下载文档原格式
第1章电力网络的数学模型及求解方法电力网络的数学模型是现代电力系统分析的基础。
例如，正常情况下的电力潮流和优化潮流分析、故障情况下短路电流计算以及电力系统静态安全分析和动态稳定性的评估，都离不开电力网络的数学模型。
这里所谓电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并(串)联电容器等静止元件所构成的总体[1]。
从电气角度来看，无论电力网络如何复杂，原则上都可以首先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析计算。
本章所研究的电力网络均由线性的集中参数元件组成，适用于电力系统工频状态的分析。
对于电磁暂态分析问题，当涉及到高额现象及波过程时，需要采用分布参数的等值电路。
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵来描述的[2,3]。
在现代电力系统分析中，我们需要面对成干上万个节点及电力网络所连接的电力系统。
对电力网络的描述和处理往往成为解决有关问题的关键[4]。
电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型。
因此。
电力网络节点导纳矩阵及其稀疏特性是本章讨论的核心内容。
节点阻抗矩阵的概念在处理电力网络故障时有广泛应用，将在1.4节中介绍。
此外，虽然关于电力网络的等值电路在一般输配电工程的教科书中都有论述，但在建立电力网络数学模型时，关于变压器和移相器的处理却有一些特点，因此1.1节中首先介绍这方面的内容。
1.1 基础知识1.1.1 节点方程及回路方程通常分析交流电路有两种方法，即节点电压法和回路电流法[3]。
这两种方法的共同特点是把电路的计算归结为一组联立方程式的求解问题；其差别是前者采用节点方程，后者采用回路方程。
目前在研究电力系统问题时，采用节点方程比较普遍，但有时以回路方程作为辅助工具。
以下首先以简单电力网络为例，说明利用节点方程计算电力网络的原理和持点。
图1—1表示了一个具有两个电源和一个等值负荷的系统。
该系统有5个节点和6条支路，y1-y6为各支路的导纳。
第一章 网络理论基础第一节 网络及其元件的基本概念一．网络基本表征量 1． 分类基本变量：)()()()(t t q t i t u ψ高阶基本变量：βαβα,()()(i u 是不为0，－1的任意整数）基本复合量：)()(t w t p2．关系ττd i t q dtt dq t i t ⎰∞-==)()()()( （1－1－1）ττψψd u t dtt d t u t ⎰∞-==)()()()( （1－1－2）)()()()(t i t u dtt dw t p == （1－1－3）τττττd i u d p t W tt ⎰⎰∞-∞-==)()()()( （1－1－4）二．多口元件和多端元件 1．二端元件 多端元件 （1） 二端元件： R 、L 、C元件约束为一个方程描述，两个独立变量。
（二端网络：一个方程描述，两个独立变量。
）（2） n 端元件：有n －1个电流和n －1个电压是独立变量，共（2n －2）个，有n －1个约束方程。
2．多端元件和“端口”的概念 （1）“双口”是最简单的多口。
（2）端口：端口电流相等。
条件：端口与端口之间无任何联系。
例： N 1不是双口网络，N 2 是双口网络。
3．n ＋1端元件与n 端元件等效 （p2图1－1－1）例：三极管任选一点为参考点，则为二端口元件。
三．容许信号与赋定关系1． 容许信号偶（Admissible Signal Pair ） p2或：元件给定的电流（压）时的电压（流）值，记{})(),(t i t u ，是一对激励和响应的关系。
2． 赋定关系（Constitutive Relation ） p2 四．网络及其元件分类依据 1． 集中参数元件 p3分布元件附：均匀传输线特性方程：p3 本书只讨论集中参数网络。
2． 时不变元件（Time-invariant ）时变元件（Time-varying ） （1） 定义：p3 （2） 应用例1：判断独立电压源t E t u ωsin )(=是否是时不变元件。
电网络理论Electric Network Theory课程主要内容概述一、 基本概念1. 矩阵代数初步在电网络分析中要出现代数的或者微分的线性方程组，当这些方程组包含着许多个方程式时，单单是编写它们和使它们具体化非常的麻烦。
矩阵表示法乃是编写这些方程组的一种简便方法；而且矩阵表示法还能简化这些方程的运算和它们的求解。
在这一节中，复习了矩阵的基本性质和矩阵代数。
如：矩阵的概念，矩阵的基本运算（矩阵的乘法、微分、积分、转置、共轭、共轭转置），矩阵的类型（对称矩阵和斜对称矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵），矩阵的逆，行列式及其基本运算等主要内容。
2 网络分类电路的特性在很大程度上决定于电路元件的特性，同时也决定于电路元件的相互连接方式。
2.1线性和非线性在电路理论中，电路的线性和非线性有两种定义，一是根据电路元件的特性来定义，二是根据输入输出关系来定义，后者称为端口型定义。
若电路的线性无源元件（具有任意的初始条件）、线性受控源及独立电源组成，则称为线性电路。
若电路含有一个或几个非线性元件，则称为非线性电路。
研究电路（或网络）的输入输出关系时，则可根据端口变量之间的关系来定义电路的线性性质，这样的定义称为端口型线性定义。
假设多端口网络的输入U 为M 维向量，输出Y 为N 维向量。
当任一端口的电压和电流服从该端口限定的约束时，称此端口的电压和电流为一对允许的信号。
若一网络的输入输出关系由微分积分方程组N （U ，Y ）=0给出，当该网络的输入输出关系既存在齐次性又存在可加性，则称为端口型线性网络。
当网络的输入输出关系不同时存在齐次性与可加性，则称为端口型非线性网络。
这一关系意味着端口型线性网络的输入输出微分积分关系式满足叠加原理。
2.2 时变和时不变一个不含时变元件的电路称为时不变电路，否则称为时变电路。
关于N 端口的时变和时不变性质，“按端口”的时变和时不变根据以下定义来考虑。
设对一个N 端口的激励和响应有：U (t )→Y (t )，Û(t )→Ŷ(t )如果对所有t 0，当Û(t )= U (t - t 0)时，有Ŷ(t )= Y (t - t 0)，则称此N 端口为“按端口时不变”网络。
电⽹络第⼀讲（⼤纲125）讲义——电⽹络理论讲义（⼀）1 ⽹络元件和⽹络的基本性质1.1 ⽹络及其元件的基本概念1.1.1 ⽹络的基本表征量（1）基本表征量分为三类：1）基本变量：电压u (t )、电流i (t )、电荷q (t )和磁链Ψ(t )。
2）基本复合量：功率P (t )和能量W (t )。
3）⾼阶基本变量：()uα和()iβ()0 1αβ≠-、，()d d k k k xxt =，2()112...()...ktt t k kx x d d d ττττ--∞-∞-∞=0k ?? ?>例如，22d d i u E t =，22d d u i D t =等基本变量和⾼阶基本变量⼜可统⼀成()u α和()i β两种变量，其中α和β为任意整数。
（2）基本表征量之间存在着与⽹络元件⽆关的下述普遍关系：()()d t u t dt ψ=(1)()()tt u u d ττ--∞ψ==?()()dq t i t dt =(1)()()tq t ii d ττ--∞==?()()()()dW t p t u t i t dt ==()()()()t t W t p d u i d τττττ-∞-∞==??（3）容许信号偶和赋定关系可能存在于（多⼝）元件端⼝的电压、电流向量随时间的变化或波形称为容许的电压—电流偶，简称容许信号偶，记作{}(),()t t u i 。
3Ω电阻的伏安关系为，3u i =，{}3cos ,cos t t ωω是容许信号偶，｛3, 1｝不是容许信号偶。
容许信号偶必须是向量或者时间的函数。
元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋定关系（本构关系) 。
（3）基本⼆端代数元件基本⼆段元件的定义为：()()()()(){}, , , ,u i u q i q ηθ∈ψψ，，，，或(), 0f ηθ=例如线性电阻元件u=iR , 电容元件q=Cu 等。
如图所⽰。
⼀般性分类：η控元件：θ＝θ(η) θ控元件：η＝η(θ)单调元件：元件既是η控的,⼜是θ控的多值元件：元件既不是η控的,也不是θ控的这个概念与数学上的函数定义可以类⽐，若η是θ的函数，则元件是θ控元件；若θ是η的函数，则元件是η控元件；若函数单调，元件既是η控的,⼜是θ控的；若η不是θ的函数，且θ也不是η的函数，则元件既不是η控的,也不是θ控的。
第一章 网络理论基础第一节 网络及其元件的基本概念一．网络基本表征量 1． 分类基本变量：)()()()(t t q t i t u ψ高阶基本变量：βαβα,()()(i u是不为0，－1的任意整数）基本复合量：)()(t w t p2．关系ττd i t q dtt dq t i t ⎰∞-==)()()()( （1－1－1）ττψψd u t dtt d t u t ⎰∞-==)()()()( （1－1－2）)()()()(t i t u dtt dw t p == （1－1－3）τττττd i u d p t W tt ⎰⎰∞-∞-==)()()()( （1－1－4）二．多口元件和多端元件 1．二端元件 多端元件 （1） 二端元件： R 、L 、C元件约束为一个方程描述，两个独立变量。
（二端网络：一个方程描述，两个独立变量。
）（2） n 端元件：有n －1个电流和n －1个电压是独立变量，共（2n －2）个，有n －1个约束方程。
2．多端元件和“端口”的概念 （1）“双口”是最简单的多口。
（2）端口：端口电流相等。
条件：端口与端口之间无任何联系。
例： N 1不是双口网络，N 2 是双口网络。
3．n ＋1端元件与n 端元件等效 （p2图1－1－1）例：三极管任选一点为参考点，则为二端口元件。
三．容许信号与赋定关系1． 容许信号偶（Admissible Signal Pair ） p2或：元件给定的电流（压）时的电压（流）值，记{})(),(t i t u ，是一对激励和响应的关系。
2． 赋定关系（Constitutive Relation ） p2 四．网络及其元件分类依据 1． 集中参数元件 p3分布元件附：均匀传输线特性方程：p3 本书只讨论集中参数网络。
2． 时不变元件（Time-invariant ）时变元件（Time-varying ） （1） 定义：p3 （2） 应用例1：判断独立电压源t E t u ωsin )(=是否是时不变元件。
证明：设{})(),(11t i t u 是任意一对容许偶，τ是任意常数，)(sin )(1τωτ-=-t E t u ，此时是一个滞后于)(t u 角度为τ的另一个电压，电源不容许有这个电压。
所以独立电压源是时变元件。
例2：证明 const R =是时不变元件。
证明：设{})(),(11t i t u 是任意一对容许偶，11Ri u =，有激励)(1τ-t i ，τ是任意常数，则)()(11ττ-=-t Ri t u ，)(1τ-∴t u 与)(1τ-t i 也是任意一对容许偶，所以R 是时不变元件。
（3）时不变网络 p4由独立电源和时不变元件组成的网络，。
本书重点讨论该种网络。
理解：t E t u ωsin )(=作为元件是时变元件，但作为激励，可组成时不变网络（电路）。
3． 线性与非线性元件 p4 （1）定义：p4 （2）应用例：（p4中间）判断电容器t c c t c ωsin )(10+=是线性元件还是非线性元件？ 解：u t c q )(= []u t c dtdi )(=设{})(),(11t i t u {})(),(22t i t u 是电容器的两个任意容许偶，[][]2211)()()()(u t c dtdt i u t c dtdt i ==∴ 设a,b 是任意常数，)()()(213t bu t au t u +=[][]{})()()()()()()(212133t bi t ai t bu t au t c dtd u t c dt dt i +=+==∴ {})(),(33t i t u ∴是一对容许偶，所以电容器t c c t c ωsin )(10+=是线性元件。
备注：线性元件 R 与u 、i 无关；C 与u 、q 无关；L 与i 、ψ无关。
（3） 线性电路（Linear Circuit ）p5由独立电源和线性元件组成。
理解：数值不恒为零的独立电源是非线性元件。
第二节 基本代数二端元件一．电阻、电容、电感元件基本性质 1．基本变量完备图 p5 图1－2－1M ——忆阻元件，忆阻器（Memory Resistor 或Memristor ） 2．n 端口元件约束 （1）电阻性二端：伏安平面上的一条曲线。
（u-i ）n 端口：电压向量与电流向量之间的关系。
（补充：电阻性双口网络）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121:I I U U Z Z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121:U U I I Y Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121:U I I U H H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121:I U U I ''H H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211:I U I U T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11'22':I U I U T T （2）电感性： dtd u iψψ=- 线性：)()()(t i t L t =ψ线性时不变：dt t di L t u )()(= （3）电容性：dtdq i uq =- 线性：)()()(t u t c t q = 线性时不变：dtt du ct i )()(= 3．几种特殊的电阻元件（1）凹电阻（Concave Resistor ）b 电路符号 c特性曲线 p6图1－2－4（2）凸电阻（Protrude Resistor ）b 电路符号c 特性曲线 p6图1－2－3（3）绝对值电阻u i = p7图1－2－5 （4） 仿射电阻：伏安曲线不过原点的直线。
（5） 零口器（Nullator ）p8图1－2－10 （6） 非口器（Norator ）p8图1－2－11应用：理想运算发大器a 连接图 a 连接图- + u(其余部分自己看书)第四节 基本代数多口元件一．线性多口电阻元件p15 图1－4－1线性变换器双口T 阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211:I U I U T T 1．广义阻抗变换器（Generalized lmpedance Convertor,GIC ）L in Z DAZ C B =∴==0(2121Di i Au u -==)（1） AD>0 正阻抗变换器 （2） AD ＝0 比例型受控源 （3） AD<0 负阻抗变换器2．广义阻抗逆转器（Generalized lmpedance Inverter,GII ）Lin Z C B Z D A 1=∴== (2121)(Cu i i B u =-=)（1） BC>0 正阻抗逆转器 （2） BC ＝0 对偶型受控源 （3） BC<0 负阻抗逆转器P19综合列表 旋转器 反照器二．非线性多口电阻元件（自学）0),(=i u F第五节 动态元件（Dynamic Element ）1．本科动态元件定义元件的电压和电流的约束关系是通过倒数或积分表达。
2．电网络中动态元件定义 p28元件的赋定关系中，u k 和i k 是否是同时以几个不同的阶次出现， u k 和i k 阶次不同——动态元件；否则——代数元件备注：只要有一种表示式属于代数元件的赋定关系，元件就属于代数元件。
3．网络元件分类图 p29图1－5－2第八节 图论的基本知识（自学）掌握：连通图 树支 连支 回路 割集第九节 图的矩阵表示及其性质自学：f f a Q B (A)A 定义及性质四．树的路径矩阵（Path Matrix ）路径（独立节点）树支⨯P P ∴是n-1阶方阵， 1P A A P t 1t =-＝p53图1－9－5，[]l t A A A ＝支路节点⨯第十节 网络元件的互连规律一．基尔霍夫定律矩阵形式p55 表1－10－1 二．特勒根定理1．功率守恒定律（特1） p560i u b T b =2．拟功率守恒定律（特2） p560u i i u b T b b T b==∧∧0u i i u b T bb Tb ==∧∧3．微分特勒根定理 p57t 时刻，∧N 的支路电压、电流∧∧b bi uN 的支路电压、电流变化量∧∧b bi u δδ0=-∴∧∧b Tb b Tb i u u i δδ三．基尔霍夫定律和特勒根定理广义形式几种常见的线性变换 p57 1． 傅氏变换 2． 相量变换 3． 拉氏变换 四．着色边定理1． 适用范围：适用于线性和非线性网络，取决于网络拓扑结构，与元件性质无关。
2． 表述：p593． 例题：p58图1－10－1，图1－10－2，图1－10－3（p60）（1）图1－10（2）图1－10－2（3）图1－10－3（p60）自己看4． 说明：p59－p60第十一节 网络与元件的基本性质一．无源性和有源性 1．定义：p62图1－10－1 图1－10－2一端口：)()()(t i tutp=nkti)(任意时刻，0)()(≥=⎰∞-dxxptw无源（Passive）)(<tw有源（Active）)()(=∞=∞iu2．应用（1）p63 例1－11－1双口电阻元件，矩阵R对称正定→Passive (当定理用)（2）p63例1－11－2双口电感元件，矩阵L对称正定矩阵（2212121,,0,0MLLMMMLL>==<>）→Passive(当定理用)（3）p64 例1－11－3受控源是有源元件3．说明：（1）原电路理论：无源——不含独立源，可含受控源；电网络：无源——0)(,≥∀twt。
所以含受控源或运放的网络，一般是有源网络。
（p65 图1－11－2例外）（2）二端电阻元件，等效电阻r>0 →Passiven端口电阻元件，电阻阵对称正定→Passive4．非能性定义：p65二．无损性与有损性1．定义：p66 概括了输入到无损n端口的全部能量可以无损地全部返回电路这一概念。
2．二端线性电容、电感、理想变压器、回转器注意：①容许信号平方可积，例tt et ietu==)(,)(不是无损；②0,0<=<=constCconstL的电容器和电感器，是有源元件，不是无损元件。
三互易性、反互易性和非互易性1．定义：p66补充：（电路下册）a．卷积定理：设)(),(21tftf的象函数)(),(21sFsF，则)()(21tftf⊗的拉氏变换为)()(21sFsF。
b ． 卷积定义式：)()()()(21021s F s F d t f t f L t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰+-ξξξ另外：互易定理三种形式：特勒根定理：0)(=-∑∧∧k k k ki u i u22112211i u i u i u i u ∧∧∧∧+=+∴2.应用（1） 例1（补）n 端口阻抗矩阵Z(s)是对称阵，判断该n 端口网络是否是互易网络。
