§1平面点集与多元函数.docx

数学分析下定义定理整理第一章多元函数的极限与连续第一节平面点集与多元函数1、坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，并记作E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.2、内点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)ÌE，则称点A是点E的内点.E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.3、外点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Æ，则称A是点集E的外点.4、界点——若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数d，恒有U(A;d)∩E≠Æ且U(A;d)∩E c≠Æ，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集.E的全体界点构成E的边界，记作¶ E.注：E的内点必定属于E，E的外点必定不属于E，E的界点可能属于E，也可能属于E，也可能不属于E.5、聚点——若在点A的任何空心邻域U0(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E.6、孤立点——若点A∈E，但不是E的聚点，即存在某一正数d，使得U0(A;d)∩E=Æ，则称点A是E的孤立点.注：孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.7、开集——若平面点集所属的每一点都是E的内点(即int E=E)，则称E为开集.8、闭集——若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.注：只有R2与Æ是既开又闭的点集.9、开域——若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E为开域.10、闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域.11、区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.12、有界点集——对于平面点集E，若存在某一正数r，使得EÌU(O;r)，其中O是坐标原点(也可以是其他固定点)，则称E是有界点集.否则就是无界点集.13、定义1设{P n}ÌR2为平面点列，P0∈R2为一固定点.若对任给的正数e，存在正整数N，使得当n>N时，有P n∈U(P0;e)，则称点列{P n}收敛于点P0，记作lim P n=P0 或P n®P0，n®¥.n14、定理16.1（柯西准则）平面点列{P n}收敛的充要条件是：任给正数e，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有 r (P n ,P n+p )<e .15、定理16.2(闭域套定理) 设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（i ）D n ÉD n+1，n=1，2，…；（ii ）d n =d(D n )，nlim d n =0， 则存在惟一的点P 0∈D n ，n=1，2，….推论 对上述闭域套{D n }，任给e >0，存在N ∈N +，当n>N 时，有D n ÌU(P 0;e ).16、定理16.3(聚点定理) 设E ÌR 2为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.17、定理16.3’ 有界无限点列{P n }ÌR 2必存在收敛子列{P n k }.18、定理16.4(有限覆盖定理) 设D ÌR 2为一有界闭域，{D α}为一开域族，它覆盖了D （即D Ìaα），则在{D α}中必存在有限个开域D 1，D 2，…，D n ，它们同样覆盖了D （即D Ì1n i =D α）. 19、定以2 设平面点集D ÌR 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作F ：D ®R ，。

数学分析16.1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数一、平面点集概念1：在平面上确定一个坐标系(一般指平面直角坐标系)，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此“数对”可等同于“平面上的点”，这种确定了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作：E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.如R2={(x,y)|-∞<x<+∞,-∞<=""></x<+∞,-∞以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y2<="" p="">一般地，对于任意两个数集A, B，记A×B={(x,y)|x∈A,y∈B }，称为A 与B的直积. 如：A={(u,v)|u2+v2<1}，B=[0,1]，则A×B={(u,v,w)|u2+v2<1, 0≤w≤1 }.平面点集{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}与{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}分别称为以点A(x0,y0)为中心的δ圆邻域与δ方邻域.点A的任一圆邻域可包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，所以通常用“点A的δ邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并记为U(A;δ)或U(A). 而点A的空心邻域是指：(记为U?(A;δ)或U?(A)) {(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}或{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ, (x,y)≠(x0,y0)}.任一点A∈R2与任意一个点集E?R2之间必有以下三种关系之一：1、内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E，则称A是点集E 的内点. E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.2、外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=?，则称A 是点集E的外点.3、界点：若点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E 的点，则称A是集合E的界点. 即对任何正数δ，恒有U(A;δ)∩E≠?且U(A;δ)∩E c≠?，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集. E的全体界点构成E的边界，记作?E.内点属于E，外点不属于E，界点不能确定.按点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成的关系：1、聚点：若在点A的任何空心邻域U?(A)内都含有E中的点，则称A 是E的聚点. 聚点不一定属于E. A是点集E的聚点的定义等价于“点A的任何邻域U(A)内包含有E的无穷多个点”.2、孤立点：若点A∈E, 但不是E的聚点，即存在某一正数δ，使得U?(A;δ)∩E=?，则称点A是E的孤立点. 孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，即不是聚点，又不是孤立点，必为外点.例1：设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y2<4}，分别指出它的内点、界点和聚点，并指出界点是否属于点集D.解：满足1<x2+y2<4的一切点都是d的内点；< bdsfid="88" p=""></x2+y2<4的一切点都是d的内点；<>满足x2+y2=1的一切点是D的界点且属于D；满足x2+y2=4的一切点是D的界点且不属于D；点集D连同它外圆边界上的所有点都是D的聚点.概念2：重要的平面点集：1、开集：若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE=E)，则称E 为开集.2、闭集：若平面点集E的所有集点都属于E，则称E为闭集. 没有聚点的点集也称为闭集.注：例1中的点集D即不是开集也不是闭集；R2和?既开又闭.3、开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全包含于E的有限折线相连接，则称E为开域(非空连通开集).4、闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域.5、区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域. 反例：开集E={(x,y)|xy>0}在I,III象限之间不具有连通性，所以它不是区域.6、有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数r ，使得E?U(O,r)，其中O 为坐标原点(也可为其它固定点)，则称E 为有界点集. 反之则为无界点集. E 为有界点集等价于：存在矩形区域D=[a,b]×[c,d]?E.点集的有界性可用点集的直径来反映，即d(E)=EP ,P 21sup ∈ρ(P 1,P 2)，其中ρ(P 1,P 2)表示P 1与P 2两点之间的距离，当P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)时，则ρ(P 1,P 2)=221221)-y (y )x -(x +，于是当d(E)为有限值时，E 为有界点集.根据距离的概念，对R 2上的任意三点P 1,P 2,P 3，有以下三角不等式：ρ(P1,P 2)≤ρ(P 1,P 3)+ ρ(P 2,P 3).例2：证明：对任何S ?R 2，?S 恒为闭集.证：如图：设x 0为?S 的任一聚点，ε>0，由聚点的定义，?γ∈U ?(x 0;ε)∩?S. 又γ是S 的界点，∴对任意U(γ;δ)?U ?(x 0;ε), U(γ;δ)上既有S 的点，又有非S 的点. ∴U(x 0;ε)上也既有S 的点，又有非S 的点，即x 0∈?S ，∴?S 恒为闭集.二、R 2上的完备性定理定义1：设{P n }?R 2为平面点列，P 0∈R 2为一固定点. 若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，有P n ∈(P 0;ε)，则称点列{P n }收敛于点P 0，记作：∞→n lim P n =P 0或P n →P 0, n →∞.注：分别以(x n ,y n )与(x 0,y 0)表示P n 与P 0时，∞→n lim P n =P 0等价于∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0. 以ρ(P 1,P 2)表示P n 与P 0之间距离时，∞→n lim P n =P 0又等价于，∞→n lim ρ=0.定理16.1：(柯西准则)平面点列{P n }收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有ρ(P n ,P n+p )<ε. 证：[必要性]设∞→n lim P n =P 0, 则由三角不等式有ρ(P n ,P n+p )≤ρ(P n ,P 0)+ρ(P n+p ,P 0)，由点列收敛定义，?ε>0，?正整数N ，当n+p>n>N 时，恒有ρ(P n ,P 0n+p ,P 0)<2ε；∴ρ(P n ,P n+p )<ε.[充分性]若ρ(P n ,P n+p )<ε，则同时有|x n+p -x n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，|y n+p -y n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，∴∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，∴∞→n lim P n =P 0，即{P n }收敛于P 0.定理16.2：(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：(1)D n ?D n+1, n=1,2,…；(2)d n =d(D n ), ∞→n lim d n =0，则存在唯一的点P 0∈D n , n=1,2,….证：任取点列P n ∈D n , n=1,2,….∵D n+p ?D n , ∴P n ,P n+p ∈D n , 如图有ρ(P n ,P n+p )≤d n →0, n →∞. 由定理16.1知，存在P 0∈R 2，使∞→n lim P n =P 0. 任取n ，对任何正整数p ，有P n+p ∈D n+p ?D n .令p →∞，∵D n 是闭域，从而必为闭集. ∴D n 的聚点P 0∈D n ,即P0=lim P n+p∈D n, n=1,2,…. 若有P0’∈D n, n=1,2,….n→∞由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！推论：对上述闭域套{D n}，任给ε>0，存在正整数N，当n>N 时，有D n?U(P0;ε).定理16.3：(聚点定理)设E?R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证法一：∵E是平面有界无限点集，∴存在一个闭正方形D1包含它. 连接正方形对边中点，把D1分成四个小的闭正方形，则在这个四个小闭正方形中，至少有一个含有E的无限个点，记为D2，同样的将D2分成四个小的闭正方形，得到D3含有E的无限个点，如此下去得到一个闭正方形序列：D1?D2?D3?…，则闭正方形序列{D n}的边长随着n趋向于无限而趋向于0，于是由闭域套定理，存在一点M0∈D n, n=1,2,….ε，任取M0的ε邻域U(M0;ε)，当n充分大时，正方形的边长小于2即D n?U(M0;ε). 又由D n的取法知U(M0;ε)含有E的无限多个点，即M0是E的聚点.证法二：若点集E不存在任何聚点，则对任意点P∈E，∵E有界，∴存在某一正数r ，使得E?U(P;r)，且U(P;r)中只包含E的有限个点. 而E的所有点都包含于U(P;r)，即E 只包含有限个点，与E 为无限点集矛盾；∴E 在R 2中至少有一个聚点.定理16.3’：有界无限点列{P n }?R 2必存在收敛子列{kn P }.定理16.4：(有限覆盖定理)设D ?R 2为一有界闭域(集)，{△α}为一开域(集)族，它覆盖了D(即D ?αα)，则{△α}中必存在有限个开域(集)△1,△2,…,△n ，它们同样覆盖了D(即D ?i n1i ?= ). 证：设有界闭域D 含在矩形[a,b]×[c,d]之中，并假设D 不能被{△α}中有限个开域所覆盖.用直线x=2b a +，y=2d c +把矩形[a,b]×[c,d]分成四个相等的闭矩形，则至少有一个闭矩形所含的D 的部分不能被{△α}中有限个开域所覆盖. 类似的，把这个矩形(或几个的其中任一)再分成四个相等的闭矩形. 按此法继续下去，可得一闭矩形套{[a n ,b n ]×[c n ,d n ]}. 其中每一个闭矩形所含的D 的部分都不能为{△α}中有限个开域所覆盖，于是每个闭矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]中都至少含有D 的一点，任取其中一点(x n ,y n ), 则(x n ,y n )∈D, 且a n <x n="" <b="" ,="" c="" <y="" <d="" (n="1,2,…)." 由闭矩形套定理可知：="" 存在一点(x="" 0,y=""0)，满足对任意自然数n="" ，都有a="" ≤x="" 0≤b="" ≤y="" 0≤d="" .="" ∵∞→n="" lim="" (b="" -a="" )="n" 2a="" -b="" ∞→="0;" ∞→n="" (d="" -c="" 2<="" p="" bdsfid="171">。

第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数．但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数．例如，矩形的面积xy s =，描述了面积S 和长x 、宽y 这两个量之间的函数关系．又如，烧热的铁块中每一点的温度T 与该点的位置之间有着确定的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x ，y ，z)表示时，温度丁由y x ,，z 这三个变量所确定．如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那末温度T 还与时间t 有关，即T 的值由x,y,z,t 这四个变量所确定．这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数．多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．一 平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系(今后如不特别指出，都假定是直角坐标系)之后，所有有序实数对①(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应．因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的．这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面．坐标平面上满足某种条件P 的点的集合，称为平面点集，并记作 ()(){}P y x y x E 满足条件,|,= ． 例如全平面上的点所组成的点集是 (){}.,|,2+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y x R (1)平面上以原点为中心，r 为半径的圆内所有的点的集合是 (){}222|,r y x y x C <+= (2) 而集合(){}d y c b x a y x S ≤≤≤≤=,|, （3）则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作[a,b]⨯[]d ,c ．平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x分别称为以点()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域（图16-1）．由于点A 的任一圆邻域可以包含在点A 的某一方邻域之内(反之亦然)，因此通常用“点A 的δ邻域”或“点A 的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．点A 的空心邻域是指()()(){}220200|,δ<-+-<y y x x y x或()()(){}0000,,,,|,y x y x y y xx y x ≠<-<-δδ并用记号()()A U A U 0;或δ来表示．下面利用邻域来描述点和点集之间的关系．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一： （i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的界点．即对任何正数δ，恒有 ()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且其中E R cE \2=是E 关于全平面的余集，E 的全体界点构成E 的边界，记作E ∂． E 的内点必定属于E ；E 的外点必定不属于E ；E 的界点可能属于E ，也可能不属于E ．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系： (i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U ;0，则称点A 是正的孤立点．显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例1 设平面点集 (){}41|,22<+≤=y x y x D (4)满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点． 口根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集．在前面列举的平面点集中，(2)所表示的点集C 是开集；(3)所表示的点集S 是闭集；(4)所表示的点集D 既非开集，又非闭集；而且(1)所表示的点集2R 既是开集又是闭集．此外，还约定空集φ既是开集又是闭集．可以证明，在一切平面点集中，只有R 2与g 是既开又闭的点集．开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于正的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)．闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．在上述诸例中，(2)是开域，(3)是闭域，(1)既是开域又是闭域． 又如(){}0|,>=xy y x E（5）虽然是开集，但因Ⅰ、Ⅱ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得 (),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点(也可以是其他固定点)，由称E 是有界点集．否则就是无界点集．上述()()()432、、都是有界点集，()()51、是无界点集． E 为界点集的另一等价说法是：存在矩形区域[][].,,E d c b a D ⊃⨯= ． 点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集E 的直径，就是 ()(),,sup 21,21p p E dEp p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则，()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ 于是，当且仅当()E d 为有限值时E 是有界点集． 根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对R 2上任何三点1P ，2P 和3P ，皆有()()()ρρρρ.,,,323121p p p p p p +≤二 R 2上的完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础。

数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集（精选）第一篇：第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集（精选）第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集limPn=P0的充1．设Pn=(xn,yn)是平面点列，P0=(x0,y0)是平面上的点.证明n→∞{}要条件是limxn=x0，且limyn=y0.n→∞n→∞2．设平面点列{Pn}收敛，证明{Pn}有界.3．判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：(1)E=(2)E=(3)E=(4)E=(5)E={(x,y)|y<x}；2{(x,y)|x2+y2≠1}；{(x,y)|xy≠0}；{(x,y)|xy=0}；{(x,y)|0≤y≤2,2y≤x≤2y+2}；⎧⎩1⎫,x>0⎬； x⎭(6)E=⎨(x,y)|y=sin(7)E=(8)E={(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}；{(x,y)|x,y均为整数}.4．设F是闭集，G是开集，证明FG是闭集，GF是开集.5．证明开集的余集是闭集.E的聚点的充要条件是E中存在点列{P6．设E是平面点集.证明P0是n}，满足P,2,Λ)且limPn=P0.n≠P0(n=1n→∞7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8．用致密性定理证明柯西收敛原理.9．设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集.证明紧集是有界闭集.10．设E是平面上的有界闭集，d(E)是E的直径，即d(E)=supr(P',P'').P',P''∈E求证：存在 P1,P2∈E，使得r(P1,P2)=d(E).11．仿照平面点集，叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.§2多元函数的极限与连续性1．叙述下列定义：(1)limf(x,y)=∞； x→x0y→y0(2)limf(x,y)=A； x→+∞y→-∞x→ay→+∞(3)limf(x,y)=A；(4)limf(x,y)=∞.x→ay→+∞2．求下列极限（包括非正常极限）：x2+y2(1)lim； x→0x+yy→0(2)limx→0y→0sin(x3+y3)x+y22；(3)limx→0y→022；(4)lim(x+y)sinx→0y→01； 22x+y2(5)limxylnx+yx→0y→022(2)；ex+ey(6)lim； x→0cosx-sinyy→0(7)limx→0y→0xy； x4+y2232sin(xy)(8)lim； x→0xy→2(9)x→1y→0lnx+ey(10)lim1； x→12x-yy→2(11)limxy+1； x→0x4+y4y→01+x2+y2(12)lim； 22x→0x+yy→0(13)limx+yx→+∞y→+∞(22)e(x2-x+y)；(14)lim x→+∞xy⎫.22⎪x+y⎭y→+∞⎝⎛3．讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限：x2(1)f(x,y)=2； x+y2(2)f(x,y)=(x+y)sin11sin； xyex-ey(3)f(x,y)=； sinxy(4)f(x,y)=x2y2xy+(x-y)222；x3+y3(5)f(x,y)=2； x+yx2y2(6)f(x,y)=3； 3x+y(7)f(x,y)=x4+3x2y2+2xy3(x(x22+y4322)；(8)f(x,y)=x4y4+y).4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明limf(x,y)存在的柯西收敛准则.x→x0y→y0 6．试作出函数f(x,y)，使当(x,y)→(x0,y0)时，(1)全面极限和两个累次极限都不存在；(2)全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；(3)全面极限和两个累次极限都存在.7．讨论下列函数的连续范围：(1)f(x,y)=(2)f(x,y)=1； sinxsiny(3)f(x,y)=[x+y]；(4)f(x,y)=x+y； x3+y3⎧sin(xy),y≠0,⎪(5)f(x,y)=⎨ y⎪0,y=0;⎩⎧sinxyx2+y2≠0,(6)f(x,y)=22⎩0,x+y=0;(7)f(x,y)=⎨⎧0,x为无理数；⎩y,x为有理数22222⎧⎪yln(x+y),x+y≠0,(8)f(x,y)=⎨ 22⎪⎩0,x+y=0;x⎧22,x+y≠0,⎪22p(9)f(x,y)=⎨(x+y)(p>0).⎪22⎩0,x+y=0,8．若f(x,y)在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意(x,y')∈G和(x,y'')∈G，有f(x,y')-f(x,y'')≤Ly'-y''，其中L为常数，求证f(x,y)在G内连续.9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10．设二元函数f(x,y)在全平面上连续，2lim2(1)f(x,y)在全平面有界；(2)f(x,y)在全平面一致连续.11．证明：若f(x,y)分别对每一变量x 和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则f(x,y)是二元连续函数.12．证明：若E是有界闭域，f(x,y)是E上的连续函数，则f(E)是闭区间.x+y→∞f(x,y)=A，求证：第二篇：7.1多元函数的概念、极限与连续性§7.1多元函数的概念、极限与连续性一．多元函数的基本概念 1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：例1矩形面积S与边长x，宽y有下列依从关系：S=x⋅y(x>0,y>0)．其中，长x与宽y是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x，y取定值后，矩形面积S有一个确定值与之对应．例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：x2y2x2y2z=2+2，双曲抛物面的方程为z=2-2，这里的z坐标既跟x有关，又跟ababy有关，它是x，y的二元函数.2.多元函数的概念定义1设D是R2的一个非空子集，映射f ：D→R称为定义在D 上的二元函数，记为z=f(x，y),(x，y)∈D(或z=f(P),P∈D)其中，点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.上述定义中，与自变量x、y的一对值(x，y)相对应的因变量z的值，也称为f 在点(x, y)处的函数值，记作f(x，y)，即z=f(x,y).函数f(x，y)值域：f(D)={z|z=f(x，y)，(x，y)∈D}.函数的其它符号:z=z(x，y)，z=g(x，y)等.类似地可定义三元函数u=f(x, y, z)，(x, y, z)∈D以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D,映射f ：D→R称为定义在D上的n元函数，通常记为u=f(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)∈D，或简记为u=f(x)，x=(x1，x2，...，xn)∈D，也可记为u=f(P)，P(x1，x2，...，xn)∈D.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出.例如：函数z=ln(x+y)的定义域为{(x，y)|x+y>0}(无界开区域);函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为{(x，y)|x2+y2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)∈D}称为二元函数z=f(x，y)的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如z=ax+by+c是一张平面，而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数z=9-x2-y2的定义域．解容易看出，当且仅当自变量x，y满足不等式x2+y2≤9, 函数z才有定义．其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z的定义域为x2+y2≤9．图7.1.1 图7.1.2例2求函数z=ln(x+y)的定义域．解函数的定义域为x+y>0，其几何图形是xOy平面上位于直线y=-x上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．x2+y2+arcsec(x2+y2)的定义域．例3求函数z=arcsin2解函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分．函数的定义域由不等式组22⎧⎪x+y≤2 ⎨22⎪⎩x+y≥1构成，即1≤x2+y2≤2．定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．图7.1.3 图7.1.4例5求函数z=11-x-y22的定义域．解函数的定义域为1-(x2+y2)>0，即x2+y2<1.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示．二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在P(x，y)→P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限.定义2设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点.如果存(,)D∈U⋂P(,)0δ时，在常数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当Pxyο总有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限，记为(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A，或f(x，y)→A((x，y)→(x0，y0)也可简记为P→P0limf(P)=A或f(P)→A(P→P0)上面定义的极限也称为二重极限.定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P(x，y)改为P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设f(x,y)=(x2+y2)sin证因为|f(x,y)-0|=|(x2+y2)sin1-0| =|x2+y2|⋅|sin1| ≤x2+y2，x2+y2x2+y21，求证limf(x,y)=0.(x,y)→(0,0)x2+y2可见∀ε>0，取δ=ε，则当0<(x-0)2+(y-0)2<δ,即P(x,y)∈D⋂U(O,δ)时，总有|f(x,y)-0|<ε，因此(x,y)→(0,0)οlimf(x,y)=0.sin(x2y).例6求极限limx→0x2+y2y→0sin(x2y)sin(x2y)x2y=lim⋅22,令u=x2y，则解lim222x→0x+yx→0xyx+yy→0y→0x2ysinu1sin(x2y)12xylim≤x=1,lim=而=⋅x22222x→0u→0x+yu2xy2x+yy→0x→0−−−→0，sin(x2y)=0.所以limx→0x2+y2y→0例7证明limxy不存在.x→0x2+y2y→0证取y=kx(k为常数)，则 limx→0y→0xyx⋅kxk=lim=，x2+y2x→0x2+k2x21+k2y=kx易见，所要求的极限值随k的变化而变化，故limx3y例8证明lim6不存在.x→0x+y2y→0xy不存在.x→0x2+y2y→0kx3yx3⋅kx3=,其极限值随k的不同而变证取y=kx,lim6=limx→0x+y2x→0x6+k2x61+k233y→0y=kx化，故极限不存在.例9证明lim(1+xy)x→0y→01x+y极限不存在.证取xn=0,yn=lim(1+xnyn)n→∞1xn+yn1(n为自然数)，则当n→∞时，yn→0,且n=lim(1+0)n→∞10+1/n=1.11,则当n→∞时，xn→0,yn→0,且取xn=,yn=-nn+1lim(1+xnyn)n→∞1xn+yn⎡1⎤=lim⎢1-⎥n→∞⎣n(n+1)⎦n(n +1)1=, e1x+y因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故lim(1+xy)x→0y→0不存在.三.多元函数的连续性1.多元函数连续性概念定义3设二元函数f(P)=f(x，y)的定义域为D,（1）P0(x0，y0)为D的聚点,且P0∈D.如果(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.（2）设D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x，y)在D 的每一点都连续,则称函数f(x，y)在D上连续,或称f(x，y)是D上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f(x，y)=cosx，证明f(x,y)是R2上的连续函数.证对于任意的P0(x0，y0)∈R2，因为(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=(x,y)→(x0,y0)limcosx=cosx0=f(x0,y0),所以，函数f(x，y)=cosx在点P0(x0，y0)连续，由P0的任意性知, cosx作为x, y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知,一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f(x,y)的定义域为D, P0(x0,y0)是D的聚点.如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则称P0(x0，y0)为函数f(x,y)的间断点.注:间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明,多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数:与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.x+x2-y2x2+y2+z2例如,cos(x+y+z),都是多元初等函数.e1+y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性,如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则p→p0limf(P)=f(P0).例11讨论二元函数⎧x3+y3,(x,y)≠(0,0)⎪f(x,y)=⎨x2+y2⎪0,(x,y)=(0,0)⎩在(0,0)处的连续性.解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：令x=ρcosθ,y=ρsinθ,则(x,y)→(0,0)limf(x,y)=limρ(sin3θ+cos3θ)=0=f(0,0)，ρ→0所以函数在(0,0)点处连续.⎡y⎤例12求极限lim⎢ln(y-x)+⎥.x→021-x⎦⎣y→1y⎤⎡1⎤⎡解lim⎢ln(y-x)+=ln(1-0)+⎥=1.⎥⎢x→021-x⎦⎣⎣1-0⎦y→1ex+y.例13求limx→0x+yy→1ex+ye0+1ex+y==2.解因初等函数f(x,y)=在(0,1)处连续，故 limx→0x+y0+1x+yy→12.多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界,且在D上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f(P)在有界闭区域D上连续，则必存在常数M>0，使得对一切P∈D，有|f(P)|≤M，且存在P1、P2∈D，使得f(P1)=max{f(P)|P∈D}，f(P2)=min{f(P)|P∈D}性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定2.讨论函数⎧xy2,x2+y2≠0⎪24f(x,y)=⎨x+y2⎪0,x+y2=0⎩(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A? 的连续性.3.你能否用ε—δ语言证明sin(x2y)lim22=0.x→0x+yy→0本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即ε-δ语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.1 y⎫⎛1.设f x-y,⎪=x2-y2,求f(x,y).x⎭⎝x22.已知函数f(x,y)=x+y-xycot2，试求f(tx，ty).y3.求下列各函数的定义域(1)z=ln(y2-5xy+1);(2)z=11; +22x+yx-yx-y;(3)z=(4)u=R2-x2-y2-z2+1(R>r>0);2222x+y+z-r(5)u=arcsinzx+y22.4.求下列各极限:1-x2y(1)lim;(x,y)→(0,3)x3+y3(2)limln(y+ex)x+y22(x,y)→(1,1);( 3)2-xy+4; xy(x,y)→(0,0)limlimxy;xy+1-1(4)(5)(x,y)→(0,0)sin(xy);(x,y)→(0,2)xlim1-cos(x2+y2)(6)lim22.(x,y)→(0,0)(x2+y2)exy5.证明下列极限不存在:(1)x-y;(x,y)→(0,0)x+ylim(2)xy.(x,y)→(0,0)xy+x-ylimey+ax6.函数z=（a为常数）在何处间断？y-2x7.用ε-δ语言证明(x,y)→(0,0)limxy=0. 22x+y第三篇：第十三章多元函数的极限和连续性《数学分析（1，2，3）》教案第十三章多元函数的极限和连续性§1、平面点集一邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点M0(x0,y0)，凡是与M0的距离小于ε的那些点M组成的平面点集，叫做M0的ε邻域，记为O(M0,ε)。