高中数学解析几何双曲线性质与定义

平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型，它具有独特的性质和特点。

在本文中，我将介绍双曲线的一些基本概念和定义，并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。

一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中，双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。

双曲线具有以下基本性质：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴两者都对称。

2. 双曲线有两个分支，分别称为实部和虚部。

3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。

4. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。

二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素：焦点、顶点、直角坐标系和平行线。

1. 焦点：双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。

焦点是双曲线上的两个特殊点，它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be，其中e是双曲线的离心率。

通过确定离心率和焦点的位置，可以确定双曲线的形状和大小。

2. 顶点：双曲线的顶点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。

通过确定顶点的位置，可以确定双曲线的中心位置。

3. 直角坐标系：在平面直角坐标系中绘制双曲线时，可以确定双曲线的位置和方向。

通过绘制直角坐标系，然后确定双曲线的中心和顶点的位置，可以绘制出双曲线的形状。

4. 平行线：平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。

通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线，可以确定双曲线的近似位置和范围。

综上所述，通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线，我们可以确定双曲线的像。

在确定了这些要素后，我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。

总结：双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型，具有独特的性质和特点。

确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。

通过确定这些要素，我们可以确定双曲线的形状、大小和位置，从而深入研究双曲线的性质和像。

双曲线的渐近线性质及其应用双曲线是解析几何中常见的曲线形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。

其中，双曲线的渐近线性质是双曲线研究中的重要内容之一。

本文将介绍双曲线的定义及其渐近线性质，并探讨它在数学和物理等领域的应用。

一、双曲线的定义双曲线是指平面上满足特定方程的曲线。

一般情况下，双曲线的方程可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别为双曲线的两个参数。

根据a和b的取值不同，双曲线可以分为三种类型：椭圆双曲线、双曲线和抛物线双曲线。

二、双曲线的渐近线性质双曲线的渐近线是指与双曲线在无穷远点处趋于平行的直线。

双曲线通常有两条渐近线，分别与双曲线的两支曲线无限接近。

1. 渐近线的斜率双曲线的渐近线的斜率可以通过双曲线方程中的参数a和b计算得出。

对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线的斜率为±b/a。

2. 渐近线的方程根据渐近线的斜率和方向，可以得到双曲线的渐近线的方程。

对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其两条渐近线的方程分别为y = ±(b/a)x。

三、双曲线渐近线的应用1. 导弹轨迹设计在导弹轨迹的设计中，双曲线的渐近线性质可以用于确定导弹的飞行轨迹。

通过合理选择双曲线的参数a和b，可以使导弹的轨迹与预定的目标路径趋于平行，从而提高导弹的命中精度。

2. 无线电通信在无线电通信领域，双曲线的渐近线性质可用于信号覆盖范围的计算和无线电网络的规划。

通过研究双曲线的渐近线，可以确定信号的传输范围和建立有效的通信链路，从而提高通信质量和网络性能。

3. 光学器件设计双曲线的渐近线性质在光学器件设计中也具有重要应用。

例如，双曲线的折射性质可以用于设计具有特定光学性能的透镜或反射镜，从而实现光的聚焦或分散的目的。

高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。

它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。

本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。

一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。

二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。

根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。

其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。

2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。

其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。

三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。

对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。

5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。

根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。

双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。

2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。

（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。

（3）双曲线的离心率大于1。

（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。

（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。

二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。

（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。

三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。

双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。

2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。

双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。

双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。

双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。

本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。

一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。

具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。

二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。

三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。

这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。

2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。

双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。

3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。

这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。

四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。

以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。

2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。

通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。

3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。

通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。

高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。

下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。

一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。

横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。

二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。

2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。

3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。

5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。

四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。

2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。

五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。

双曲线的相关知识点高三网双曲线的相关知识点双曲线（Hyperbola）是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

本文将介绍双曲线的定义、性质以及相关的应用。

一、双曲线的定义双曲线可以由一个平面上的动点P到两个固定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数2a所确定。

我们把这个差的绝对值定义为双曲线的离心率e。

当e>1时，双曲线为实数轴上对称的开口向左右两侧延伸的曲线；当e=1时，双曲线为一个抛物线；当e<1时，双曲线为虚数轴上对称的开口向上下两侧延伸的曲线。

二、双曲线的性质1. 双曲线的焦点和直线l的关系：平面上直线l上的点P到焦点F1和F2的距离之差等于双曲线的离心率e与PF1之间的距离之积。

2. 双曲线的渐近线：当双曲线的离心率e不等于1时，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的分支无限接近且是无穷远处的切线。

3. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是垂直于双曲线渐近线的直线，过双曲线的中心。

4. 双曲线的顶点：双曲线的两条分支最靠近对称轴的交点称为双曲线的顶点。

5. 双曲线的直径：双曲线的直径是两条分支之间的最长线段，它通过双曲线的顶点。

三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在天体运动的研究中具有重要地位，如天体轨道、椭圆轨道和双曲线轨道等。

2. 工程学中的应用：双曲线被广泛应用于天线的设计和微波线的计算中，尤其在无线通信和雷达领域。

3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中也有应用，如边际效用递减规律的研究、消费者行为的分析等。

4. 数学分析中的应用：双曲线和其它几何图形的研究有助于提供解析几何的基础，为更高阶的数学研究奠定基础。

综上所述，双曲线是一个重要的数学概念，它具有独特的性质和广泛的应用。

通过了解双曲线的定义、性质以及其应用领域，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动科学研究的发展。

双曲线高考知识点双曲线是高中数学中的一个重要内容，涉及到曲线的方程、性质以及应用等方面。

下面，我们将详细介绍双曲线的相关知识点。

一、双曲线的定义与基本性质双曲线是一种独特的曲线，它和椭圆、抛物线以及直线构成了二次曲线的四个基本类型。

双曲线的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1（以中心为原点的情况）。

1. 双曲线的焦点与准线双曲线与焦点和准线密切相关。

焦点是双曲线上的一点，可以用来确定双曲线的形状和位置。

准线是双曲线的一条渐近线，具有特殊的性质。

双曲线两个焦点之间的距离为2c，准线与中心的距离为ae。

2. 双曲线的对称性双曲线具有与坐标轴相关的对称性。

双曲线关于x轴和y轴分别对称，也关于原点对称。

二、双曲线的图像与分类通过选择不同的参数，双曲线可以呈现出不同的形状。

根据双曲线的方程，我们可以将其分为以下几种类型：1. 水平方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1时，a^2 > b^2，双曲线的长轴与x轴平行。

2. 垂直方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1时，a^2 < b^2，双曲线的长轴与y轴平行。

三、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理学等领域，特别是在电磁学和光学中有重要的应用。

1. 超越双曲函数双曲函数是双曲线的重要应用之一。

它包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x)以及双曲正切函数tanh(x)等。

这些函数在数学和物理中都有着广泛的应用。

2. 焦点和准线的应用双曲线的焦点和准线在物理光学中有着重要的应用。

例如，双曲线反射镜就是基于双曲线的焦点和准线性质来设计的，可以用来改变光线的方向和聚焦光线。

四、双曲线的解析几何在解析几何中，双曲线与直线、圆等几何图形之间存在着密切的关系，可以通过解析几何的方法来研究双曲线的性质。

1. 双曲线的判别式确定一个二次曲线是否是双曲线可以使用双曲线的判别式D=b^2-a^2，其中a和b分别是双曲线的参数。

双曲线的定义及其性质【教学目标】运用待定系数法来求双曲线的标准方程；进一步理解定义，培养学生的发散思维能力．【教学重点】双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质及初步运用． 【教学难点】双曲线的几何性质的应用．【教学过程】 一、知识梳理： 1．双曲线的定义：（1）平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的 等于常数（小于21F F ）的点轨迹叫做双曲线，这两个 叫做双曲线的 ，两 的距离叫做双曲线的 ．（2）平面内动点P 到 距离与到 的距离之比等于常数e （∈e ）的点的轨迹是双曲线； 是焦点， 是准线，常数e 是双曲线的 ．2．双曲线的标准方程（中心在原点的双曲线标准方程）：（1）焦点在x 轴上， 12222=-b y a x ，焦点是 ，其中=c ；（2）焦点在y 轴上，12222=-b x a y ，焦点是 ，其中=c ．3二、基础自测：1．已知方程12322=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ． 2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的 条件．3．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为 ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为______________．三、典型例题： 反思：例1．（1）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．（2）与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为 ．（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．例2．双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上，且与圆522=+y x 交于点()1,2-P ，如果圆在点P 的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线．求双曲线的方程．【变式拓展】已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)， 若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．例3．F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，求双曲线C 的离心率．【变式拓展】（1）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ．（2）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为 ．四、课堂反馈：1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为 ．2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线离心率为 ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．4．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2， 则PF 1＋PF 2的值为 ．五、课后作业： 学生姓名：___________1．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率是3，则n ＝ ．2．双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则双曲线的离心率为 ．3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ．5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ．6．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝ ．7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12PF PF ⋅＝0，则|12PF PF +|＝________.8．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3， 则点M 到双曲线右焦点的距离是__________．9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). （1）求双曲线方程；（2）若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F 1MF 2的面积． 10．如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知|AP |＝150 m ，|BP |＝100 m ，|BC |＝60 m ，∠APB ＝60°．则在足球场有一条“等距离”线，从点P 出发无论经点A 还是经点B 到此线上的任一点所经路程相等，试写出此“等距离”线方程_________________．。

解析几何中的曲线与双曲线几何学是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的图形和形状。

而解析几何则是将几何问题用坐标和代数方法进行描述和解决的一种方法。

在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而双曲线则是曲线中的一种特殊类型。

本文将会对曲线与双曲线进行详细的解析和分析。

一、曲线的定义与特点在解析几何中，曲线是指由一系列点组成的连续图形。

通常我们可以通过方程来表示和描述曲线。

曲线有许多种类，包括直线、圆、椭圆、双曲线等等。

不同类型的曲线具有不同的数学模型和特点。

对于一条曲线来说，我们可以通过以下几个要素来描述它：1. 方程：我们可以通过一个数学方程来表示曲线。

例如，对于直线来说，它的方程可以写成y = kx + b的形式；对于圆来说，它的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式。

2. 曲线的形状：通过观察曲线的形状，我们可以了解到曲线是直线、圆、椭圆还是双曲线等等。

3. 相对位置：我们可以通过曲线与坐标轴的相交关系来了解曲线在空间中的位置。

4. 参数方程：有些复杂的曲线需要用参数方程来进行描述，参数方程可以用一组参数来描绘曲线上的每一个点。

二、双曲线的定义与性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由两个分离的曲线组成的。

双曲线的方程通常可以写成下面的形式：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或者 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1其中(a, b)为椭圆的中心点，而a,b则分别为椭圆沿x轴和y轴的半轴长度。

双曲线有以下几个重要性质：1. 双曲线的中心点：双曲线的中心点为(h, k)。

2. 对称轴：双曲线包含两条对称轴，分别是以中心点为中心的水平对称轴和垂直对称轴。

3. 渐近线：双曲线还有两条渐近线，它们是双曲线与其两个分支的切线。

双曲线的形状和特点取决于参数a和b的大小和正负。

第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫 做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．会集P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，此中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1) 当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x 2y 2y 2x 2标准方程a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点极点坐标：1(－a,0)，2(a, 0)极点坐标：AAA 1(0，－a )，A 2(0，a )ba渐近线y ＝±a xy ＝±b x性质c离心率e ＝a ，e ∈(1 ，＋∞)a ，b ，cc 2＝a 2＋b 2的关系线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA |＝2a ；1 21 2实虚轴线段1 2叫做双曲线的虚轴，它的长 |1 2|＝2BBBBba 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]x 2 y 21．双曲线3－2＝1的焦距为________．x 2 y 22分析：由双曲线3－2＝1，易知c ＝3＋2＝5，所以c ＝5，x 2 y 25.所以双曲线－ ＝1的焦距为232答案：25x 2y 22．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为极点，极点为焦点的双曲线方程为43________．22分析：设要求的双曲线方程为x 2－y2＝1( ＞0，＞0)，a b abx 2 y 2由椭圆4＋3＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，极点为(±2,0)．所以双曲线的极点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，2y2 所以双曲线标准方程为x －＝1.32y2 答案：x －3＝1x 2 y 253．(2018·北京高考)若双曲线a 2－4＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.c a 2＋b 2 a 2＋452分析：由e ＝＝a 2，得2＝，∴a ＝16.aa4∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视 点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|2a ＜|F 1F 2|这一条件．若，则轨迹不存在．2a ＝| F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求不过a ＞0，b ＞0，易误以为与椭圆标准方程中a ，b 的要求同样．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.b4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点地址关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±a ，a当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±b .[小题纠偏]x 2y 21．设P 是双曲线16－20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9， 则|PF 2|等于________．分析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 分析：由于双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，22不如可设该双曲线的方程为2x －y ＝λ.所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2，2y 2即其标准方程为x －2＝1.22y答案：x －＝12考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆 x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为()A.x 2－ y 2＝1B.y 2－x 2＝133x 2 y 2y 2 x 2C.9－16＝1D. 16－9＝1分析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在 y 2 y 轴上，设其方程为2－ax222 ①又知渐近线方程为a3，②2＝1(a＞0，b＞0)，且a＋b＝4，3x±y＝0，∴＝b b2 2 y22由①②得a＝3，b＝1，∴双曲线方程为3－x＝1.x2 y22．(2018·海口二模)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )A.x2－y2＝1 B. x2－y2＝1 1 9 322y2 x2 y2C．x－3＝1 D.2－3＝13 2b分析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，∴a＝tan60°x2 y2 23 2 ＝3，即b＝3a，∵双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点( 2，3)，∴a2－b2＝1，即a23 2 2 2 y2－3a2＝1，解得a ＝1，∴b ＝3，故双曲线C的标准方程是x－3＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0) ，且离心率等于3，2 则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．分析：由于＝3，所以c 3＝2，所以 2 ＝x2－c e ＝＝，解得a b5.所以双曲线的标准方程为a 2 42 5y＝1，其渐近线方程为y＝±x.5 2答案：x2－y2＝1 y＝±5x4 5 2y2 24．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线4－x＝1 有同样渐近线的双曲线的标准方程是________________．y2 2 x2 y2分析：设所求双曲线的标准方程为4－x ＝－λ(λ＞0) ，即λ－4λ＝1，则有4λ＋λx2y2＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为5－20＝1.x2y2答案：5－20＝1[牢记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2y2a2－b2＝1有同样渐近线时，可设所求双曲线方程为x2y2 a2－b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点地址确立c的值．考点二双曲线的定义要点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线2y2x－24＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若| PF1| 4＝3|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48B．24C．12D．6分析：选B由双曲线的定义可得1|PF1|－|PF2|＝3|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，1所以S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数一定小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转变应用．[即时应用]1 2 2 2 1 21．已知F，F为双曲线C：x －y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF|＝2| PF|，则cos∠F1PF2＝( )1 3A. B.4 53 4C.4D.5分析：选C 双曲线方程可化为x2 y2－＝1，2 2∴a＝b＝2，∴c＝2.|PF |－|PF |＝22，由12得|PF |＝42，|PF |＝22，由余弦定理得cos ∠FPF ＝|PF |＝2|PF |121212|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|232|PF |·|PF＝.|4122．(2018·余姚期初)已知△ABC 的极点A ，B 分别为双曲线x 2 y 216－9＝1的左、右焦点，|sin A －sin B | 的值为____________． 极点C 在双曲线上，则 sin CBCACAB|sin A －sinB |分析：由正弦定理知，sin A ＝sin B ＝sin C ，由双曲线的定义可知，sin C＝||BC |－|AC || 84|| ＝10＝5.AB4 答案：5考点三 双曲线的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热门． 常有的命题角度有：(1) 求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程； (3) 求双曲线方程．[题点全练] 角度一：求双曲线的离心率(或范围)x 2 y 21．(2016·山东高考 )已知双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个极点在 E上，， 的中点为 E 的两个焦点，且 2||＝3| |，则 E 的离心率是________．ABCDABBC2b 2分析：如图，由题意知 |AB |＝a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，2b 2 2， ∴2×＝3×2，即2＝3ac bac∴2(c 2－a 2 )＝3ac ，两边同除以 a 2并整理得 2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程x 222．(2018·乐清调研)以椭圆4＋y＝1 的焦点为极点，长轴极点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．x 2 y 2分析：由题意可知所求双曲线方程可设为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，3故所求渐近线方程为 y ＝±3x .3答案：y ＝±3x角度三：求双曲线方程223．过双曲线： x2－ y2＝1( ＞0，＞0)的右极点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相C a b ab交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A.－＝1B.－＝141279x 2 y 2x 2 y 2C.8－8＝1D.12－4＝1b分析：选A 由题意知右极点为 (a,0)，不如设此中一条渐近线方程为y ＝a x ，所以可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为 (0)，由已知可得c ＝4，且| |＝4，即(c －)2＋ b 2＝16，所以有( c － )2Fc,AFaa＋ b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的2x 2y 2方程为4－12＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率 (或范围)．依照题设条件，将问题转变成关于， c 的等式(或不a等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依照题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进 而得出双曲线的渐近线方程．(3) 求双曲线的方程．依照题设条件，求出a ，b 的值或依照双曲线的定义，求双曲线的 方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及[演练冲关]a ，b ，c 之间的关系求解．x 2y 21．(2018·萧山六校联考 )已知 l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l2 2 2 2 2 2与圆F ：(x －c ) ＋y ＝a (此中c ＝a＋b )订交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为()A ．2B. 525 6C.3D.2分析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，x 2 y 22 2 2∵l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )＋y ＝a (其中c 2 ＝a 2＋b 2)订交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .|bc ＋0| bc2|AB |22又(c,0)到l的距离d ＝b 2＋a 2＝c ＝b ，∴b ＋2 ＝a ，将| AB |＝ 2a 代入上式，22222c6得a ＝2b .又c ＝a ＋b ，∴e ＝a ＝2.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2 22－y 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则ab双曲线的渐近线方程为 ________．分析：由于2b ＝2，所以b ＝1，由于 2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝ c 2－b 2＝ 2，b 2所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a x ＝±2 x .2 答案：y ＝±2xx 2 y 23．(2018·杭州二中适应)双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点 O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．3c 2分析：由题可得，要使三角形 OPF 2为正三角形，则 P 21c ，2c 在双曲线上，所以4a 2－3c 2222c422 24b 2＝1，结合 b ＝c－a 及e ＝a ，化简得 e －8e ＋4＝0，解得e ＝4＋2 3或e ＝4－2 3.由于＞1，所以 e 2＝4＋2 3，所以 e ＝ 4＋23＝ 3＋1.e答案： 3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 2＋y 2＝1，它的焦点F 到渐近线8－m4－m的距离的取值范围是 ________．x 2y 2分析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |x 2y 2x 2 y 222＝b .而双曲线＋＝1，即－ ＝1的焦点在b ＋a8－m 4－m8－mm －48－＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．x 轴上，则m －4＞0，答案：(0,2)考点四直线与双曲线的地址关系要点保分型考点——师生共研[典例引领]x 2 y 2设A ，B 分别为双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右极点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线 y ＝ 3 －2 与双曲线的右支交于，两点，且在双曲线的右支上存在点 ，3xMND使―→＋―→ ＝ ―→，求 t 的值及点 D 的坐标．OM ON tOD解：(1)由题意知a ＝2 3，b∵一条渐近线为y ＝a x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，|bc | 得b 2＋a 2＝3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，x 2y 2∴双曲线的方程为12－3＝1.(2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.3x 2 y 2将直线方程y ＝3x －2代入双曲线方程 12－3＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋ 2＝ 3 x 1＋ 2)－4＝12.3 ( y xx 0 ＝ 4 3y 0 3 ， 03，x ＝4∴2 2解得y 0＝3.x 0y 0－＝1.12 3∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的地址关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的地址关系的判断与应用和直线与椭圆的地址关系的判断 方法近似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数能否为0的判断．(2) 技巧：关于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在座标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝ 0(n ∈R)三均分，务实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，49λ＋25μ＝1，依题意有λ＋μ＝1， λ＝－1， 解得μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1. (2) 将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1，得 x 2＋4 ＋(22－1)＝0，①mxm222＝(4m )－4(2m －1)＝8m ＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则 x 1＋ 2＝－4，12＝22－1，xmxx mx 1＋x 2所以x 0＝＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，2所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1，m故＝－1，即m ＝－2.6＋2m将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7， 所以||＝1＋12|x 1－2|＝62.MNx故直线 l 截圆 E 所得弦长为 1 | |＝22.3 MN 又(6,0)到直线l 的距离 ＝22， Ed所以圆E 的半径 R ＝22＋2 2＝ 10，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快x2 21．(2018·浙江高考)双曲线3－y＝1 的焦点坐标是( ) A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0) ，(2,0)C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)x2 2分析：选B∵双曲线方程为3－y ＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0) ，(2,0) ．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线x2 y2 x2 y2 ：2－2＝1(＞0，＞0)的离心率与椭圆25＋C m n m n 16＝1 的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( ) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0分析：选A 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝b2 3 1－2＝，∴双a 5曲线的离心率为n2 5 n4，∴双曲线的渐近线方程为n 41＋2＝，∴＝y＝±x＝±x，即4x±3y m 3 m3 m 3＝0. 应选A.x2 y23．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦1 2 1 2 1 1 1点分别是F，F，正三角形AFF的一边AF 与双曲线左支交于点B，且AF＝4BF，则双曲线C的离心率为( )3 3＋1A. 2＋1B. 213 13＋1C. 3＋1D. 3分析：选D 不如设点A在x轴的上方，由题意得，F1(－c,0) ，A(0，3c)，设B(x，3 311 c cy)，∵AF＝4BF，∴(－c，－3c)＝4(－c－x，－y)，∴x＝－4，y＝4，代入双曲线9c 2 3c 21616 a4213＋1 .＝1，∴9e －28e ＋16＝0，∴e ＝3222x 2y 24．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线9－16＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.分析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.由于|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π，211 所以S △F 1PF 2＝2|PF 1|·|PF 2|＝32×2＝16.π答案：2165. 以下列图，已知双曲线以长方形ABCD 的极点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两极点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2y 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，4＝a 2＋b 2，2∴49解得a ＝1，2a 2－b 2＝1，b ＝3，x 2 y 2∴双曲线的标准方程为－3＝1.2y 2答案：x －3＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 2 ＋ y2 ＝1表示双曲线”的( )25－k k － 9A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件x 2y 2分析：选A ∵方程25－k ＋k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9 或k＞25，∴“k ＜9”是“方程x 2＋ y 225－k＝1表示双曲线”的充分不用要条件，应选A.k －92y 22．(2018·杭州调研)过双曲线x －3＝1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝()A. 4 3 B ．2 3 3 C ．6D ．432y 2分析：选D 由题意知，双曲线x －3＝1的渐近线方程为 y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为 (2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.x 2 y 23．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点， 过F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点2πB ，若|AF|＝2a ，∠FAF ＝3，则1112S △AFF12S △ABF 2 ＝()A ．1B. 1 2C. 1D. 233分析：选B以下列图，由双曲线定义可知|AF |－|AF |＝2a .21由于|AF |＝2a ，所以|AF |＝4a ，122π又∠FAF ＝3，1 21 211 21 2132所以S △AFF ＝2|AF |·|AF |·sin ∠FAF ＝2×2a ×4a ×2＝2 3a .由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.π 由于∠BAF 2＝3 ，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，3232 2所以S △ABF 2＝ 4|AF 2|＝ 4 ×(4a )＝43a ，1 22 3a 2 1.故S △AFF ＝＝△24 3a 22S ABF224．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ： x 2 － y2＝a b1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点 F 2的直线与双曲线 C 的右 支交于P ，Q 两点，且|PF |＝2|F Q|，P Q ⊥F Q ，则双曲线 C 的离心率221是( )A.2B. 3 10D.17C.32分析：选D设|F Q|＝m ，则|F Q|＝2a ＋m ，|FP |＝2m ，|FP |＝2a ＋2m .由于P Q ⊥F Q ，2121122 2 228所以(2a ＋m )＋(3m )＝(2a ＋ 2m )，解得6m ＝4am ，解得m ＝3a ，所以|F 1Q|＝3a .所以在△F 1F 2Q2a 2 8a 2 2222c217 17中，|F 1F 2|＝2c ，所以3 ＋ 3＝(2c ) ，解得17a ＝9c ，所以e ＝a 2＝9，即e ＝3.x 2 y 25．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直π π 线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈12，6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1] 分析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r ，|MF ′|＝r ，则|NF |12＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关222②，于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 1＋r 2＝4c由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴1r 1r 2＝2·1c 2·sin2β，∴b 2＝c 2·sin222221ππ13 21 2β＝c －a ，∴e ＝1－sin2β，又∵β∈12，6 ，∴sin2β∈2，2，∴e ＝1－sin2β ∈[2，(3＋ 2，又∵e ＞1，∴e ∈[ 2，3＋1]，应选D.1)]6．已知双曲线的一个焦点 F (0， 5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．y 2x 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，c ＝5，a 2＋b 2＝5，a 2＝4，由题意得 a?a ＝2b2b ＝2b ＝1，2y 所以双曲线的标准方程为－x ＝1.c 5所以a ＝2，离心率e ＝a ＝2.y 225 答案：4－x ＝127．若点P 是以 (－3,0)，(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一AB个交点，则||＋||＝________.PAPB分析：不如设点 P 在双曲线的右支上，则 |PA |＞|PB |.由于点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知， |PA |－|PB |＝2 5， ①又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得 2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：213：x228．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线2－y2＝1(＞0， ＞0)的右焦点为，过点FC a b a bF 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C的离心率＝________.e分析：法一：由 2＝知，|MF |＝1.由渐近线的对称性知∠＝∠，即为∠2|FN |NOM 的角均分线，则|OM ||MF | 1π ，∠NOF ＝∠MOF ＝πcos ∠NOM ＝||＝ ||＝2，所以∠NOM ＝36.由于ON FNbbπ 3cb 223 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a x ，所以a ＝tan6＝3，所以e ＝a ＝1＋a＝3.法二：以下列图，双曲线C 的一条渐近线的方程为 bx ＋ay ＝0，右焦bc点为F (c,0)，所以|FM |＝a 2＋b 2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又由于2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin1 π ππ b 3∠FNP ＝2，所以∠FNP ＝ 6 ，故在△OMN 中，∠MON ＝ 3 ，所以∠FON ＝ 6 ，所以a ＝3，所以双曲线 C 的离心率 ＝ b 2 231＋2＝.e a 323答案：39．已知双曲线的中心在原点，焦点F ，F 在座标轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)，12点M (3，m )在双曲线上．(1) 求双曲线的方程；―→(2)求证：MF 1·MF 2＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.―→(2) 证明：设MF 1＝(－23－3，－m )， ―→ 3－3，－m )． MF 2＝(2―→ ―→＋23)×(3－2 22∴MF 1·MF 2＝(3 3)＋m ＝－3＋m ，∵M 点在双曲线上，22∴9－m ＝6，即m －3＝0，―→―→∴MF 1·MF 2＝0.(3) ∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43. 由(2)知m ＝±3.1∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝2×43×3＝6.x 2y 210．已知双曲线：2－ 2＝1( ＞0，＞0)的离心率为 3，点(3，0)是双曲线的一个C a b ab极点．(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A ，B ， 求|AB |.2 2解：(1)∵双曲线： x2－ y2＝1( ＞0， ＞0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一C a ba bc3，6，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1. 个极点，∴a＝解得c ＝3，＝b36a ＝ 3，x 2 y 22，(2)双曲线3－6＝ 1的右焦点为F (3,0)3∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝3(x －3)．x 2y 23－6＝1，联立得5x 2＋6x －27＝0.3y ＝3x －，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，627则x 1＋x 2＝－ 5，x 1x 2＝－ 5.所以|AB |＝16 227 16 31＋3×－－4× －5＝5 .5三登台阶，自主选做志在冲刺名校：x 221．(2018·暨阳联考)已知双曲线2－y 2＝1( a ＞0， ＞0)的左焦点为，过点 F 作双C ab bF曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足 ―→―→ ―→FPFP ＝3FH ，则双曲线的离心率为()A. 3B ．23C. 13D.132b|bc | ―→―→分析：选C不如取渐近线方程为 y ＝－a x ，则|FH |＝a 2＋b2＝b .由于FP ＝3FH ，所b以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .由于cos ∠PFF 2＝c ，|FF 2|＝2c .所 以由余弦定理得： (3b2c 2 ＋9 2 b＝3.若取 a ＝2，则＝3，－2)＝4－2×2×3×，化简得2abc b cbabc13c ＝13.所以离心率为e ＝a ＝2.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直均分线 l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．x 2 y 2解：(1)设双曲线C 的方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1，x 22∴双曲线C 的方程为3－y ＝1.2x 22(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入－y ＝1，得(1－3k )x －62kx －9＝0.1－3k2≠0，＝－k2＞0，由题意知62k解得3A B＜0，＜k＜1. x＋x＝1－3k2 3AB－9xx＝1－3k2＞0，∴k的取值范围为3. 3，1 62k(3)由(2)得：x A＋x B＝1－3k2，∴y A＋y B＝(kx A＋2)＋(kx B＋2)2 2＝k(x A＋x B)＋22＝1－3k2.∴AB的中点P的坐标为32k22. 2，1－3k 1－3k设直线l 0的方程为：y＝－1＋，kxm4 2将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝1－3k2.3 2∵3＜k＜1，∴－2＜1－3k＜0.∴m＜－22.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。

双曲线的像及其性质双曲线，作为解析几何中的一个重要概念，具有独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨双曲线的像及其性质，以便更好地理解和应用双曲线。

一、双曲线的定义双曲线是平面上到给定点F1、F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。

其中F1和F2称为焦点，2a称为双曲线的离心率。

二、双曲线的基本形状双曲线的形状取决于焦点之间的距离和离心率。

当离心率小于1时，双曲线为压缩型，形状接近于两个离心率为1的焦点构成的直线，被称为实双曲线。

当离心率大于1时，双曲线为拉伸型，形状类似于两个离心率为1的焦点构成的直线，被称为虚双曲线。

三、双曲线的像双曲线的像是通过某种变换将双曲线映射到平面上的另一个图形。

常见的双曲线像包括直线、抛物线、椭圆等。

下面将介绍几种常见的双曲线像及其性质。

1. 直线当双曲线的焦点重合于一点时，所得像为直线。

这是双曲线特殊情况的一种，其离心率为0。

直线像具有无限远点的性质，可以无限延伸。

2. 抛物线当双曲线的离心率趋近于1时，所得像为抛物线。

这种情况下，双曲线的形状与抛物线相似，但两者具有不同的焦点和离心率。

3. 椭圆当双曲线的离心率小于1时，所得像为椭圆。

椭圆是双曲线的一种特殊情况，其焦点重合于一点，且离心率小于1。

椭圆像具有封闭形状，且具有对称性。

四、双曲线的性质除了上述介绍的双曲线像外，双曲线还具有许多其他性质，下面将介绍其中几个重要的性质。

1. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无穷远处的分支趋于平行。

这两条渐近线的斜率分别为正负无穷大，与双曲线的离心率有关。

2. 双曲线的对称轴双曲线具有对称性，其对称轴与双曲线的中心垂直且通过中心点。

双曲线的对称轴将双曲线分为两个对称的部分。

3. 双曲线的焦点和直径双曲线的焦点与双曲线的离心率及形状有关。

焦点与双曲线的离心率之和等于双曲线的直径。

4. 双曲线的切线双曲线上任意一点处的切线与该点到两个焦点的距离之差等于常数2a的两倍。

切线的斜率与双曲线上该点的导数有关。