第一节 平面点集与多元函数

数学分析下定义定理整理第一章多元函数的极限与连续第一节平面点集与多元函数1、坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，并记作E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.2、内点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)ÌE，则称点A是点E的内点.E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.3、外点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Æ，则称A是点集E的外点.4、界点——若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数d，恒有U(A;d)∩E≠Æ且U(A;d)∩E c≠Æ，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集.E的全体界点构成E的边界，记作¶ E.注：E的内点必定属于E，E的外点必定不属于E，E的界点可能属于E，也可能属于E，也可能不属于E.5、聚点——若在点A的任何空心邻域U0(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E.6、孤立点——若点A∈E，但不是E的聚点，即存在某一正数d，使得U0(A;d)∩E=Æ，则称点A是E的孤立点.注：孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.7、开集——若平面点集所属的每一点都是E的内点(即int E=E)，则称E为开集.8、闭集——若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.注：只有R2与Æ是既开又闭的点集.9、开域——若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E为开域.10、闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域.11、区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.12、有界点集——对于平面点集E，若存在某一正数r，使得EÌU(O;r)，其中O是坐标原点(也可以是其他固定点)，则称E是有界点集.否则就是无界点集.13、定义1设{P n}ÌR2为平面点列，P0∈R2为一固定点.若对任给的正数e，存在正整数N，使得当n>N时，有P n∈U(P0;e)，则称点列{P n}收敛于点P0，记作lim P n=P0 或P n®P0，n®¥.n14、定理16.1（柯西准则）平面点列{P n}收敛的充要条件是：任给正数e，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有 r (P n ,P n+p )<e .15、定理16.2(闭域套定理) 设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（i ）D n ÉD n+1，n=1，2，…；（ii ）d n =d(D n )，nlim d n =0， 则存在惟一的点P 0∈D n ，n=1，2，….推论 对上述闭域套{D n }，任给e >0，存在N ∈N +，当n>N 时，有D n ÌU(P 0;e ).16、定理16.3(聚点定理) 设E ÌR 2为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.17、定理16.3’ 有界无限点列{P n }ÌR 2必存在收敛子列{P n k }.18、定理16.4(有限覆盖定理) 设D ÌR 2为一有界闭域，{D α}为一开域族，它覆盖了D （即D Ìaα），则在{D α}中必存在有限个开域D 1，D 2，…，D n ，它们同样覆盖了D （即D Ì1n i =D α）. 19、定以2 设平面点集D ÌR 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作F ：D ®R ，。

16章§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数教学目的了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解的完备性，掌握二元及多元函数的定义．教学要求基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及的完备性，掌握二元及多元函数的定义．较高要求：掌握的完备性定理．教学建议(1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念，可布置适量习题．(2) 有关的完备性定理的证明可对较好学生提出要求．教学程序一、平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件P}.余集 .（一）、常见平面点集:1 全平面和半平面全平面:半平面： , , , 等。

2 矩形域: 例 , }.3 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是和 .4 角域: .5 简单域: 型域和型域.（二）、邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集的区别.二、点集拓扑的基本概念:（一）、内点、外点和界点：内点：若存在点P 的某邻域使得，则称P是集合E的内点。

外点：若存在点P 的某邻域，使得，则称P是集合E的外点。

界点：若P的任何邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P是E的界点集合的全体内点集表示为 , 边界表示为 .集合的内点 , 外点 , 界点不定 .例１确定集的内点、外点集和边界 .例２为Dirichlet函数.确定集的内点、外点和界点集 .（二）、( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:定义（聚点）若P的任何空心邻域内都含有E中的的点，则称点P 是E的聚点。

定义（孤立点）: 若存在，使得，则称点A是E的孤立点。

孤立点必为界点.例３ . 确定集的聚点集 .解：的聚点集 .（三）、( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:时称为开集 , 的聚点集时称为闭集. 存在非开非闭集.和空集为既开又闭集.（四）、( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .开区域：若非空开集E具有连通性，即E中任何两点都可以用一条完全含于E的有限折线链接起来，则称E为开区域。

（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。

第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数一、平面点集概念1：在平面上确定一个坐标系(一般指平面直角坐标系)，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此“数对”可等同于“平面上的点”，这种确定了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作：E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.如R2={(x,y)|-∞<x<+∞,-∞<y+∞}指整个坐标平面. 平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y2<r2}.而集合S={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}表示一矩形及其内部所有点的全体，通常记作：[a,b]×[c,d].一般地，对于任意两个数集A, B，记A×B={(x,y)|x∈A,y∈B }，称为A 与B的直积. 如：A={(u,v)|u2+v2<1}，B=[0,1]，则A×B={(u,v,w)|u2+v2<1, 0≤w≤1 }.平面点集{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}与{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}分别称为以点A(x0,y0)为中心的δ圆邻域与δ方邻域.点A的任一圆邻域可包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，所以通常用“点A的δ邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并记为U(A;δ)或U(A). 而点A的空心邻域是指：(记为U⁰(A;δ)或U⁰(A)) {(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}或{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ, (x,y)≠(x0,y0)}.任一点A∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种关系之一：1、内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)⊂E，则称A是点集E 的内点. E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.2、外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Ø，则称A是点集E的外点.3、界点：若点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E 的点，则称A是集合E的界点. 即对任何正数δ，恒有U(A;δ)∩E≠Ø且U(A;δ)∩E c≠Ø，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集. E的全体界点构成E的边界，记作∂E.内点属于E，外点不属于E，界点不能确定.按点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成的关系：1、聚点：若在点A的任何空心邻域U⁰(A)内都含有E中的点，则称A 是E的聚点. 聚点不一定属于E. A是点集E的聚点的定义等价于“点A的任何邻域U(A)内包含有E的无穷多个点”.2、孤立点：若点A∈E, 但不是E的聚点，即存在某一正数δ，使得U⁰(A;δ)∩E=Ø，则称点A是E的孤立点. 孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，即不是聚点，又不是孤立点，必为外点.例1：设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y2<4}，分别指出它的内点、界点和聚点，并指出界点是否属于点集D.解：满足1<x2+y2<4的一切点都是D的内点；满足x2+y2=1的一切点是D的界点且属于D；满足x2+y2=4的一切点是D的界点且不属于D；点集D连同它外圆边界上的所有点都是D的聚点.概念2：重要的平面点集：1、开集：若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE=E)，则称E 为开集.2、闭集：若平面点集E的所有集点都属于E，则称E为闭集. 没有聚点的点集也称为闭集.注：例1中的点集D即不是开集也不是闭集；R2和Ø既开又闭.3、开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全包含于E的有限折线相连接，则称E为开域(非空连通开集).4、闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域.5、区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域. 反例：开集E={(x,y)|xy>0}在I,III象限之间不具有连通性，所以它不是区域.6、有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数r ，使得E⊂U(O,r)，其中O 为坐标原点(也可为其它固定点)，则称E 为有界点集. 反之则为无界点集. E 为有界点集等价于：存在矩形区域D=[a,b]×[c,d]⊃E.点集的有界性可用点集的直径来反映，即d(E)=E P ,P 21sup ∈ρ(P 1,P 2)，其中ρ(P 1,P 2)表示P 1与P 2两点之间的距离，当P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)时，则ρ(P 1,P 2)=221221)-y (y )x -(x +，于是当d(E)为有限值时，E 为有界点集.根据距离的概念，对R 2上的任意三点P 1,P 2,P 3，有以下三角不等式： ρ(P 1,P 2)≤ρ(P 1,P 3)+ ρ(P 2,P 3).例2：证明：对任何S ⊂R 2，∂S 恒为闭集.证：如图：设x 0为∂S 的任一聚点，∀ε>0，由聚点的定义，∃γ∈U ⁰(x 0;ε)∩∂S. 又γ是S 的界点， ∴对任意U(γ;δ)⊂U ⁰(x 0;ε), U(γ;δ)上既有S 的点，又有非S 的点. ∴U(x 0;ε)上也既有S 的点，又有非S 的点，即x 0∈∂S ，∴∂S 恒为闭集.二、R 2上的完备性定理定义1：设{P n }⊂R 2为平面点列，P 0∈R 2为一固定点. 若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，有P n ∈(P 0;ε)，则 称点列{P n }收敛于点P 0，记作：∞→n lim P n =P 0或P n →P 0, n →∞.注：分别以(x n ,y n )与(x 0,y 0)表示P n 与P 0时，∞→n lim P n =P 0等价于∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0. 以ρ(P 1,P 2)表示P n 与P 0之间距离时，∞→n lim P n =P 0又等价于，∞→n lim ρ=0.定理16.1：(柯西准则)平面点列{P n }收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有ρ(P n ,P n+p )<ε. 证：[必要性]设∞→n lim P n =P 0, 则由三角不等式有 ρ(P n ,P n+p )≤ρ(P n ,P 0)+ρ(P n+p ,P 0)，由点列收敛定义，∀ε>0，∃正整数N ， 当n+p>n>N 时，恒有ρ(P n ,P 0)<2ε; ρ(P n+p ,P 0)<2ε；∴ρ(P n ,P n+p )<ε.[充分性]若ρ(P n ,P n+p )<ε，则同时有|x n+p -x n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，|y n+p -y n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，∴∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，∴∞→n lim P n =P 0，即{P n }收敛于P 0.定理16.2：(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：(1)D n ⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n =d(D n ), ∞→n lim d n =0，则 存在唯一的点P 0∈D n , n=1,2,….证：任取点列P n ∈D n , n=1,2,….∵D n+p ⊂D n , ∴P n ,P n+p ∈D n , 如图有ρ(P n ,P n+p )≤d n →0, n →∞. 由定理16.1知，存在P 0∈R 2，使∞→n lim P n =P 0. 任取n ，对任何正整数p ，有P n+p ∈D n+p ⊂D n .令p →∞，∵D n 是闭域，从而必为闭集. ∴D n 的聚点P 0∈D n ,即P0=lim P n+p∈D n, n=1,2,…. 若有P0’∈D n, n=1,2,….n→∞由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！推论：对上述闭域套{D n}，任给ε>0，存在正整数N，当n>N时，有D n⊂U(P0;ε).定理16.3：(聚点定理)设E⊂R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证法一：∵E是平面有界无限点集，∴存在一个闭正方形D1包含它. 连接正方形对边中点，把D1分成四个小的闭正方形，则在这个四个小闭正方形中，至少有一个含有E的无限个点，记为D2，同样的将D2分成四个小的闭正方形，得到D3含有E的无限个点，如此下去得到一个闭正方形序列：D1⊃D2⊃D3⊃…，则闭正方形序列{D n}的边长随着n趋向于无限而趋向于0，于是由闭域套定理，存在一点M0∈D n, n=1,2,….ε，任取M0的ε邻域U(M0;ε)，当n充分大时，正方形的边长小于2即D n⊂U(M0;ε). 又由D n的取法知U(M0;ε)含有E的无限多个点，即M0是E的聚点.证法二：若点集E不存在任何聚点，则对任意点P∈E，∵E有界，∴存在某一正数r ，使得E⊂U(P;r)，且U(P;r)中只包含E的有限个点. 而E的所有点都包含于U(P;r)，即E 只包含有限个点，与E 为无限点集矛盾；∴E 在R 2中至少有一个聚点.定理16.3’：有界无限点列{P n }⊂R 2必存在收敛子列{kn P }.定理16.4：(有限覆盖定理)设D ⊂R 2为一有界闭域(集)，{△α}为一开域(集)族，它覆盖了D(即D ⊂αα∆ )，则{△α}中必存在有限个开域(集)△1,△2,…,△n ，它们同样覆盖了D(即D ⊂i n1i ∆= ). 证：设有界闭域D 含在矩形[a,b]×[c,d]之中，并假设D 不能被{△α}中有限个开域所覆盖.用直线x=2b a +，y=2d c +把矩形[a,b]×[c,d]分成四个相等的闭矩形，则 至少有一个闭矩形所含的D 的部分不能被{△α}中有限个开域所覆盖. 类似的，把这个矩形(或几个的其中任一)再分成四个相等的闭矩形. 按此法继续下去，可得一闭矩形套{[a n ,b n ]×[c n ,d n ]}. 其中每一个闭矩形 所含的D 的部分都不能为{△α}中有限个开域所覆盖，于是每个闭矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]中都至少含有D 的一点，任取其中一点(x n ,y n ), 则 (x n ,y n )∈D, 且a n <x n <b n , c n <y n <d n (n=1,2,…). 由闭矩形套定理可知： 存在一点(x 0,y 0)，满足对任意自然数n ，都有a n ≤x 0≤b n , c n ≤y 0≤d n . ∵∞→n lim (b n -a n )=n n 2a -b lim ∞→=0; ∞→n lim (d n -c n )=n n 2c -d lim ∞→=0；∴∞→n lim x n =x 0; ∞→n lim y n =y 0. 又(x n ,y n )是有界闭域D 上的点，∴(x 0,y 0)∈D. 则{△α}中必有一开域包含(x 0,y 0)，设为△0，则必存在点P 0(x 0,y 0)的一个邻域U(P 0,δ)⊂△0，由a n →x 0, b n →x 0; c n →y 0,d n →y 0，知当n 充分大时，恒有x 0-2δ<a n ≤x 0≤b n <x 0+2δ; y 0-2δ<c n ≤y 0≤d n <y 0+2δ. 可知，矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都包含于U(P 0,δ)中，从而包含于开域△0中， 这与每个[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都不能被{△α}中有限个开域所覆盖矛盾， ∴{△α}中必有D 的有限开覆盖.三、二元函数定义2：设平面点集D ⊂R 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作：f:D →R ，P ↦z.且称D 为f 的定义域，P ∈D 所对应的z 为f 在点P 的函数值. 记作： z=f(P)或z=f(x,y).全体函数值的集合为f 的值域，记作f(D) ⊂R. 通常把P 的坐标x 与y 称为f 的自变量，而z 称为因变量.若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数.f 在D 上无界的充要条件是：存在{P k }⊂D ，使∞→k lim f(P k )=∞.在映射意义下，z=f(P)称为P 的象，P 称为z 的原象.把(x,y)∈D 和它对应的象z=f(x,y)一起组成三维数组(x,y,z)时，三维欧氏空间R 3中的点集S={(x,y,z)|z=f(x,y), (x,y)∈D }⊂R 3，就是二元函数f 的图象. z=f(x,y)的图象通常是一空间曲面，f 的定义域D 就是该曲面在xOy 平面上的投影.例3：指出下列函数的定义域和值域，以及它们属于有界函数还是无界函数，并说明它们的图象形状.(1) z=2x+5y ；(2)z= )y x (122+-；(3)z=xy ；(4)z=[ y x 22+].解：(1)z=2x+5y 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为R 3中一个平面.(2)z= )y x (122+-的定义域是xOy 平面上的单位圆域{(x,y)|x 2+y 2≤1}， 值域为区间[0,1]，属于有界函数；其图象为以原点为中心的单位球面的上半部分.(3)z=xy 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为过原点的双曲抛物面.(4)z=[ y x 22+]是定义在R 2上的函数，值域是全体非负整数，属于无界函数；其图象如图.四、n 元函数概念3：所有有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维向量空间，简称n 维空间，记作R n . 其中每个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )称为R n 中的一个点，n 个实数x 1,x 2,…,x n 是这个点的坐标.设E为R n中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点P(x1,x2,…,x n)都有唯一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数(或称f为E⊂R n到R的一个映射)，记作f:E→R, (x1,x2,…,x n)↦y.或简写成y=f(x1,x2,…,x n), (x1,x2,…,x n)∈E或y=f(P), P∈E.习题1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域，并分别指出它们的聚点与界点：(1)[a,b)×[c,d)；(2){(x,y)|xy≠0}；(3){(x,y)|xy=0}；(4){(x,y)|y>x2}；(5){(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}；(6){(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}；(7){(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}；(8){(x,y)|x,y均为整数}；1, x>0}.(9){(x,y)|y=sinx解：(1)点集[a,b)×[c,d)为非开非闭有界集，也是区域.聚点为[a,b]×[c,d]中任一点；界点为[a,b]×[c,d]的四条边上任一点. (2)点集{(x,y)|xy≠0}是无界开集，非区域.聚点为平面内任一点；界点为两坐标轴上的点.(3)点集{(x,y)|xy=0}是无界开集，非区域.聚点和界点都是两坐标轴上的点.(4)点集{(x,y)|y>x2}是无界开集，也是区域；聚点为抛物线y=x2及上方的所有点；界点为抛物线y=x2上的所有点.(5)点集{(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}为有界开集，也是区域；聚点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三角形三边及内部所有的点；界点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三边形三边上的点.(6)点集{(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}是有界闭集，非区域；聚点和界点都是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(7)点集{(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}是有界闭集，非区域；聚点是圆x2+y2=1及其内部和x轴上线段[1,2]上所有的点；界点是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(8)点集{(x,y)|x,y均为整数}是无界闭集，非区域；没有聚点；界点为集内全体点.1, x>0}为非开非闭无界集，非区域；(9)点集{(x,y)|y=sinx1在I,IV象限的所有点. 界点与聚点都是y轴上线段[-1,1]及曲线y=sinx2、试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}是否相同？解：不相同.因为点集{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}不包含x=a及y=b上的两线段；而点集{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}仅不包含一个点(a,b).3、证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{P n}⊂E, P n≠P0，lim P n=P0n→∞时，P0是E的聚点.证：[充分性]若P n≠P0，lim P n=P0，则∀ε>0，∃N，使得当n>N时，n→∞有P n ∈U ⁰(P 0;ε)，当n 充分大时，U ⁰(P 0;ε)含有{P n }的无穷多个点. 又{P n }⊂E, ∴U ⁰(P 0;ε)含有E 中无穷多个点，即P 0是E 的聚点.[必要性]若P 0是E 的聚点，则∀ε>0，U ⁰(P 0;ε)中必含有E 中的点. 取ε1=1，则U ⁰(P 0;ε1)中必含有E 中的点，任取出一个记为P 1. 取ε2=min{21,|P 1-P 0|}，则U ⁰(P 0;ε2)中必含有E 的点，任取一个记为P 2. 依次类推，取εn =min{n1,|P 1-P 0|,…,|P n-1-P 0|}，则U ⁰(P 0;εn )中含有E 的点，取出一个记为P n . 无限继续，可得各项互异的点列{P n }，即有P n ≠P 0，{P n }⊂E ，且∞→n lim P n =P 0.4、证明：闭域必为闭集. 举例说明反之不真.证：设D 为闭域，则有开域G ，使D=G ∪∂G ，其中∂S 为G 的边界. 设P 0∉D ，则P 0∉G 且P 0∉∂G. 由P 0∉G 可知，∀δ>0，U(P 0;δ)∩G c ≠Ø，其中G c 为G 的余集即关于R 2的补集. 又由P 0∉∂G 可知，存在δ0>0，使U(P 0;δ0)∩G=Ø.若存在P 1∈U(P 0;δ0)∩∂G ，则当ε>0充分小时，U(P 1;ε)⊂(P 0;δ0). 由于 P 1∈∂G ，从而U(P 1;ε)含有G 的点Q ，于是Q ∈U(P 0;δ)∩G ，矛盾. ∴U(P 0;δ0)∩∂G=Ø，∴(P 0;δ0)∩D=Ø，即P 0不是D 的聚点，∴若P 0是D 的聚点，则P 0∈D ，即D 为闭集.反之，平面内的任意两点可以构成一个闭集，但却不是一个闭域.注：任一点集E ，E ∪∂E 恒为闭集.5、证明：点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)的充要条件是：∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0.证：[必要性]设点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)，则∀ε>0，∃N ， 当n>N 时，ρ(P n ,P 0)< ε, 即20n 20n )y -(y )x -(x +<ε,∴|x n -x 0|≤20n 20n )y -(y )x -(x +< ε,(n>N)，∴∞→n lim x n =x 0，同理∞→n lim y n =y 0. [充分性]设∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，则∀ε>0，∃N 1,N 2，使得 当n>N 1时，有|x n -x 0|<2ε; 当n>N 2时，有|y n -y 0|<2ε; 取N=Max{N 1,N 2}，则当n>N 时，同时有|x n -x 0|<2ε和|y n -y 0|<2ε；∴ρ(P n ,P 0)=20n 20n )y -(y )x -(x +<2ε2ε22+=ε, ∴点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0).6、求下列各函数的函数值： (1)f(x,y)=2y)-arctan(x y)arctan(x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 求f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，； (2)f(x,y)=22y x 2xy +, 求f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，；(3)f(x,y)=x 2+y 2-xytan y x , 求f(tx,ty). 解：(1)x+y=231231-++=1; x-y=231231--+=3； ∴f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，=23arctan 1arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π÷4π⎪⎭⎫ ⎝⎛=169. (2)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷22a b 1a 2b =22b a 2ab +. (3)f(tx,ty)=t 2x 2+t 2y 2-t 2xytan ty tx =t 2(x 2+y 2-xytan yx ).7、设F(x,y)=lnxlny ，证明：若u>0, v>0，则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).证：当u>0, v>0时，F(xy,uv)=lnxylnuv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).8、求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明是何种点集： (1)f(x,y)=2222y-x y x +；(2)f(x,y)=223y 2x 1+；(3)f(x,y)=xy ； (4)f(x,y)=2x -1+1-y 2；(5)f(x,y)=lnx+lny ；(6)f(x,y)=)y sin(x 22+；(7)f(x,y)=ln(y-x)；(8)f(x,y)=)y x (22e +-；(9)f(x,y,z)=1y x z 22++； (10)f(x,y,z)=2222z y x R ---+2222r z y x 1-++, (R>r).解：如图：(1)函数定义域D={(x,y)|x ≠±y}，是无界开点集.(2)函数定义域D={(x,y)|xy ≠0}=R 2-(0,0)，是无界开点集.(3)函数定义域D={(x,y)|xy ≥0}，是无界闭集.(4)函数定义域D={(x,y)||x|≤1, |y|≥1}，是无界闭集.(5)函数定义域D={(x,y)|x>0, y>0}，是无界开点集.(6)函数定义域D={(x,y)|2n π≤x 2+y 2≤(2n+1)π, n=0,1,2,…}，是无界闭集.(7)函数定义域D={(x,y)|y>x}，是无界开集.(8)函数定义域D=R 2，是无界既开又闭的点集.(9)函数定义域D=R 3，是无界既开又闭的点集，图略.(10)函数定义域D={(x,y)|r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}，是有界非开非闭的点集.(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (10)(空心球体)9、证明：开集与闭集具有对偶性，即若E为开集，则E c为闭集；若E为闭集，则E c为开集.证：设E为开集，E c不是闭集. 则E c中至少有一个聚点A不属于E c，则必有A∈E. ∵E为开集，∴存在点A的某邻域U(A)⊂E，则U(A)中不含有E c中的点，与A为E c的聚点矛盾.∴E 为开集，则E c 为闭集.设E 为闭集，E c 不是开集. 则E c 中至少有一点B 不是E c 的内点. ∵点B 的任何邻域U(B)⊄E c ，即U(B)中含有E 中的点，又B ∉E ， ∴B 为E 的聚点，这与E 是闭集矛盾. ∴E 为闭集，则E c 为开集.10、证明：(1)若F 1, F 2为闭集，F 1∪F 2与F 1∩F 2都为闭集；(2)若E 1, E 2为开集，E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集；(3)若F 为闭集，E 为开集，则F\E 为闭集，E\F 为开集.证：(1)设P 为F 1∪F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列{P n }⊂F 1∪F 2，∴F 1和F 2至少有一个集合含有{P n }的无限多项，不妨设{k n P }⊂F 1，则 也有kn P →P(k →∞)，从而P 为F 1的聚点. 又F 1为闭集，∴P ∈F 1，即 P ∈F 1∪F 2，∴F 1∪F 2为闭集.设Q 为F 1∩F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于Q 的点列{Q n }⊂F 1∩F 2，即Q 即是F 1的聚点，又是F 2的聚点，又F 1, F 2都是闭集， ∴Q ∈F 1且Q ∈F 2，即Q ∈F 1∩F 2，∴F 1∩F 2为闭集.(2)若E 1, E 2为开集，∀A ∈E 1∪E 2，则A ∈E 1或A ∈E 2. 不妨设A ∈E 1，则 存在A 的某邻域U(A)⊂E 1，从而有U(A)⊂E 1∪E 2，∴E 1∪E 2为开集. ∀B ∈E 1∩E 2，则B ∈E 1且B ∈E 2. ∵E 1, E 2为开集，∴存在B 的某邻域U(B;δ1)⊂E 1，也存在B 的某邻域使U(B;δ2)⊂E 2， 取δ=min{δ1,δ2}，则U(B;δ)⊂E 1∩E 2，∴E 1∩E 2为开集.(3)若F闭集，则F c为开集；若E为开集，则E c为闭集.又F\E=F∩E c，E\F=E∩F c；根据(1)知F\E为闭集；根据(2)知E\F为开集.11、试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之.解：闭域套定理：设{D n}是R2中的闭域列，它满足：(1)D n⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(D n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈D n, n=1,2,….推广为：设{F n}是R2中的闭集列，它满足：(1)F n⊃F n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(F n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈F n, n=1,2,….证明如下：任取点列P n∈F n, n=1,2,…. ∵F n+p⊂F n, ∴P n,P n+p∈F n, 从而有ρ(P n,P n+p)≤d n→0, n→∞. 由定理16.1知，存在P0∈R2，使lim P n=P0.n∞→任取n，对任何正整数p，有P n+p∈F n+p⊂F n. ∵F n是闭集，且lim P n+p=P0.n→∞∴必有P0∈F n, n=1,2,…. 若有P0’∈F n, n=1,2,….由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！12、证明定理16.4(有限覆盖定理).证：证明过程见定理16.4.13、证明：设D⊂R2，则f在D上无界的充要条件是存在{P k}⊂D，使lim f(P k)=∞.k→∞证：[必要性]若D⊂R2，且f在D上无界，则对任何M1>0，总有点P1∈D，使f(P1)>M1; 取M2=M1+2, 则存在点P2∈D，使f(P2)>M2; 依次取M3=M1+3,…, M k=M1+k,总有P3,…,P k∈D,使f(P3)>M3,…,f(P k)>M k. ∴点列{P k}⊂D，当k→∞时，f(P k)>M k=M1+k→∞，即lim f(P k)=∞.k∞→[充分性]若存在{P k}⊂D⊂R2，且lim f(P k)=∞, 即对任何M>0，k∞→当k充分大时，总有|f(P k)|>M，即函数的值域无界，∴f在D上无界.。

第十六章多元函数的极限与连续§ 1平面点集与多元函数（一）教学1=1的：了解平面中的邻域,开集,闭集，开域，闭域的定义,了解疋的完备性,掌握二元及多元函数的定义.（二）教学内容：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义.（1）基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及A?的完备性，掌握二元及多元函数的定义.（2）较高要求：拿握的完备性定理.（三）教学建议：（1）要求学牛清处地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念, 可布置适量习题.（2）有关$的完备性定理的证明可对较好学生提出要求.平面点集:平面点集的表示:E = {(兀,刃I (兀,y)满足的条件P}・余集E c =R2\E・1.常见平而点集：全平面：R2 = { (x,y) I _0° < ^ < +00 , -oo < ^ < +oo}半平ffi {(x,y)lx>0), {(x,y) I x > 0}, {(x,y)\x> a}f{(x,y) I y > ax + b}等.矩形域：[a,b]x[c,d], {(x,y) | I x I + I y l< 1}}.圆域：C = {(x,y) I x2 + y2 < r~ }和{(厂,0) I r < 2asin&}.邻域：圆邻域和方邻域■■■\ 厂―\ 1111♦♦■ ♦•・・・•・・■ ••11圆邻域内有方邻域, 方邻域内有圆邻域d h1—■、11 /\ 111/ 11 0-■A空心邻域■•・、■■■/ 6•111 O 11•1■ % ■■■ •• ■ •••11{(x, y)IO<lx-x o I2 +1 y-y Q \2<3}{(x, y)丨0 vl 兀一兀o Iv 5, 0 <1 y — y° l< 5}的区别•一.点集拓扑的基本概念：内点：若存在点P的某邻域U(P)使得U(P)uE,则称P是集合E的内点外点“若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)C]E =①，则称P是集合E的外点。