函数的值域(第一课时)教案
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函数的值域（第一课时）教案
学校：宝鸡石油中学 学科：高二文科 组织者：史文刚
三维目标：
知识目标：1、理解函数值域的定义，并用集合来表示；
2、常用函数值域，如给定区间二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等；
3、掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.
能力目标：通过小组合作、自主探究等多种学习方式进行复习，能灵活运用求值域的方法，迅速并熟练的求出函数值域.
情感目标：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
教学重、难点：
教学重点：常用的求函数值域的方法.
教学难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题.
教学准备：导学单、多媒体.
教学方法：合作探究.
设计意图：
让学生提前回家预习导学单，从而发现问题，带着问题在本节课中通过小组合作、自主探究等学习方式，及师生互动来解决问题. 目的在于：培养他们的自主学习能力，让他们做课堂学习的主人，能在课堂畅所欲言，各尽其能，从而激发他们学习的积极性和主动性以及竞争意识，同时发展他们的思维能力、提高他们的语言表达能力；让教师从“滔滔不绝”的演讲者变为“画龙点睛”的组织者. 从而提高课堂教学效率，达到人人参与，人人学有所获.
教学过程:
一、让学生回答预留的导读单上的“走进教材1”的问题(2分钟）：
函数的值域定义与表示
1、{})(x f y y =表示的是函数y=f （x)的什么 ?
2、什么是函数的值域，怎样表示它呢?
那么求函数值域的方法有哪些呢? 为此我们今天来复习：函数的值域（板书）。
（课件1）
二、让学生回答预留的导读单上的“走进教材2”的问题：（3分钟）
必要的回顾与思考：高中阶段的几种重要函数的值域.
1、一次函数y=kx+b (k ≠0) 值域是什么？
2、 反比例函数(0)k y k x
=≠的值域是什么？ 3、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值域是什么?
4、指数函数y=a x (a>0,且a 0≠）的值域是什么?
5、对数函数y=x a log (a>0,且a 0≠）的值域是什么?
6、三角函数y=sin x ，y=cos x, y=tan x(x ),2,Z k k x R ∈+≠
∈ππ的值域分别是什么?
结果： 1、R; 2、}{
0,y y y R ≠∈且; 3、当a >0,x=a b 2-时，值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ；当a<0,x=a b 2-时，值域为（-∞，]a b ac 442-； 4、(]0+∞，； 5、R ； 6、[]1,1-，[]1,1-.
思考：求函数值域首先应该考虑什么?
强调：函数的定义域.
三、师生共同解决预留的导读单上“师生互动”例题、习题：（33分钟）
常用的求函数值域的方法
例1 求函数y=542+-x x ，[]5,0∈x 的值域. （5分钟）（课件2是函数图像）
（1）学生分小组汇报结果.
解：∵ y=()122
+-x ，开口向上 ∴ x=2为对称轴
∵ 2[]0,5∈
∴ 观察右图可知，f （2）=1为最小值, f(0)=5，f(5)=10..
∴ 函数y=542+-x x ，[]0,5x ∈的值域为：[].10,1
方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最小值，最大值为离对称轴较远的区间的端点所对应的函数值；对于开口向下的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最大值，最小值为离对称轴较远的区间的端点所对应的函数值，从而确定函数值域.（课件3）
（2）思考：做例1时，所用的方法是什么？
结果：配方法.
变式：将例1中的[]0,5x ∈变成[)1,1-∈x ，求值域（5分钟）.
思考：若对称轴不在二次函数的给定的定义域区间上时，怎样求函数值域？
方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴不在二次函数的给定区间上，则用函数的单调性来判断函数的最大值和最小值，或者也可以通过计算端点所对应的函数值比较大小来确定最大值和最小值，也可以通过比较区间端点离对称轴的远近来判断最大值和最小值，从而确定函数值域.（课件4）
（5) 思考：通过做例1和变式题，你发现了什么？
总结：在求给定区间的二次函数值域时，要根据给定的区间和对称轴来综合考虑求值域.（课件5)
例2：求函数y=-1sin sin 2++x x 的值域.（5分钟）
解: 设t=x sin , 则y=12++-t t ,t []1,1-∈.
∵ y=-45212
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t ，开口向下 ∴ t=2
1为对称轴， ∴ []1,12
1-∈，即f()21=45为最大值，f(-1)=-1, f(1)=1. 故y=-1sin sin 2++x x 的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-45,1. （1）思考：做例2，要用什么方法？(换元法、配方法）
（2）思考：做本题时，要考虑什么？(正弦函数的值域）
总结：(课件6）
（1）上边两道例题都属于二次函数模形:
例1：2(0)y ax bx c a =++≠(配方法)
例2：2()()(0)y af x bf x c a =++≠ （换元法）
（2）有些二次函数直接给出了区间，而有些则隐含在题中，这就需要在做题前先找出定义域再来求值域.
练习：求函数y=3221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛x 的值域.（5分钟）（课件7） 解：设32-=x t ，则y=t ⎪⎭
⎫ ⎝⎛21. ∵32-=x t 3-≥ ，即t [)+∞-∈,3
又∵ y=t
⎪⎭⎫ ⎝⎛21是减函数 ∴ y=321-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8为最大值 又∵y (]0,∈+∞
故y=3221-⎪⎭⎫ ⎝⎛x 的值域为：(]0,8.
思考：换元法的用途是什么？
强调：对于复合函数换元时，是将内函数用字母表示，一定要考虑内函数的值域，因为它将是新设函数的定义域区间.（课件8）
例3：求函数y=x+
x
4的值域.（5分钟）（课件9） 学生做有困难，师生一起做（教师变启发边写，学生说）.
方法一： 解：由题意得：x {}0,≠∈x R x x
当x >0时，y=x+x 4x x 42⋅≥=4，当且仅当x=2时成立； 当x<0时，y=x+
x 44424-=-⋅--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x x ，当且仅当x=-2时成立； 综上所述，y=x+x
4的值域为：(][).,44,+∞⋃-∞- 思考：此题的方法是什么? （运用基本不等式）
方法二：
解：由题意得：x {}0,≠∈x R x x
当x >0时，y=x+x 4x x 42⋅≥=4，当且仅当x=2时成立； ∵ x {}0,≠∈x R x x
∴ f(-x)=-x+
x -4=-(x+x
4)=-f(x) ∴ f(x)=x+x
4为奇函数，即关于原点对称 ∴ 当x<0时，y ≤-4
综上所述，y=x+x
4的值域为：(][).,44,+∞⋃-∞- 总结：基本不等式法的函数模型：(b y ax a b x =+、同号）.（课件10）
变式1：求函数
的值域.(4分钟) 变式2：求函数y=33
123--x x 的值域.(4分钟) 思考：变式2能用基本不等式法做吗?若不能，怎样做？(导数法）
简单介绍做法：
第一步：求导数；
第二步：求出单调增区间和单调减区间；
第三步：列表观察最大值和最小值；
第四步：写函数的值域.
四、学习收获：（2分钟）
1、通过复习，你有哪些收获，还存在哪些疑问?
2、求值域的方法有：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.
3、注意：（课件11）
(1) 在求函数值域时，一道题可能有多种方法，或者几种方法相结合,所以在做题时
一定要灵活运用.
(2) 在求函数值域时，一定要判断清楚函数的给定的定义域区间，再进行解答.
4、三种方法模型：（课件12）
1）2(0)y ax bx c a =++≠（配方法)
2) 2()()(0)y af x bf x c a =++≠ （换元法）
3) (b y ax a b x
=+、同号） (基本不等式法）
六、学以致用（课件13)
《优化设计》第10页的例1-3.。
