第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集

由定理 16.1 知道存在 P0 R2 ，使得
lim
n
Pn
P0
任意取定 N ，对任何正整数 p 有 Pn p Dn p Dn
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再令 p ，由于 Dn 是闭域，从而必定是闭集，因此 P0 作为 Dn
的聚点必定属于 Dn ，即
P0
lim
p
Pn p
Dn , n
(1, 2,...)
点列的极限:
定义 lni m Pn P0 的定义 ( 用邻域语言 ) .
若 ( xn , yn ) ( x0 , y0 ) xn x0 , yn y0 , ( n ) .
设 P0 为点集 E 的一个聚点 . 则存在 E 中的点列{ Pn } , 使
lim
n
Pn
P0 .
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a n
1, 2 ,...n 它们同样覆盖了 D （即 D i ）
i 1
本定理的证明与Ｒ中有限覆盖定理相仿。
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三． 二元函数:
1. 二元函数的定义、记法、图象：
2. 定义域：
例1 求函数 z 2x 5y 的定义域与值域，并指出其形状。
例2 求函数 z 1 x2 y2 的定义域与值域，并指出
最后证明 P0 的唯一性，若还有 P0 Dn , n (1, 2,...) ，则由
P0, P0 (P0, Pn) (P0, Pn) 2Dn 0,(n )
得到： (P0P0) 0 ，即 P0 P0
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定理 16.3(聚点定理) 设 E R2 为有界无限点集，则 E 在 R2 中至少有
Pn收敛于点 P0 ，记作
lim
n
Pn

§5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。

二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2. 三元函数与n 元函数。

()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点集则称()u f x y z =，，为三元函数()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

【例1】 求函数arcsin 3x z =解 要求13x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030x y ≤≤⎧⎨≥⎩【例2】求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。

解 要求2240x y --≥和2210y x -+>即 2222212x y y x⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设()22f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。

解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122x u v y u v =+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()2235f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

x3 y3 3 3 lim 2 lim r (cos sin ) 0. x 0 x y 2 r 0 y 0
例7 求 解:由于
sin( x 3 y 3 ) lim . 2 2 x 0 x y y 0
| sin(x 3 y 3 ) || x |3 | y |3 (| x | | y |)(x 2 y 2 ),
0
f ( x, y ) 不存 例3 设 证明 lim x0 y 0 在. 证: 当动点(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时, 有
xy 2 f ( x, y) 2 , 4 x y
当(x,y)沿抛物线 y x 趋于(0,0)时, 有
( x , y ) ( 0 , 0 ) y x
( x , y )( 0, 0 ) yx
从而
sin(x 3 y 3 ) 0 | x | | y | . 2 2 x y
而 所以
故
lim(| x | | y |) 0,
x 0 y 0
sin(x 3 y 3 ) lim 0, 2 2 x 0 x y y 0
sin( x 3 y 3 ) lim 0. 2 2 x 0 x y y 0
lim
x f ( x, y) lim f ( x, x) lim 0. 2 x0 x 0 1 x
lim
x2 1 f ( x, y ) lim f ( x, x ) lim 2 0. x 0 x 0 x x 2 2
定义3 设 f ( x, y)在 P0 ( x0 , y0 )的某个空心邻域 内有定义. 若对任给 M 0, 存在 0, 使当 P( x, y) U ( P0 , )时, 有 f ( x, y) M , 则称 f 是当 P P0 时的正无穷大, 记为 lim f ( P ) , 或 lim f ( x, y ) . x x PP y y 仿此可类似定义 lim f ( P ) 与 lim f ( P) . PP PP

邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的
值 则函数的极限不存在 •讨论

xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点

外点

边界点

内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。

多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。

一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。

与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。

在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。

对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。

常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。

这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。

与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。

具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。

如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。

连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。

三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。

首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。

通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。

其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。

例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。

多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。

一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。

对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。

我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。

类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。

多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。

但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。

3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。

4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。

对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。

类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。

多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。

第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。

大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。

本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。

二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。

要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。

1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。

可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。

2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。

通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。

三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。

连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。

1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。

连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。

2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。

四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。

1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。

首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。

通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。

⎧1 , 0 < y < x 2 , − ∞ < x < +∞, f ( x, y ) = ⎨ ⎩0 , 其余部分,
当 D = ( x. y ) 0 < y < x ,−∞ < x < +∞ 时，
2 ( x , y ) →( 0 , 0 )
{
}
lim
f ( x, y ) = 1 ，
而在 D 的余集 D 上，却有
( x , y )→( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) 与 累 次 极 限
x→ x0 y → y0
lim lim f ( x, y ) ，则它们必相等．
推论 1 推论 2 推论 3 若两个累次极限与重极限都存在，则三者必相等． 若两个累次极限存在，但不相等，则重极限必不存在． 若
( x , y ) →( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) 存在，且 lim f ( x, y ) 存在，则 lim lim f ( x, y ) 存在且
x→ x0 y → y0 x→ x0 P → P0
lim f (P ) = lim lim f ( x, y ) ．
y → y0 x→ x0
几点说明： （1）重极限是否存在与函数定义域 D 有很大关系，如函数
2
x− y 在 (0,0) 点．此时重极限一定 x+ y
xy 在 (0,0) 点． x + y2
2
1 1 ⎧ ⎪ x sin + y sin , xy ≠ 0, f ( x, y ) = ⎨ y x ⎪ 0 , , xy = 0, ⎩
在 (0,0) 点． （7）重极限存在，某一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．如

(i) 内点——若 0 ,使 U (A ;) E ,则称点 A
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .

可以将多元函数的极限与连续性与其他数学领域相结合 ，如实分析、复分析、微分几何等，以产生更丰富的研 究成果。
可以将多元函数的极限与连续性应用于实际问题中，如 物理、工程、经济等领域的问题，以促进数学与实际应 用的结合。
THANKS
感谢观看
稳定性分析
在研究微分方程的解的稳定性时，需要用到多元函数的极限和连续 性，例如在分析解的收敛性和发散性时。
解的存在性和唯一性
在证明微分方程的解的存在性和唯一性时，需要用到多元函数的极 限和连续性。
在实变函数中的应用
测度论
在实变函数中，测度论是一个重 要的分支，而测度的定义和性质 与多元函数的极限和连续性紧密 相关。
如果函数在某点的极限值等于该点的 函数值，则称函数在该点连续。
02
多元函数的极限
极限的定义
极限的直观定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数。
极限的精确定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$||xa||<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，则称$f(x)$在点$a$处的极限为$L$。
多元函数的基本概念
多元函数
极限
连续
设$D$是$n$维欧几里得空间的一个 子集，对于每一个$x in D$，都对应 一个实数$f(x)$，则称$f$是一个定义 在$D$上的多元函数。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义， 如果存在一个确定的常数A，对于任意给定的 正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得 当$x$满足$0 < |x - x_0| < δ$时，对应的函数 值$f(x)$都满足$|f(x) - A| < ε$，那么常数A就 叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。

不存在，即关于双重变量不连续.
y0
2021/3/10
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皮肌§炎13图.2. 片多—元—函皮数的肌极炎限的和症连状续性表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
f x ', y ' f x '', y '' .
2021/3/10
16
§13.2. 多元函数的极限和连续性
（3）最大值和最小值定理 若f ( x, y)在有界闭区域D上连续，则它在D上必有
最大值和最小值,即在D上存在点M1 x1, y1 和 M2 x2, y2 ,使对D上任意的点 x, y ,恒有
:
设f
(
M
)在M0有定义，并且
lim
M M0
f (M)
f (M0 ),
则称f (M )在M0点连续.
即f（M）在 M0 极限值等于函数值。
f
在M
点连续
0
如果
>0,
>0,
当r(M , M0 ) 时,恒有 f (M ) f (M0)
2021/3/10
11
§13.2. 多元函数的极限和连续性
例5
1 x sin
1 y sin
x
y
.
y
x
故二重极限 lim f x, y 0. x0 y0
2021/3/10
22
§13.2. 多元函数的极限和连续性

多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。

本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。

一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。

在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。

多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。

这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。

具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。

在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。

分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。

如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。

多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。

这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。

第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集（精选）第一篇：第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集（精选）第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集limPn=P0的充1．设Pn=(xn,yn)是平面点列，P0=(x0,y0)是平面上的点.证明n→∞{}要条件是limxn=x0，且limyn=y0.n→∞n→∞2．设平面点列{Pn}收敛，证明{Pn}有界.3．判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：(1)E=(2)E=(3)E=(4)E=(5)E={(x,y)|y<x}；2{(x,y)|x2+y2≠1}；{(x,y)|xy≠0}；{(x,y)|xy=0}；{(x,y)|0≤y≤2,2y≤x≤2y+2}；⎧⎩1⎫,x>0⎬； x⎭(6)E=⎨(x,y)|y=sin(7)E=(8)E={(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}；{(x,y)|x,y均为整数}.4．设F是闭集，G是开集，证明FG是闭集，GF是开集.5．证明开集的余集是闭集.E的聚点的充要条件是E中存在点列{P6．设E是平面点集.证明P0是n}，满足P,2,Λ)且limPn=P0.n≠P0(n=1n→∞7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8．用致密性定理证明柯西收敛原理.9．设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集.证明紧集是有界闭集.10．设E是平面上的有界闭集，d(E)是E的直径，即d(E)=supr(P',P'').P',P''∈E求证：存在 P1,P2∈E，使得r(P1,P2)=d(E).11．仿照平面点集，叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.§2多元函数的极限与连续性1．叙述下列定义：(1)limf(x,y)=∞； x→x0y→y0(2)limf(x,y)=A； x→+∞y→-∞x→ay→+∞(3)limf(x,y)=A；(4)limf(x,y)=∞.x→ay→+∞2．求下列极限（包括非正常极限）：x2+y2(1)lim； x→0x+yy→0(2)limx→0y→0sin(x3+y3)x+y22；(3)limx→0y→022；(4)lim(x+y)sinx→0y→01； 22x+y2(5)limxylnx+yx→0y→022(2)；ex+ey(6)lim； x→0cosx-sinyy→0(7)limx→0y→0xy； x4+y2232sin(xy)(8)lim； x→0xy→2(9)x→1y→0lnx+ey(10)lim1； x→12x-yy→2(11)limxy+1； x→0x4+y4y→01+x2+y2(12)lim； 22x→0x+yy→0(13)limx+yx→+∞y→+∞(22)e(x2-x+y)；(14)lim x→+∞xy⎫.22⎪x+y⎭y→+∞⎝⎛3．讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限：x2(1)f(x,y)=2； x+y2(2)f(x,y)=(x+y)sin11sin； xyex-ey(3)f(x,y)=； sinxy(4)f(x,y)=x2y2xy+(x-y)222；x3+y3(5)f(x,y)=2； x+yx2y2(6)f(x,y)=3； 3x+y(7)f(x,y)=x4+3x2y2+2xy3(x(x22+y4322)；(8)f(x,y)=x4y4+y).4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明limf(x,y)存在的柯西收敛准则.x→x0y→y0 6．试作出函数f(x,y)，使当(x,y)→(x0,y0)时，(1)全面极限和两个累次极限都不存在；(2)全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；(3)全面极限和两个累次极限都存在.7．讨论下列函数的连续范围：(1)f(x,y)=(2)f(x,y)=1； sinxsiny(3)f(x,y)=[x+y]；(4)f(x,y)=x+y； x3+y3⎧sin(xy),y≠0,⎪(5)f(x,y)=⎨ y⎪0,y=0;⎩⎧sinxyx2+y2≠0,(6)f(x,y)=22⎩0,x+y=0;(7)f(x,y)=⎨⎧0,x为无理数；⎩y,x为有理数22222⎧⎪yln(x+y),x+y≠0,(8)f(x,y)=⎨ 22⎪⎩0,x+y=0;x⎧22,x+y≠0,⎪22p(9)f(x,y)=⎨(x+y)(p>0).⎪22⎩0,x+y=0,8．若f(x,y)在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意(x,y')∈G和(x,y'')∈G，有f(x,y')-f(x,y'')≤Ly'-y''，其中L为常数，求证f(x,y)在G内连续.9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10．设二元函数f(x,y)在全平面上连续，2lim2(1)f(x,y)在全平面有界；(2)f(x,y)在全平面一致连续.11．证明：若f(x,y)分别对每一变量x 和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则f(x,y)是二元连续函数.12．证明：若E是有界闭域，f(x,y)是E上的连续函数，则f(E)是闭区间.x+y→∞f(x,y)=A，求证：第二篇：7.1多元函数的概念、极限与连续性§7.1多元函数的概念、极限与连续性一．多元函数的基本概念 1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：例1矩形面积S与边长x，宽y有下列依从关系：S=x⋅y(x>0,y>0)．其中，长x与宽y是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x，y取定值后，矩形面积S有一个确定值与之对应．例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：x2y2x2y2z=2+2，双曲抛物面的方程为z=2-2，这里的z坐标既跟x有关，又跟ababy有关，它是x，y的二元函数.2.多元函数的概念定义1设D是R2的一个非空子集，映射f ：D→R称为定义在D 上的二元函数，记为z=f(x，y),(x，y)∈D(或z=f(P),P∈D)其中，点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.上述定义中，与自变量x、y的一对值(x，y)相对应的因变量z的值，也称为f 在点(x, y)处的函数值，记作f(x，y)，即z=f(x,y).函数f(x，y)值域：f(D)={z|z=f(x，y)，(x，y)∈D}.函数的其它符号:z=z(x，y)，z=g(x，y)等.类似地可定义三元函数u=f(x, y, z)，(x, y, z)∈D以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D,映射f ：D→R称为定义在D上的n元函数，通常记为u=f(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)∈D，或简记为u=f(x)，x=(x1，x2，...，xn)∈D，也可记为u=f(P)，P(x1，x2，...，xn)∈D.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出.例如：函数z=ln(x+y)的定义域为{(x，y)|x+y>0}(无界开区域);函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为{(x，y)|x2+y2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)∈D}称为二元函数z=f(x，y)的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如z=ax+by+c是一张平面，而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数z=9-x2-y2的定义域．解容易看出，当且仅当自变量x，y满足不等式x2+y2≤9, 函数z才有定义．其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z的定义域为x2+y2≤9．图7.1.1 图7.1.2例2求函数z=ln(x+y)的定义域．解函数的定义域为x+y>0，其几何图形是xOy平面上位于直线y=-x上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．x2+y2+arcsec(x2+y2)的定义域．例3求函数z=arcsin2解函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分．函数的定义域由不等式组22⎧⎪x+y≤2 ⎨22⎪⎩x+y≥1构成，即1≤x2+y2≤2．定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．图7.1.3 图7.1.4例5求函数z=11-x-y22的定义域．解函数的定义域为1-(x2+y2)>0，即x2+y2<1.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示．二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在P(x，y)→P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限.定义2设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点.如果存(,)D∈U⋂P(,)0δ时，在常数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当Pxyο总有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限，记为(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A，或f(x，y)→A((x，y)→(x0，y0)也可简记为P→P0limf(P)=A或f(P)→A(P→P0)上面定义的极限也称为二重极限.定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P(x，y)改为P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设f(x,y)=(x2+y2)sin证因为|f(x,y)-0|=|(x2+y2)sin1-0| =|x2+y2|⋅|sin1| ≤x2+y2，x2+y2x2+y21，求证limf(x,y)=0.(x,y)→(0,0)x2+y2可见∀ε>0，取δ=ε，则当0<(x-0)2+(y-0)2<δ,即P(x,y)∈D⋂U(O,δ)时，总有|f(x,y)-0|<ε，因此(x,y)→(0,0)οlimf(x,y)=0.sin(x2y).例6求极限limx→0x2+y2y→0sin(x2y)sin(x2y)x2y=lim⋅22,令u=x2y，则解lim222x→0x+yx→0xyx+yy→0y→0x2ysinu1sin(x2y)12xylim≤x=1,lim=而=⋅x22222x→0u→0x+yu2xy2x+yy→0x→0−−−→0，sin(x2y)=0.所以limx→0x2+y2y→0例7证明limxy不存在.x→0x2+y2y→0证取y=kx(k为常数)，则 limx→0y→0xyx⋅kxk=lim=，x2+y2x→0x2+k2x21+k2y=kx易见，所要求的极限值随k的变化而变化，故limx3y例8证明lim6不存在.x→0x+y2y→0xy不存在.x→0x2+y2y→0kx3yx3⋅kx3=,其极限值随k的不同而变证取y=kx,lim6=limx→0x+y2x→0x6+k2x61+k233y→0y=kx化，故极限不存在.例9证明lim(1+xy)x→0y→01x+y极限不存在.证取xn=0,yn=lim(1+xnyn)n→∞1xn+yn1(n为自然数)，则当n→∞时，yn→0,且n=lim(1+0)n→∞10+1/n=1.11,则当n→∞时，xn→0,yn→0,且取xn=,yn=-nn+1lim(1+xnyn)n→∞1xn+yn⎡1⎤=lim⎢1-⎥n→∞⎣n(n+1)⎦n(n +1)1=, e1x+y因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故lim(1+xy)x→0y→0不存在.三.多元函数的连续性1.多元函数连续性概念定义3设二元函数f(P)=f(x，y)的定义域为D,（1）P0(x0，y0)为D的聚点,且P0∈D.如果(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.（2）设D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x，y)在D 的每一点都连续,则称函数f(x，y)在D上连续,或称f(x，y)是D上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f(x，y)=cosx，证明f(x,y)是R2上的连续函数.证对于任意的P0(x0，y0)∈R2，因为(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=(x,y)→(x0,y0)limcosx=cosx0=f(x0,y0),所以，函数f(x，y)=cosx在点P0(x0，y0)连续，由P0的任意性知, cosx作为x, y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知,一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f(x,y)的定义域为D, P0(x0,y0)是D的聚点.如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则称P0(x0，y0)为函数f(x,y)的间断点.注:间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明,多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数:与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.x+x2-y2x2+y2+z2例如,cos(x+y+z),都是多元初等函数.e1+y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性,如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则p→p0limf(P)=f(P0).例11讨论二元函数⎧x3+y3,(x,y)≠(0,0)⎪f(x,y)=⎨x2+y2⎪0,(x,y)=(0,0)⎩在(0,0)处的连续性.解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：令x=ρcosθ,y=ρsinθ,则(x,y)→(0,0)limf(x,y)=limρ(sin3θ+cos3θ)=0=f(0,0)，ρ→0所以函数在(0,0)点处连续.⎡y⎤例12求极限lim⎢ln(y-x)+⎥.x→021-x⎦⎣y→1y⎤⎡1⎤⎡解lim⎢ln(y-x)+=ln(1-0)+⎥=1.⎥⎢x→021-x⎦⎣⎣1-0⎦y→1ex+y.例13求limx→0x+yy→1ex+ye0+1ex+y==2.解因初等函数f(x,y)=在(0,1)处连续，故 limx→0x+y0+1x+yy→12.多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界,且在D上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f(P)在有界闭区域D上连续，则必存在常数M>0，使得对一切P∈D，有|f(P)|≤M，且存在P1、P2∈D，使得f(P1)=max{f(P)|P∈D}，f(P2)=min{f(P)|P∈D}性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定2.讨论函数⎧xy2,x2+y2≠0⎪24f(x,y)=⎨x+y2⎪0,x+y2=0⎩(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=A? 的连续性.3.你能否用ε—δ语言证明sin(x2y)lim22=0.x→0x+yy→0本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即ε-δ语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.1 y⎫⎛1.设f x-y,⎪=x2-y2,求f(x,y).x⎭⎝x22.已知函数f(x,y)=x+y-xycot2，试求f(tx，ty).y3.求下列各函数的定义域(1)z=ln(y2-5xy+1);(2)z=11; +22x+yx-yx-y;(3)z=(4)u=R2-x2-y2-z2+1(R>r>0);2222x+y+z-r(5)u=arcsinzx+y22.4.求下列各极限:1-x2y(1)lim;(x,y)→(0,3)x3+y3(2)limln(y+ex)x+y22(x,y)→(1,1);( 3)2-xy+4; xy(x,y)→(0,0)limlimxy;xy+1-1(4)(5)(x,y)→(0,0)sin(xy);(x,y)→(0,2)xlim1-cos(x2+y2)(6)lim22.(x,y)→(0,0)(x2+y2)exy5.证明下列极限不存在:(1)x-y;(x,y)→(0,0)x+ylim(2)xy.(x,y)→(0,0)xy+x-ylimey+ax6.函数z=（a为常数）在何处间断？y-2x7.用ε-δ语言证明(x,y)→(0,0)limxy=0. 22x+y第三篇：第十三章多元函数的极限和连续性《数学分析（1，2，3）》教案第十三章多元函数的极限和连续性§1、平面点集一邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点M0(x0,y0)，凡是与M0的距离小于ε的那些点M组成的平面点集，叫做M0的ε邻域，记为O(M0,ε)。