【精品】高中数学 选修1-1_双曲线的简单性质 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)_基础

2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．（3）列式设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y++=-+∴2222()()2x c y x c y a++-+=±(4)化简将这个方程移项，得当焦点在x轴上时，22221x ya b-=(0,0)a b>>，其中222c a b=+；当焦点在y轴上时，22221y xa b-=(0,0)a b>>，其中222c a b=+2a =两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：()()22222222c a x a y a c a --=- ①（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．3． 两种不同双曲线的相同点与不同点不 同 点图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标()10F c ， ，()20F c ，()10F c ， ，()20F c ，相 同 点 a 、b 、c 的关系 222c a b =+焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义 根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大） （a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大） （0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程22221x y a b +=，（焦点在x 轴） 22221y x a b +=，（焦点在y 轴） 其中a ＞b ＞022221x y a b -=，（焦点在x 轴） 22221y x a b -=，（焦点在y 轴） 其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的 统一形式 221x y m n+= （当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆；当0mn <时，表示双曲线）2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C CA B ><时，双曲线的焦点在x 轴上； 当0,0C CA B<>时，双曲线的焦点在y 轴上．要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A (－1，0)、A ′(1，0)的距离差的绝对值为定值a ，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【解析】∵｜AA ′｜＝2，∴(1)当a ＝2时，轨迹方程是y ＝0(x ≥1或x ≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a ＝0时，轨迹是线段AA ′的垂直平分线x ＝0．(3)当0＜a ＜2时，轨迹方程是2222144x y a a --＝1，轨迹是双曲线．【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点： 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．举一反三：【变式1】已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y -=B ． 22197x y -= (y>0)C ． 22197x y -=或22179x y -=D ． 22197x y -=(x > 0)【答案】D【变式2】已知点F 1(-8， 3 )、F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|-|PF 2|= 7，则P 点的轨迹是( ) A ． 双曲线 B ． 双曲线一支 C ． 直线 D ． 一条射线 【答案】B【变式3】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对 【答案】C例2． 已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是1(1,0)F ，求它的另一个焦点2F 的轨迹方程．【思路点拨】利用几何法求2F 的轨迹方程：利用双曲线的定义，可知22|5||||5|||AF BF -=-，化简可知2F 的轨迹是一条直线或椭圆，注意限制条件．【解析】因为11||||5AF BF ==，又由双曲线定义知1212||||||||||||AF AF BF BF -=- 所以22|5||||5|||AF BF -=-①225||5||AF BF -=- 即22||||AF BF =，此时点2F 的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x =1(y ≠0) ②225||(5||)AF BF -=-- 即22||||10AF BF +=，此时点2F 的轨迹为以A 、B 为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为22(1)(4)12516x y --+=（y ≠0）． 【总结升华】双曲线的定义应用中要注意绝对值的意义，比如本例中是1212||||||||||||AF AF BF BF -=-，不要产生漏解．举一反三：【变式1】已知点P (x ，y )4，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对 【答案】B【变式2】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；8=； 22(5)134x y +=； 22(6)1515x y +=-．【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，b，c． （2）能．双曲线可化为：22194x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c（3）能．双曲线可化为：2214833x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以abc =2． （4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．． （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C+=；（2）分子上22x y ，的系数化为1：利用1b a b a⨯=，将双曲线化为221x y C CA B +=； （3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为 221x y C CA B =； 若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为 221y x C CB A=． 举一反三：【变式1】双曲线2kx 2-ky 2=1的一个焦点是F （0，4），则k 为（ ） A ．332-B ． 332C ． 316-D ． 316 【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，故k <0．双曲线2kx 2-ky 2=1的标准方程为221112y x k k-=--， 所以a 2=1k-，b 2=12k -，222=c a b +=1k -12k -=16，解得k =332-． 【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______． 【答案】1± 【解析】当k>0时，双曲线的标准方程为22118x y k k=，此时22183a b c k k =====，，，解得k=1；当k<0时，双曲线的标准方程为22181x y k k=，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1.所以k 的值为1±.例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22114425x y -=；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22114425y x -=．【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴． 双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8． （2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．【答案】（1）221169x y -=，（2）2211620y x -=．【变式2】求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．【解析】解法一：依题意设双曲线方程为22x a －22y b=1由已知得22220a b c +==，又双曲线过点2)，∴2224a b-=∴222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩ 故所求双曲线的方程为221128x y -=．解法二：依题意设双曲线方程为221164x y k k -=-+，将点2)代入221164x y k k-=-+，解得4k =．类型三：双曲线与椭圆例5．讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于221x y m n+=： 当0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线． 【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为221259x y k k -=--．此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设k >1，则关于x ，y 的方程(1-k )x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线 【答案】B【变式2】35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A方程222156x y m m m +=---表示双曲线≡()()2560m m m ---<≡35m <<或2m < ． 由于{}|35m m <<◊{}|352m m m <<<或 ，所以35m <<是35m <<或2m < 的充分不必要条件.即35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的充分不必要条件. 【变式3】在ABC ∆中，若B A B A sin sin cos cos >，则方程1cos cos 22=+C y A x 表示（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线【答案】C【解析】0)cos(sin sin cos cos >+⇒>B A B A B A ，即πππ<<⇒<⇒>-C C C 20cos 0)cos(．所以20π<<A ，0cos >A ，所以1cos cos 22=+C y A x 表示焦点在x 轴上的双曲线，故选C ．例6． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c )0(>c ，若c 是m a ,的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则c a的值为__________．【思路点拨】分别列椭圆和双曲线中a ，b ，c 的关系式，结合由等差中项、等比中项得到的关系式，利用整体的思想，可得a 、c 的关系，从而求得c a的值．【答案】12【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+==)3()2(22)1(2222222n m c c m n am c由（2）（3）可得2c m =，代入（1）得12c a =．【总结升华】双曲线与椭圆的共焦点的问题要注意区分，区分焦点所在轴． 举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆2212736x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n >0)和椭圆221x y a b+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|－|MF 2|＝± ① |MF1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 m/s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=⨯=<，又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，21320,22000a c ==得660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离． 【答案】米【巩固练习】 一、选择题1．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1< k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－12．以椭圆22134x y +=的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．22134x y -=D ．22134y x -=3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．)4．设θ∈(34π，π)，则关于x ，y 的方程221sin cos x y θθ-= 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆5．已知双曲线221259x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A ．23B ．1C ．2D ．46．已知双曲线的两个焦点为F 1(，0)、F 2，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=二、填空题7．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是则a ＋b ＝________．8．过双曲线22134x y -=的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．9．如果椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，那么a ＝________．10. 设F 1、F 2分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12+PF PF =__________.三、解答题11．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，求动圆圆心的轨迹方程．12．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．13．P 是双曲线2216436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17PF =，求2||PF 的值．14．若椭圆221x y m n +=(M >N >0)和双曲线221x y a b-=(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，求|PF 1|·|PF 2|的值．15．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当坐标系．求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．【答案与解析】 1．【答案】A【解析】 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1． 2．【答案】B【解析】 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为2213x y -=．3．【答案】C【解析】将方程化为标准方程22112y x -=∴213122c =+=，∴c =，故选C ． 4．【答案】C【解析】 方程即是221sin cos x y θθ+=-，因θ∈(34π，π)， ∴si N θ>0，cO sθ<0，且－cO sθ>si N θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C ． 5．【答案】D【解析】 NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ．6．【答案】C【解析】 ∵c，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1． 7．【答案】12【解析】由条件知，221a b ⎧-=⎪=∴122a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 或 122a b a b ⎧+=-⎪⎨⎪-=-⎩，∵a >0，∴a ＋b ＝12． 8．【答案】【解析】 ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c该弦所在直线方程为x，由22134x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2163y =，∴||y =． 9．【答案】1【解析】 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1．10．【答案】【解析】依题意，△PF 1F 2构成直角三角形，O 为F 1F 2的中点，故|PO |＝12|F 1F 2|，又12+=2PF PF PO ，故1212+=2==2PF PF PO F F c11．【答案】221412x y -=(x ≤－2)【解析】设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得 |PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：221412x y -=(x ≤－2)．12．【解析】以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为22221916x y a a-=．13．【解析】在双曲线221164x y -=中，8,6,a b ==故10c =由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =14．【解析】不妨设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝．∴|PF 1|，|PF 2|．同理可求P 为左支上的点时情况，都能得到： |PF 1|·|PF 2|＝M －a ．15．【解析】解法一：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图)则122121 2yx cyx cc y⎧=⎪+⎪⎪=⎨-⎪⎪⋅⋅=⎪⎩解得53233xyc⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩设双曲线方程为2222134x ya a-=-，将点5323,P⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭代入，可得a2＝512．∴所求双曲线方程为22151123x y-=．解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作P A⊥x轴于A 点．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，故2PAAN=，12PAAM=，即02yAN=，AM＝2y0，所以322c y=，即43y c=，又因为S△PMN＝1，所以12MN·P A＝1，即142123c c⨯⨯=，∴3c=，而2a＝PM－PN=00y==，∴a=，故所求双曲线方程为22151123x y-=．。

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。

22。

2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。

3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。

又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。

2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。

(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。

5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。

【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。

双曲线的简单性质【学习目标】1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围221x a ≥，即22x a≥∴x a≥，或x a≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a≥，或x a≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x ya b-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c e a=>．由c 2= a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．22||b b MN x a x a a=-- 2222b x a x aabx x a=--=→+-【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221x y a b-=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==+2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性关于x 轴、y 轴和原点对称要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒by x a=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即b k a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】 把方程化为标准方程221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c =，∴双曲线的实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53c e a ==，渐近线方程为34y x =±【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．14- B ．－4 C ．4 D ．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．32- 【答案】C例2．方程2215||2x y m m -=--表示双曲线，求实数m 的取值范围． 【解析】由题意得50||20m m ->⎧⎨->⎩或505||2022m m m m m -<>⎧⎧⇔⎨⎨-<<->⎩⎩或或522m m <⎧⎨-<<⎩522m m ⇔>-<<或．∴实数m 的取值范围为{|522}m m m >-<<或． 【总结升华】方程Ax 2+By 2=1表示双曲线时，A 、B 异号． 举一反三：【变式1】求双曲线22221124x y m m-=+-的焦距． 【答案】8【变式2】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C类型二：双曲线的渐近线例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b -=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴284λ=，解得4λ=，∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ）A ．225513654x y -=B ．225513654x y -+= C ．22131318136x y -= D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴123||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ===∴21||||2AF AF a -===，∴c e a==【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=（2）2241273y x -=【变式2】已知双曲线2222x y a b-=1与x 轴正半轴交于A 点，F 是它的左焦点，设B 点坐标为(0，b )，且AB ⊥BF ，则双曲线的离心率为（ ）A 、B C D 【答案】B【变式3】 若椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为_______【答案】例5． 已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．【思路点拨】利用1212+PF PF F F ≥构造关于a ，c 的不等式，从而求出离心率e 的取值范围．【解析】由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：183a PF =，22=3a PF ， 又1212+PF PF F F ≥，即1023ac ≥， 所以53a e c=≤，即e 的最大值为53．【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e 的范围．举一反三：【变式1】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e－2 B ．1<e <2 C ．1<e <3D ．1<e <2【答案】D【变式2】已知过双曲线22221x y a b-=右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．【答案】 (1类型五：双曲线的焦点三角形例6．若F 1，F 2是双曲线221916x y -=的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【思路点拨】结合双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝6与条件|PF 1|·|PF 2|＝32，利用余弦定理求12cos F PF ∠的值，从而求出∠F 1PF 2的大小．【解析】 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5． 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6． 上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅1210010002||||PF PF -==⋅，所以∠F 1PF 2＝90°．【总结升华】 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式】已知双曲线2212416x y -=，P 为双曲线上一点，12F F 、是双曲线的两个焦点，并且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】类型六：直线和双曲线的位置关系例7． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数． 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 聚项整理得： (1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)．(4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( )A ．⎥⎥⎦⎤⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D例8．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．解：由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-=== （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k <<且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y xx y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法． 举一反三：【变式1】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=截得的弦长为3，求直线l 的方程【答案】210y x =±【变式2】双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A ． 12-=x y B ． 22-=x y C ． 32-=x y D ． 32+=x y 【答案】C【巩固练习】 一、选择题1．已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A ．221124x y -=B ．221412x y -= C ．221124x y -+=D ．221412x y -+= 2．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y x =-，则双曲线的离心率为( )A ．2296x y -=B ． 22160y x -=C ． 2280x y -=D ． 2224y x -=3．过双曲线2222by a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q =90︒，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1+2C ．2+2D ．34． 已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝±C ．y ＝±4xD ．y ＝±3x5．与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2-10x +9=0B ．x 2+y 2-10x -9=0C ．x 2+y 2+10x -9=0D ．x 2+y 2+10x +9=0二、填空题7．双曲线2214x y b +=的离心率e ∈(1，2)，则b 的取值范围是________． 8．椭圆22214x y a+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________．9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．10．双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________． 三、解答题11． 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围12． 设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．13．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)过点A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43．求此双曲线方程． 14．已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．15．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由． (1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0；(2)点A (5，0)到双曲线上动点P ．【答案与解析】 1．【答案】 C【解析】∵椭圆221925x y +=的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为144102555-==， ∴双曲线方程为：221412y x +=．2．【答案】 D【解析】 设双曲线方程为22(0)y x λλ-=≠∵焦点(0,±∴0,λ>又22(43)λ=，24λ= 3． 【答案】B【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足2222b y a c -=1，∴22b y c a a=-，∴222b c c a a =-，即 2ac=b 2=c 2-a 2， ∴12e e=-，故e=1+2．4． 【答案】 B 【解析】如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴13OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22ba= 故渐近线方程为：2y x =±．5． 【答案】C【解析】设所求方程为22916x y k -=，代入(-3，23)得14k =， 52c =， ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±的距离d=2．6． 【答案】A ．【解析】由题意知圆心为（5，0）． 圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径r ，∴4r ==，∴所求圆的方程为(x -5)2+y 2=16，即 x 2－10x +y 2+9=0． 7． 【答案】 －12<b <0 【解析】 ∵b <0，∴离心率e =∈(1，2)， ∴－12<b <0． 8．【答案】2【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a9．【答案】221253944y x -= 【解析】 椭圆221925x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率45c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴111485c a a ==，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为221253944y x -=． 10． 【答案】【解析】 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线22163x y -=的渐近线方程为2y x x ==±，∴20y ±=，由题意，得r ==11． 【解析】由条件知焦点在y 轴上，22c =，2ca=；可求222,2a b c a ==-=；所以双曲线的方程为221,44y x -=渐近线方程为y x =±12．【解析】由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解．消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0． 242210.02 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<<≠⎨+->⎪⎩所以解得且双曲线的离心率22111.021,6226(,2)(2,).a e a a a e e e +==+<<≠∴>≠+∞且且即离心率的取值范围为12． 【解析】过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知 F 2A ＝2a ， F 1F 2＝2c ，则 AF 1＝2b ，∴ PF 1＝4b ，而 PF 1－ PF 2＝2a ，∴4b －2c ＝2a ， c ＝2b －a ， c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得43b a =， ∴双曲线的渐近线方程为43y x =±．13．【解析】 双曲线22221x y a b-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0．点A 到两渐近线的距离分别为122|145|b a d a b +=+，222|145b ad a b -=+已知d 1d 2＝43，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ)又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4．故所求双曲线方程为22142x y -=．14． 【解析】解法一： 由双曲线的方程知a=2， b=1， ∴5c =．因此12||225F F c ==．由于双曲线是对称图形，如图所示，设P 点坐标为(x ，142-x )，由已知F 1P ⊥F 2P ，∴111F P F P k k ⋅=-， 即221144155x x x x --⋅=-+-，得2245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16，又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20，∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2，∴121F PF S ∆=．15．【解析】假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为12y x =±，所以由条件(1)，设双曲线方程为222214x y b b -=，设动点P 的坐标为(x ，y )，则||AP ==由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，||AP ==最小b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|||25|AP b =-=最小，解得b =2<，应舍去），此时存在双曲线方程为221=． (2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为222214y x a a-=(x ∈R )，所以||AP =因为x ∈R ，所以当x ＝4时，||AP ==最小．所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为2214x y -=．。

双曲线及其标准方程一、概念：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心的距离叫做双曲线的焦距. 二、标准方程：12222=-b y a x (a ＞0,b ＞0)或12222=-bx a y (a ＞0,b ＞0) 3、a 、b 、c 三者之间的关系：a 2+b 2=c 24、与椭圆概念对照，比较二者有什么相同点与不同点？二者都是平面内动点到两个定点的距离问题，二者的定点都是核心，二者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.五、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为何要加“绝对值”三个字呢？ 只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.六、双曲线的概念中为何要强调常数——差的绝对值小于|F 1F 2|呢？若是差的绝对值即常数等于|F 1F 2|，那么图形为两条射线；若是差的绝对差即常数大于|F 1F 2|，那么无轨迹.2.2.2 双曲线的简单几何性质1、 范围：双曲线位于x ≥a 与x ≤-a 的区域内；2、 对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.3、 极点：双曲线和它的一条对称轴——x 轴有两个交点A 1（-a ,0）,A 2(a ,0),所以双曲线的极点是（±a ,0）.4、实（虚）轴：双曲线12222=-b y a x (a ＞0,b ＞0)与y 轴没有交点，但咱们也把B 1（0，-b ),B 2（0，b ）画在y 轴上. 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a ,虚轴的长为2b ，a 是实半轴的长，b 是虚半轴的长，核心始终在实轴上.五、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a c 叫做双曲线的离心率.e=a c且e∈(1,+∞)，这是因为c ＞a ＞0.六、渐近线：咱们把两条直线y=±a bx 叫做双曲线的渐近线.7、等轴双曲线：在方程12222=-b y a x 中，若是a=b ，那么双曲线的方程为x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a,这时四条直线x=±a,y=±a 围成正方形.渐近线方程为y=±x，它们彼此垂直，而且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.八、双曲线的画法：画出双曲线的渐近线，先肯定双曲线的极点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并按照双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部份.最后按照双曲线的对称性画出完整的双曲线.九、.由等式c2-a2=b2可得11)(2222-=-=-=e a c a a c a b ，所以， e 越大，a b 也越大，即渐近线y=±a b x 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大。

庖丁巧解牛知识·巧学1.范围：双曲线在不等式x≥a 与x≤-a 所表示的区域内. 由双曲线的标准方程2222by a x -=1可得x 2≥a 2，当|x|≥a 时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值.这说明从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心称为双曲线的中心.3.顶点：双曲线的顶点为A 1(a,0),A 2(-a,0).辨析比较 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.4.渐近线：直线y=±a bx （by a x ±=0），叫做双曲线的渐近线.当a=b 时，双曲线方程变成x 2-y 2=a 2(或b 2），它的实轴和虚轴长都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y=±x ，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.知识拓展 共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为y=ab x ，那么此双曲线方程就一定是：2222by a x -=λ. 方法点拨 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=ac a c =22，叫做双曲线的离心率. 深化升华 双曲线形状与e 的关系：双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约.由于k=1122222-=-=-=e ac a a c a b ，因此e 越大，渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.6.双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e=ac (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线.其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率.问题·探究问题 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：2222by a x -写出具有类似特性的性质，并加以证明.探究：类似的性质为若MN 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（-m ，-n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM =m x n y --，k PN =m x n y ++，得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y -- ,将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2, 代入得k PM ·k PN =22ab . 典题·热题例1求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.思路分析：本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的几何性质包含双曲线的x 的取值的范围、双曲线图象的对称性、双曲线的顶点、双曲线图象的渐进线、双曲线的离心率及第二定义等.解：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1 由此可知,实半轴长a=4，虚半轴长b=3；c=22b a +=5；焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e=45=a c ；顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为y=±34x 深化升华 双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y=±a b x ，双曲线2222b x a y -=1 的渐近线为x=±a b y ，即y=±ba x ，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.例2已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，10-).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x=3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M.思路分析：本题主要考查双曲线性质的应用.通过双曲线的离心率及其上面的一点求双曲线的标准方程是我们要掌握的一种常见技巧. (1)解：由双曲线的离心率为2，即2=a c ，则222a b a +,∴a=b ，即双曲线为等轴双曲线. 设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，10-)，则42-(10-)2=λ.∴λ=6.∴双曲线方程为6622y x -=1. (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(32-，0)、(32，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，3-).∴M F k 1=3223+，M F k 2=3233-. 故M F k 1·M F k 2=3223+·3233-=-1.∴F 1M ⊥F 2M. 方法归纳 给定离心率的双曲线问题应先研究a 、b 的关系，简化设方程的字母个数.λ≠0时，方程x 2-y 2=λ，既可表示焦点在x 轴上也可表示焦点在y 轴上的双曲线.例3已知双曲线2222by a x -=1(a>0，b>0)的焦点坐标是F 1(-c ，0)和F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)是双曲线上的任一点，求证：|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|，其中e 是双曲线的离心率.思路分析：本题主要考查双曲线第二定义的应用.双曲线的第二定义可以算作双曲线的一种简单性质来应用.解：双曲线2222by a x -=1的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,，0)，相应的准线方程分别是x=c a 2-和x=ca 2. ∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率， ∴||||201c a x PF +=e,||||202ca x PF -=e.化简得|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|. 深化升华 |PF 1|、|PF 2|都是双曲线上的点到其焦点的距离，通常称作焦半径.|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|称作焦半径公式.例4求证：双曲线2222by a x -=1(a>0，b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值. 思路分析：本题考查双曲线几何性质的综合应用.将双曲线有关的性质综合起来在解题中综合考查，对于这类问题，我们要有良好的基本功才能对付好.证法一：设P(x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0可得：P 到bx+ay=0的距离d 1=2200||b a ay bx ++;P 到bx-ay=0的距离d 2=2200||b a ay bx +-.∴d 1·d 2=2200||b a ay bx ++·2200||ba ay bx +-=22202202||b a y a x b ++. 又P 在双曲线上，∴220220by a x -=1 ,即b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2.∴d 1·d 2=2222b a b a +，即点P 到两条渐近线的距离之积为定值. 方法归纳 所谓定值，是与P 点在曲线上的位置无关，为了达到目标明确，可先通过特殊的情况求出一个常数，猜想其定值.。

2021-2022年高中数学双曲线知识精讲文苏教版选修1-1【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三. 主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.=±（32a（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）条件 标准 方程－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）图形范围 |x|≥a|y|≥a对称性 x 轴，y 轴，原点 顶点 坐标 （±a ，0） （0，±a ） 实轴 虚轴 x 轴，实轴长2a y 轴，虚轴长2b y 轴，实轴长2a x 轴，虚轴长2b 焦点 坐标 （±c ，0）c ＝ （0，±c ）c ＝ 离心率 e ＝， e >1 渐近线y ＝±xy ＝±x 4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝＝．xyOF F a b cB A 21（4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）； （2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，）Q （，5）．剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1，由题意得2243(3) =1 b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝，b 2＝4．所以双曲线的方程为－＝1． （2）设双曲线方程为－＝1. 由题意易求c ＝2． 又双曲线过点（3，2）， ∴－＝1.又∵a 2+b 2＝（2）2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1． 解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）， 将点（－3，2）代入得λ＝， 所以双曲线方程为－＝． （2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k ＝4，所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e ）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ 两点坐标代入求得m ＝－16，n ＝－9. 故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．例2. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B （－1，0），C （1，0），求满足sinC －sinB ＝sinA 时，顶点A 的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c－b＝a＝1即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线又c＝1，a＝，∴b＝c2－a2＝故双曲线方程为2211344x y-=（x>）例3. （xx年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y 轴距离之比为2，求m的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P 到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得＝2，即y＝±2x（x≠0）．①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2．∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故－＝1．②将①代入②，并解得x2＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0．解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）．评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4. （xx年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’：－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－＝1．又设点P的坐标为（x，y），由k PM＝，k PN＝，得k PM·k PN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得k PM·k PN＝．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线2. 方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. D. 或3. 双曲线的焦距是（）A. 4B.C. 8D. 与有关4.（xx年天津，4）设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于A. 1或5B. 6C. 7D. 95. （xx年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6. 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A. B. C. D.7. 若，双曲线与双曲线有（）A. 相同的虚轴B. 相同的实轴C. 相同的渐近线D. 相同的焦点8. 过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）A. 28B. 22C. 14D. 129. 已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③④，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（xx年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点．13. 直线与双曲线相交于两点，则＝__________________．14. 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分）15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．16. （本题满分14分）、已知双曲线x2－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. |PF 2|＝17 12. 4 13. 14. 三、解答题（40分）15. 解：（1）由16x 2－9y 2＝144得－＝1，…………2' ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），…………4' 离心率e ＝，…………6'渐近线方程为y ＝±x.…………8'（2）||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝ …………10'＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2122121221-+-＝ ＝0. …………12'∴∠F 1PF 2＝90°。

双曲线的几何性质[学习目标 ] 1.认识双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能差别椭圆与双曲线的性质.活动一知识梳理引入新课知识点一双曲线的几何性质x2y2y2x22－ 2＝12－ 2＝1标准方程a b a b(a>0， b>0)(a>0，b>0)图形范围对称轴： ________.对称性对称中心： ________.极点坐标性质实轴和虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线b a y＝± x y＝± xa b离心率e＝c， e∈ (1，＋∞ ) a知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做________.，它的渐近线是________.[思虑 ] (1) 椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围同样吗？(2)若双曲线确立，则渐近线确立吗？反过来呢？活动二数学应用例 1 求双曲线 9y2－ 4x2＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：13(1)一个焦点为 (0,13)，且离心率为5；1(2) 渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－ 3).2例 3直线 l 在双曲线x2－y2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线 l 的方程 . 32例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.活动三讲堂反应单22x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为________.1.双曲线4122.双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.x2y23.双曲线16－9＝ 1 的渐近线方程为 ____________.22x y4.已知双曲线C：a2－b2＝1的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的方程为____________.5.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.活动四讲堂小结x2y21.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a2－b2＝ 1(a>0 ， b>0)右侧的常数 1 换为 0，就是渐近线方程 .反之由渐近线方程ax±by＝0 变成 a2x2－b2y2＝λ(λ≠ 0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程 .2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y 2－ 4x 2 ＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .2 2解 将 9y 2－4x 2＝－ 36 化为标准方程 x － y＝ 1，9422即 x 32－ y22＝ 1，∴ a ＝ 3，b ＝ 2， c ＝ 13.所以极点为 A 1(－ 3,0)， A 2(3,0) ，焦点为 F 1(－13， 0)，F 2( 13， 0)，实轴长 2a ＝ 6，虚轴长 2b ＝ 4，离心率 e ＝a c ＝ 313，b 2 渐近线方程为y ＝ ± x ＝ ± x.a3反省与感悟议论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，而后依据双曲线两种形式的特色获得几何性质.追踪训练 1 求双曲线 x 2－ 3y 2＋ 12＝ 0 的实轴长、 虚轴长、 焦点坐标、极点坐标、渐近线方程、离心率 .22解 将方程 x 2－ 3y2＋ 12＝0 化为标准方程 y 4 － 12x＝ 1，∴ a 2＝ 4， b 2＝12， ∴ a ＝2， b ＝ 2 3， ∴ c ＝ a 2＋ b 2＝ 16＝ 4.∴ 双曲线的实轴长 2a ＝ 4，虚轴长 2b ＝ 4 3.3焦点坐标为 F 1(0，－ 4)，F 2(0,4)，极点坐标为 A 1(0，－ 2)，A 2(0,2)，渐近线方程为 y ＝ ±3 x ， 离心率 e ＝2.题型二 依据双曲线的几何性质求标准方程例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：(1) 一个焦点为 (0,13)，且离心率为13； 51(2) 渐近线方程为y ＝ ± x ，且经过点 A(2，－ 3).2解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c ＝13，又 c ＝ 13， ∴ a ＝ 5， b ＝ c 2－a 2＝12，a 522故其标准方程为 25y － 144x ＝1.1(2) 方法一∵双曲线的渐近线方程为y ＝ ± x ，2若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2 y 2b1 .①2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则a ＝ab249∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ a 2－ b 2＝ 1.②联立 ①② ，无解 .若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 x 2a1 .③2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则b ＝ab294∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ 2－ 2＝ 1.④ab联立 ③④ ，解得 a 2＝ 8， b 2＝ 32.22∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.方法二由双曲线的渐近线方程为1 x2 2y ＝± x ，可设双曲线方程为2－ y ＝ λ(λ≠ 0)，22∵ A(2，－ 3)在双曲线上，2∴ 22－ (－ 3)2＝ λ，即 λ＝－8. 22 2∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.反省与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点地点明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点地点不明确时，应注意分类议论，也能够不分类议论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn>0)，进而直接求出来 .当双曲线的渐近线方程bx 2y 2为 y ＝ ±22a x 时，能够将方程设为 a －b ＝ λ(λ≠0).追踪训练 2依据条件，求双曲线的标准方程 .(1) 与双曲线 x 2 － y 2＝ 1 有共同渐近线，且过点 (－ 3， 2 3)；9 1622(2) 与双曲线 x － y＝ 1 有公共焦点，且过点 (3 2， 2). 16 4解(1)设所求双曲线方程为 x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)，9 16由题意可知－ 322 3 21 9－16 ＝ λ，解得 λ＝ .422∴ 所求双曲线的标准方程为 x － y＝1. 9 44(2) 设所求双曲线方程为x 2 － y 2 ＝ 1(16－ k>0， 4＋ k>0) ，16－ k 4＋k∵ 双曲线过点 (3 2， 2)， ∴32 2－4＝1，16－k 4＋ k解得 k ＝ 4 或 k ＝－ 14(舍去 ).∴ 所求双曲线的标准方程为x 2 － y 2 ＝ 1.12 8题型三 直线与双曲线的地点关系例 3直线 l 在双曲线x 2－y 2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为 2，求直线 l 的方程 .3 2解 设直线 l 的方程为 y ＝ 2x ＋ m ，y ＝ 2x ＋ m ，得 10x 2＋ 12mx ＋ 3(m 2＋2)＝ 0.(*) 由 x 2 y 2－ ＝1，3 2设直线 l 与双曲线交于 A(x 1， y 1) ，B(x 2， y 2)两点，由根与系数的关系，得 x 1＋ x 2＝－ 632＋ 2).5m ， x 1x 2＝ 10(m又 y 1＝ 2x 1＋ m ， y 2＝ 2x 2＋ m ，∴ y 1－ y 2＝ 2(x 1－ x 2)，∴ AB 2 ＝(x 1－ x 2)2＋ (y 1－ y 2)2＝ 5(x 1－ x 2) 2 ＝ 5[(x 1＋ x 2)2－ 4x 1x 2]36 2 －4×3 2＝ 5[m 10(m ＋2)].25∵ AB ＝ 4， ∴36m 2－ 6(m 2＋ 2)＝16. 5∴ 3m 2＝70， m ＝ ±2103.由 (*) 式得＝ 24m 2－ 240，把 m ＝ ±210代入，3210得 >0， ∴m 的值为 ± 3.210∴ 所求直线 l 的方程为 y ＝ 2x ± 3 .反省与感悟直线与双曲线订交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转变成对于x或 y 的一元二次方程 .要注意根与系数的关系，根的鉴别式的应用 .若与向量相关，则将向量 用坐标表示，并找寻其坐标间的关系，联合根与系数的关系求解.2追踪训练 3设双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a>0) 与直线 l ： x ＋ y ＝ 1 订交于两个不一样的点A 、 B.a(1) 务实数 a 的取值范围；→ 5 →(2) 设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，若 PA ＝PB ，求 a 的值 .12x 22解(1)将 y ＝－ x ＋ 1 代入双曲线方程a 2－ y ＝ 1(a>0) ，得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2＝ 0.1－ a 2≠0，依题意有＝ 4a 4＋ 8a 2 1－ a 2 >0 ，所以 0< a< 2且 a ≠ 1.(2) 设 A(x 1 ，y 1)，B(x 2， y 2)，依题意得 P(0,1) ，→5 →5因为 PA ＝ 12PB ，所以 ( x 1， y 1－1)＝ 12(x 2， y2 －1).5由此得 x 1＝ 12x 2.2 222的两根，且 2≠ 0，因为 x 1， x 2 是方程 (1－ a )x ＋ 2a x － 2a ＝ 0 1－ a所以17x2＝－2a22，5x22＝－2a22. 121－ a121－ a消去 x2得－2a228917.2＝60.由 a>0，解得 a＝13 1－ a例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.剖析(1) 点 P 是弦 P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程构成方程组，联合根与系数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假定直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k 的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，考证根的状况.解(1)若直线的斜率不存在，即P1 P2⊥x 轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x 轴上，不行能是点P(2,1)，所以直线l 的斜率存在 .故可设直线l 的方程为y－ 1＝ k(x－ 2)，即 y＝ kx－ 2k＋ 1.2x2－ y2＝ 2，由消去 y 并化简，y＝ kx－2k＋ 1得 (2－ k2)x2＋2k(2k－ 1)x－ 4k2＋ 4k－ 3＝0.设直线 l 与双曲线的交点为P1 (x1， y1)， P2(x2，y2).①当 2－k2≠0，即 k2≠ 2 时， x1＋ x2＝－2k 2k－ 12 . 2－ k因为点 P(2,1)是弦 P1P2的中点，k 2k － 1所以－2－k 2＝2，解得 k ＝ 4.当 k ＝ 4 时，＝ 4k 2(2k －1) 2－4(2－ k 2)( － 4k 2＋ 4k － 3)＝ 280＞0.② 当 k 2＝ 2，即 k ＝ ± 2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为双曲线不行能有两个交点.k ＝ ± 2的直线l 与综上所述，所求直线方程为y ＝ 4x － 7.(2) 假定这样的直线 l 存在，设 Q 1(x 1， y 1) ，Q 2(x 2， y 2) ，则 x 1＋ x 2＝ 1， y 1＋ y2＝ 1.22所以 x 1＋ x 2＝ 2，y 1＋ y 2＝2，且2x 12－ y 12＝ 2， 2x 22－ y 22＝ 2.两式相减，得 (2x 12－ 2x 22)－ (y 12－ y 22)＝0，所以 2(x 1－ x 2)( x 1＋ x 2)－ (y 1－ y 2)( y 1＋ y 2)＝ 0，所以 2(x 1－ x 2)－ (y 1－y 2)＝ 0.若直线 l ⊥ x 轴，则直线 l 与双曲线只有一个交点，不切合题意.所以直线 l 的斜率存在，故k ＝ y 1－ y 2＝ 2.x 1－ x 2所以直线 l 的方程为 y － 1＝ 2(x － 1)，即 y ＝ 2x － 1.y ＝ 2x － 1，由得 2x 2－ (2x －1)2＝ 2，2x 2 － y 2＝ 2，即 2x 2－ 4x ＋ 3＝ 0，得 ＝16－ 24＜ 0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，所以这样的直线不存在.解后反省在此题的解答过程中，共有 3 次用到了分类议论思想：在 (1) 中，先对直线的斜率能否存在进行了议论，再对一元二次方程的二次项系数能否为零进行了议论；在 (2) 中，也对直线能否与 x 轴垂直进行了议论 .活动三讲堂反应单2 21.双曲线 x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为 ________. 4 12答案23x 2 y 2分析∵双曲线 4 －12＝ 1 的一个焦点为 F(4,0) ，此中一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，∴点 F(4,0)到 3x － y ＝ 0 的距离为4 3＝ 2 3.22.双曲线 mx 2＋ y 2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.答案－14分析由双曲线方程 mx 2＋y 2＝ 1，知 m<0 ，则双曲线方程可化为y 2－ x 2＝ 1，则 a 2＝ 1， a ＝ 1，－ m 112又虚轴长是实轴长的2 倍， ∴ b ＝ 2，∴ － ＝ b ＝ 4，∴ m ＝－ 1.4223.双曲线 x－ y＝ 1 的渐近线方程为 ____________.16 9答案 3x ±4y ＝ 0分析 由x 2－y 2＝ 1 得 a 2＝ 16， b 2＝ 9，16 93∴ 渐近线方程为 y ＝±4x ，即 3x ±4y ＝0.2 2x y4.已知双曲线 C ： a 2 －b 2 ＝ 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为____________.22答案x － y＝ 1 20 5x 2 y 24 122分析 双曲线 C 的渐近线方程为a2－b 2＝ 0，点 P(2,1)在渐近线上， ∴a 2－ b 2＝ 0，即 a ＝ 4b ，又 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 25，解得 b 2＝5， a 2＝ 20.5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.答案6 2分析 设双曲线的焦点为 F 1(－c,0)， F 2(c,0)，虚轴两个端点为 B 1(0，－ b)， B 2(0， b)，∵ c>b ，∴ 只有 ∠B 1F 1B 2＝ 60°，∴ tan 30 ＝° b， ∴c ＝ 3b ，c2222c 3b 6又 a ＝ c － b ＝ 2b ，∴ e ＝ a ＝ 2b ＝ 2.活动四 讲堂小结x 2y 2 1.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a 2－ b2＝ 1 (a>0， b>0)右侧的常数1 换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝ 0 变成 a 2x 2 － b 2 y 2＝ λ(λ≠0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程.2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。

2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。

（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。

（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。

3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。

>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。

例4证明：若022=x，则0=+yx。

-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。

这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。

双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |21)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质3.等轴双曲线(1)定义: 实轴和虚轴长相等的双曲线, 叫做等轴双曲线.其方程的一般形式. 性质: ①渐近线方程: ；②离心率. 4.有共同渐近线的双曲线方程(1)当已知双曲线的渐近线方程x a b y ±=,可设双曲线方程为)0(by a x 2222≠λλ=-.(2)与双曲线1b y a x 2222=-有相同的渐近线的双曲线方程可设为)0(by a x 2222≠λλ=-.基础巩固:1.双曲线216x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,P在双曲线上,且|PF1|=2,则|PF2|等于___________.2.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是________________.3.已知方程23xk-+25yk-=1表示双曲线,则k的取值范围为____________________.4.双曲线24x-25y=1的离心率e等于__________.5.已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为____________.6.已知双曲线过点),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.7.椭圆24x+22ym=1与双曲线22xm-22y=1有相同的焦点,则m的值是___________.8.已知双曲线225x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于_________.例题讲解:例1双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程变式训练:设双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,求双曲线的渐近线的斜率例2已知中心在原点,x-y=0,求双曲线的离心率.变式训练:过双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.例3已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),右顶点为(1)求双曲线C的方程;(2)若直线C恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2(其中O为原点),求k的取值范围.变式训练:已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-22y=1于A,B两点,且ON=12(OA+OB).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的直线交双曲线于C,D两点,且CD·AB=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?课后作业:1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|=5,若实轴长为8,则△ABF2的周长为( )(A)16 (B)18 (C)21 (D)262.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)以上答案均不对3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3) (C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)4.已知双曲线22xa-23y=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )(A)2 (B) (C) (D)15.以椭圆24x+22y=1的长轴端点为焦点,以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为_____________.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为_______________.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_____________8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.9.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为___________.10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )(A)(B) (C) (D)。

2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)知识点二等轴双曲线思考在双曲线标准方程中，若a＝b，其渐近线方程是什么？答案y＝±x.梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × ) 2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ ) 3．方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .( × )4．等轴双曲线的离心率为 2.( √ )类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.类型二 由双曲线的几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.方法二 由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝1＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.方法二 因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(5,4)． 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 解 (1)由题意知，2b ＝8，c a ＝53，又c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝3，b ＝4， 故双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)由题意知，2a ＝6,2c ＝4a ＝12， 又b 2＝c 2－a 2， ∴a 2＝9，b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)∵ca＝2，∴双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)， 将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9， ∴双曲线方程为x 29－y 29＝1.类型三 与双曲线有关的离心率问题 命题角度1 求双曲线离心率的值例3 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A ．2或233B ．2 C.233D. 3考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A解析 因为双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以有以下两种情况(以焦点在x 轴上为例)：(1)如图①所示，其中一条渐近线的倾斜角为60°；(2)如图②所示，其中一条渐近线的倾斜角为30°.所以该渐近线的斜率为k ＝3或k ＝33.当双曲线焦点在x 轴上时， 有b a ＝3或b a ＝33. 因为b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝3或c 2－a 2a 2＝13，所以e 2＝4或e 2＝43，得e ＝2或e ＝233；同理，当双曲线焦点在y 轴上时， 则a b ＝3或a b ＝33， 所以b a ＝33或ba ＝ 3.同理可得e ＝233或e ＝2.故选A.反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca.(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后，利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)．所以e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.命题角度2 求离心率的取值范围例4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2＋1，＋∞) C ．(1，2＋1) D ．(1，3)考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围答案 B解析 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，且AF 2＝BF 2， 只要∠AF 2B 为钝角即可． 由题设可得AF 1＝b 2a ，所以有b 2a >2c ，即2ac <c 2－a 2，解得e ∈(1＋2，＋∞)． 故选B.反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式；(2)通过解不等式得c a 或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围 答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即ca>2，得e >2.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 C解析 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 B解析 由题意知，a ＝5，b ＝3，∴双曲线标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，则e ＝c a ＝32.4．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.22B.12 C ．1D. 2考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 A解析 双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线y ＝±x ，所以x ±y ＝0，所以顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.5．已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 B解析 根据题意，双曲线的方程为x 29－y 2m ＝1，则其焦点在x 轴上，直线x ＋y ＝5与x 轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m ＝25，解得m ＝16，则双曲线的方程为x 29－y 216＝1，其渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．一、选择题1．双曲线25x 2－9y 2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是( ) A ．10,6，345B ．6,10，343C ．10,6，45D ．6,10，43考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 B解析 双曲线25x 2－9y 2＝225即为x 29－y 225＝1，可得a ＝3，b ＝5，c ＝a 2＋b 2＝34，则实轴长为2a ＝6，虚轴长为2b ＝10，离心率e ＝c a ＝343. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1B. 3 C ．2 3D ．2 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 C解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 A解析 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12. 又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 4．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 C解析 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率为c a ＝1＋1a 2∈(1，2)．故选C. 5．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( ) A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 D解析 因为0<k <5， 所以两曲线都表示双曲线．在x 216－y 25－k＝1中，a 2＝16，b 2＝5－k . 在x 216－k －y 25＝1中，a 2＝16－k ，b 2＝5. 由c 2＝a 2＋b 2知，两双曲线的焦距相等，故选D.6．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与椭圆y 25＋x 2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±13x D ．y ＝±3x 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 A 解析 椭圆y 25＋x 2＝1的焦点坐标为(0，±2)． 双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，± 1m ＋1， ∴1m ＋1＝2，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选A.7．已知双曲线x 22－y 2b ＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 C解析 ∵y ＝x 为渐近线方程，则b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 2＝2.当x ＝3时，y 20＝1.又双曲线的半焦距为2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝－1＋1＝0.故选C.8．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3D. 2考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝ a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 二、填空题 9．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为________． 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 ±35解析 由题意m 2＋16＝25,4m －3>0，∴m ＝3，4m －3＝3，∴该双曲线的渐近线的斜率为±35. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 x 24－y 243＝1 解析 ∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1， ∴33a 1＋13＝1， 解得a ＝2.∵b a ＝33，∴b ＝233. ∴双曲线方程为x 24－y 243＝1. 11．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 2解析 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a. 因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝2(负值舍去)． 12．若双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 y 236－x 212＝1 解析 椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. 三、解答题13．已知双曲线E ：x 2m －y 25＝1. (1)若m ＝4，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E 的离心率为e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，求实数m 的取值范围． 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 (1)当m ＝4时， 双曲线方程化为x 24－y 25＝1， 所以a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y ＝±52x .(2)因为e 2＝c 2a 2＝m ＋5m ＝1＋5m ，e ∈⎝⎛⎭⎫62，2， 所以32<1＋5m<2， 解得5<m <10，所以实数m 的取值范围是(5,10)．四、探究与拓展14.过双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线x 23－y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1，可以得到|MO |＝12|PF 1|， 又∵|PF 1|＝|FP |－2a ，∴|MO |＝|FP |－2a 2. 连接OT ，∵|FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2＝b 2，∴|FT |＝b ，∴|MT |＝|MF |－|FT |＝|FP |2－b ， ∴|MO |－|MT |＝b －a ＝5－ 3.15．已知等轴双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F .(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)椭圆E 的中心在原点O ，右顶点与F 点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A ，B 两点(A 在第一象限)，若AB ⊥AF ，试求椭圆E 的离心率．考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)， 则2a ＝4，解得a ＝2，∴双曲线的方程为x 24－y 24＝1，渐近线方程为y ＝±x . (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由(1)知F (22，0)，于是a ＝2 2.设A (x 0，y 0)，则x 0＝y 0.①∵AB ⊥AF ，且AB 的斜率为1，∴AF 的斜率为－1，故y 0x 0－22＝－1，② 由①②解得x 0＝2，∴A (2，2)，代入椭圆方程为2(22)2＋2b2＝1， 解得b 2＝83，∴c 2＝a 2－b 2＝8－83＝163， 得c ＝433，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝43322＝63.。

高二数学选修一双曲线的知识点双曲线是高二数学选修一中的重要内容，它在几何和代数两方面有着广泛的应用。

掌握双曲线的知识点，不仅可以理解它的几何特性，还可以解决一些与双曲线相关的问题。

本文将从定义、方程、性质和应用几个方面介绍双曲线的知识点。

一、定义双曲线是一条平面曲线，其定义基于离心率。

对于给定的两个焦点F1和F2及离心率e，双曲线是到F1和F2的距离的差的绝对值等于常数2ae的所有点的集合。

二、方程双曲线的标准方程有两种形式，一种是横轴为实数轴的标准方程，另一种是纵轴为实数轴的标准方程。

1. 横轴为实数轴的标准方程若给定双曲线的中心坐标为(h, k)，横轴长度为2a，纵轴长度为2b，则双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 12. 纵轴为实数轴的标准方程若给定双曲线的中心坐标为(h, k)，纵轴长度为2a，横轴长度为2b，则双曲线的标准方程为：(y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1三、性质双曲线有许多独特的性质，包括离心率、渐近线、焦点和直线与双曲线的关系等。

1. 离心率双曲线的离心率e是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。

离心率e的计算公式为：e = c/a其中c为两个焦点之间的距离，a为半轴长。

2. 渐近线对于纵轴为实数轴的双曲线，其两条渐近线的方程分别为：y = k ± a/b · (x-h)对于横轴为实数轴的双曲线，其两条渐近线的方程分别为：y = k ± b/a · (x-h)3. 焦点和直线与双曲线的关系双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2ae。

双曲线上的两条短轴与两个焦点的连线垂直，并且交于双曲线的中心点。

四、应用双曲线在物理、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

以下是双曲线在不同领域中的应用举例。

1. 物理学中的双曲线双曲线常用于描述光的折射、反射和散射等现象。