人教版高中数学选修1-1教案：2.3.2 双曲线的简单几何性质

上课时间第周星期第节课型课题 2.2.2双曲线的几何性质（一）
教学目的理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征
教学设想教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握。

教学过程一、复习准备：
1.回顾双曲线的定义、标准方程（焦点在分别在x、y轴上）、,,
a b c间的关系？
2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4
a b
==，焦点在x轴上；②焦点在y
轴上，焦距为8，2
a=；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
由椭圆的哪些几何性质出发，引导学生类
比探究双曲线的几何性质；
①范围：标准方程可变为
22
22
1
x y
a b
-=，得知
2
2
1
x
a
≥，即x a x a
≥≤-
或；
双曲线在不等式x a x a
≥≤-
与所表示的区域内。

②对称性：如图2-25可知，双曲线关于x轴、y轴及原点都对称，原点是双曲线的对称中心。

③顶点：标准方程中，当0
y=时x a
=±，当0
x=时方程无实根；曲线与x轴的
交点
12
(,0),(,0)
A a A a
-叫做双曲线的顶点。

12
A A
叫做双曲线的实轴，以
12
(0,),(0,)
B b B b
-为端点
的线段
12
B B叫做双曲线的虚轴。

实轴与虚轴
等长的双曲线叫等轴双曲线。

2.1.5 双曲线的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.二、教学重点.难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。

三、教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。

四、教学过程新课引入1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.五、自主学习1.范围以12222=-b y a x 为例，只有当|x |≥a 时，y 才有实数值，而在－a<x <a 之间没有图象，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，因此曲线是无限伸展的，也就是说，双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧〉+〉-≥0,0,ay bx ay bx a x 或⎪⎩⎪⎨⎧〈+〈--≤0,0,ay bx ay bx a x 所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线. 2.对称性分别用（x ,－y ）、（－x ,y ）及（－x ,－y ）代替方程中的（x ,y ），方程都不改变，说明双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称.因此双曲线是有心圆锥曲线，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心. 3.顶点与实虚轴双曲线只有两个顶点.12222=-by a x 的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x =0时，y 2=－b 2无实数解，即与y 轴无交点.实轴长为2a ，虚轴长为2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长. 4.渐近线（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x =±a,y =±b 围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab;焦点在y 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab,或由02222=-b x a y （将1换成0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.（5）根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的方程的方法.①与双曲线12222=-b y a x 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为t b y a x =-2222(t≠0).②若双曲线的渐近线方程是y =±x a b,则双曲线的方程可表示为t by a x =-22225.离心率 e =ac,e >1,它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大. （1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵a b =222a a c -=12-e ,∴e 越大，k =a b 越大.∴双曲线开口越大. （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e =2. (3)求离心率是考查重点，常有以下方法 ①求a 、c 再求e =ac；②建立关于a 、c 的齐次方程；③寻找a 和e 的关系，再求e . 典型例题：例1：求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例3：求与双曲线221169x y -=共渐近线,且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例4： 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。

2.2.2 双曲线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第32页)类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝2.(对应学生用书第32页)求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a 2＋b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错．求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程得y 242－x 232＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)． 渐近线方程为：y ＝±43x .双曲线的方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.分别求适合下列条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3(b 2a 2)2－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2.求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .∴|PF 1|＝b 2a.由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°. 知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.(对应学生用书第35页)忽略点在双曲线上的位置致误已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2.故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－12.1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±abx .(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(对应学生用书第35页)1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2ba ＝1，又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5，故双曲线的方程为x 220－y 25＝1.【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 522【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．又其一条渐近线过点(4，－2)， ∴b a ＝24，∴a ＝2b . 因此c ＝a 2＋b 2＝5b . ∴离心率e ＝c a ＝52.【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r＝( )A. 3 B ．2 C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3.【答案】 A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B 二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________. 【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m，∴ －1m＝2，4【答案】 －147．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4， 离心率e ＝ca＝2，∴a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2 3.∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.令x 24－y 212＝0，得渐近线方程为3x ±y ＝0.【答案】 (±4,0)3x ±y ＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .容易知道|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即103a ≥2c ，∴e ≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53]三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．【解】 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，则由题意可知－29－3216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)，∵双曲线过点(32，2)，∴2216－k －224＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)．∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率的取值范围．【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线距离公式且a ＞1，得 点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋a 2＋b 2.s ＝d 1＋d 2＝2ab c ≥45c .即5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2， ∴4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，∵e ＞1，∴52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)知b ＝1.又F (－2,0)，∴c ＝2. ∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3. OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3.故OP→·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞).(教师用书独具)已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．【解】 由⎩⎨⎧x 2－y 2＝4y ＝k x －消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧ 4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．综上所述：当－233＜k ＜233，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞233时，直线l 与双曲线没有公共点．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1，则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72＜0，∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－2－－72＝6.因此弦AB 的长为6.。

§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习1．双曲线的两种标准方程是什么？2.双曲线的几何性质有哪些？范围、对称性、顶点、离心率等。

通过复习，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。

二．例题、练习1．例4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上m 口半径为13，下口半径为25，高55，试选择m m m 适当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到1）m 解：如图建立直角坐标系，设双曲线方程为，C （13，y ）,B(25 , y-12222=-by a x 55),双曲线的几何性质的简单应用即（a +b ）（a －b ）=1d ==，∴|a －b |=2又P2||b a -2点在右支上，则有a >b ，∴a －b =2∴|a +b |×2=1，a +b =216．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点7的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）32-A B 14322=-y x 13422=-y x C D 12522=-y x 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=分别代入双曲线方程并相减即可1122(,),(,)M x y N x y 求解三、小结1． 解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样的？2．解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路与方法是怎样的？五、作业教科书习题2.2 B 组1、2、3练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.x y 3±=()0,10答案：1922=-y x 2．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变221x y -=F P PF 化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。

2.2.2双曲线的简单几何性质教学设计一．教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程（二）重难点重点：掌握双曲线的简单几何性质难点：会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程二．预习学案出现问题1.y的范围2.对于顶点的理解及顶点坐标找不准确3.a，b，c三者之间的关系与椭圆中的混淆4.渐近线方程没化成最简形式5.已知渐近线方程，不会求双曲线的方程教学活动：上课之前和学生讲述学案中出现的普遍问题，引起学生重视，上课认真听讲，解决易错问题。

二.设计思路三．教学流程1.复习引入1.双曲线的标准方程：焦点在x 轴：)0,0(12222>>=-b a b y a x ；焦点在y 轴：)0,0(12222>>=-b a bx a y2.a ，b ，c 的关系：222c b a +=3.椭圆的简单几何性质 范围，对称性，顶点，离心率教学活动：已经学习过双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。

2．讲授新知由双曲线方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，类比椭圆的简单几何性质，推导、研究双曲线的性质：（1）范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率由学生类比椭圆的几何性质，通过观察、证明、比较来得到双曲线的这四个简单的几何性质。

结论：范围:a x ≥或a x -≤；R y ∈；对称性：关于x 轴、y 轴和原点都是对称； 顶点：()0,1a A -，()0,2a A线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ,a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长.离心率：类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1>学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．，文P49~ P51找出疑惑之处）5658复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①，焦点在轴上；②焦点在轴上，焦距为8，．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）．实轴，其长为；虚轴，其长为．率：．离心渐近线：线的渐近线方程为：．双曲问题2：双曲线的几何性质?图形：范围：：：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：< ），< ）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：．渐近线：双曲线的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．※典型例题例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率，经过点；⑶渐近线方程为，经过点．※动手试试练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※知识拓展与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为< ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测<时量：5分钟满分：10分）计分：1．双曲线实轴和虚轴长分别是< ）．A．、 B．、C．4、 D．4、2．双曲线的顶点坐标是< ）．A． B． C． D．<）3．双曲线的离心率为< ）．A．1 B． C． D．24．双曲线的渐近线方程是．5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．课后作业1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)-或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y ±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=．综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b ±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b ±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由c e a =得，1e x=．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ① 222244x y -= ② ①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=． ∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ② ①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=> 渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b-=，即a y x b =±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为n y x m =的双曲线方程可设为：2222(0);x y m nλλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,O F c F D b O D a O F D Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故. （三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D.22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（. 12. 设双曲线C ：2221x y a -=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________． 答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】（1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ② 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪∙=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。

§2．2．2双曲线的简单的几何性质（1）【学情分析】：1、学生已经学过椭圆的几何性质，对椭圆的几何性质有所了解；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程并能较熟练地求双曲线的标准方程；本节课将通过学生的类比、归纳、探究，培养学生的观察问题、研究问题的能力。

【教学目标】：知识与技能1、了解双曲线的简单的几何性质2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能从双曲线的标准方程出发，推导双曲线的几何性质；2、能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；3、培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力情感态度与价值观通过自主探究、讨论交流，培养学生良好的学习情感，激发学习数学的兴趣。

【教学重点】：双曲线的简单几何性质的探究【教学难点】：双曲线的简单几何性质的探究【课前准备】：课件练习与测试：1．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 答案：C２．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14解：双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴m=14-，选A.3．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （ C ） A. 1或5B. 6C. 7D. 94．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.233解：双曲线22212x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ，则2tan 6a π==，∴ a 2=6，双曲线的离心率为233，选D ．5. 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ B ） A.3 B .26 C.36D.336. 已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（ C ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 7. 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。

2.3.2 双曲线的简单几何性质三维目标1.知识与技能理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题培养学生分析，归纳，推理的能力；2. 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在解决问题中的应用.___________________________________________________________________________自学探究问题1.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b==，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．问题2.前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？问题3.由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质?问题4.反比列函数的图像及其特征是什么？图像靠近的直线方程为什么？双曲线的图像靠近的直线呢？问题5.（1）用类比的方法探究出双曲线22221y x a b-=的几何性质? （2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的性质呢？【技能提炼】1.求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．2．求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．3．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2， P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( )A.32 B ．2 C.52D ． 3 教师问题创生学生问题发现变式反馈1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程． 3．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．*4. （2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m -= （ ） A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >*5．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.6.设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,设直线l 过)0,(a 和),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 43,求双曲线的离心率e .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

双曲线的几何性质[学习目标 ] 1.认识双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能差别椭圆与双曲线的性质.活动一知识梳理引入新课知识点一双曲线的几何性质x2y2y2x22－ 2＝12－ 2＝1标准方程a b a b(a>0， b>0)(a>0，b>0)图形范围对称轴： ________.对称性对称中心： ________.极点坐标性质实轴和虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线b a y＝± x y＝± xa b离心率e＝c， e∈ (1，＋∞ ) a知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做________.，它的渐近线是________.[思虑 ] (1) 椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围同样吗？(2)若双曲线确立，则渐近线确立吗？反过来呢？活动二数学应用例 1 求双曲线 9y2－ 4x2＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：13(1)一个焦点为 (0,13)，且离心率为5；1(2) 渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－ 3).2例 3直线 l 在双曲线x2－y2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线 l 的方程 . 32例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.活动三讲堂反应单22x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为________.1.双曲线4122.双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.x2y23.双曲线16－9＝ 1 的渐近线方程为 ____________.22x y4.已知双曲线C：a2－b2＝1的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的方程为____________.5.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.活动四讲堂小结x2y21.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a2－b2＝ 1(a>0 ， b>0)右侧的常数 1 换为 0，就是渐近线方程 .反之由渐近线方程ax±by＝0 变成 a2x2－b2y2＝λ(λ≠ 0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程 .2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y 2－ 4x 2 ＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .2 2解 将 9y 2－4x 2＝－ 36 化为标准方程 x － y＝ 1，9422即 x 32－ y22＝ 1，∴ a ＝ 3，b ＝ 2， c ＝ 13.所以极点为 A 1(－ 3,0)， A 2(3,0) ，焦点为 F 1(－13， 0)，F 2( 13， 0)，实轴长 2a ＝ 6，虚轴长 2b ＝ 4，离心率 e ＝a c ＝ 313，b 2 渐近线方程为y ＝ ± x ＝ ± x.a3反省与感悟议论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，而后依据双曲线两种形式的特色获得几何性质.追踪训练 1 求双曲线 x 2－ 3y 2＋ 12＝ 0 的实轴长、 虚轴长、 焦点坐标、极点坐标、渐近线方程、离心率 .22解 将方程 x 2－ 3y2＋ 12＝0 化为标准方程 y 4 － 12x＝ 1，∴ a 2＝ 4， b 2＝12， ∴ a ＝2， b ＝ 2 3， ∴ c ＝ a 2＋ b 2＝ 16＝ 4.∴ 双曲线的实轴长 2a ＝ 4，虚轴长 2b ＝ 4 3.3焦点坐标为 F 1(0，－ 4)，F 2(0,4)，极点坐标为 A 1(0，－ 2)，A 2(0,2)，渐近线方程为 y ＝ ±3 x ， 离心率 e ＝2.题型二 依据双曲线的几何性质求标准方程例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：(1) 一个焦点为 (0,13)，且离心率为13； 51(2) 渐近线方程为y ＝ ± x ，且经过点 A(2，－ 3).2解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c ＝13，又 c ＝ 13， ∴ a ＝ 5， b ＝ c 2－a 2＝12，a 522故其标准方程为 25y － 144x ＝1.1(2) 方法一∵双曲线的渐近线方程为y ＝ ± x ，2若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2 y 2b1 .①2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则a ＝ab249∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ a 2－ b 2＝ 1.②联立 ①② ，无解 .若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 x 2a1 .③2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则b ＝ab294∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ 2－ 2＝ 1.④ab联立 ③④ ，解得 a 2＝ 8， b 2＝ 32.22∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.方法二由双曲线的渐近线方程为1 x2 2y ＝± x ，可设双曲线方程为2－ y ＝ λ(λ≠ 0)，22∵ A(2，－ 3)在双曲线上，2∴ 22－ (－ 3)2＝ λ，即 λ＝－8. 22 2∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.反省与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点地点明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点地点不明确时，应注意分类议论，也能够不分类议论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn>0)，进而直接求出来 .当双曲线的渐近线方程bx 2y 2为 y ＝ ±22a x 时，能够将方程设为 a －b ＝ λ(λ≠0).追踪训练 2依据条件，求双曲线的标准方程 .(1) 与双曲线 x 2 － y 2＝ 1 有共同渐近线，且过点 (－ 3， 2 3)；9 1622(2) 与双曲线 x － y＝ 1 有公共焦点，且过点 (3 2， 2). 16 4解(1)设所求双曲线方程为 x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)，9 16由题意可知－ 322 3 21 9－16 ＝ λ，解得 λ＝ .422∴ 所求双曲线的标准方程为 x － y＝1. 9 44(2) 设所求双曲线方程为x 2 － y 2 ＝ 1(16－ k>0， 4＋ k>0) ，16－ k 4＋k∵ 双曲线过点 (3 2， 2)， ∴32 2－4＝1，16－k 4＋ k解得 k ＝ 4 或 k ＝－ 14(舍去 ).∴ 所求双曲线的标准方程为x 2 － y 2 ＝ 1.12 8题型三 直线与双曲线的地点关系例 3直线 l 在双曲线x 2－y 2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为 2，求直线 l 的方程 .3 2解 设直线 l 的方程为 y ＝ 2x ＋ m ，y ＝ 2x ＋ m ，得 10x 2＋ 12mx ＋ 3(m 2＋2)＝ 0.(*) 由 x 2 y 2－ ＝1，3 2设直线 l 与双曲线交于 A(x 1， y 1) ，B(x 2， y 2)两点，由根与系数的关系，得 x 1＋ x 2＝－ 632＋ 2).5m ， x 1x 2＝ 10(m又 y 1＝ 2x 1＋ m ， y 2＝ 2x 2＋ m ，∴ y 1－ y 2＝ 2(x 1－ x 2)，∴ AB 2 ＝(x 1－ x 2)2＋ (y 1－ y 2)2＝ 5(x 1－ x 2) 2 ＝ 5[(x 1＋ x 2)2－ 4x 1x 2]36 2 －4×3 2＝ 5[m 10(m ＋2)].25∵ AB ＝ 4， ∴36m 2－ 6(m 2＋ 2)＝16. 5∴ 3m 2＝70， m ＝ ±2103.由 (*) 式得＝ 24m 2－ 240，把 m ＝ ±210代入，3210得 >0， ∴m 的值为 ± 3.210∴ 所求直线 l 的方程为 y ＝ 2x ± 3 .反省与感悟直线与双曲线订交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转变成对于x或 y 的一元二次方程 .要注意根与系数的关系，根的鉴别式的应用 .若与向量相关，则将向量 用坐标表示，并找寻其坐标间的关系，联合根与系数的关系求解.2追踪训练 3设双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a>0) 与直线 l ： x ＋ y ＝ 1 订交于两个不一样的点A 、 B.a(1) 务实数 a 的取值范围；→ 5 →(2) 设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，若 PA ＝PB ，求 a 的值 .12x 22解(1)将 y ＝－ x ＋ 1 代入双曲线方程a 2－ y ＝ 1(a>0) ，得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2＝ 0.1－ a 2≠0，依题意有＝ 4a 4＋ 8a 2 1－ a 2 >0 ，所以 0< a< 2且 a ≠ 1.(2) 设 A(x 1 ，y 1)，B(x 2， y 2)，依题意得 P(0,1) ，→5 →5因为 PA ＝ 12PB ，所以 ( x 1， y 1－1)＝ 12(x 2， y2 －1).5由此得 x 1＝ 12x 2.2 222的两根，且 2≠ 0，因为 x 1， x 2 是方程 (1－ a )x ＋ 2a x － 2a ＝ 0 1－ a所以17x2＝－2a22，5x22＝－2a22. 121－ a121－ a消去 x2得－2a228917.2＝60.由 a>0，解得 a＝13 1－ a例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.剖析(1) 点 P 是弦 P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程构成方程组，联合根与系数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假定直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k 的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，考证根的状况.解(1)若直线的斜率不存在，即P1 P2⊥x 轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x 轴上，不行能是点P(2,1)，所以直线l 的斜率存在 .故可设直线l 的方程为y－ 1＝ k(x－ 2)，即 y＝ kx－ 2k＋ 1.2x2－ y2＝ 2，由消去 y 并化简，y＝ kx－2k＋ 1得 (2－ k2)x2＋2k(2k－ 1)x－ 4k2＋ 4k－ 3＝0.设直线 l 与双曲线的交点为P1 (x1， y1)， P2(x2，y2).①当 2－k2≠0，即 k2≠ 2 时， x1＋ x2＝－2k 2k－ 12 . 2－ k因为点 P(2,1)是弦 P1P2的中点，k 2k － 1所以－2－k 2＝2，解得 k ＝ 4.当 k ＝ 4 时，＝ 4k 2(2k －1) 2－4(2－ k 2)( － 4k 2＋ 4k － 3)＝ 280＞0.② 当 k 2＝ 2，即 k ＝ ± 2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为双曲线不行能有两个交点.k ＝ ± 2的直线l 与综上所述，所求直线方程为y ＝ 4x － 7.(2) 假定这样的直线 l 存在，设 Q 1(x 1， y 1) ，Q 2(x 2， y 2) ，则 x 1＋ x 2＝ 1， y 1＋ y2＝ 1.22所以 x 1＋ x 2＝ 2，y 1＋ y 2＝2，且2x 12－ y 12＝ 2， 2x 22－ y 22＝ 2.两式相减，得 (2x 12－ 2x 22)－ (y 12－ y 22)＝0，所以 2(x 1－ x 2)( x 1＋ x 2)－ (y 1－ y 2)( y 1＋ y 2)＝ 0，所以 2(x 1－ x 2)－ (y 1－y 2)＝ 0.若直线 l ⊥ x 轴，则直线 l 与双曲线只有一个交点，不切合题意.所以直线 l 的斜率存在，故k ＝ y 1－ y 2＝ 2.x 1－ x 2所以直线 l 的方程为 y － 1＝ 2(x － 1)，即 y ＝ 2x － 1.y ＝ 2x － 1，由得 2x 2－ (2x －1)2＝ 2，2x 2 － y 2＝ 2，即 2x 2－ 4x ＋ 3＝ 0，得 ＝16－ 24＜ 0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，所以这样的直线不存在.解后反省在此题的解答过程中，共有 3 次用到了分类议论思想：在 (1) 中，先对直线的斜率能否存在进行了议论，再对一元二次方程的二次项系数能否为零进行了议论；在 (2) 中，也对直线能否与 x 轴垂直进行了议论 .活动三讲堂反应单2 21.双曲线 x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为 ________. 4 12答案23x 2 y 2分析∵双曲线 4 －12＝ 1 的一个焦点为 F(4,0) ，此中一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，∴点 F(4,0)到 3x － y ＝ 0 的距离为4 3＝ 2 3.22.双曲线 mx 2＋ y 2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.答案－14分析由双曲线方程 mx 2＋y 2＝ 1，知 m<0 ，则双曲线方程可化为y 2－ x 2＝ 1，则 a 2＝ 1， a ＝ 1，－ m 112又虚轴长是实轴长的2 倍， ∴ b ＝ 2，∴ － ＝ b ＝ 4，∴ m ＝－ 1.4223.双曲线 x－ y＝ 1 的渐近线方程为 ____________.16 9答案 3x ±4y ＝ 0分析 由x 2－y 2＝ 1 得 a 2＝ 16， b 2＝ 9，16 93∴ 渐近线方程为 y ＝±4x ，即 3x ±4y ＝0.2 2x y4.已知双曲线 C ： a 2 －b 2 ＝ 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为____________.22答案x － y＝ 1 20 5x 2 y 24 122分析 双曲线 C 的渐近线方程为a2－b 2＝ 0，点 P(2,1)在渐近线上， ∴a 2－ b 2＝ 0，即 a ＝ 4b ，又 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 25，解得 b 2＝5， a 2＝ 20.5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.答案6 2分析 设双曲线的焦点为 F 1(－c,0)， F 2(c,0)，虚轴两个端点为 B 1(0，－ b)， B 2(0， b)，∵ c>b ，∴ 只有 ∠B 1F 1B 2＝ 60°，∴ tan 30 ＝° b， ∴c ＝ 3b ，c2222c 3b 6又 a ＝ c － b ＝ 2b ，∴ e ＝ a ＝ 2b ＝ 2.活动四 讲堂小结x 2y 2 1.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a 2－ b2＝ 1 (a>0， b>0)右侧的常数1 换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝ 0 变成 a 2x 2 － b 2 y 2＝ λ(λ≠0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程.2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质．学习过程一、课前准备：（预习教材理P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1ce a =>．渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=． 问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率2e=，经过点(5,3)M-；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．※动手试试练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展 与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a b λ-= (0)λ≠ 学习评价※ 当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ） A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是 （ ）A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3．双曲线22148x y -=的离心率为 （ ） A ．1 B 23．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ． 课后作业1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。

2.3.2 抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为22(0)y px p=>∵()22324p=∴32p=∴抛物线的标准方程为34x=-⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为22(0)x py p=>∵24223p=∴433p=∴抛物线的标准方程为233y=-例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。

已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为22(0)y px p=>，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：230240p=，254p=所以所求抛物线的标准方程为2452y=，焦点坐标是.例3 过抛物线pxy22=的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

2.2.2 双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．教学重点双曲线的简单几何性质及其探究过程。

教学难点利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教学双曲线的性质①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。

即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

策略手段③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

例1. 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于（）A B C D2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1课时练习1. (2011年高考安徽卷文科3)双曲线的实轴长是（）（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【答案】C【解析】可变形为，则，，.故选C. 2．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。