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第一篇物质、运动与时空物体形状大小及其相互位置关系产生空间的概念. 古典力学, 也称为牛顿（I. Newton, 英国, 1564-1642）力学, 设想物体的力学状态可以归结为一些抽象质点的位置和运动. 质点带有质量但没有大小和形状. 根据经验, 需要三个实数才能指定一个质点相对另一选定质点的位置. 因此, 一个质点的自由度等于3, 古典力学的物理空间是三维的. 一般的宏观物理对象确实可以很好地用质点或质点组来描写. 但把质点概念应用到微观系统被证明是行不通的. 物质的基本单元是什么? 有多少自由度？再进一步, 物质是否能还原为基本组分？这些问题都仍然没有定论. 除了自由度有限多的物体之外, 还有自由度无限多的物质, 例如光、引力场等. 在本篇中, 我们仅讨论自由度有限的物体, 以质点为基本研究对象.物体运动, 即物体状态的变化, 是一个连续的过程, 状态的出现有先后次序. 由此经验产生时间的运动学概念, 即可以用一个称为时间的实数标记物体所出现的每一个状态, 使这些状态按照时间的大小（即先后）排成序列. 先出现的状态可能对后出现的状态有影响, 而后出现的状态则不可能对先出现的状态产生影响, 这个原则称为因果律. 古典力学的因果律体现为, 在某时刻给定物体一个完整状态后, 可以通过基本力学规律预言以后所有时刻物体的状态. 但是基本物理规律本身却不包含时间的方向. 假如让时间改变一个符号，未来与过去对调，绝大部分简单的物理过程都满足同样的物理规律, 此称为时间反演不变性1. 而拥有大量自由度的系统, 如果不加外部的干涉, 总是自发地向着特定的方向演化, 这个过程是不可逆的, 没有时间反演不变性. 这个规律得到无数实验和经验的支持, 从而成为因果律和时间单向性的重要经验依据, 产生了统计学的时间概念. 宇宙演化也呈现因果顺序和单向性, 给出了宇宙学的时间概念. 上述三种时间概念有相似性, 但还不能完全统一起来. 本课程所谈论的时间是运动学时间, 其本质是用来描述状态之间的因果关系和计量状态变化快慢的参数. 问题是, 对所有物体及其所有状态, 是否都可以用同一个时间参数来描写他们的次序？更进一步, 是否必须用同一个时间参数？给所有状态统一地赋予一个称为时间的实数标记, 能够和谐一致地描写日常经验的物体运动. 因此人们普遍接受单一时间参数. 在超出日常经验的情形, 如微观世界、接近光速的运动、引力极强的特殊天体甚至整个宇宙的演化等, 统一的时间标记可能会遇到困难.牛顿的古典时空观认为存在独立于物质世界的抽象时空. 而按爱因斯坦（A. Einstein, 德国-美国, 1879-1955）相对论的观点, 空间和时间与物质的存在和运动有关, 可以把时空理解为物质存在及其运动的一种体现. 宇宙学或许不排除绝对时空, 但其意义一定和牛顿的抽象时空不同. 总之, 时空观不是先验的, 仅靠思辩不能判明时空理论的正确性. 合理的时空假说必须能够协调我们关于客观世界的所有经验并使之纳入和谐而简洁的观念体系. 关于时空的理论仍在发展之中, 大概还没有一致的终极看法. 不同时空假说下得到的物理理论体系在不同的程度符合经验和实验, 同时也存在各自的缺陷. 保持怀疑和批判眼光是必要的, 但即使我们知道这些理论并非完全正确, 我们也要学会欣赏已有的理论及建立这些理论的过程. 因为我们将要讲述的理论都是前人以极高超的智慧建立起来的，并且在非常广阔的领域经受过实验的检验.本篇将试图演示如何在特定时空假说下建立物质运动的经典（非量子）理论体系. 内容将不涉及具体物质的真实结构, 除了引力之外将不涉及其他具体的相互作用. 引力之所以不可回避是因为它和时空有特殊的联系. 在第一章和第二章, 我们将先后介绍牛顿力学和爱因斯坦狭义相对论关于时空的理论. 不同时空观的特点在参考系变换中充分地反映出来. 牛顿绝对时空的特点体现为伽利略（G. Galilei, 意大利, 1564-1642）变换. 而狭义相对论时空的1目前只在一些介子的弱衰变中发现很弱的违反时间反演不变性的迹象.特点则体现为洛伦兹（H.A. Lorentz, 荷兰, 1853-1928）变换. 爱因斯坦的广义相对论给出把物质、运动与时空统一起来的一种可能性, 其基本原理将在第三章介绍. 第一章 牛顿力学 尽管牛顿时空观和现代的相对论时空观不一致, 但是牛顿力学作为相对论的低速近似仍然能够描述包括人们日常经验在内的很多物理现象. 本章以牛顿时空观为基础, 讨论惯性原理和伽利略相对性原理. 牛顿时空的结构体现为惯性系之间的伽利略变换. 惯性原理、伽利略相对性原理和牛顿第二定律构成牛顿力学的核心. 牛顿力学的重要概念, 动量、功、动能、势能等, 将被依次介绍. 本章将强调机械能守恒定律和动量守恒定律. 守恒定律的重要性在于建立了运动初态和末态的一种联系, 使人们不用计算复杂的中间过程就能对末态作出某种预言. 作为力的重要实例, 最后介绍了牛顿引力理论. 1.1 古典时空观 为了使质点位置x 有测量的意义, 需要选定进行测量的参考系, 并在参考系上建立一个坐标架. 这样, x 的坐标就可以用数值明确地表示出来. 因为空间是三维的, 每个质点的位置需要三个数值才能被确定. 注意参考系是一个物理概念, 而坐标架是一个数学概念. 常用的坐标架有（图1-1）： (1)笛卡儿坐标（即线性直角坐标） )(321,x ,x x =x 坐标为x 的位置相对某参考点0x 的位置称为位矢, ),,(),,(3213032021010x x x x x x x x x ∆∆∆≡−−−=−=x x r (2)柱坐标 ),,(z ϕρ=x , 与笛卡儿坐标的关系为ϕρcos 1=x , ϕρsin 2=x , z x =3(3)球坐标 ),,(ϕθr =x , 与笛卡儿坐标的关系为 ϕθcos sin 1r x =, ϕθsin sin 2r x =, θcos 3r x =图 1-1. 质点位于r 位置. 描写质点位置的常用坐标架有笛卡儿坐标, 柱坐标, 和球坐标（见正文）.在实际计算中, 根据系统的对称性选用合适的坐标架常会带来很大的方便. 例如对具有平移对称性的系统选用笛卡儿坐标, 柱对称系统选用柱坐标, 球对称系统选用球坐标. 牛顿力学认为, 每一时刻质点占据着空间某一点x . 如果没有任何参考点, 一个质点在空间的位置没有物理意义, x 只是一个不可测量的数学记号. 仅当参考点（一般假定为坐标架的原点）给定, x 才成为一个物理量. 空间点x 相对另一点0x 的位置由0x x r −=描写, 称为位移矢量（或简称位矢）. 可把x 也看作位矢, 即约定了坐标原点)0,0,0(0=x 为参考点. 牛顿力学进一步假定物理空间服从欧几里德几何学2. 在欧几里德空间, 位矢x 可以看作从原点连接到空间点x 的带方向的直线, 称为矢量. 选定坐标架后, 三维空间的矢量可以用三个坐标表示. 但矢量本质上不依赖于坐标架, 矢量在不同坐标架的不同坐标仅是它的不同表达方式而已. 牛顿力学认为空间的性质与发生在空间的物理事件无关, 因此空间两点的相对位移矢量r 是绝对的, 与测量的方式无关, 与物质的存在和运动无关, 从而与参考系和时间无关. 按照欧几里德几何, 两个位矢x 和x ′相加（减）遵从平行四边形法则, 在笛卡儿坐标中表现为坐标分别相加. 位矢x x x ′−=∆的大小（即空间x 和x ′两点之间的距离）在笛卡儿坐标中由下式给出, 233222211)()()(||x x x x x x ′−+′−+′−=∆⋅∆=∆x x x （1.1） 由上式计算的距离和由平行四边形法则得到的结果一样. ◆ 例1-1 笛卡儿坐标. 笛卡儿坐标架（只画出两个维度的坐标架, 如图1-2）. 用平行四边形法则得到的位矢和用坐标分别相加得到的一样.■物理空间为欧几里德空间的假说原则上可以通过实验证实或证伪. 例如测量三角形的内角和, 看它是否等于欧几里德几何所预言的180度. 仅通过距离的测量原则上也可以检验欧几里德几何是否适用于物理空间. 例1-2给出一个概念简单但实际上不可能应用的判据. 现代宇宙学已经获得有力的实验证据表明, 现在的宇宙非常接近欧几里德空间, 其惊人的接近程度甚至引起人们的困惑3. 经验告诉我们, 欧几里德空间至少是物理空间非常好的近似. 牛顿想象空间是均匀的、 2欧几里德几何的特点：两条平行线如果不完全重叠, 就没有任何交点；两个位矢相加遵从平行四边形法则. 3 《物理宇宙学讲义》, 9.5节, 俞允强, 北京大学出版社 图1-2. 图中位矢)0,5,5(=x , )0,2,1(=′x . 位矢)0,3,4(=∆x ,距离为5||=∆x .无限的. 原则上存在所谓标准尺子, 无论何时何地, 无论静止还是运动, 标准尺的长度都一样. 用标准尺子量度宇宙万物的尺度、距离, 所得的结果将协调一致. ◆ 例1-2 通过测量距离检验物理空间的欧几里德性. 考虑六面体如图1-3. 我们可以量出每两个顶角之间的距离, 共有10段这样的距离. 测定每段距离后, 由（1.1）式给出关于坐标的10条方程. 5个顶角总共有15个坐标. 但在不影响顶角之间距离的条件下, 可以选定一个顶角为坐标原点（例如选顶角B 为原点, 使其3个坐标等于零标）, 并把六面体中间的三角形BCD 放在X-Y 平面上（使D 和C 顶角的Z 坐标为零）, 还可以让直线BC 落在Y 轴上（C 顶角的X 坐标等于零）. 结果只剩下9个可以随顶角之间的距离变化的坐标. 从顶角距离给出的10条方程中消去这9个坐标变量, 得到关于10段距离一个恒等式. 在欧几里德空间中, 这条恒等式必须被实验测得的10段距离所满足. 如恒等式不被试验数据满足, 则物理空间不是欧几里德空间. 可证, 通过测量五个或五个以上点之间的距离都可以得到和上例类似的检验欧几里德几何的判据.C ■ 时间在牛顿力学中也被认为具有绝对意义, 即存在一种不依赖于任何参考系的时间, 两个事件发生时间的间隔, t t t ′−=∆, 是绝对的, 与参考系无关. 牛顿认为时间均匀地流逝着, 无始无终. 原则上存在所谓标准时钟, 无论何时何地, 无论静止还是运动, 标准时钟的周期都相同. 宇宙万物互相协调地按照标准时钟的节拍运动. 爱因斯坦指出牛顿绝对时空观不自然之处：“绝对的（absolutum ）”不仅意味着“物理上真实的”, 并且还意味着“在其物理性质上是独立的, 具有物理效应的, 但本身却不受物理条件影响的”（爱因斯坦, 《相对论的意义》, 科学出版社, 1979）. 因此, 尽管牛顿时空观和我们的日常经验一致, 它并不“显然”适用于整个宇宙. 实际上当物体运动速度接近光速时, 或当引力场变化非常剧烈时, 牛顿关于时空的假说是不对的（见第二、三章）. 牛顿绝对时空观：物理空间没有边界, 是三维的欧几里德空间；时间均匀连续地流逝, 对应一维有向参数空间；空间距离||x ∆和时间间隔t ∆与测量他们的参考系无关, 与物质的存在和运动无关；空间和时间之间没有关系. 1.2 惯性原理 如果存在绝对的空间, 参考系相对绝对空间的运动方式不同便有可能使参考系具有不图 1-3. 六面体,顶角为ABCDE. 三角形BCD 放在XY 平面上.同的特点. 为了证明某些参考系比其他参考系更适合于描写自然, 牛顿设计了著名的水桶实验（图1-4）. ◆ 牛顿水桶实验 以地面为参考系. 开始的时候让水桶和桶中的水静止, 然后让水桶绕着它的中轴线转起来. 当桶中的水也跟着转起来时, 我们将看到水面逐渐向下凹下去, 由平面变成曲面. 当水获得和水桶一样的转速时, 水相对桶没有运动, 水面仍然会维持一个稳定的曲面. 接着让水桶停止转动. 我们将看到水的转速逐渐缓慢下来, 水面也由曲面逐渐回复平面形状. 另一观点：让我们采用一个绕水桶中轴线相对地面转动的参考系, 其角速度固定为水桶的最大角速度. 在这个旋转参考系中观察上述过程, 将先看到以一定角速度转动的平坦的水面. 随着角速度减少, 水面变成曲面, 当水静止时, 曲面最陡. 然后, 水又相对参考系转动起来, 直至到达开始时的转速. 在这个过程中水面逐渐回复到平面形状. 结论：从水桶实验中观测到的物理规律在两个参考系中有不同的表述. （1）在地面参考系的规律为“静止的水面是平的”；（2）在转动参考系的规律为“水以某一特定的转速转动时, 水面是平的”, “静止的水面有一个特别的曲面形状”. ■ 牛顿水桶实验告诉我们, 物理规律在某种参考系中的表述会比另一种参考系中的表述简单. 例如, 在地面参考系中, 水面是否成平面的规律只与水有没有运动有关, 而在转动参考系中, 则涉及一个特定的角速度, 后者比前者复杂. 牛顿的原意是想通过水桶实验证明存在所谓绝对运动：水面是否弯曲和水相对水桶有无运动无关, 因此可以认为水面的弯曲是由于水相对一个特别参考系（绝对空间）的绝对转动引起的. 牛顿的绝对运动受到马赫的有力质疑：难道水面弯曲的原因不可以是因为水相对宇宙的其他物质在运动吗？设想桶的质量和行星的质量可以比拟, 当水桶转动时也可能因为引力效应引起水面弯曲4, 这时“水桶”的引力作用和水的所谓绝对转动导致的水面弯曲现象将无法区分. 按照马赫的观点, 包括旋转在内的运动都是相对的；没有什么绝对空间, 水的旋转无非是相对于远方星体总和的相对运动. 由于加速度只有相对其他物质运动才有意义, 物体的惯性质量必然会依赖于其他物质的存在. 狭义相对论把惯性质量和能量联系起来（第二章）；广义相对论进一步把惯性质量和引力质量相等起来, 加速运动的局域效应等价于引力效应, 从而所有参考系(包括转动参考系)都是平等的（第三章）. 相关实验最近取得重要进展5. 尽管牛顿想象的独立于物质的绝对时空可能不存在, 但存在一些特别方便的（至少对平常的物理实验而言是方便的）参考系显然符合我们的经验. 例如地面就是我们最熟悉的一个方便的参考系, 如不特别指明, 参考系通常都是指地面. 我们希望知道一个普遍原则, 根据它能够找到简单的参考系, 在其中物理规律的表述最简单. 为此, 我们回忆伽利略讨论过的 4 参见：《新概念物理教程——力学》, 赵凯华、罗蔚茵, 高等教育出版社, 94-99页. 5 绕地球飞行的装有精密陀螺的Gravity Probe-B 探测器2007年公布初步实验结果证实地球引力引起的陀螺进动, 并可能证实Lense 和Thurring 根据爱因斯坦广义相对论预言的地球自转对陀螺的引力效应. 参见Gravity Probe-B 主页. 图1-4. 牛顿水桶.一个简单而又重要的例子：斜面运动.◆ 伽利略斜面运动s∝, 伽利略测量了球在光滑斜面上滚动的所需的时间, 得到滚动距离与时间的关系2t从而确定球作匀加速运动.伽利略还得到, 如果可以忽略斜板和球的变形以及相互摩擦等因素, 从相同高度开始下落的球有相同的末速率, 与斜板角度无关. 伽利略进一步推断, 在下落的反演运动中, 相同的速率将可以达到相同的高度, 与斜板角度无关.图1-5中, 球沿AB斜面运动, 在B点获得一定的速率. 接着如分别沿BC, BD, BE, BF 斜面运动, 将分别到达C, D, E, F各点. 因为以上几段路程一条比一条长, 所以所需时间也越来越长, 他们的加速度（减速度）的大小也逐渐减少. 伽利略推断, 沿水平方向运动的加速度大小等于零, 球将一直以已获得的速度永远向前运动.A C D E F图1-5. 伽俐略斜面运动.B H■伽利略概括道：“我们可以认为, 只要除掉使物体加速或减速的外部原因, 运动物体必将严格地保持它一旦获得的速度. 这种条件仅在水平面上可以得到；因为在向下倾斜的平面上已经存在加速的原因, 而向上倾斜的平面上则存在着减速的原因；由此得知, 在水平面上的运动是永恒的, 因为如果速度是均匀的, 它就不可能减少或变缓, 更不可能消失掉. ”上面第一句陈述实际上是物理学的一个基本原理, 其结论对后来的伽森狄（P. Gassendi,1592-1655）和牛顿等提出惯性原理应该有重要的启发. 但受圆形行星轨道信念的影响, 伽利略心目中的在水平面上的永恒运动实际上绕地球中心的圆周运动6.伽森狄引申出惯性定律：“设想把石块投入虚空之中, 在那里既没有什么东西吸引它, 也没有什么东西使它返回或者对它有丝毫的阻碍, 那么它的运动将是均匀的和永恒的. …这块石头将由于自身的运动而沿着原先投入的方向无止境地向前运动. ”牛顿把这个思想上升为普遍的物理原理：惯性原理（牛顿第一原理）：任何物体, 只要没有外界的相互作用改变它的状态, 将永远保持静止或匀速直线运动的状态.在排除了摩擦力、空气或液体的阻力等非本质因素之后, 惯性原理在相对地面的水平运动中相当精确地成立. 实验发现, 惯性原理在太阳参考系中符合得更好, 而以银河系为参考系又比太阳参考系更好.惯性原理就是寻找简单参考系的普遍原则. 我们把惯性原理在其中成立的参考系称为惯性系, 在惯性系中的匀速直线运动称为惯性运动.如何知道物体没有受到外力作用（或任何外界的相互作用）呢？与之相关的问题是, 如何建立惯性系？到目前为止, 我们已经知道自然界存在四种基本相互作用, 它们分别是引6《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》, 伽利略, 37, 179, 195页, 上海人民出版社（1972）力、电磁力、强相互作用力和弱相互作用力7. 强作用力和弱作用力都是短程力, 其作用随距离指数地减弱. 电磁力和引力是长程力, 按距离平方减弱. 我们知道有些物体是不带电的, 因此不受电磁力的影响. 设想一个电中性的物体, 离任何其它物体都非常之远, 我们就有把握说它不受电磁力、强作用力和弱作用力的影响. 如果没有引力, 就可以用一个远离其它任何物体的中性物体作为标准的惯性系. 有了一个标准惯性系之后, 原则上就可以找到其它的惯性系. 相对标准惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系, 否则不是惯性系（参见下面关于（1.5）式的讨论）.引力的存在引起真正的麻烦. 所有的物体都会受到引力作用. 尽管引力很弱, 但整个宇宙的质量原则上都会对一个物体起作用. 总的效果, 特别是在大时空尺度上的效果, 是难以忽略的. 幸好通常关心的物理过程总是小尺度、小时间间隔的过程（相对星体演化而言）. 所以把遥远的星体作为标准的惯性系实际上是相当理想的.但本质上, 所谓相互作用就是使物体运动偏离匀速直线运动的原因. 让我们看一个例子.◆ 自由落体实验塔顶上掉下来的铁球, 相对地球参考系, 作自由落体运动, 加速度等于9.8米/秒2. 在地球参考系中惯性原理在垂直地面的方向不适用. 我们知道其原因是铁球受到引力相互作用. 考虑一台垂直下降的升降机, 其初速和铁球一样且加速度也等于引力加速度9.8米/秒2. 那么铁球相对于升降机是静止的. 假如惯性原理在升降机参考系中也成立, 人们会认为在升降机参考系中铁球没有受力. 牛顿力学坚持引力还是存在的, 但升降机参考系不是惯性系, 所以惯性原理不成立. 但如果不考虑升降机以外的世界, 认为升降机是惯性系而不存在引力（被某种力抵消了）8, 又有什么不对呢？■爱因斯坦指出：“惯性原理的弱点在于它含有循环的论证：如果一个质量离开其他物体足够遥远, 它就作没有加速度的运动；而我们却又只能根据它运动时没有加速度的事实才知道它离其他物体足够遥远”9. 这种逻辑循环是所有理论体系的基本原理的共同特点. 如果把惯性原理作为一条基本原理, 就不能通过理论或有限次实验严格地证明或证伪惯性原理. 那么从逻辑上说, 惯性原理的正确性仅是一种约定. 这种约定之所以被采用, 是因为物理定律在这种约定下非常简单、自然, 而还没有发现其他更好的替代品. 惯性原理的正确性是由建立在惯性原理上的整个物理理论的简单性、内部协调性、和普遍适用性所保证的. 这样的保证只能是阶段性的, 并不意味它是终极真理或唯一选择. 如果考虑宇宙整体, 情况有可能会发生戏剧性变化10. 宇宙背景探测器COBE（Cosmic Background Explorer）以非常高的精度指出了一个独特的参考系——宇宙微波背景辐射, 它高度均匀和各向同性, 可能成为天体运动的理想参考系. 而精度更高的WMAP(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)给出宇宙微波背景辐射的微小涨落, 这些涨落与宇宙历史和结构的联系引起人们极大的研究兴趣. 关于宇宙学的研究反过来也会对物理学基本原理产生巨大的影响.1.3伽利略相对性原理和伽利略变换7电磁力和弱相互作用力合称电弱相互作用已经有一个相当可靠的统一理论. 人们希望能建立一个关于所有相互作用的统一理论——爱因斯坦的梦想. 大半个世纪过去后, 朝这个方向的努力取得很多积极进展,但还远未成功.8广义相对论通过把加速运动和局域引力场等效起来, 使加速参考系和惯性参考系处于平等的地位.9《相对论的意义》, A. 爱因斯坦著, 李灏译, 科学出版社, 197910前注3.有无数多种参考系可供选择. 参考系之间的关系在物理学中意味深长. 参考系之间的变换远远不止于提供具体计算的方便, 更重要的是, 变换的方式反映了物理时空的基本性质, 并且对物理规律有巨大的限制. 我们正以每秒约30公里的速度绕太阳运动, 但却不容易在日常生活中察觉这个事实. 因为地球参考系并没有什么特殊性, 可以想象存在一些等效的参考系, 在这些参考系中物理规律是一样的. 根据直观和实验, 伽利略提出相对性原理： 在任意惯性系中, 所有的力学规律都是一样的. 伽利略相对性原理与几乎所有已知实验相容, 但最近也受到挑战. 与相对性原理相关的一个问题是, 在所有的惯性系之中, 有没有一个或一些特别的惯性系呢？前面已经提到的宇宙微波背景辐射很有可能就是一个特别的唯一的参考系, 它和宇宙的整体结构和历史有关. 由于多普勒效应, 在相对微波背景辐射运动的参考系中测量到的微波背景与相对速度有关11. 由此可以得到参考系相对微波背景辐射的运动速度. COBE 测得的地球相对宇宙微波背景辐射的速率为)1369(±公里每秒, 银河系的速率约为310公里每秒. 但是, 即使存在一个特殊的参考系, 即使相对它作匀速直线运动的参考系会测量到不同的物理结果, 还不能排除所有惯性系中物理规律一样的可能性. 尽管COBE 实验似乎暗示另一种可能性, 或者提示了实验验证伽利略相对性的可能性, 从而使它从原理降为假说, 伽利略相对性对不牵涉到宇宙尺度的物理问题仍然非常有效, 没有发现与之不协调的现象. 本课程将不考虑宇宙学问题引起的复杂性, 仍然把伽利略相对性作为一条基本原理来看待. 时空结构是力学规律的重要内容, 因此牛顿空间的距离||r ∆和时间间隔t ∆与惯性系无关是伽利略相对性原理所要求的. 上一节讨论的惯性原理也是一个力学规律, 同样应该满足伽利略相对性原理. 所以, 在某一个惯性系匀速直线运动的质点, 在任何惯性系都作匀速直线运动. 为了保证这一论断成立, 两个惯性系之间的坐标和时间变换必须是线性变换. 考虑惯性参考系Σ到另一惯性参考系Σ′的坐标变换, 设Σ′相对Σ以速度0υ匀速运动. 在两个惯性系中使用相同的笛卡儿坐标架, 用同样的标准尺子作空间坐标的度量单位, 同样的标准时钟作时间计量单位. 不失一般性, 当0=t 时令0=′t , Σ′和Σ的坐标架重合；取X 和X ′轴沿着惯性系Σ′相对Σ运动的速度方向. 以后讨论两个惯性参考系之间的时空坐标变换时, 如不特别声明将如此例选择两个惯性参考系的坐标架和时钟, 称为“一对指定惯性系” （图1-6）. 质点的坐标在一对指定惯性系之间最一般的线性变换关系为 bt ax x +=′ （1.2a ） 其中a 和b 为常数, 与所讨论的质点和时间无关而只依赖于两惯性系的相互关系. 根据牛顿时空观, 两惯性系的物理时间间隔是一样的. 由于在一对指定惯性系中采用相同的时间单位, 而且时间的原点一样, 所以两惯性系的时间相等 t t =′ （1.3） 考虑在Σ′惯性系中沿X ′轴摆放的两个静止质点, 设他们相距x ′∆. 这两个质点相对Σ惯性系运动着, 因此在Σ中测量他们的空间间隔必须在同一时刻进行, 即空间间隔是同一时刻（0=∆t ）测量到的两个质点的坐标差x ∆. 因为（1.3）式, 0=∆t 意味着0=′∆t . 由（1.2a ）式, x a x ∆=′∆(用到0=∆t ). 根据牛顿时空观, 两惯性系测得的空间间隔是一样的. 用同样的标尺量度同样的物理间隔, 必然得到同样的数值（这个数值就是坐标差）. 而我们已经 11《物理宇宙学讲义》, 6.5节, 俞允强, 北京大学出版社。
理论力学教案课程名称理论力学任课教师曾奇军所在系（院）物理电子工程学院任课班级物理学本科信阳师范学院《理论力学》课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。
（五）教学参考书：1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。
2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。
3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。
（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。
并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。
（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。
绪论一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。
是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。
二：《理论力学》与《力学》的区别和联系1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。
2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。
《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。
三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。
第一章牛顿动力学方程教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。
教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。
教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。
§1.1 牛顿的《原理》奠定了经典力学的理论基础一：经典力学的理论基础——牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。
在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。
在物理学中将以《原理》为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。
二：经典力学的物质观、时空观及运动观。
1. 物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。
力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。
2. 物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。
3. 牛顿力学的物质观、时空观及运动观。
（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。
（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。
牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。
在绝对空间中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。
物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。
一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。
（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。
另外还包括万有引力定律。
此外在《原理》一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。
三：牛顿运动三定律 1：运动三定律：第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。
第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。
第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。
其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为F dtv m d=)( （1.1） 如果将物体质量m 看成常量，上式可改写为F dt v d m= 或F dtr d m=22 （1.2） 2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。
意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。
因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。
3：伽利略变换。
设参考系S 和S ’均为惯性系且S ’相对于S 以匀速u 运动，那么这两个参考系之间的时空坐标的变换关系为： ⎩⎨⎧'=+'=t t tu r r （1.3）将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。
四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。
五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。
简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。
因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。
这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。
统一性：指《原理》中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。
真理性：就是承认的相对性和绝对性。
六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。
一：牛顿第二定律：F dtv m d=)( （2.1） 在经典力学中物体的m 为常数，牛顿定律变为：F dt r d m F dt v d m ==22,或。
一般情况下F 为坐标、速度和时间的函数，即),,(t r r F F= （2.2），所以牛顿第二定律可进一步表示为：),,(),,(t r r F dt v d m t r r F r m==或 （2.3） 此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。
根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。
二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：1.直角坐标系：空间任一点P 位置可用x 、y 、z 三个参数来表示，用i 、j 、k 分别表示沿x轴、y 轴、z 轴的单位矢量，则空间任一点P 的位置矢量可表示为：k z j y i x r++= （2.4）进一步可得k z j y i x r v ++==及k zj y i x r a ++== （2.5）牛顿第二定律的可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧===)t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F zm )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F y m )t ,z ,y ,x ;z ,y ,x (F x m z y x （2.6） 2.平面极坐标系：平面上任一点P 的位置可用参数r 、θ来表示。
e r 和e θ分别表示矢径r 增加方向和极角θ增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P 点的运动而改变，则位矢r e r r= （2.9）。
由图1.1可将e r 和e θ化为的函数：j i e rθθsin cos +=，i e θθθcos sin +-=进一步得θθθθe dtd de d e r r==（2.7）， r e dtd de d e θθθθθ-== （2.8）接着可求出θθe r e r r vr+== （2.10），θθθθe r r e r r r a r )2()(2++-== （2.11）， 牛顿第二定律的可表示为：⎩⎨⎧=+=-θθθθF )r r (m F )r r (m r22 （2.12） 3. 球坐标：空间任一点P 的位置可用参数r 、θ、φ示， e r 、e θ、 e φ分别表示r 、θ、φ 向的单位矢量 (如图1.2），它们的方向随着P 而改变。
将e r 、e θ和e φ化为i 、j 、k k j i e rθφθφθcos sin sin cos sin ++=，k j i eθφφθθsin sin cos cos cos -+=j i e e e rcos sin +-=⨯=φθφ，进一步可求出θφφθφθφθφθφθθφθθe e e e e e e e e r r r cos sin cos sin --=+-=+=，结合 φθθφθe sin r e r e r r v ,e r r r r ++=== 可得 牛顿第二定律的可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=--φθθθφθφθφθθφθθθφθF )cos r sin r sin r (m F )cos sin r r r (m F )sin r r r (m r2222222 （2.21）4.柱坐标：空间任一点P 的位置可用参数R 、 φ 、z 来表示， e R 、e φ、 k 分别表示相应的单位矢量(如图1.3） 。
e R 、e φ的运动而改变，而k 坐标可得：k z r R+=e R （k z e r e rr v R ++==φφ （牛顿第二定律的表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧==+=-z RF zm F )R R (m F )R R (m φφφφ22 （2.25） 5. 自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。
还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。
（1）平面自然坐标：用e t 、e n 分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图1.4）， 即e t 与任一时刻速度V 同向，显然e t 、e n为变矢量，有t e v v= （2.26）另由ρφφv dt ds ds d dt d dt e d t === 及n t e dt e d 可得n t e v e dt dv aρ2+= （2.27）进一步可得牛顿第二定律的表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n t F vm F dtdvm ρ2 （2.28）（2）空间自然坐标：①基本概念：密切面：PP 1与PP 2e t ：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，沿质点运动方向。
