1平面点集与多元函数

第十六章 多元函数的极限与连续§ 1平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点和界点：（1）［a,b ）⨯［c,d ）; （2）｛（x,y ）｜xy ≠0｝; （3）｛（x,y ）｜xy ＝0｝;（4）｛（x,y ）｜y ＞x 2｝; （5）｛（x,y ）｜x ＜2,y ＜2,x ＋y ＞2｝;（6）｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，0≤x ≤1｝;（7）｛（x,y ）｜x 2＋y 2≤1或y ＝0，1≤x ≤2｝; （8）｛（x,y ）｜x,y 均为整数｝;（9）｛（x,y ）｜y ＝sin x1,x ＞0｝;解：（1）有界区域.其聚点为[a,b]⨯[c,d]中任一点.界点为矩形[a,b]⨯[c,d]的四条边上的任一点.(2)无界开集.聚点集为R 2.界点集为｛（x,y ）｜xy ＝0｝. (3)无界闭集.聚点集和界点集都是｛（x,y ）｜xy ＝0｝.(4)无界开域.聚点集为｛（x,y ）｜y ≥x 2｝.界点集为｛（x,y ）｜y ＝x 2｝. (5)有界开域.聚点集为｛（x,y ）｜x ≤2,y ≤2,x ＋y ≥2｝.界点为直线x = 2,y = 2和x + y =2所围成的三角形三边上的点.(6)无界闭集.没有聚点.有界点集,聚点:E = ｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，0≤x ≤1｝.界点:∂E = E.(7)闭集,有界集.聚点E =｛（x,y ）｜x 2＋y 2≤1或y ＝0，1≤x ≤2｝ ,δE = ｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，1≤x ≤2｝.(8)是闭集,界点集｛（x,y ）｜x,y 均为整数｝.(9)是非开非闭的无界集.聚点E =｛（x,y ）｜y ＝sinx1,x ＞0｝⋃ ｛(0,y)｜-1≤y ≤1｝,∂E= E.2. 试问集合｛（x,y ）｜0＜｜x - a ｜＜δ,0＜｜y - b ｜＜δ｝与集合｛（x,y ）｜｜x - a ｜＜δ,｜y - b ｜＜δ,(x,y)≠(a,b)｝是否相同?解:不相同,因为点集1E =｛（x,y ）｜x = a, 0＜｜y - b ｜＜δ｝与2E =｛（x,y ）｜y = b,0＜｜x - a ｜＜δ｝不属于第一个点集,但却属于第二个点集.3. 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列｛n P ｝E ⊂, n P ≠0P ,0lim P P n n =∞→ 时, 0P 是E 的聚点.解:证 充分性 若存在｛n P ｝E ⊂且各点互不相同, n P ≠0P ,但0lim P P n n =∞→,则ε∀＞ 0.,0>∃N 当N n >时,),;(0εP U P On ∈又｛n P ｝E ⊂从而0P 的任何空心邻域);(00εP U 内都含有E 中的点.即0P 是E 的聚点.必要性:若0P 是E 的聚点,则ε∀＞ 0,存在∈P );(00εP U E ⋂. 令 11=ε,则存在∈1P );(00εP U E ⋂;令⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)(,21min 012P P ρε,则存在 ∈2P );(00εP U E ⋂;且显然),()(01202P P P P -≤<-ρερ知12P P ≠;令 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-)(,1min 01P P n n n ρε,则存在∈n P );(00εP U E ⋂,且n P 与,1P …1-n P 互异.无限地重复以上步骤,得到E 中各项互异的点列｛n P ｝, n P ≠0P 且由,1)(0nP P n n ≤<-ερ易得0lim P P n n =∞→.4. 证明：闭域必为闭集.举例说明反之不真.解:设D 为闭域,且P 是D 的任一聚点,则);(δP U ∀内含有D 的无穷多个点.若(1)0δ∃使,);(0D P U ⊂δ则D P ∈;(2)否则P 的没每一);(δP U 内既含有D 的点又含有不属于D 的点,则P 是D 的界点,由闭域定义,D P ∈由(1),(2)得D P ∈,由P 的任意性得D 上的一切点都是D 的聚点,所以D 是闭集.反之,例如,1),{(22=+y x y x 或}32,0≤≤=x y 是闭集,然而E 中的开域是=1E }1),{(22<+y x y x 及=∂1E }1),{(22=+y x y x 且E E E ≠∂⋃11,则可知E 不是闭域.5. 证明:点列)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P 的充要条件是0lim x x n n =∞→和0lim y y n n =∞→.证 必要性 设点列)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P ,即0lim P P n n =∞→.则0>∀ε,存在N ,当N n >时,有);(0εP U P n ∈,即ερ<-+-=-20200)()()(y y x x P P n n n .于是 )()()(20200N n y y x x x x n n n ><-+-≤-ε.从而 0lim x x n n =∞→.同理, 0lim y y n n =∞→.充分性 设0lim x x n n =∞→,0lim y y n n =∞→,则0>∀ε,存在N ,当Nn >时,20ε<-x x n , 20ε<-y y n .因此ε<-+-2020)()(y y x x n n .则可知)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P . 6. 求下列个函数的函数值:(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)arctan()arctan(),(y x y x y x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+231,231f ;(2)222),(y x xy y x f +=,求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1;(3)yxxy y x y x f tan),(22-+= ,求),(ty tx f . 解:(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+231,231f = 23arctan 1arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 16934=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ(2) 222212,1y x xy x y x yx y f +=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛ (3)())tan (tan,22222222yx xy y x t y x xy t y t x t ty tx f -+=-+= 7. 设,ln ln ),(y x y x F =证明:若,0,0>>υμ则).,(),(),(),(),(υμυμμυy F y F x F x F xy F +++= 证:因为,ln ln ),(y x y x F =,0,0>>υμ所以 )ln()ln(),(μυμυxy xy F =)ln )(ln ln (ln υμ++=y xυμυμln ln ln ln ln ln ln ln y y x x +++= ).,(),(),(),(υμυμy F y F x F x F +++=8. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:(1)2222),(y x y x y x f -+=; (2) ;321),(22yx y x f += (3)xy y x f =),(; (4)11),(22-+-=y x y x f ;(5)y x y x f ln ln ),(+=; (6))sin(),(22y x y x f +=; (7))ln(),(x y y x f -=; (8))(22),(y x e y x f +-=;(9)1),,(22++=y x zz y x f ;(10) 222222221),,(rz y x z y x R z y x f -+++---=(R ＞r);解:(1)定义域:}),{(x y y x D ±≠=,是开集但不是开域. (2)定义域:}0),{(22≠+=y x y x D ,是开集也是开域. (3)定义域:}0),{(≥=xy y x D ,是闭集也是闭域.(4)定义域:}1,1),{(≥≤=y x y x D ,是闭集,但不是区域. (5)定义域:}0,0),{(>>=y x y x D ,是开集,也是开域.(6)定义域:,....}1,0,)12()(2),{(22=+≤+≤=k k y x k y x D ππ, 是闭集,但不是区域.(7)定义域:}),{(x y y x D >= 是开集,也是开域. (8)定义域:,2R D = 是开集,又是闭集,是闭域也是开域. (9)定义域:3R D =, 是开集,又是闭集,是闭域也是开域.(10)定义域:}),,{(22222R z y x r z y x D ≤++<=,是有界集,但既不是开集也不是闭集.§2 二元函数的极限1. 试求下列极限(包括非正常极限)(1)2222)0,0(),(lim y x y x y x +→; (2) 2222)0,0(),(1lim yx y x y x +++→; (3)11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x ; (4)44)0,0(),(1limy x xy y x ++→;(5)y x y x -→21lim)2,1(),(; (6) 22)0,0(),(1sin )(lim y x y x y x ++→;(7) 2222)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→解(1)对函数自变量作极坐标变换:θθsin ,cos r y r x == 这时0),0,0(),(→→r y x 即由于22222222cos sin 0),(r r yx y x y x f ≤=+=-θθ 因此,对时，就有，当取δεδε<+=<=>∀2200y x rε≤≤-20),(r y x f由此可知 2222)0,0(),(lim y x y x y x +→(2)令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即+∞=+=+++→→2202222)0,0(),(1lim 1lim rr y x y x r y x . (3) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即=-+++→11lim2222)0,0(),(y x y x y x 2101(lim )11(lim2022)0,0(),(=++=+++→→r y x r y x(4) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即,不妨限制10<<r . 则对时当⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>∀421,1min 00Mr M因为)4cos 3(41cos sin44θθθ+=则M rr r r r y x xy ≥>++=++=++44244424442)4cos 3(2sin 24)sin (cos 1cos sin 1θθθθθθ 故+∞=++→44)0,0(),(1limy x xy y x(5)对,212,4110时当My M x M <-<->∀就有M yx y x y x >-+-≥-+-=-2121)2()1(2121所以+∞=-→y x y x 21lim)2,1(),((6)对时，就有当2,2,0εεε<<>∀y x ε<+≤++y x y x y x 221sin)(所以01sin)(lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x(7) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即1sin lim )sin(lim 2202222)0,0(),(==++→→rry x y x r y x2. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限和累次极限:(1)222),(yx y y x f +=; (2) y x y x y x f 1sin 1sin )(),(+=; (3) 22222)(),(y x y x y x y x f -+=; (4) yx y x y x f ++=233),(; (5) x y y x f 1sin ),(=; (6) 3322),(y x y x y x f += (7) xye e y xf yx sin ),(-=;解(1)当动点),(y x P 沿直线kx y =趋于点)0,0(时有22221222)0,0(),(11lim lim k k k k y x y x kxy y x +=+=+→=→ 其极限值依赖于k,因此不存在，而222)0,0(),(lim y x y kxy y x +=→0lim lim 22200=+→→y x y y x ,1lim lim 22200=+→→y x y x y (2) 因为:）当0,0(),(,01sin 1sin )(0→→+≤+≤y x y x yx y x , 当)0,0(),(→y x ,所以2,0εδε=∃>∀,当)0,0(),(,,≠<=y x y x δδ时,εδ=<+≤+21sin 1sin)(y x yx y x ,即01sin 1sin )(lim )0,0(),(=+→y x y x y x .当,2,1,1±±=≠k k x π…,0→y 时, y x y x 1sin 1sin )(+的极限不存在,因此),(lim lim 00y x f y x →→不存在,同法得),(lim lim 00y x f x y →→不存在.(3) 1)当沿x y =时,有=→),(lim )0,0(),(y x f y x ,1),(lim 0=→y x f x2)当沿0=y 时有=→),(lim )0,0(),(y x f y x ,0),(lim 0=→y x f x因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在,而00lim),(lim lim 200==→→→xy x f x y x , 00lim),(lim lim 200==→→→yy x f y x y (4) 1) 当沿x y =时,有=→),(lim)0,0(),(y x f y x 02lim 230=+→xx x x . 2)当沿32x x y +-=时,有=→),(lim)0,0(),(y x f y x 1])1(1[lim 330=-+→x x x ,因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在,0lim ),(lim lim 00==→→→x y x f x y x ,0lim ),(lim lim 20==→→→y y x f y x y .(5) 因为).0,0(),(,01sin0→→≤≤y x y xy 所以对0>∀ε,取,εδ= 当)0,0(),(,,≠<=y x y x δδ时εδ=<≤y xy 1sin 即0),(lim )0,0(),(=→y x f y x而,00lim 1sinlim lim 000==→→→x y x x y xy x y 1sin lim lim 00→→不存在.总练习题十六1. 设E 2R ⊂是有界闭集，d(E)为E 的直径。

（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。

第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数一、平面点集概念1：在平面上确定一个坐标系(一般指平面直角坐标系)，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此“数对”可等同于“平面上的点”，这种确定了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作：E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.如R2={(x,y)|-∞<x<+∞,-∞<y+∞}指整个坐标平面. 平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y2<r2}.而集合S={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}表示一矩形及其内部所有点的全体，通常记作：[a,b]×[c,d].一般地，对于任意两个数集A, B，记A×B={(x,y)|x∈A,y∈B }，称为A 与B的直积. 如：A={(u,v)|u2+v2<1}，B=[0,1]，则A×B={(u,v,w)|u2+v2<1, 0≤w≤1 }.平面点集{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}与{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}分别称为以点A(x0,y0)为中心的δ圆邻域与δ方邻域.点A的任一圆邻域可包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，所以通常用“点A的δ邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并记为U(A;δ)或U(A). 而点A的空心邻域是指：(记为U⁰(A;δ)或U⁰(A)) {(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}或{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ, (x,y)≠(x0,y0)}.任一点A∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种关系之一：1、内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)⊂E，则称A是点集E 的内点. E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.2、外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Ø，则称A是点集E的外点.3、界点：若点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E 的点，则称A是集合E的界点. 即对任何正数δ，恒有U(A;δ)∩E≠Ø且U(A;δ)∩E c≠Ø，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集. E的全体界点构成E的边界，记作∂E.内点属于E，外点不属于E，界点不能确定.按点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成的关系：1、聚点：若在点A的任何空心邻域U⁰(A)内都含有E中的点，则称A 是E的聚点. 聚点不一定属于E. A是点集E的聚点的定义等价于“点A的任何邻域U(A)内包含有E的无穷多个点”.2、孤立点：若点A∈E, 但不是E的聚点，即存在某一正数δ，使得U⁰(A;δ)∩E=Ø，则称点A是E的孤立点. 孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，即不是聚点，又不是孤立点，必为外点.例1：设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y2<4}，分别指出它的内点、界点和聚点，并指出界点是否属于点集D.解：满足1<x2+y2<4的一切点都是D的内点；满足x2+y2=1的一切点是D的界点且属于D；满足x2+y2=4的一切点是D的界点且不属于D；点集D连同它外圆边界上的所有点都是D的聚点.概念2：重要的平面点集：1、开集：若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE=E)，则称E 为开集.2、闭集：若平面点集E的所有集点都属于E，则称E为闭集. 没有聚点的点集也称为闭集.注：例1中的点集D即不是开集也不是闭集；R2和Ø既开又闭.3、开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全包含于E的有限折线相连接，则称E为开域(非空连通开集).4、闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域.5、区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域. 反例：开集E={(x,y)|xy>0}在I,III象限之间不具有连通性，所以它不是区域.6、有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数r ，使得E⊂U(O,r)，其中O 为坐标原点(也可为其它固定点)，则称E 为有界点集. 反之则为无界点集. E 为有界点集等价于：存在矩形区域D=[a,b]×[c,d]⊃E.点集的有界性可用点集的直径来反映，即d(E)=E P ,P 21sup ∈ρ(P 1,P 2)，其中ρ(P 1,P 2)表示P 1与P 2两点之间的距离，当P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)时，则ρ(P 1,P 2)=221221)-y (y )x -(x +，于是当d(E)为有限值时，E 为有界点集.根据距离的概念，对R 2上的任意三点P 1,P 2,P 3，有以下三角不等式： ρ(P 1,P 2)≤ρ(P 1,P 3)+ ρ(P 2,P 3).例2：证明：对任何S ⊂R 2，∂S 恒为闭集.证：如图：设x 0为∂S 的任一聚点，∀ε>0，由聚点的定义，∃γ∈U ⁰(x 0;ε)∩∂S. 又γ是S 的界点， ∴对任意U(γ;δ)⊂U ⁰(x 0;ε), U(γ;δ)上既有S 的点，又有非S 的点. ∴U(x 0;ε)上也既有S 的点，又有非S 的点，即x 0∈∂S ，∴∂S 恒为闭集.二、R 2上的完备性定理定义1：设{P n }⊂R 2为平面点列，P 0∈R 2为一固定点. 若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，有P n ∈(P 0;ε)，则 称点列{P n }收敛于点P 0，记作：∞→n lim P n =P 0或P n →P 0, n →∞.注：分别以(x n ,y n )与(x 0,y 0)表示P n 与P 0时，∞→n lim P n =P 0等价于∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0. 以ρ(P 1,P 2)表示P n 与P 0之间距离时，∞→n lim P n =P 0又等价于，∞→n lim ρ=0.定理16.1：(柯西准则)平面点列{P n }收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有ρ(P n ,P n+p )<ε. 证：[必要性]设∞→n lim P n =P 0, 则由三角不等式有 ρ(P n ,P n+p )≤ρ(P n ,P 0)+ρ(P n+p ,P 0)，由点列收敛定义，∀ε>0，∃正整数N ， 当n+p>n>N 时，恒有ρ(P n ,P 0)<2ε; ρ(P n+p ,P 0)<2ε；∴ρ(P n ,P n+p )<ε.[充分性]若ρ(P n ,P n+p )<ε，则同时有|x n+p -x n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，|y n+p -y n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，∴∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，∴∞→n lim P n =P 0，即{P n }收敛于P 0.定理16.2：(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：(1)D n ⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n =d(D n ), ∞→n lim d n =0，则 存在唯一的点P 0∈D n , n=1,2,….证：任取点列P n ∈D n , n=1,2,….∵D n+p ⊂D n , ∴P n ,P n+p ∈D n , 如图有ρ(P n ,P n+p )≤d n →0, n →∞. 由定理16.1知，存在P 0∈R 2，使∞→n lim P n =P 0. 任取n ，对任何正整数p ，有P n+p ∈D n+p ⊂D n .令p →∞，∵D n 是闭域，从而必为闭集. ∴D n 的聚点P 0∈D n ,即P0=lim P n+p∈D n, n=1,2,…. 若有P0’∈D n, n=1,2,….n→∞由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！推论：对上述闭域套{D n}，任给ε>0，存在正整数N，当n>N时，有D n⊂U(P0;ε).定理16.3：(聚点定理)设E⊂R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证法一：∵E是平面有界无限点集，∴存在一个闭正方形D1包含它. 连接正方形对边中点，把D1分成四个小的闭正方形，则在这个四个小闭正方形中，至少有一个含有E的无限个点，记为D2，同样的将D2分成四个小的闭正方形，得到D3含有E的无限个点，如此下去得到一个闭正方形序列：D1⊃D2⊃D3⊃…，则闭正方形序列{D n}的边长随着n趋向于无限而趋向于0，于是由闭域套定理，存在一点M0∈D n, n=1,2,….ε，任取M0的ε邻域U(M0;ε)，当n充分大时，正方形的边长小于2即D n⊂U(M0;ε). 又由D n的取法知U(M0;ε)含有E的无限多个点，即M0是E的聚点.证法二：若点集E不存在任何聚点，则对任意点P∈E，∵E有界，∴存在某一正数r ，使得E⊂U(P;r)，且U(P;r)中只包含E的有限个点. 而E的所有点都包含于U(P;r)，即E 只包含有限个点，与E 为无限点集矛盾；∴E 在R 2中至少有一个聚点.定理16.3’：有界无限点列{P n }⊂R 2必存在收敛子列{kn P }.定理16.4：(有限覆盖定理)设D ⊂R 2为一有界闭域(集)，{△α}为一开域(集)族，它覆盖了D(即D ⊂αα∆ )，则{△α}中必存在有限个开域(集)△1,△2,…,△n ，它们同样覆盖了D(即D ⊂i n1i ∆= ). 证：设有界闭域D 含在矩形[a,b]×[c,d]之中，并假设D 不能被{△α}中有限个开域所覆盖.用直线x=2b a +，y=2d c +把矩形[a,b]×[c,d]分成四个相等的闭矩形，则 至少有一个闭矩形所含的D 的部分不能被{△α}中有限个开域所覆盖. 类似的，把这个矩形(或几个的其中任一)再分成四个相等的闭矩形. 按此法继续下去，可得一闭矩形套{[a n ,b n ]×[c n ,d n ]}. 其中每一个闭矩形 所含的D 的部分都不能为{△α}中有限个开域所覆盖，于是每个闭矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]中都至少含有D 的一点，任取其中一点(x n ,y n ), 则 (x n ,y n )∈D, 且a n <x n <b n , c n <y n <d n (n=1,2,…). 由闭矩形套定理可知： 存在一点(x 0,y 0)，满足对任意自然数n ，都有a n ≤x 0≤b n , c n ≤y 0≤d n . ∵∞→n lim (b n -a n )=n n 2a -b lim ∞→=0; ∞→n lim (d n -c n )=n n 2c -d lim ∞→=0；∴∞→n lim x n =x 0; ∞→n lim y n =y 0. 又(x n ,y n )是有界闭域D 上的点，∴(x 0,y 0)∈D. 则{△α}中必有一开域包含(x 0,y 0)，设为△0，则必存在点P 0(x 0,y 0)的一个邻域U(P 0,δ)⊂△0，由a n →x 0, b n →x 0; c n →y 0,d n →y 0，知当n 充分大时，恒有x 0-2δ<a n ≤x 0≤b n <x 0+2δ; y 0-2δ<c n ≤y 0≤d n <y 0+2δ. 可知，矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都包含于U(P 0,δ)中，从而包含于开域△0中， 这与每个[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都不能被{△α}中有限个开域所覆盖矛盾， ∴{△α}中必有D 的有限开覆盖.三、二元函数定义2：设平面点集D ⊂R 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作：f:D →R ，P ↦z.且称D 为f 的定义域，P ∈D 所对应的z 为f 在点P 的函数值. 记作： z=f(P)或z=f(x,y).全体函数值的集合为f 的值域，记作f(D) ⊂R. 通常把P 的坐标x 与y 称为f 的自变量，而z 称为因变量.若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数.f 在D 上无界的充要条件是：存在{P k }⊂D ，使∞→k lim f(P k )=∞.在映射意义下，z=f(P)称为P 的象，P 称为z 的原象.把(x,y)∈D 和它对应的象z=f(x,y)一起组成三维数组(x,y,z)时，三维欧氏空间R 3中的点集S={(x,y,z)|z=f(x,y), (x,y)∈D }⊂R 3，就是二元函数f 的图象. z=f(x,y)的图象通常是一空间曲面，f 的定义域D 就是该曲面在xOy 平面上的投影.例3：指出下列函数的定义域和值域，以及它们属于有界函数还是无界函数，并说明它们的图象形状.(1) z=2x+5y ；(2)z= )y x (122+-；(3)z=xy ；(4)z=[ y x 22+].解：(1)z=2x+5y 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为R 3中一个平面.(2)z= )y x (122+-的定义域是xOy 平面上的单位圆域{(x,y)|x 2+y 2≤1}， 值域为区间[0,1]，属于有界函数；其图象为以原点为中心的单位球面的上半部分.(3)z=xy 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为过原点的双曲抛物面.(4)z=[ y x 22+]是定义在R 2上的函数，值域是全体非负整数，属于无界函数；其图象如图.四、n 元函数概念3：所有有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维向量空间，简称n 维空间，记作R n . 其中每个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )称为R n 中的一个点，n 个实数x 1,x 2,…,x n 是这个点的坐标.设E为R n中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点P(x1,x2,…,x n)都有唯一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数(或称f为E⊂R n到R的一个映射)，记作f:E→R, (x1,x2,…,x n)↦y.或简写成y=f(x1,x2,…,x n), (x1,x2,…,x n)∈E或y=f(P), P∈E.习题1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域，并分别指出它们的聚点与界点：(1)[a,b)×[c,d)；(2){(x,y)|xy≠0}；(3){(x,y)|xy=0}；(4){(x,y)|y>x2}；(5){(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}；(6){(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}；(7){(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}；(8){(x,y)|x,y均为整数}；1, x>0}.(9){(x,y)|y=sinx解：(1)点集[a,b)×[c,d)为非开非闭有界集，也是区域.聚点为[a,b]×[c,d]中任一点；界点为[a,b]×[c,d]的四条边上任一点. (2)点集{(x,y)|xy≠0}是无界开集，非区域.聚点为平面内任一点；界点为两坐标轴上的点.(3)点集{(x,y)|xy=0}是无界开集，非区域.聚点和界点都是两坐标轴上的点.(4)点集{(x,y)|y>x2}是无界开集，也是区域；聚点为抛物线y=x2及上方的所有点；界点为抛物线y=x2上的所有点.(5)点集{(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}为有界开集，也是区域；聚点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三角形三边及内部所有的点；界点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三边形三边上的点.(6)点集{(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}是有界闭集，非区域；聚点和界点都是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(7)点集{(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}是有界闭集，非区域；聚点是圆x2+y2=1及其内部和x轴上线段[1,2]上所有的点；界点是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(8)点集{(x,y)|x,y均为整数}是无界闭集，非区域；没有聚点；界点为集内全体点.1, x>0}为非开非闭无界集，非区域；(9)点集{(x,y)|y=sinx1在I,IV象限的所有点. 界点与聚点都是y轴上线段[-1,1]及曲线y=sinx2、试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}是否相同？解：不相同.因为点集{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}不包含x=a及y=b上的两线段；而点集{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}仅不包含一个点(a,b).3、证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{P n}⊂E, P n≠P0，lim P n=P0n→∞时，P0是E的聚点.证：[充分性]若P n≠P0，lim P n=P0，则∀ε>0，∃N，使得当n>N时，n→∞有P n ∈U ⁰(P 0;ε)，当n 充分大时，U ⁰(P 0;ε)含有{P n }的无穷多个点. 又{P n }⊂E, ∴U ⁰(P 0;ε)含有E 中无穷多个点，即P 0是E 的聚点.[必要性]若P 0是E 的聚点，则∀ε>0，U ⁰(P 0;ε)中必含有E 中的点. 取ε1=1，则U ⁰(P 0;ε1)中必含有E 中的点，任取出一个记为P 1. 取ε2=min{21,|P 1-P 0|}，则U ⁰(P 0;ε2)中必含有E 的点，任取一个记为P 2. 依次类推，取εn =min{n1,|P 1-P 0|,…,|P n-1-P 0|}，则U ⁰(P 0;εn )中含有E 的点，取出一个记为P n . 无限继续，可得各项互异的点列{P n }，即有P n ≠P 0，{P n }⊂E ，且∞→n lim P n =P 0.4、证明：闭域必为闭集. 举例说明反之不真.证：设D 为闭域，则有开域G ，使D=G ∪∂G ，其中∂S 为G 的边界. 设P 0∉D ，则P 0∉G 且P 0∉∂G. 由P 0∉G 可知，∀δ>0，U(P 0;δ)∩G c ≠Ø，其中G c 为G 的余集即关于R 2的补集. 又由P 0∉∂G 可知，存在δ0>0，使U(P 0;δ0)∩G=Ø.若存在P 1∈U(P 0;δ0)∩∂G ，则当ε>0充分小时，U(P 1;ε)⊂(P 0;δ0). 由于 P 1∈∂G ，从而U(P 1;ε)含有G 的点Q ，于是Q ∈U(P 0;δ)∩G ，矛盾. ∴U(P 0;δ0)∩∂G=Ø，∴(P 0;δ0)∩D=Ø，即P 0不是D 的聚点，∴若P 0是D 的聚点，则P 0∈D ，即D 为闭集.反之，平面内的任意两点可以构成一个闭集，但却不是一个闭域.注：任一点集E ，E ∪∂E 恒为闭集.5、证明：点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)的充要条件是：∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0.证：[必要性]设点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)，则∀ε>0，∃N ， 当n>N 时，ρ(P n ,P 0)< ε, 即20n 20n )y -(y )x -(x +<ε,∴|x n -x 0|≤20n 20n )y -(y )x -(x +< ε,(n>N)，∴∞→n lim x n =x 0，同理∞→n lim y n =y 0. [充分性]设∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，则∀ε>0，∃N 1,N 2，使得 当n>N 1时，有|x n -x 0|<2ε; 当n>N 2时，有|y n -y 0|<2ε; 取N=Max{N 1,N 2}，则当n>N 时，同时有|x n -x 0|<2ε和|y n -y 0|<2ε；∴ρ(P n ,P 0)=20n 20n )y -(y )x -(x +<2ε2ε22+=ε, ∴点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0).6、求下列各函数的函数值： (1)f(x,y)=2y)-arctan(x y)arctan(x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 求f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，； (2)f(x,y)=22y x 2xy +, 求f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，；(3)f(x,y)=x 2+y 2-xytan y x , 求f(tx,ty). 解：(1)x+y=231231-++=1; x-y=231231--+=3； ∴f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，=23arctan 1arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π÷4π⎪⎭⎫ ⎝⎛=169. (2)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷22a b 1a 2b =22b a 2ab +. (3)f(tx,ty)=t 2x 2+t 2y 2-t 2xytan ty tx =t 2(x 2+y 2-xytan yx ).7、设F(x,y)=lnxlny ，证明：若u>0, v>0，则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).证：当u>0, v>0时，F(xy,uv)=lnxylnuv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).8、求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明是何种点集： (1)f(x,y)=2222y-x y x +；(2)f(x,y)=223y 2x 1+；(3)f(x,y)=xy ； (4)f(x,y)=2x -1+1-y 2；(5)f(x,y)=lnx+lny ；(6)f(x,y)=)y sin(x 22+；(7)f(x,y)=ln(y-x)；(8)f(x,y)=)y x (22e +-；(9)f(x,y,z)=1y x z 22++； (10)f(x,y,z)=2222z y x R ---+2222r z y x 1-++, (R>r).解：如图：(1)函数定义域D={(x,y)|x ≠±y}，是无界开点集.(2)函数定义域D={(x,y)|xy ≠0}=R 2-(0,0)，是无界开点集.(3)函数定义域D={(x,y)|xy ≥0}，是无界闭集.(4)函数定义域D={(x,y)||x|≤1, |y|≥1}，是无界闭集.(5)函数定义域D={(x,y)|x>0, y>0}，是无界开点集.(6)函数定义域D={(x,y)|2n π≤x 2+y 2≤(2n+1)π, n=0,1,2,…}，是无界闭集.(7)函数定义域D={(x,y)|y>x}，是无界开集.(8)函数定义域D=R 2，是无界既开又闭的点集.(9)函数定义域D=R 3，是无界既开又闭的点集，图略.(10)函数定义域D={(x,y)|r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}，是有界非开非闭的点集.(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (10)(空心球体)9、证明：开集与闭集具有对偶性，即若E为开集，则E c为闭集；若E为闭集，则E c为开集.证：设E为开集，E c不是闭集. 则E c中至少有一个聚点A不属于E c，则必有A∈E. ∵E为开集，∴存在点A的某邻域U(A)⊂E，则U(A)中不含有E c中的点，与A为E c的聚点矛盾.∴E 为开集，则E c 为闭集.设E 为闭集，E c 不是开集. 则E c 中至少有一点B 不是E c 的内点. ∵点B 的任何邻域U(B)⊄E c ，即U(B)中含有E 中的点，又B ∉E ， ∴B 为E 的聚点，这与E 是闭集矛盾. ∴E 为闭集，则E c 为开集.10、证明：(1)若F 1, F 2为闭集，F 1∪F 2与F 1∩F 2都为闭集；(2)若E 1, E 2为开集，E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集；(3)若F 为闭集，E 为开集，则F\E 为闭集，E\F 为开集.证：(1)设P 为F 1∪F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列{P n }⊂F 1∪F 2，∴F 1和F 2至少有一个集合含有{P n }的无限多项，不妨设{k n P }⊂F 1，则 也有kn P →P(k →∞)，从而P 为F 1的聚点. 又F 1为闭集，∴P ∈F 1，即 P ∈F 1∪F 2，∴F 1∪F 2为闭集.设Q 为F 1∩F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于Q 的点列{Q n }⊂F 1∩F 2，即Q 即是F 1的聚点，又是F 2的聚点，又F 1, F 2都是闭集， ∴Q ∈F 1且Q ∈F 2，即Q ∈F 1∩F 2，∴F 1∩F 2为闭集.(2)若E 1, E 2为开集，∀A ∈E 1∪E 2，则A ∈E 1或A ∈E 2. 不妨设A ∈E 1，则 存在A 的某邻域U(A)⊂E 1，从而有U(A)⊂E 1∪E 2，∴E 1∪E 2为开集. ∀B ∈E 1∩E 2，则B ∈E 1且B ∈E 2. ∵E 1, E 2为开集，∴存在B 的某邻域U(B;δ1)⊂E 1，也存在B 的某邻域使U(B;δ2)⊂E 2， 取δ=min{δ1,δ2}，则U(B;δ)⊂E 1∩E 2，∴E 1∩E 2为开集.(3)若F闭集，则F c为开集；若E为开集，则E c为闭集.又F\E=F∩E c，E\F=E∩F c；根据(1)知F\E为闭集；根据(2)知E\F为开集.11、试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之.解：闭域套定理：设{D n}是R2中的闭域列，它满足：(1)D n⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(D n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈D n, n=1,2,….推广为：设{F n}是R2中的闭集列，它满足：(1)F n⊃F n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(F n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈F n, n=1,2,….证明如下：任取点列P n∈F n, n=1,2,…. ∵F n+p⊂F n, ∴P n,P n+p∈F n, 从而有ρ(P n,P n+p)≤d n→0, n→∞. 由定理16.1知，存在P0∈R2，使lim P n=P0.n∞→任取n，对任何正整数p，有P n+p∈F n+p⊂F n. ∵F n是闭集，且lim P n+p=P0.n→∞∴必有P0∈F n, n=1,2,…. 若有P0’∈F n, n=1,2,….由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！12、证明定理16.4(有限覆盖定理).证：证明过程见定理16.4.13、证明：设D⊂R2，则f在D上无界的充要条件是存在{P k}⊂D，使lim f(P k)=∞.k→∞证：[必要性]若D⊂R2，且f在D上无界，则对任何M1>0，总有点P1∈D，使f(P1)>M1; 取M2=M1+2, 则存在点P2∈D，使f(P2)>M2; 依次取M3=M1+3,…, M k=M1+k,总有P3,…,P k∈D,使f(P3)>M3,…,f(P k)>M k. ∴点列{P k}⊂D，当k→∞时，f(P k)>M k=M1+k→∞，即lim f(P k)=∞.k∞→[充分性]若存在{P k}⊂D⊂R2，且lim f(P k)=∞, 即对任何M>0，k∞→当k充分大时，总有|f(P k)|>M，即函数的值域无界，∴f在D上无界.。

第4讲 平面点集与多元函数极限讲授内容一、平面点集平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．空心邻域是指 ()()(){}22020|,δ<-+-<y y x x y x 与()()(){}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U;或δ来表示．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一：（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U;0，则称点A是正的孤立点．显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例如 设平面点集(){}41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集． 开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d Ep p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤二、2R 上的完备性定理定义 设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。