一些双曲线的性质，并解决相关的题目。

此时可以通过小组互动的方式，让同学们互相讨论，增强互动性和合作能力。

6. 总结对本节课的内容进行总结，回顾所学知识的主要内容，强调重点，并导入下一节课的主题。

四、教学重点和难点1. 教学重点重点让学生掌握双曲线的焦距、离心率等基本概念，理解双曲线的平面几何性质，特别是焦距与切线的关系和两焦连线与切线的性质，同时培养学生的几何思维能力。

2. 教学难点难点在于学生初步接触了双曲线，需要对课程内容进行深入浅出的讲解，使学生能够理解双曲线的基本概念，以及掌握双曲线的平面几何性质。

五、教学方法本节课程采用引导式教学和探究式学习相结合的教学方法，采取图形和实际例子相结合的方式，使学生在教师引领下，自主学习和讨论，让学生自己发现和总结双曲线的相关性质。

数学人教B选修2-1第二章2.3.2 双曲线的几何性质1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．________________________________对称轴：________对称中心：______对称轴：________对称中心：______顶点坐标A1____，A2____顶点坐标____，A2________________________与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a，b只限制a＞0，b＞0，二者没有大小要求．若a＞b＞0，a＝b＞0,0＜a＜b，双曲线的离心率受到影响．因为e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2，故当a＞b＞0时，1＜e＜2，当a＝b＞0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0＜a＜b时，e＞ 2.【做一做1－1】已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为()A．32B．52C．153D．253【做一做1－2】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．1．对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析：若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与双曲线x 2a ′2－y 2b ′2＝±1有相同的渐近线，即两对直线x a ±yb＝0与x a ′±y b ′＝0分别重合，则必有a a ′＝b b ′＝1k(k ＞0)．故a ′＝ka ，b ′＝kb . 反之，易求得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1有相同的渐近线y ＝±ba x ，故与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1.上述方程可简化为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便．2．已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率的方法剖析：设双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，其中y ＝bax 的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x轴上，则e ＝1cos θ；若双曲线的焦点在y 轴上，则e ＝1sin θ.显然a ，b ，c 可以看成一个直角三角形的三条边．题型一 已知双曲线方程求其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a ，b ，c 后求解．反思：求双曲线几何性质必须先把方程化为标准形式，作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．题型二 已知双曲线的几何性质求双曲线方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点M (1，15)，求双曲线的方程．分析：应先根据渐近线方程设出双曲线方程，再代入点M 的坐标求解．反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为x a ±yb＝0或y ＝±ba x 时，设双曲线方程为⎝⎛⎭⎫y ＋b a x ⎝⎛⎭⎫y －b a x ＝m (m ≠0)． 题型三 与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为______．反思：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即①代入y ＝±bax 得渐近线方程．②令x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，即y ＝±bax .此法简明有效．题型四 求双曲线的离心率【例4】双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．3＋1B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2反思：双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2，因此要求离心率，只要找到a ，b ，c 三者之间任意两者的关系式即可．1．(2010·安徽高考，文5)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎫52，0C ．⎝⎛⎭⎫62，0 D ．()3，02．双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( )A ．(±5,0)B ．(±5,0)或(0，±3)C ．(±4,0)D ．(±4,0)或(0，±3)3．双曲线x 225－y216＝1的离心率是( )A ．35B ．53C ．415D ．5414．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为______．5．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52.求双曲线C的标准方程及其渐近线方程．答案： 基础知识·梳理1．x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a )(0，a ) y ＝±b a x y ＝±a b x ca(1，＋∞) a 2＋b 2A 1A 2 2aB 1B 2 2b a b 2b 2a【做一做1－1】C 双曲线的方程可化为x 23－y 22＝1，∴a ＝3，c ＝5， ∴e ＝153.【做一做1－2】x 24－y 212＝1 ∵ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.典型例题·领悟 【例1】解：将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作出草图如下：【例2】解：渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线方程可设为(y ＋3x )(y －3x )＝m ，即y 2－3x 2＝m .将M (1，15)代入上式，得m ＝12， 所以双曲线的方程为y 2－3x 2＝12，即y 212－x 24＝1. 【例3】y ＝±2x 利用渐近线的定义求解． 方法一：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2(22)2＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .方法二：令x 24－y 28＝0，即x 2＋y 22＝0，或x 2－y22＝0，即y ＝－2x ，或y ＝2x .∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .【例4】A |F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a . ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.随堂练习·巩固1．C 由双曲线的方程，可知a 2＝1，b 2＝12，c 2＝32，从而c ＝62， 所以双曲线的右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.2．A3．C 利用双曲线的标准方程求得a ，b ，c ，即可得到离心率的值． 4．103 渐近线方程为x 3＋y ＝0，∴b a ＝13. 又a 2＋b 2＝c 2，从而c a ＝103，即e ＝103.5．分析：由题意可知焦点在x 轴上，所以可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，再由离心率知c a ＝52，又因为c ＝5，从而可求得a ，b ，即可求得双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．解：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则由题意c ＝5，e ＝c a ＝52，得a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1.所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x .。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)一、 学习目标及学法指导1.掌握双曲线的几何性质,掌握双曲线中,,,a b c e 的几何意义,以及,,,a b c e 的相互关系.2.对照图像理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.二、预习案一、课前准备：（预习教材理P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1ce a =>．渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0xya b ±=．问题2：双曲线22221y x a b -=的几何性质?图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1ce a =>．渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． ____ 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．三、课中案※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※动手试试练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※ 知识拓展 与双曲线22221x y a b-=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a b λ-= (0)λ≠四、课后案※ 当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）A ．8、．8、C ．4、．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是 （ ）A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3．双曲线22148x y -=的离心率为 （ ）A ．1B ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。