平面点集和多元函数PPT讲稿

多元函数的基本概念平面点集多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性平面点集建立了直角坐标系的平面称为坐标平面，记作2R =R R ⨯{}(,)|,R .x y x y =∈ 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集. 记作E (){}(,)|,.x y x y P =具有性质设000(,)P x y 是xoy 平面上的一个点， δ是某一正数，与点000(,)P x y 距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为 点0P 的δ邻域，记为0(,)U P δ.{}2200(,)|()().x y x x y y δ=-+-< {}0||P PP δ=<0(,)U P δ 0P δ∙（1）内点：设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果存在点P 的某一个邻域()U P E ⊂， 则P 称为E 的内点.（2）外点：如果存在点P 的某一个邻域()U P E ⋂=∅，则P 称为E 的外点.EP∙EP∙ （3）边界点：如果点P 的任一邻域既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点，则P 称为E 的边界点.E 的边界点全体称为E 的边界，记作E ∂.如果对于任意给定的0δ>，点P 的去心邻域(,)U P δ 内总含有属于E 的点，则P 称为E 的聚点.点集E 的聚点可能属于E ，也可能不属于E .（1）如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集.（2）如果点集E的边界E E∂⊂，则称E为闭集.（3）如果点集E内任何两点，都可用折线联接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.（4）连通的开集称为区域或开区域.∙∙重要的平面点集（5）开区域连同它的边界一起构成的点集称为闭区域.（6）如果存在某一个正数r ，使得(),E U O r ⊂，其中 O 是坐标原点，则称E 为有界集.否则，称之为无界集.例如 点集22{(,)|14}x y x y ≤+≤是有界集.Oxy点集{(,)|0}x y x y +>是无界集.Oxy多元函数的概念R的一个非空子集,如果对于D内的任一点定义设D是2x y，按照某种法则都有唯一确定的实数z与之对应，(,)则称f是D上的二元函数，记作∈z f P=，P D∈或()=，(,)x y D(,)z f x y点集D称为该函数的定义域,x和y称为自变量,z称为因变量.f x y的全体所构成的集合称为函数f的值域，数值(,)f D，即记作()z z f x y x y D=∈f D={|(,),(,)}()约定如果一个用算式表示的函数没有明确指出定义域，则x y 则该函数的定义域理解为使算式有意义的所有点(,)所成的集合,称为自然定义域.例 求二元函数222arcsin(3)(,)x y f x y x y--=-的定义域.所求定义域为222{(,)|24,}.D x y x y x y =≤+≤>22224x y x y⎧≤+≤⎨>⎩ 222310x y x y ⎧--≤⎪⎨->⎪⎩解2Oxy2设函数(,)z f x y =的定义域为D ，对于任意取定的(,)P x y D ∈，对应的函数值为(,)z f x y =，这样，以x为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点(,,)M x y z ，当(),x y 取遍D 上一切点时，得一个空间点集{(,,)|(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈，这个点集称为二元函数(,)z f x y =的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.类似地,可定义三元及三元以上的函数.n 时,n元函数统称为多元函数.当2多元函数的极限定义 设函数()(,)f P f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，|()||(,)|f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数总存在正数δ，使得当点()()0,,P x y D U P δ∈⋂时，(,)f x y 当()()00,,x y x y →时的极限， 记作()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=，或00(,)((,)(,))f x y Ax y x y →→.也记作0lim ()P P f P A →=，或0()()f P AP P →→.我们把二元函数的极限叫做二重极限.类似地,可定义n 元函数的极限概念.例 求极限()()2222,0,01lim ()sin .x y x y x y→++ 解 令22u x y =+，则()()2222,0,01lim ()sin x y x y x y→++ 01lim sin u u u→= 0.=注意 二重极限存在是指(),P x y 以任何方式趋于000(,)P x y时，(,)f x y 都无限接近于A .确定极限不存在的常用方法：找两种不同趋近方式，使()()00,,lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时可断言(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在．解 例 证明()()22,0,0limx y xyx y→+不存在． 取(y kx k =为常数),则()()22,0,0limx y xy x y →+ 2220lim x y kxx kx x k x →=⋅=+ 极限的值随k 的变化而变化 , 故极限不存在.21k k=+多元函数的连续性定义 设函数()(,)f P f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，且0P D ∈.如果()()0000,,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处的连续. 如果函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处不连续，则称点000(,)P x y是(,)f x y 间断点.解 例 讨论二元函数(,)f x y 在(0,0)处的连续性.令cos x ρθ=，sin y ρθ=，()(),0,0lim(,)x y f x y → 33lim (sin cos )ρρθθ→=+0(0,0)f ==3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩注意多元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为连续函数.由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.解例 求()(),0,011lim.x y xy xy→+-()(),0,011limx y xy xy→+-()(),0,01lim11x y xy →=++1.2=定理1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.定理2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值.定理3(一致连续性定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续.即 若()f P 在有界闭区域D 上连续，则对于任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于D 上的任意两点1P 、2P ， 只要12||P P δ<时，都有12|()()|f P f P ε-<.。