第九讲(1) 机器人动力学 拉格朗日方程

应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
机器人动力学问题是指研究机器人在运动过程中受到的各种力
和力矩的作用，以及机器人关节运动的角度、速度和加速度等参数的变化规律。

在机器人控制和设计中，动力学问题是一个非常重要的研究领域。

在求解机器人动力学问题时，常用的方法是应用牛顿-欧拉方程或欧拉-拉格朗日方程。

其中，应用欧拉-拉格朗日方程能够更加简便、快捷地求解机器人动力学问题，具有以下优点：
1. 数学上更加简洁
欧拉-拉格朗日方程是一种用于描述系统动力学的方程，它不仅可以描述机器人的运动，还可以应用于其他物理系统的研究。

相较于牛顿-欧拉方程，欧拉-拉格朗日方程在数学上更加简洁，形式更加优美。

2. 可以考虑非完整约束
机器人运动时受到的约束是非常复杂的，有些约束甚至是非完整约束，这些约束甚至可能导致机器人的运动无法得到完全描述。

但是，欧拉-拉格朗日方程可以更好地考虑这些非完整约束的影响，使得机器人动力学问题的求解更加准确和全面。

3. 适用范围广泛
欧拉-拉格朗日方程不仅适用于机器人动力学问题，还可以应用于其他的物理学问题中，例如弹簧振子、摆锤等。

这意味着，应用欧拉-拉格朗日方程可以更好地将机器人的动力学问题与其他物理学问
题联系起来，使得机器人控制和设计更加全面和综合。

综上所述，应用欧拉-拉格朗日方程在求解机器人动力学问题中具有诸多优点，是一种更加简便、快捷、准确、全面的求解方法。

四足机器人动力学建模：拉格朗日动力学引言在机器人领域中，四足机器人是一种常见的机器人类型。

它们具有四条腿和能够模拟和模仿动物行走的能力。

为了实现自主步行和平稳运动，我们需要对四足机器人的动力学进行建模和分析。

本文将介绍使用拉格朗日动力学方法对四足机器人进行建模的过程和步骤。

拉格朗日动力学简介拉格朗日动力学是一种描述系统动力学行为的方法。

它基于拉格朗日原理，通过最小化系统的运动方程，求解系统中的广义坐标和约束力。

在机器人动力学中，拉格朗日动力学方法被广泛应用于建模和控制。

四足机器人动力学建模步态与坐标系在进行四足机器人动力学建模之前，首先需要确定机器人的步态和坐标系。

通常，四足机器人的步态可以分为步行和跑步两种模式。

对于步行模式，机器人的步态可以简化为前后左右四个联系稳定的点。

在这种情况下，机器人的坐标系可以选择为正前方为x轴正方向，右侧为y轴正方向，地面为z轴正方向。

运动学分析在进行动力学建模之前，需要进行机器人的运动学分析。

运动学分析可以得到机器人各个关节的位置、速度和加速度信息。

这些信息对于后续的动力学建模非常重要。

动力学建模操作要素在进行动力学建模之前，需要确定机器人系统的操作要素。

这些要素包括机器人的质量、惯性、关节约束等。

通过对这些要素的分析和建模，可以得到机器人的整体动力学方程。

拉格朗日方程拉格朗日动力学方法使用拉格朗日方程来描述系统的运动方程。

拉格朗日方程可以通过系统的动能和势能表达式得到。

对于四足机器人，为了简化模型，通常可以假设机器人为刚体，并且忽略其柔软特性。

拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，L为拉格朗日函数，T为系统的动能，V为系统的势能。

动力学模拟通过对拉格朗日方程进行求解，可以得到系统的运动方程。

为了模拟机器人的动力学行为，可以使用数值方法进行迭代求解。

常见的数值方法有欧拉法和中点法等。

结论通过拉格朗日动力学方法进行建模，可以得到四足机器人的运动方程和动力学模拟。

拉格朗日方程刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即=-L PK动能位能拉格朗日方程系统动力学方程，即拉格朗日方程如下：,1,2,i i i d L L i n dt qq ∂∂=-=∂∂ F 式中，q i 表示坐标， 为速度，F i 为作用在第i 个坐标上的力或力矩。

i q ∙动能1n k ki i E E ==∑1(,)()2T k E D =q q q q q势能00T pi i ciE m =-g p 1n P Pi i E E ==∑势能d L L dt ∂∂=-∂∂τqq K K P E E E d dt ∂∂∂=-+∂∂∂τq q q两连杆机械手示例二连杆机械手的动能与位能21111111111111,,,cos 2K m v v d P m gh h d θθ====- 则有：22111111111,cos 2K m d P m gd θθ==- 二连杆机械手动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。

已知22222221,2K m v P m gy ==动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。

已知式中()()222222211212211212sin sin cos cos v x y x d d y d d θθθθθθ=+=++=--+ ()()()222222211221221221122211221211cos 22cos cos K m d m d m d d P m gd m gd θθθθθθθθθθ⎧=++++⎪=>⎨⎪=--+⎩动能与位能这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为(10.3)21K K K +=2222121122122212211211()()22cos ()m m d m d m d d θθθθθθθ=+++++ 21P P P +=)cos(cos )(21221121θθθ+-+-=gd m gd m m拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：L K P=-)2(21)(21222121222212121θθθθθ ++++=d m d m m 221221121211cos ()()cos m d d m m gd θθθθθ++++ 2212cos()m gd θθ++拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：n i q L qL dt d i i i ,2,1,=∂∂-∂∂=F 代入拉格朗日方程拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：111d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()()()2212122212212222122221221222122212112212=2cos cos 2sin sin sin sin m m d m d m d d m d m d d m d d m d d m m gd m gd θθθθθθθθθθθθ⎡⎤+++⎣⎦++--++++拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：222d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()2222221221222212212212cos sin sin m d m d d m d m d d m gd θθθθθθθ=+++++拉格朗日动力学方程式（10.6）和（10.7）的一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ (10.8)(10.9)拉格朗日动力学方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程耦合惯量：关节i,j 的加速度在关节j,i 上产生的惯性力(10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程向心加速度系数：关节i,j 的速度在关节j,i 上产生的向心力(10.10)拉格朗日动力学方程哥氏加速度系数：关节j,k 的速度引起的在关节i上产生的哥氏力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)拉格朗日动力学方程一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 重力项：关节i,j 处的重力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ动力学方程的典型形式状态空间方程动力学方程也可以写成如下形式：()()(),++ΘΘΘΘΘτ=M V G拉格朗日动力学方程()()22222122211222122222221222222d m d d m c d m m d m d d m c d m d d m c d m ⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦ΘM ()2212222122122212212,m d d s m d d s m d d s θθθθ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦ΘΘ V ()()221212112212m d gc m m d gc m d gs ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ΘG。

机器人动力学研究常用方法机器人动力学研究是机器人学中的重要分支，主要研究机器人运动过程中的力学性质和动力学特性，旨在理解机器人运动的原理和控制策略。

在机器人动力学研究中，常用的方法主要包括基于拉格朗日动力学方程的建模方法和使用仿真工具进行分析。

一、基于拉格朗日动力学方程的建模方法拉格朗日动力学方程是机器人动力学中最常见的建模方法之一。

该方法利用拉格朗日力学原理，将机器人系统建立为运动学和物理学参数之间的方程。

基于拉格朗日动力学方程的建模方法通常分为两个步骤：建立拉格朗日函数和导出拉格朗日方程。

建立拉格朗日函数：首先，需要通过建立机器人的运动学模型来描述机器人的位姿。

然后，利用机器人的动力学特性，考虑机器人的质量、摩擦力、惯性力等因素，将机器人的动能和势能表达为拉格朗日函数。

该函数可以描述机器人系统的动力学特性。

导出拉格朗日方程：通过对拉格朗日函数求导，可以得到拉格朗日方程。

拉格朗日方程可以描述机器人系统的运动方程和力学特性。

在实际应用中，可以根据机器人的运动类型，如多关节机械手臂、移动机器人等，建立相应的拉格朗日方程。

二、使用仿真工具进行分析除了基于拉格朗日动力学方程的建模方法，使用仿真工具进行分析也是机器人动力学研究中的常用方法之一。

通过使用仿真工具，可以模拟机器人的运动过程，获取机器人的运动轨迹、力矩和速度等参数。

常用的机器人动力学仿真工具包括ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）、MATLAB/Simulink等。

这些仿真工具提供了可视化的界面和强大的仿真功能，可以帮助研究人员快速建立机器人模型，并对机器人系统进行动力学分析。

使用仿真工具进行分析的方法一般包括以下步骤：1. 建立机器人模型：根据机器人的结构和运动方式，利用仿真工具建立机器人的几何模型和运动学模型。

2. 设定初始条件：设置机器人的起始位置、速度和力矩等初始条件，并考虑外部环境的影响。

拉格朗日方程是经典力学中一种重要的数学工具，用于描述系统的运动方程。

通过拉格朗日方程可以建立系统的动力学模型，从而研究系统的运动规律。

下面简要介绍如何建立动力学系统的拉格朗日方程：
1. 定义系统的广义坐标：首先需要选择描述系统的自由度的广义坐标，通常用\(q_1, q_2, ..., q_n\)表示。

这些广义坐标可以完整地描述系统的所有自由度。

2. 计算拉格朗日函数：根据系统的动能和势能，可以定义系统的拉格朗日函数\(L = T - V\)，其中\(T\)表示系统的动能，\(V\)表示系统的势能。

拉格朗日函数是系统动力学描述的核心。

3. 应用欧拉-拉格朗日方程：根据拉格朗日函数，可以利用欧拉-拉格朗日方程得到系统的运动方程。

欧拉-拉格朗日方程的形式为：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
其中，\(q_i\)为广义坐标，\(\dot{q}_i\)表示广义坐标\(q_i\)对时间的导数。

4. 求解拉格朗日方程：将系统的拉格朗日函数代入欧拉-拉格朗日方程，得到关于广义坐标\(q_i\)和广义速度\(\dot{q}_i\)的微分方程组。

通过求解这个微分方程组，可以得到系统的运动方程。

通过以上步骤，可以建立动力学系统的拉格朗日方程，并进一步研究系统的运动规律。

拉格朗日方程在分析运动的复杂系统时具有广泛的应用，能够简洁而有效地描述系统的动力学行为。

机器人动力学研究的典型方法和应用（燕山大学 机械工程学院）摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。

并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。

前 言：机器人动力学的目的是多方面的。

机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。

机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。

目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。

动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。

所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。

报告正文：（1）机器人动力学研究的方法1）牛顿—欧拉法应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。

把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。

如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。

牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。

若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F =为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ，则按欧拉方程有：εωI I M +=式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚体固结的刚体指标系的惯性张量。

牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。

此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。

机器人学第九讲动力学及仿真实践黄之峰副教授广东工业大学2019-07-03主要内容：1，正逆动力学的意义2，逆动力学分析•拉格朗日法•牛顿欧拉法3，正动力学仿真•单位矢量法23机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。

机器人动力学的用途：机器人的最优控制：优化性能指标和动态性能，调整伺服增益；设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真机器人是一个具有多输入和多输出的复杂动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。

θ2θ1l 1l 2m 1m 2•逆动力学：机器人设计关节动力源选型。

前馈控制实现更好的轨迹跟踪。

正动力学数值计算•正动力学动力学仿真，评价及优化控制增益5用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤1.选取坐标系，选定完全独立的广义关节变量2.选定相应关节上的广义力：当为位移变量时，则为力；当是角度变量时，则为力矩。

3.求出机器人各个构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。

4.代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程),,2,1(n i q i i F i q i F i q 9θ2θ1l 1l 2m 1m 2p 2222y xθ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2常用的简化策略：1.当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力项可以忽略。

2.当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含向心力项，哥式力项等可以省略。

3.当关节加速度不很大，也就是关节电机的加减速不是很突然时，含有的项有可能给予省略，但是会影响机器人的循环作业时间。

21, 20θ2θ1l 1l 2m 1m 2p 2θ2θ1l 1l 2m 1mx y 0ˆ思考：酉矩阵的性质？ˆˆ T绕原点转思考1：匀速运动物体的角动量是否恒定？对于连续刚体则有：R刚体的运动分为相对于自身质心的转动以及质心的平动，这里指的标准姿态下的转动惯量是指相对于质心来计算的。

应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
拉格朗日方程是描述物体运动的重要数学工具之一，广泛应用于机器人动力学问题的求解中。

通过使用拉格朗日方程，可以将机器人动力学问题转化为求解一组常微分方程的问题，具有以下优点：
1. 精度高：拉格朗日方程能够准确描述机器人运动学和动力学特性，可以得到更加精确的运动学和动力学解析式。

2. 简化计算：由于拉格朗日方程可以将机器人动力学问题转化为求解一组常微分方程的问题，因此可以简化计算过程，提高求解效率。

3. 可扩展性强：通过对拉格朗日方程进行推导和改进，可以进一步扩展其应用范围，使其适用于更加复杂的机器人动力学问题。

综上所述，应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题具有精度高、简化计算和可扩展性强等优点，对机器人技术的发展和应用具有重要意义。

- 1 -。

双足机器人的倒立摆动力学方程可以通过运动学和动力学原理推导得出。

以下是一个简化的模型，使用欧拉-拉格朗日方程来描述机器人的倒立摆动力学：
假设机器人为一个质量集中、没有摩擦的刚体。

设机器人的状态变量为：倒立角度（θ）、倒立角速度（ω）。

机器人的参数包括：质量（m）、杆长（L）、重力加速度（g）。

根据欧拉-拉格朗日方程，可以得到倒立摆的动力学方程如下：
I * ω' + m * g * L * sin(θ) = 0
m * L^2 * θ'' + m * g * L * cos(θ) * sin(θ) = 0
其中，
I 是机器人绕其自身质心的转动惯量；
ω' 是角速度的导数；
θ'' 是角度的二阶导数。

这两个方程描述了机器人在倒立过程中的动态行为。

第一条方程表达了角动量守恒的原理，第二条方程则考虑了重力对机器人的作用，并结合了平衡条件。

需要注意的是，这只是一个简化的模型，实际的双足机器人可能还涉及到更多的因素，例如关节的摩擦、惯性分布等。

在实际应用中，会根据具体机器人的结构和动力学特性进行更详细的建模和控制设计。

拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程是描述质点或系统的运动的数学方程，它是由法国数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪提出的。

拉格朗日动力学方程的基本原理是通过引入称为拉格朗日函数的函数，对基本的物理量进行数学建模和描述。

拉格朗日函数是一个函数表达式，由广义坐标和广义速度组成。

广义坐标是描述系统状态所需的独立变量，而广义速度则是广义坐标随时间的变化率。

拉格朗日函数用于定义系统的动能和势能之间的关系，从而用数学语言描述系统的动力学行为。

根据拉格朗日动力学方程的定义，我们有拉格朗日函数L=L(q_1,q_2,..., q_n, \dot{q_1}, \dot{q_2},..., \dot{q_n}, t)，其中q_i表示广义坐标，\dot{q_i}表示广义速度，而n表示系统的自由度数。

拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0这个方程组成系统的拉格朗日动力学方程，通过求解这个方程，我们可以得到描述系统运动的解析解或数值解。

拉格朗日动力学方程的推导是基于哈密顿原理，也称为拉格朗日原理。

哈密顿原理的核心思想是系统的真实运动路径是使作用量最小的路径。

作用量是一个积分，由拉格朗日函数和时间的区间所确定。

通过最小化作用量，我们可以得到拉格朗日动力学方程。

拉格朗日动力学方程在各个科学领域中具有广泛的应用。

在物理学中，它被用于描述刚体的转动、粒子在电磁场中的运动、弹性体的振动等现象。

在工程学中，它被用于机械系统的设计和分析。

在生物学中，它被用于生物力学的研究。

此外，拉格朗日动力学方程也是数学物理的一个重要分支，它为建立系统的数学模型提供了一种优雅和统一的方法。