2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题(含答案)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

（3）（2）（1）2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题: 本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a ， 则实数a = . 答案：6解析：因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-，解得28,2log 6b a b ===。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案：514解析：如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况；对于（3）；有18种情况；故所求概率为393918514P C ++== 3.设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λuu u r uu u r ，若OP AB PA PB ⋅≥⋅uu u r uu u r uu r uu r，则实数λ的取值范围是_______________.答案：[1解析：(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则(1,1)PB λλ=--u u r ，(,)PA λλ=-u u r， 2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r，解得：11λ≤≤+，因点P 是线段AB 上的一个动点，所以01λ≤≤，综上，满足条件的λ的取值范围是112λ-≤≤.4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH HB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 为PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为______..5.已知复数z 的模为1，则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案：17解：在复平面内，设(4,0)A 、(0,3)B -，P 为单位圆上的点，问题转化为求22||||PA PB +的最小值，设(cos ,sin )P αα，其中R α∈222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17αϕ=++≥由于R α∈，必存在α使sin()1αϕ+=-，即等号可以取到.6.在ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C+=++ . 答案：22017解析：因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C+==+⋅⋅22222222sin 1222()sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b =⋅===⋅+--. 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积，求方程2()1036f m m m =-- 的正整数解. 解：设m 是n 位正整数，若3n ≥，则110100n m -≥≥,∴29()1036(10)3690369103610nnn f m m m m m m ≥=--=--≥-≥⋅->矛盾.此时无解. ...... 4分若1n =，则2()1036f m m m m ==--，此方程无整数解. ......8分 若2n =，且20m ≥，则281()103640020036164f m m m ≥=--≥--=矛盾 ∴[10,19]m ∈， ...... 12分 设10m k =+，2()(10)10(10)36f m k k k =+-+-=，解得3k =， 综上，方程的解为13m =. ...... 16分8．(满分16分) 设12a =, 211n n n a a a +=-+.证明：20182018111112018nn a =-<<∑.证明：由递推式得211(1)n n n n n a a a a a +-=-=- 所以111111n n n a a a +=---. 从而得2018201812019111111()1111n n n n n a a a a +===-=----∑∑. ...... 4分 又21(1)0n n n a a a +-=->得数列{}n a 单调递增, 所以12n a a ≥=.特别地20182019111111kk aa ==-<-∑. ...... 8分由递推式可得111n n n a a a +-=-.从而 11211111n n n a a a a aa ++-⋅==--. ...... 12分 由均值不等式及已证结论有1111nk k n n a =>≥∑所以 12nn a a a n ⋅>特别地2018201912201812018a a a a -=⋅>故20182018201911111112018kk aa ==->--∑. ...... 16分 9．(满分20分) 设椭圆C 的左、右顶点为,(,0)A B a , 过右焦点(1,0)F 作非水平直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点, 记直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k , 试证:12k k 为定值, 并求此定值(用a 的函数表示). 证明：设:1l x ty =+，代入椭圆方程222211x y a a +=-得 2222222((1))2(1)(1)0a t a y a ty a -++---=，设 1122(,),(,)P x y Q x y , 则2122222(1)(1)a t y y a t a -+=--+，2212222(1)(1)a y y a t a-=--+. ......5分 两式相除得1221221y y t y y a +=-, 212121()2a ty y y y -=+. 由题意知111111y y k x a ty a ==+++, 222221y y k x a ty a ==--+. ........ 10分 从而2112121122211222(1)(1)()/2(1)(1)()/2k y ty a a y y ay y k y ty a a y y ay y -+-+-+==++-+++ . 22122212(21)(1)(1)(21)a a y a y a y a a y -++-=-+++. ......15分 因为222221111121a a a a a a a a -+--==-+++ 所以 1211k a k a -=+. ......20分10． (满分20分) 设函数2()f x ax bx c =++ (0a ≠)满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值.解：由题意知(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而当[2,2]x ∈-时,2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++222224(2)(2)(0)884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++. ......5分 因为[2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而222222224224|()|442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+2||22x x =-++. .....10分易知当[0,2]x ∈ 时 225||22222x x x x -++=-++≤当[2,0]x ∈- 时 225||22222x x x x -++=--+≤得2||2||25max |()|max(||2)22x x x f x x ≤≤≤-++≤. ........ 15分 最后取21()22f x x x =-++,则(2)(2)(0)2f f f =-==.故该函数满足题设条件且在[2,2]-上能取到最大值52.因此|()|y f x =的最大值为52. ......20分。

（3）（2）（1）2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题: 本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a ， 则实数a = . 答案：6解析：因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-，解得28,2log 6b a b ===。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案：514解析：如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况；对于（3）；有18种情况；故所求概率为393918514P C ++== 3.设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λuu u r uu u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅uu u r uu u r uu r uu r，则实数λ的取值范围是_______________.答案：[1解析：(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则(1,1)PB λλ=--u u r，(,)PA λλ=-u u r，2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r，解得：11λ≤≤，因点P 是线段AB 上的一个动点，所以01λ≤≤，综上，满足条件的λ的取值范围是112λ-≤≤.4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH HB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 为PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为______..5.已知复数z 的模为1，则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案：17解：在复平面内，设(4,0)A 、(0,3)B -，P 为单位圆上的点，问题转化为求22||||PA PB +的最小值，设(cos ,sin )P αα，其中R α∈222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17αϕ=++≥由于R α∈，必存在α使sin()1αϕ+=-，即等号可以取到.6.在ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C+=++ . 答案：22017解析：因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C+==+⋅⋅22222222sin 1222()sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b =⋅===⋅+--. 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积，求方程2()1036f m m m =-- 的正整数解.解：设m 是n 位正整数，若3n ≥，则110100n m -≥≥,29()1036(10)3690369103610nnnf m m m m m m ≥=--=--≥-≥⋅->矛盾.此时无解. ...... 4分若1n =，则2()1036f m m m m ==--，此方程无整数解. ......8分 若2n =，且20m ≥，则281()103640020036164f m m m ≥=--≥--=矛盾 [10,19]m ∈， ...... 12分 设10m k =+，2()(10)10(10)36f m k k k =+-+-=，解得3k =， 综上，方程的解为13m =. ...... 16分8．(满分16分) 设12a =, 211n n n a a a +=-+.证明：20182018111112018nn a =-<<∑.证明：由递推式得211(1)n n n n n a a a a a +-=-=- 所以111111n n n a a a +=---.从而得2018201812019111111()1111n n n n n a a a a +===-=----∑∑. ...... 4分 又21(1)0n n n a a a +-=->得数列{}n a 单调递增, 所以12n a a ≥=.特别地20182019111111kk aa ==-<-∑. ...... 8分由递推式可得111n n n a a a +-=-.从而 11211111n n n a a a aa a ++-⋅==--. ...... 12分 由均值不等式及已证结论有1111nk k n n a =>≥∑所以 12nn a a a n ⋅>特别地2018201912201812018a a a a -=⋅>故20182018201911111112018kk aa ==->--∑. ...... 16分9．(满分20分) 设椭圆C 的左、右顶点为,(,0)A B a , 过右焦点(1,0)F 作非水平直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点, 记直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k , 试证: 12k k 为定值, 并求此定值(用a 的函数表示).证明：设:1l x ty =+，代入椭圆方程222211x y a a +=-得 2222222((1))2(1)(1)0a t a y a ty a -++---=，设 1122(,),(,)P x y Q x y , 则2122222(1)(1)a t y y a t a -+=--+，2212222(1)(1)a y y a t a -=--+. ......5分两式相除得1221221y y t y y a +=-, 212121()2a ty y y y -=+. 由题意知111111y y k x a ty a ==+++, 222221y y k x a ty a ==--+. ........ 10分 从而2112121122211222(1)(1)()/2(1)(1)()/2k y ty a a y y ay y k y ty a a y y ay y -+-+-+==++-+++ . 22122212(21)(1)(1)(21)a a y a y a y a a y -++-=-+++. ......15分 因为222221111121a a a a a a a a -+--==-+++所以 1211k a k a -=+. ......20分10． (满分20分) 设函数2()f x ax bx c =++ (0a ≠)满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值.解：由题意知(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而当[2,2]x ∈-时,2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++222224(2)(2)(0)884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++. ......5分 因为[2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而222222224224|()|442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+2||22x x =-++. .....10分易知当[0,2]x ∈ 时 225||22222x x x x -++=-++≤当[2,0]x ∈- 时 225||22222x x x x -++=--+≤得2||2||25max |()|max(||2)22x x x f x x ≤≤≤-++≤. ........ 15分 最后取21()22f x x x =-++,则(2)(2)(0)2f f f =-==.故该函数满足题设条件且在[2,2]-上能取到最大值52.因此|()|y f x =的最大值为52. ......20分。

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MCBOC MOC MOC OC． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分 故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ． 当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ． 证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++． 结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立． 当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ． 从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ． 证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ． 记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ． 由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ， 从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分 再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<． 设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q 是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q k x r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k xr k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分） 数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数， 对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分 情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。