中考数学一轮复习专题解析—角平分线

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及解析一、全等三角形角平分线辅助1．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．2．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．3．阅读资料，解决问题．人教版《数学九年级（下册）》的30页有这样一个思考问题：问题：如图，在ABC △中，DE BC ∥交AB ，AC 于点D ，E ，如果通过“相似的定义”证明ADE ABC △△∽？分析：根据“两直线平行，同位角相等”容易得出三对对应角分别相等，再根据“平行线分线段成比例”的基本事实，容易得出AD AE AB AC =，所以这个问题的核心时如何证明“DE AE BC AC =”． 证明思路：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，构造平行四边形BDEF ，得到DE BF =，从而将比例式中的DE ，BC 转化为共线的两条线段BF ，BC ，同时也构造了基本图形“”，得到BF AE BC AC=，从而得证．解决问题：（1）①类比资料中的证明思路，请你证明“三角形内角平分线定理”．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图1，ABC △中，AD 是角平分线．求证：AB BD AC DC=．②运用“三角形内角平分线定理”填空：已知：如图2，ABC △中，AD 是角平分线，7AB =，4AC =，6BC =，则BD =__________．（2）我们知道，如果两个三角形有相同的高或者相等的高，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究ABD △和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．已知：如图3，ABC △中，AD 是角平分线． 求证：AB BD AC DC=．4．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）5．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？6．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．如图所示，在ABC ∆中，=60ACB ∠，,AE BD 是ABC ∆的角平分线，,AE BD 交于点G ，求证：GD GE =．8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.9．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、ACB ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，试判断FE 和FD 之间的数量关系.10．如图，已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AD ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）见解析；（2）AD ﹣AB ＝2BE ，理由见解析；（3）3．【分析】（1）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，证明△BCE ≌△DCF ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，AE ＝AF ，证明△BCE ≌△DCF ，得到DF ＝BE ，结合图形解答即可；（3）在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，证明△OBH ≌△OBG ，根据全等三角形的性质得到∠OHB ＝∠OGB ，根据角平分线的判定定理得到∠ODH ＝∠ODF ，证明△ODH ≌△ODF ，得到DH ＝DF ，计算即可．【详解】（1）证明：如图1，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．2．（1）①ⅰ）△BMF ，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析【分析】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF ，进而得出△BEF ≌△BMF ，求出∠BFM ，即可判断出∠CFM=∠CFD ，即可判断出△FCM ≌△FCD ，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE ，进而判断出△BGF ≌△CEA ，即可得出结论．【详解】（1）BC CD BE =+①如图1，在BC 上取一点M ，使BM BE =，ⅰ）BD 是ABC ∠的平分线，EBF MBF ∴∠=∠， 在BEF ∆和BMF ∆中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF BMF SAS ∴∆≅∆；ⅱ）BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线，12FBC ABC ∴∠=∠，12BCF ACB ∠=∠， 在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，1180()180()1202BFC CBF BCF ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 18012060EFB ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；②由①知，60BFE ∠=︒，BEF BMF ∆≅∆，60CFD BFE ∴∠=∠=︒，∵BEF BMF ∆≅∆，60BFE BFM ∴∠=∠=︒，60CFM BFC BFM ∴∠=∠-∠=︒，60CFM CFD ∴∠=∠=︒，CE 是ACB ∠的平分线，FCM FCD ∴∠=∠，在FCM ∆和FCD ∆中，CFM CFD CF CF FCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FCM FCD ASA ∴∆≅∆， CM CD ∴=，BC CM BM CD BE ∴=+=+；（2）如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，40ABC ∠=︒，80ACB ∴∠=︒，BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线，1202ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，1402BCE ACE ACB ∠=∠=∠=︒， 80AEC ABC BCE ∴∠=∠+∠=︒，ABC BCE ∠=∠，BE CE ∴=，在ABC ∆的边AB 左侧作20ABG ∠=︒，交CE 的延长线于G ，40FBG ABD ABG ACE ∴∠=∠+∠=︒=∠．80AEC ∠=︒，80BEG ∴∠=︒，18080G ABG BEG BEG AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠=∠，BG BE ∴=，BG CE ∴=，在BGF ∆和CEA ∆中，4080FBG ACE BG CE BGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，BGF CEA ∴∆≅∆，BF AC ∴=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出CFM CFD ∠=∠，（2）作出辅助线，判断出BG CE =．3．（1）①证明见解析②4211（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）①如图过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，然后说明ADB EDC △∽△，利用相似三角形的性质即可完成证明;②设BD x =,然后利用（1）的结论和已知条件即可完成解答; （2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ;先利用角平分线定理说明DM DN =，然后再利用等面积法得到11:::22ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△和11:::22ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△，从而得到::AB AC BD DC =，即AB BD AC DC=. 【详解】（1）①证明：过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，∴1E ∠=∠，又∵AD 平分BAC ∠，∵12∠=∠，∴2E ∠=∠，∴AC CE =，又∵34∠=∠，∴ADB EDC △∽△， ∴AB BD CE DC =， ∴AB BD AC DC=． ②设BD x =，∴6DC x =-，又∵AB BD AC DC =， ∴746x x=-， ∴4427x x =-，∴1142x =，42x 11=．（2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，∵AD 为BAC ∠的角分线，∴DM DN =，11:::22ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△， 又∵11:::22ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△， ∴::AB AC BD DC =， ∴AB BD AC DC=． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的知识，其中运用等面积法、相似三角形的性质和证明、做辅助线均是解答本题的关键.4．（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB +∠OBA =90°，故∠PAB +∠MBA =270°，再由A D 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，由三角形内角和定理可知∠F =45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知∠CDE +∠DCE =112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF =90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB =90°，∴∠OAB +∠OBA =90°，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ， ∴∠BAE +∠ABE =12（∠OAB +∠ABO ）=45°， ∴∠AEB =135°；（2）∠CED 的大小不变．延长A D 、BC 交于点F ．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 6．（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=3.【分析】（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=12BD，CN=12DC，则BE+CF=12BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．【详解】（1）解：如图，连接BO，∵AB是圆的切线，∴∠ABO=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CBO=90°-60°=30°，∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BMC=1BOC602∠=︒（2）解：BE+CF的值是为定值．理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，∴DHE DNFDH DNHDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=12BD，同理可得CN=12 OC，∴BE+CF=12DB+12DC=12BC，∵3∴BC=23∴3∴BE+CF3【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．7．详见解析【解析】【分析】在AB 上截AF AD =，连接FG ，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得AGD=120AGB ∠︒∠=︒60，，证明ADG AFG ∆∆≌，得GD=GF ，AGD AGF ∠=∠=60°，可证得BGF BGE ∆∆≌，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB 上截AF AD =，连接FG ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠EAB ，又∵AG=AG ，∴ADG AFG ∆∆≌，GD GF ∴=，AGD AGF ∠=∠ ，∵60ACB ∠=︒，AE,BD 是ΔABC 的角平分线，∴()111802211802120AGB CAB CBA CAB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒， ∴60AGD AGF BGF BGE ∠=∠=∠=∠=︒，∵BGF BGE BG BG GBF GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGF BGE ASA ∴∆∆≌，∴GF GE = ，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 8．点M 到AC 的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN ，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M 到AC 的距离即可．【详解】∵△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B′，作MN ⊥AC ，MD ⊥AB ，垂足分别为N ，D ，又∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN ，AB′=B′C=3，S △BAC =S △BAM +S △MAC ， 即12×3×6=12×MD×3+12×6×MN ， ∴MD=2，所以点M 到AC 的距离是2．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN ，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．9．详见解析【解析】【分析】如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G ，根据角平分线，可得点F 是ABC ∆的内心，则有FG FH =，继而根据三角形内心的性质可得FDH FEG ∠=∠，从而可得FDH FEG ∆∆≌，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD ，理由如下：如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G.F 是BAC ∠，ACB ∠的平分线AD 、CE 的交点，F ∴为ABC ∆的内心，FG FH ∴=.60B ∠=︒，()1602FAC FCA BAC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒， 又60FDH B BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠；60FEG BAD FAC FCA BAD ∠=∠+∠+∠=︒+∠，FDH FEG ∴∠=∠，又GH FH =，FDH FEG ∴∆∆≌，FD FE ∴=.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．10．详见解析【分析】延长AE到M，使ME=AE，连接CM，求出AC=CM，求出DM=MC，即可得出答案．【详解】延长AE到M，使ME=AE，连接CM，则AM=2AE，∵CE⊥AE，∴AC=CM，∴∠M=∠CAD=∠DAB，∴AB∥MC，∴∠B=∠MCD，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠ADB=∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC，即AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，有一定的难度．。

N M O A B PPO N M B A角平分线四大模型专题知识解读【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】P O N M B AQP O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

中考数学复专题1．已知90AOB ∠=°，（1）如图1，OE 、OD 分别平（2）如图2，OE 、OD 分别平推理过程）．（3）若OE 、OD 分别平分是（在稿纸上画图分析，直接【解答】解：（1）AOB ∠=∵1452EOB AOB ∴∠=∠=°，64EOD ∠=°∵，BOD EOD EOB ∴∠=∠−∠又OD ∵平分BOC ∠， 238BOC BOD ∴∠=∠=°．（2）90AOB ∠=°∵，BOC∠数学复习考点题型专题讲解30和角平分线有关的计算分别平分AOB ∠和BOC ∠，若64EOD ∠=°，则分别平分AOC ∠和BOC ∠，若40BOC ∠=°，求EO 平分AOC ∠和BOC ∠，(0180)BOC αα∠=°<<°，则直接填空）．90OB °，OB 平分AOB ∠， 19B =°，40=°，题讲解计算BOC ∠是38°； EOD ∠的度数（写则EOD ∠的度数AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠又OE ∵、OD 分别平分∠1652EOC AOC ∴∠=∠=°EOD EOC DOC ∴∠=∠−∠（3）分两种情况：当0°2．我们学过角的平分线的概念的两个角的射线，叫做这个角2BOC AOC ∠=∠，则OC （1）如图1，若BOC AO ∠∠（2）如图2，若AOB ∠=①求COD ∠的度数；②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，则求n 的值．（3）如图3，若AOB ∠BOC ∠的平分线，将MON ∠程中，若射线ON 恰好是∠接写出答案即可，不必说明理【解答】解：（1）OC ∵是∴13AOC AOB ∠=∠，63AOB ∠=°∵，130=°，AOC 和BOC ∠， ，1202DOC BOC ∠=∠=°， 45C =°，90α<<时，45EOD ∠=°，当90180α°<<°时，的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如是AOB ∠的一条三分线．AOC >，若63AOB ∠=°，求AOC ∠的度数； 90°，若OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线． OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ′′∠，当OA 恰好180=°，OC 是AOB ∠的一条三分线，OM ，ON 分别ON 绕点O 以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周AOC 的三分线，则此时MON ∠绕点O 旋转的时间是说明理由）AOB ∠的一条三分线，且BOC AOC ∠>∠135EOD ∠=°． 把这个角分成1:2例如：如图1，若恰好是C OD ′′∠的N 分别是AOC ∠与转一周，在旋转的过时间是多少秒？（直∴163213AOC ∠=×°=°；（2）①解：90AOB ∠=°∵∴1133COD AOB ∠=∠=×②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，分两种情况：当OA 是C OD ∠′′的三分线，10AOC ∠′=°，301020DOC ∴∠=°−°=°COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠当OA 是C OD ∠′′的三分线，20AOC ∠′=°，COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠40n ∴=或50．（3）OC ∵是AOB ∠的一条三OM ，ON 分别是AOC ∠可得90MON ∠=°， 60AOC ∴∠=°或120°，当60AOC ∠=°时，0，OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线，如图2①9030°=°，OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ∠′′，当OA 恰好，且AOD AOC ′∠′>∠时，如图2②， ，601050C ′=°−°=°，，且AOD AOC ′∠′<∠时，如图2③， 602040C ′=°−°=°， 一条三分线，180AOB ∠=° 与BOC ∠的平分线，恰好是C OD ∠′′的MON ∠绕点O 旋转260°或2601026∴÷=或28010÷当120AOC ∠=°时，MON ∠2501025∴÷=或29010÷综上，MON ∠绕点O 旋转的时3．如图，已知AOB ∠内部有三（1）若90AOB ∠=°，∠（2）若AOB α∠=，求∠（3）若将条件中“OE 23COF COA ∠=∠”，且【解答】解：（1）AOB ∠=∵60COB ∴∠=°；OE ∵平分BOC ∠，OF 15FOC ∴∠=°，EOC ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠（2）AOB α∠=∵，OE EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=（3）AOB α∠=∵，EOB ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=280°时，ON 是AOC ∠的一条三分线， 028=（秒)ON 绕点O 旋转250°或290°时，ON 是AOC ∠的一条029=（秒)转的时间是25，26，28或29秒．部有三条射线，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠30AOC =°，求EOF ∠的度数； EOF 的度数（写出求解过程）；平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠．平分”改为“AOB α∠=，求EOF ∠的度数（写出求解过程）90OB °，30AOC ∠=°， 平分AOC ∠， 30°， 45C =°．平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠， 111()222C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 13OB COB ∠，23COF COA ∠=∠，222()333C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 的一条三分线， OC ．13EOB COB ∠=∠，）．4．如图，已知AOC ∠=（1）求AOD ∠的度数；（2）若射线OB 绕点O 以每秒速度逆时针旋转，设旋转的时（3）若AOB ∠绕点O 以每秒旋的速度逆时针旋转，设旋转的在旋转的过程中，MON ∠的度【解答】解：如图所示：（1）设5AOD x ∠=°， 35BOC AOD ∠=∠∵3535BOC x x ∴∠=°=°i又AOC AOB BOC ∠=∠+∠∵AOD AOB BOC D ∠=∠+∠AOC BOD AOD ∴∠+∠=∠又120AOC BOD ∠=∠=∵53240x x ∴+=解得：30x =° 150AOD ∴∠=°；120BOD ∠=°，35BOC AOD ∠=∠．以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC 以每转的时间为t 秒(06)t <<，试求当20BOC ∠=°时的值每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时COD ∠绕点旋转的时间为t 秒(018)t <<，OM 平分AOC ∠，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变OC ，BOD DOC BOC ∠=∠+∠， DOC +∠， D BOC +∠，0°， 以每秒旋转15°的t 的值； O 以每秒旋转10°ON 平分BOD ∠，若改变，说明理由．（2）150AOD ∠=°∵，35BOC AOD ∠=∠，90BOC ∴∠=°，①若线段OB 、OC 重合前相差20°，则有： 20152090t t ++=，解得：2t =，②若线段OB 、OC 重合后相差20°，则有： 20159020t t +−=解得：227t =， 又06t <<∵， 2t ∴=或227t =； （3）MON ∠的度数不会发生改变，30MON ∠=°，理由如下：∵旋转t 秒后，1505AOD t ∠=°−°，1205AOC t ∠=°−°，1205BOD t ∠=°−° OM ∵、ON 分别平分AOC ∠、BOD ∠11(1205)22AOM AOC t ∴∠=∠=°−°， 11(1205)22DON BOD t ∠=∠=°−° MON AOD AOM DON ∴∠=∠−∠−∠111505(1205)(1205)22t t t =°−°−°−°−°−°30=°．5．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点()O 的两条射线组成的图形叫做角()AOB ∠．如果一条射线()OC 把一个角()AOB ∠分成两个相等的角(AOC ∠和)BOC ∠，这条射线()OC 叫做这个角的平分线．这时，12AOC BOC AOB ∠=∠=∠（或22)AOC BOC AOB ∠=∠=∠．问题：平面内一定点A OA ′．当点O 在直线MN 上运动点O 顺时针旋转60°得到射线（1）如图1，当点O 运动到使度数；（2）当点O 运动到使点在射（3）当点O 运动到某一时刻时【解答】解：（1）设AOP ∠由题意可知：A OP x ∠′=，因为OB 平分A OP ∠′，所以所以2(60)x x °−= 解得，40x =．答：AOP ∠的度数为40°． （2）①如图2，当射线OB 在A OP ∠′内部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−，在直线MN 的上方，点O 为直线MN 上一动点，作射线上运动时，始终保持90MOP ∠=°，AOP A ∠=∠射线OB ．动到使点A 在射线OP 的左侧时，若OB 平分∠A 在射线OP 的左侧，3AOM A OB ∠=∠′时，求AO ∠时刻时，150A OB ∠′=°，直接写出此时BOP ∠的度数OP 的度数为x ， 60POB x ∠=°− 所以2POB A OP ∠=∠′， 部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−，作射线OA ，OP ，OP ′，将射线OA 绕A OP ′，求AOP ∠的AOP 的值； 的度数．3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，A OB POB A OP ∠′+∠=∠′∵∴1(90)(60)3y y y °−+°−=解得，2707y °=； ②如图3，当射线OB 在A OP ∠′外部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−， 3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，AOP A OP A OB ∠+∠′+∠′=∵1(90)603y y y ∴++°−=°，解得，18y =°． ③如图，P ，，部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−， 60B °，由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴+++=，解得403x =， 16043AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴−++=，解得1207x =， 48047AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠=答；AOP ∠的值为2707°或（3）如图4，当A OB ∠′A OA A OB AOB ∠′=∠′−∠又AOP A OP ∠=∠′∵， 45AOP ∴∠=°，°，4C A OD x =∠′=°， 430490()3P =°+°=°； °，4C A OD x =∠′=°， 1110490()7P °+°=°；18°或430()3°或1110()7°； 150=°时，由图可得： 1506090=°−°=°，6045105BOP ∴∠=°+°=°如图5，当150A OB ∠′=°时，36015060A OA ∠′=°−°−°又AOP A OP ∠=∠′∵， 75AOP ∴∠=°，6075135BOP ∴∠=°+°=°当射线OP 在MN 下面时，综上所述：BOP ∠的度数为6．我们已学习了角平分线的概（1）如图1所示，将长方形笔折痕．若54ABC ∠=°，求（2）在（1）条件下，如果又将它如图2所示，求CBE ∠的度数【解答】解：（1）ABC ∠∵54A BC ABC ∴∠′=∠=°，180A BD ABC B ∴∠′=°−∠∠；，由图可得： 150=°，；75BOP ∠=°或45°． 数为105°或135°或75°或45°．线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A A BD ∠′的度数．又将它的另一个角也斜折过去，并使BD 边与BA ′重合的度数．54C =°， A BC −′落在A ′处，BC 为重合，折痕为BE ，1805454=°−°−° 72=°；（2）由（1）的结论可得1127222DBD ∴∠=∠′=×°°11110822ABD ∴∠=∠′=×1290CBE ∴∠=∠+∠=°．7．如图，已知90AOB ∠=°BOC ∠的平分线分别为（1）如图1，若射线OC （2）如图2，若射线OC （3）由（1）、（2）题结果中的条件不变，MON ∠的度数会发由．【解答】解：（1）OM ∵12MOC AOC ∴∠=∠，∠MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠72DBD ∠′=°， 36=，108ABD ∠′=°， 54°=°，0，以O 为顶点，OB 为一边画BOC ∠，若BOC ∠OM ，ON ．在AOB ∠的内部，求MON ∠的度数． 在AOB ∠的外部，求MON ∠的度数．果中的规律，若把“30BOC ∠=°改为BOC a a ∠=数会发生变化吗？若变化，请求MON ∠的度数；若不平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12NOC BOC =∠， OC30C =°，AOC ∠与(为锐角）”，其余若不变，请说明理12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（2）OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（3）MON ∠的度数不会变化，理由如下： 若射线OC 在AOB ∠的内部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．若射线OC 在AOB ∠的外部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠，MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．8．如图1，120AOB ∠=°（1）若20COF ∠=°，则（2）将COE ∠绕点O 旋转至如（3）在（2）的条件下，在∠若存在，求DOFCOF∠∠的值，【解答】解：（1）COE ∠∵602040EOF ∴∠=°−°=°OF ∵平分AOE ∠， 40AOF EOF ∴∠=∠=°，80AOE ∴∠=°，BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为40；（2）2AOE EOF ∠=∠∵， 1202(60BOE ∴°−∠=°−∠OC，60COE ∠=°，OF 平分AOE ∠BOE ∠=40°转至如图2位置，求BOE ∠和COF ∠的数量关系BOE 内部是否存在射线OD ，使3DOF DOE ∠=∠，若不存在，请说明理由．60OE =°，20COF ∠=°， ， 1208040°−°=°，)COFOE ，且70BOD ∠=°？2BOE COF ∴∠=∠；（3）存在．理由如下： 3DOF DOE ∠=∠∵，设DOE α∠=，DOF α∠=2EOF AOF α∴∠=∠=，AO 120AOD BOD ∠+∠=°∵，570120α∴+°=°， 10α∴=°，30DOF ∴∠=°，40AOE ∠°40COF ∴∠=°， ∴34DOF COF ∠=∠．9．如图1，已知AOB ∠AOE ∠．（1）若30EOB ∠=°，则CO （2）若20COF ∠=°，则（3）若COF n ∠=°，则EO （4）当射线OE 绕点O 逆时针EOB ∠有怎样的数量关系3，5AOD α∠=， =，604020AOC ∠=°−°=°，140=°，30AOC ∠=°，OE 是AOB ∠内部的一条射线COF ∠=25°； EOB ∠=；EOB ∠=（用含n 的式子表示）． 逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时关系？请说明理由．条射线，且OF 平分此时，COF ∠与【解答】解：（1）AOB ∠∵AOE AOB EOB ∴∠=∠−∠=OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠5530=°−°， 25=°；故答案为：25°；（2）30AOC ∠=°∵，COF ∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22501AOE AOF ∴∠=∠=×EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为：40°；（3）30AOC ∠=°∵，∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22(30AOE AOF n ∴∠=∠=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠故答案为：802n °−°；140OB =°，30EOB ∠=°， 14030110°−°=°，11055°，C ， 20=°， 302050F =°+°=°，0100°=°，14010040°−°=°；COF n =°， 30F n =°+°，)602n °+°=°+°，140(602)802E n n =°−°+°=°−°；（4）如图所示：EOB ∠=证明：设COF n ∠=°，则又OF ∵平分AOE ∠，260AOE AOF ∴∠=∠=°EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠即802EOB COF ∠=°+∠．10．已知140AOB ∠=°，（1）如图1，当40EOB ∠=时°；（2）请分别求出当COF ∠要的过程）；（3）若(030)COF n n ∠=°<<【解答】解：（1）AOE A ∠∠OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠802COF °+∠．30AOF AOC COF n ∠=∠−∠=°−°， 2n −°．140(602)(802)E n n =°−°−°=+°30AOC ∠=°，若射线OE 绕点O 在AOB ∠内部旋转，0°时，请直接写出AOF ∠和COF ∠的度数：AOF ∠35F =°和10°时，EOB ∠的度数（利用备用图，画出，请用含n 的式子表示EOB ∠的度数（直接写出14040100AOB EOB =−∠=°−°=°． 10050°．503020C =°−°=°．，OF 平分AOE ∠．OF =50°；COF ∠=画出图形并写出简接写出结果）．故答案为：50；20°．（2）当35COF ∠=°时，如图AOF AOC COF ∠=∠+∠∵303565AOF ∴∠=°+°=°OF ∵平分AOE ∠，22651AOE AOF ∴∠=∠=×°=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图②所示：当COF ∠=°30AOC ∠=°∵，COF ∠=°20AOF ∴∠=°．OF ∵平分角AOE ∠， 240AOE AOF ∴∠=∠=°．BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图③所示：当COF ∠=如图①所示：F ， ．5130°． 14013010−°=°．10时．10，14040100°−°=°．10°时．∠=°，30COF∵，10AOC∠=°∴∠=°．40AOF∠，∵平分角AOEOFAOE AOF∴∠=∠=°．280∴∠=∠−∠=°−°=°．BOE AOB AOE1408060∴∠的度数为100°或60°．BOE（3）如图②所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=−°．(30)AOF n∵平分角AOE∠，OF∴∠=∠=−°．AOE AOF n2(602)∴∠=∠−∠=°−−°=+°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n如图③所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=+°．(30)AOF n∠，OF∵平分角AOEAOE AOF n∴∠=∠=+°．2(602)∴∠=∠−∠=°−+°=−°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n综上所述，(802)+°．∠=−°或(802)nEOB n11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：（1）点A 表示的数是2，点（2）点A 表示的数是5−，发现：点A 表示的数是a ，直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点B 表示的数为21x +，则数字2014对应点将与类比迁移：如图（2）：OB OX ⊥，O 旋转，射线OB 绕O 转，三线同时旋转，当一条几秒时，其中一条射线是另【解答】解：（1）∵将数轴按示的数为3x −，点B 表示的1(21)21(3x x x ∴−−+=+−26x ∴−=，解得：3x =−．故A 表示的数为：33x −=点B 表示的数为：21x +=即等边三角形ABC 边长为数字2014对应的点与4−的距离点B 表示的数是6，则线段AB 的中点C 表示的数为，点B 表示的数是7，则线段AB 的中点C 表示的数，点B 表示的数是b ，则线段AB 的中点C 表示的数从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的C 表示的数为1x −，则x 值为，若将ABC ∆从图中位ABC ∆的顶点重合． OA OC ⊥，30COX ∠=°，若射线OA 绕O 点每秒点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC 以每秒10当一条射线与直线OX 重合时，三条射线同时停止运线是另外两条射线夹角的平分线？数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形AB 表示的数为21x +，点C 表示的数为1x −， 3)x −； 36−−=−， 2(3)15×−+=−， 1，的距离为：201442018+=，的数为4； 示的数为； 示的数为． 表示的数为3x −，图中位置向右滚动，30°的速度顺时针0°的速度逆时针旋停止运动，问：运动ABC ，设点A表201836722÷=…∵，C 从出发到2014点滚动672周后再滚动两次， ∴数字2014对应的点将与ABC ∆的顶点B 重合．故答案为：3−，B ；（2）OB OX ⊥∵，OA OC ⊥，30COX ∠=°， 30AOB ∴∠=°，经分析知2秒时OB 与OC 重合，所以在2秒以前设运动x 秒时，OB 是OA 与OC 的角平分线，30106030x x −=−解得 1.5x =．经分析知2秒时OB 与OC 重合，2.25秒时OA 与OC 重合，所以在2秒到2.25秒间，OC 是OA 与OB 的角平分线，设运动2t 秒时，2230609040t t −=− 215/7t =3秒时OA 与OB 重合，所以在3秒以前设运动y 秒时，OA 是OB 与OC 的角平分线， 301090203030y y y y +−=+−解得 2.4y =．4秒时与OA 直线OX 重合，设3秒后4秒前运动z 秒时OB 是OA 与OC 的角平分线， 206010303020x x x x −+=−−解得 1.5x =（舍去）．故运动1.5秒，15/7秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 12．已知90AOB ∠=°，30COD ∠=°．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD ∠的度数是60°； 如图2，若OB 恰好平分COD ∠，则AOC ∠的度数是；（2）当COD ∠从图1的位置开射线ON 平分BOD ∠，在旋①MON ∠的度数是；②请选择下列图3、图4、图【解答】解：（1）∵点O BOD AOB COD ∴∠=∠−∠OB ∵平分COD ∠ ∴1122COB COD ∠=∠=×AOC AOB COB ∴∠=∠−∠=（2）①60MON ∠=°②图4证明：OM ∵平分AO ∴12MOC AOC ∠=∠，∠AOD AOB COD ∠=∠+∠−∠∵AOC BOC BOD =∠+∠+∠2AOC BOD BOC ∴∠+∠+∠=∠9030120=°+°=°MON MOC COB ∴∠=∠+∠位置开始，绕点O 逆时针方向旋转180°，作射线在旋转过程中，发现MON ∠的度数保持不变． 图5、图6四种情况中的两种予以证明． 、A 、C 在同一条直线上 903060D =°−°=° 3015°=° 901575°−°=°AOC ∠，ON 平分BOD ∠ 12BON BOD =∠ D BOCOC AOB COD +∠ OB BON +∠OM 平分AOC ∠，111120222AOC BOC BOD =∠+∠+∠=×° 60=°图5证明：OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠ ∴12MOC AOC ∠=∠，12BON BOD ∠=∠ AOD AOB COD BOC ∠=∠+∠+∠∵ AOC BOD BOC =∠+∠−∠2AOC BOD BOC AOB COD ∴∠+∠−∠=∠+∠ 9030120=°+°=°MON MOC CON ∴∠=∠+∠ MOC BON BOC =∠+∠−∠1122AOC BOD BOC =∠+∠−∠ 11202=×° 60=°．13．已知90AOB ∠=°，BOC ∠是锐角，ON 平分BOC ∠，OM 平分AOB ∠．（1）如图1若30BOC ∠=°，求MON ∠的度数？（2）若射线OC 绕着点O 运动到AOB ∠的内部（如图2)，在（1）的条件下求MON ∠的度数；（3）若(90180)AOB αα∠=°<°…，(090)BOC ββ∠=°<<°，请用含有α，β的式子直接表示上述两种情况MON ∠的度数．【解答】解：（1）OM ∵12BOM AOB ∴∠=∠，∠90AOB ∠=°∵，BOC ∠=°190452BOM ∴∠=×°=°，MON BOM BON ∴∠=∠+∠=（2）由（1）可知，BOM ∠MON BOM BON ∴∠=∠−∠=（3）OM ∵平分AOB ∠，12BOM AOB ∴∠=∠，∠AOB α∠=∵，BOC β∠=12BOM α∴∠=，2BON ∠=如果射线OC 在AOB ∠的外部如果射线OC 在AOB ∠的内部14．已知40AOD ∠=°，射线间为t 秒(7)t …．射线OE平分AOB ∠，ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， 30，130152BON ∠=×°=°， 451560ON °+°=°；45OM =°，15BON ∠=°， 451530ON °−°=°；ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， ，1β．外部，那么11222MON BOM BON α∠=∠+∠=+=内部，那么11222MON BOM BON α∠=∠−∠=−=射线OC 从OD 出发，绕点O 以20/°秒的速度逆时针、OF 分别平分AOC ∠、AOD ∠．1()βαβ+；1()βαβ−．逆时针旋转，旋转时（1）如图①，如果4t =秒，（2）如图①，若射线OC 旋转（3）射线OC 从OD 出发时转，射线OC 、OB 在旋转过程分析后，直接写出BOFCOB∠∠的值【解答】解：（1）如图①，42080DOC ∠=×°=°AOC AOD DOC ∴∠=∠+∠∵射线OE 平分AOC ∠， ∴1602AOE AOC ∠=∠=°答：EOA ∠的度数为60°． （2）根据题意，得(20)COD t AOC ∠=°∴∠∵射线OE 、OF 分别平分∴1(4020)(2012AOE t ∠=+=20AOF ∠=°，EOF AOE AOF ∴∠=∠−∠答：EOF ∠的度数为(10t （3）∵射线OE 、OF分别平分，求EOA ∠的度数；旋转时间为t 秒，求EOF ∠的度数（用含t 的代数式发时，射线OB 也同时从OA 出发，绕点O 以10/°秒的转过程中(7)t …，若12BOD EOB ∠=∠，请你借助图的值．，根据题意，得 4080120C =°+°=°，， (4020)t =+° AOC ∠、AOD ∠， 2010)t +°， (10)F t =°，)°．AOC ∠、AOD ∠，代数式表示）；秒的速度逆时针旋助图②和备用图进行根据题意，得EOB AOE AOB ∠=∠−∠102AOC A B =∠−∠ 201010t t =+− 20=°1102BOD EOB ∴∠=∠=°，①如图②：当OB 落在OF 401010t −=，解得3t =． ②如图3:当OB 落在OD 和OE 之间时104010t −=解得5t =． ∵BOF AOB AOF COB AOC AOB ∠∠−∠=∠∠−∠1020402010t t t −=+−24t t−=+ 当3t =时，BOF COB ∠∠的值为7当5t =时，BOF COB ∠∠的值为13答：BOF COB ∠∠的值为17或13和OD 之间时，4010BOD t ∠=−， 间时，1040BOD t ∠=−， FOB 1，．．15．已知如图1，OE 平分（1）如果70AOB ∠=°，BO （2）如果AOB α∠=，（3）通过（1）、（2）的计算（4）拓展：如图2，已知点E 是AC 的中点并说明理由．【解答】解（1）OE ∵12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠， EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（2）OE ∵平分AOC ∠， 12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠，AOC ∠，OF 平分BOC ∠．30BOC ∠=°，那么EOF ∠是多少度？ BOC β∠=，那么EOF ∠是多少度？ 计算，你发现了什么？ 的中点，点D 是BC 的中点，试判断线段DE 与线段平分AOC ∠， F ，111()7035222AOC BOC AOB =∠−∠=∠=×°=°AB 的数量关系，；EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（3）通过第（1）、（2）的计算（4）拓展：12DE AB =，理由∵点E 是AC 的中点， 12EC AC ∴=， ∵点D 是BC 的中点， 12DC BC ∴=， 12DE EC DC AC BC ∴=−=16．【问题提出】已知∠求BOC ∠的度数．【问题思考】聪明的小明用分（1）当射线OC 在AOB ∠的内度数，解答过COD BOD ∴∠=∠−∠2AOD COD α∴∠=∠=F ，1111()2222AOC BOC AOB αα=∠−∠=∠=×=的计算，发现12EOF AOB ∠=∠； 理由如下： 1122AB −=．70AOB =°，12AOD AOC ∠=∠，3BOD BOC ∠=∠明用分类讨论的方法解决．的内部时，①若射线OD 在AOC ∠内部，如图1，程如下：设BOC α∠=，BOD ∴∠2BOC α=，12AOD AOC ∴∠=∠， ，23570AOB AOD BOD ααα∴∠=∠+∠=+==； (45)OC BOC ∠<°，，可求BOC ∠的33BOC α=∠=，0°，14α∴=°，14BOC ∴∠=°问：当射线OC 在AOB ∠的内部的度数；【问题延伸】（2）当射线【问题解决】综上所述：【解答】解：（1）②如下图设BOC α∠=，则BOD ∠=12AOD AOC ∠=∠∵， 1233AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠30α∴=°． 30BOC ∴∠=°；（2）当射线OC 在AOB ∠外部45BOC ∠<°∵，1AOD A∠∴射线OD 的位置也只有两种可①若射线OD 在AOB ∠内部，的内部时，②若射线OD 在AOB ∠外部，如图2，OC 在AOB ∠的外部时，请你画出图形，并求∠BOC ∠的度数分别是14°，30°，10°或42°．下图2所示，3α，2COD BOD BOC α∠=∠−∠=， ，2737033ααα=−==°， 外部时，根据题意，此时射线OC 靠近射线OB 2AOC =∠， 两种可能； ，如图3所示，，请你求出BOC ∠BOC 的度数． ，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵AOB BOD AOD ∴∠=∠+∠=10α∴=°， 10BOC ∴∠=°；②若射线OD 在AOB ∠外部，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵1433AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠=42α∴=°， 42BOC ∴∠=°；由上可得，BOC ∠的度数分别故答案为：14°，30°，1017．如图1，将一副三角的两4D α=，34770ααα+==°， ，如图4所示，4D α=，12AOD AOC ∠=∠， ，4537033ααα−==°，数分别是14°，30°，10°，42°． 0°或42°．板的两个锐角顶点放到一块，45AOB ∠=°，∠30COD =°，OM ，ON 分别是AOC ∠，BOD ∠（1）当COD ∠绕着点O 逆时针37.5°；（2）如图3，在（1）的条件下，的大小，写出解答过程；（3）在COD ∠绕点O 逆时针旋【解答】解：（1）AOB ∠=∵平分线， 1152BON COD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°．故答案为：37.5°；（2）当绕着点O 逆时针旋转1202BON BOD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°；（3）AOC AOB BO ∠=∠+∵OM ∵，ON 分别是AOC ∠11(22MOC AOC ∴∠=∠=∠1(2MON AOB BOC ∴∠=∠+∠+，111()222αβαβ+=+；OD 的角平分线．逆时针旋转至射线OB 与OC 重合时（如图2)，则，继续绕着点O 逆时针旋转COD ∠，当BOC ∠时针旋转过程中，MON ∠=°．45OB °，30COD ∠=°，OM ，ON 分别是∠，122.52MOB AOB ∠=∠=°， 旋转COD ∠，10BOC ∠=°时，55AOC ∠=°，，127.52MOB AOC ∠=∠=°， BOC ∠，BOD COD BOC ∠=∠+∠，C ，BOD ∠的角平分线，45AOB ∠=°，COD ∠)AOB BOC +∠，12CON BOD BOC ∠=∠−∠，1111)()222BOD BOC AOB BOD BOC AO ∠−∠=∠+∠−∠= MON ∠的大小为10=°时，求MON ∠AOC ，BOD ∠的角40BOD ∠=°， 30=°，137.522AOB COD ∠+∠=°当COD ∠在OA 、OB 的同理，142.5MON ∠=°，综上所述：37.5MON ∠=故答案是：37.5或142.5．18．一副三角尺（分别含45边PD 与量角器0°刻度线重合将三角尺ABP 绕量角器停止运动，设三角尺ABP 的运（1）当3t =时，边PB 过的（2）如图2，若在三角尺AB 时针旋转，当三角尺ABP 停止①用含t 的代数式表示：②从三角尺ABP 与三角尺PC 叠结束止，经过的时间t 为秒【解答】解：（1）当t =秒时边BP 旋转的角度为：153反向延长线形成的角的内部时， 5°或142.5°， °，45°，90°和30°，60°，90)°按如图1所示线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合(APB ∠=中心点P 以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB 与的运动时间为t ． 经过的量角器刻度线对应的度数是90度；ABP 开始旋转的同时，三角尺PCD 也绕点P 停止旋转时，三角尺PCD 也停止旋转，MPN ∠NPD ∠=；MPB ∠=；当t 为何值时，BPC ∠=PCD 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直为秒．3秒时，由旋转可知： 45°×=°，示摆放在量角器上，45,30)DPC °∠=°，0°刻度线重合时以每秒5°的速度逆180=°． 5°？对直角边和斜边重∴边PB 经过的量角器刻度线对应的度数为：180(45315)90°−°+×°=°，故答案为：90°；（2）①∵三角尺PCD 也绕点P 以每秒5°的速度逆时针旋转， (5)NPD t ∴∠=°， 45APB ∠=°∵，(15)45(1545)MPB MPA APB t t ∴∠=∠+∠=°+°=+°，故答案为：(5)t °，(1545)t +°，在三角尺ABP 和三角尺PCD 旋转前，1804530105BPC ∠=°−°−°=°， 现在5BPC ∠=°，分两种情况： PB 与PC 相遇前，则： 1551055t t +=−，解得：5t =，PB 与PC 相遇后，则： 1551055t t +=+，解得： 5.5t =，∴当t 为秒5或5.5秒时，5BPC ∠=°；②45APB ∠=°∵，30CPD ∠=°，∴当PB 与PC 重合时，453075APD ∠=°+°=°，当PA 与PD 重合时，即PA 与PD 共旋转了75°， 15575t t ∴+=，154t ∴=， 故答案为：154． 19．如图1，对于线段AB 和A OB ∠′′，点C 是线段AB 上的任意一点，射线OC ′在A OB ∠′′内部，如果AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′，则称线段AC 是A OC ∠′′的伴随线段，A OC ∠′′是线段AC 的伴随角．例如：10AB =，∠（1）当8AB =，A OB ∠′′（2）如图2，对于线段点，E ，F 分别是线段AC AF 的伴随角，则在点C 会发生变化？如果会，请说明（3）如图3，已知AOC ∠是任接MN ，AOC ∠的平分线AOD ∠的伴随线段，点P 量加以说明；如果不能，请说100A OB ′′=°，若3AC =，则线段AC 的伴随角OC ′130=°时，若65A OC ∠′′=，试求A OC ∠′′的伴随线段AB 和A OB ∠′′，6AB =，120A OB ∠′′=°．若点C 是线，BC 的中点，A OE ∠′′，A OC ∠′′，A OF ∠′′分别是线段从A 运动到B 的过程中（不与A ，B 重合），O 请说明理由；如果不会，请求出E OF ∠′′的大小． C 是任意锐角，点M ，N 分别是射线OA ，OC 上的OD 与线段MN 相交于点Q ．对于线段MN 和∠和点Q 能否重合？如果能，请举例并用数学工具作请说明理由．30A ∠′=°． 随线段AC 的长． 是线段AB 上任一是线段AE ，AC ，E OF ∠′′的大小是否上的任意一点，连AOC ，线段MP 是工具作图，再通过测【解答】解：（1）由伴随角和∴65181302AC °==°， 4AC ∴=．（2）不会，60E OF ∠′′=．∵点E ，F 分别是线段12EC AC ∴=，12CF BC =132EF AB ∴==． A OE ∠′′∵，A OC ∠′′，A ∠∴AE A OE AB A OB ∠′′=∠′′，ACO AB O =∠EF AF AE =−∵， ∴EF AF AE A AB AB AB A ∠′=−=∠′120A OB ∠′′=°∵， 60E OF ∴∠′′=°．（3）能，理由如下： OD ∵是AOC ∠的平分线，12AOD AOC ∴∠=∠， ∵线段MP 是AOD ∠的伴随线段随角和伴随线段的定义可知，AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′， °．理由如下： AC ，BC 的中点， C ， OF ′′分别是线段AE ，AC ，AF 的伴随角， A OC A OB ∠′′′′，AF A OF AB A OB ∠′′=∠′′， 12OF A OE E OF OB A OB A OB ′∠′′∠′′−==′∠′′∠′′，随线段，∴12MP AOD MN AOC ∠==∠．即点P 若点P 和点Q 重合，则点根据题意画出图形如下所示测量得出当点P 和点Q 重合时20．已知AOB ∠和COD ∠是直（1）如图1，当射线OB 理由．（2）如图2，当射线14BOE BOC ∠=∠，DOF ∠=（3）在（2）的条件下，在平求出GOF ∠的度数；若不存在【解答】（1）AOD ∠+∠证明：AOB ∠∵和COD ∠是直90AOB COD ∴∠=∠=°，是MN 的中点． Q 为MN 的中点． 所示：重合时， 1.25NP MQ cm ==． 是直角．在COD ∠的内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的OA ，OB 都在COD ∠的外部时，过点O 作射线34OF AOD ∠，求EOF ∠的度数． 在平面内是否存在射线OG ，使得:GOF GOE ∠∠不存在，请说明理由．180BOC =°． 是直角，之间的关系，并说明OE ，OF ，满足3:7OE =若存在，BOD BOC COD ∠+∠=∠∵， 90BOD BOC ∴∠=°−∠，同理：90AOC BOC ∠=°−∠，9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=°+°−∠=°−∠， 180AOD BOC ∴∠+∠=°；（2）解：设BOE a ∠=，则4BOC a ∠=， BOE EOC BOC ∠+∠=∠∵， 3EOC BOC BOE a ∴∠=∠−∠=，360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=°∵， 360AOD COD BOC AOB ∴∠=°−∠−∠−∠ 36090490a =°−°−−° 1804a =°−，34DOF AOD ∠=∠∵，3(1804)13534DOF a a ∴∠=°−=°−， 11(1804)4544AOF AOD a a ∴∠=∠=°−=°−， 9045135EOF BOE AOB AOF a a ∴∠=∠+∠+∠=+°+°−=°， EOF ∠的度数为135°；（3）①当射线OG 在EOF ∠内部时， :3:7GOF GOE ∴∠∠=，333()13540.5371010GOF GOF GOE EOF ∴∠=∠+∠=∠=×°=°+； ②当射线OG 在EOF ∠外部时， :3:7GOF GOE ∠∠=∵，3()37GOF GOE GOF ∴∠=∠+∠+310EOF =∠ 3()10DOF COD EOC =∠+∠+∠ 310=(1353903)a a °−+°+ 67.5=°．③当OG 在EOF ∠外部且在直线OE 上方的时候求得的GOE ∠超过180度，不合题意舍去． 综上所述，GOF ∠的度数是40.5°或67.5°．。

借助角平分线构造全等三角形一 、填空题1.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，则:B C ∠∠= ．二 、解答题2.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的角平分线．3.在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．4.如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ABDDCBAEDECBAF ABCEDDPCBAEDPCBAEDP CBAF EDP C BA5.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD 为BAC ∠的平分线．求证：AC AB BD =+．6.如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.7.如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.8.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC⊥于F .（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.9.如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.D C B A EAB C D DCBAFEDCBAFEDCBAE DCBAFE D CBAGFE DC BAGFEDC BAC DABEDCBA借助角平分线构造全等三角形答案解析一 、填空题1.2:1;【解析】根据角平分线的对称性，将ABD ∆翻折，如图，则AC AE EC AB EC =+=+，BD DE =,结合已知条件“AB BD AC +=”，可得BD DE EC ==，∴DEC ∆为等腰三角形思路二，可将ADC ∆进行翻折，分析略二 、解答题2.延长BC 、AE 交于F 点，先证明AFC BDC ≌△△()SAS ，得2AF BD AE ==，则AE FE =，再证ABE FBE ≌△△．【解析】结论要证明：“BD 是ABC ∠的角平分线”，而且已知条件中有“12AE BD =”，即“2BD AE =”因此可以通过沿BD 翻折“AEB ∆”构造“2AE ”，但是，问题在于“BD 是ABC ∠的角平分线”是我们所需要证明的结论，而并非已知条件，所以辅助线的描述方式为：“延长AE 、BC 交于点F ” 3.AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点E ，连接PE ，则AE AC =，PE PC =，∴可以将问题“AB AC PB PC ->-”转化为“AB AE PB PE ->-”，则用PBE ∆三边关系很容易能够解决 4.在AE 上截取一点F 使得AF AC =，其他略【解析】AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点F ，连接PF ，则AF AC =，PF PC =，∴可以将问题“PB PC AB AC +>+”转化为“PB PF AB AF +>+”，则用PBF ∆三边关系很容易能够解决5.思路一、如图，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，可证ABD AED ∆∆≌()SAS ，因此可得AB AE =，BD DE =，B AED ∠=∠，∵2B C ∠=∠ ∴2AED C ∠=∠ ∴D C ∠=∠ ∴DE EC = ∴BD EC = ∴AC AB BD =+ 思路二、略【解析】辅助线：有两个基本思路，一是将ABD ∆沿AD 进行翻折，点B 落在点E ，主要目的：构造AC AE EC AB EC =+=+,因此可将问题顺利转化为证明：“BD EC =” 二是将ADC ∆沿AD 进行翻折，基本思路同“思路一”6.延长CE 与BA 的延长线交于点F ，因为BE 为角平分线和垂线，所以显然CE EF =即2CF CE =;证ABD ACF ≌△△，所以2BD CF BD CE ==，所以 【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形7.过C 作AD 的垂线交AD 延长线于F ，BCE DCF BE DF ⇒=≌△△EAC FAC AE AF AE AD DF AD BE ⇒==+=+≌，所以△△8.（1）连接BD 、CD ，显然=BD DF ，因为AD 为角分线，所以DE DF =，BDE CDF ≌△△，所以BE CF =（2）显然AED AFD ≌△△,所以AE AF =，所以22a b a bBE AE -+==， 【解析】构造全等9.BC 上取BE AB =所以ABD EBD BED A ∠=∠≌，所以△△，又可证180C DEC BED DEC ︒∠=∠∠+∠=，又，所以180A C ︒∠+∠=.。

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+． 证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

角平分线的四大模型解题策略模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⏊OM 于点A ，PB ⏊ON 于点B ，则PB =PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型2截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ,连接PB ，则△OPB ≌△OPA 模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP ⏊OP 于P 点，延长AP 交ON 于点B ，则△AOB 是等腰三角形.模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.A B MNO PAB MNO P A B MNO PO P QMN经典例题【例1】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习)四边形ABCD 中，DA =DC ，连接BD ．(1)如图1，若BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180°．(2)如图2，若BD =BC ，∠BAD =150°，求证：∠DBC =2∠ABD ．(3)如图3，在(2)的条件下，作AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，若DA ⊥DC ，BC =2，求DE 的长度．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【分析】(1)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED =FD ，结合已知条件HL 证明Rt △DAE ≌Rt △DCF ，继而可得∠C =∠EAD ，根据平角的定义以及等量代换即可证明∠BAD +∠BCD =180°；(2)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，根据含30度角的直角三角形的性质可得ED =12AD ，根据三线合一，可得DG =12DC ，进而可得DE =DG ，根据角平分线的判定定理可推出∠ABD =∠DBG =12∠DBC ，进而即可证明∠DBC =2∠ABD ；(3)先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌△FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设∠ABD =α，根据(2)的结论以及三角形内角和定理，求得α=15°，进而求得∠DBC =30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt △DEF 中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】(1)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，∵BD 平分∠ABC ，∴ED =FD∵DA =DC ，在Rt △DAE 与Rt △DCF 中AD =DC ED =FD∴Rt △DAE ≌Rt △DCF (HL )∴∠C =∠EAD∴∠DAB +∠EAD =∠DAB +∠C =180°即∠BAD +∠BCD =180°(2)如图，过点D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，∵BD =BC∴DG =GC =12DC ,∠DBG =∠CBG =12∠DBC∵∠BAD =150°，∴∠EAD =180°-150°=30°∴ED =12AD ∵DA =DC∴ED =DG∵ED ⊥BE ,DG ⊥BG∴∠EBD =∠GBD∴∠ABD =12∠DBC 即∠DBC =2∠ABD(3)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DM ⊥EA 交EA 的延长线于点M ，∵AE ⊥BC ，DM ⊥ME ,DF ⊥FE∴四边形DMEF 是矩形∴∠MDF =90°∴∠MDA +∠ADF =90°∵DA ⊥DC∴∠ADC =90°∴∠ADF +∠FDC =90°∴∠FDC =∠MDA在△MAD 与△FCD 中∠MDA =∠FDC ∠DMA =∠DFC DA =DC∴△MAD ≌△FCD∴DM =DF ，∠MDA =∠FDC∴四边形DMEF 是正方形∴DF =EF设∠ABD =α∴∠DBC =2∠ABD =2α∵BD =BC∴∠BDC =∠BCD =12(180°-2α)=90-α∴∠MDA =∠FDC =90°-∠BCD =α∴∠DAE =∠M +∠MDA =90°+α∵∠BAD =150°∴∠BAE =60-α在△BAE 中∠ABE =90°-∠BAE =30°+α∵∠ABE =∠ABD +∠DBC =α+2α=3α∴α=15°∴∠DBC =2α=30°∵BD=2∴DF=12BD=12×2=1在Rt△DEF中，EF=DF=1∴DE=EF2+DF2=2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．【例2】(2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中)综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．(1)初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长(直接写出答案)．【答案】(1)PC=PD(2)PC与PD在(1)中的数量关系还成立，理由见解析(3)OC的长为7【分析】(1)根据角平分线的性质进行解答即可；(2)过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，根据“ASA”证明△CPE≌△DPF即可得出结论；(3)过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明△CPE≌△DPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论．【详解】(1)解：∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，故答案为：PC=PD；(2)还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，∵OM平分∠AOB，∴PE=PF，∠PEC=∠PFD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠EPF =360°-∠DEO -∠AOB -∠DFO =90°，∵∠CPD =90°∴∠CPD -∠EPD =∠EPF -∠EPD ，即∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠PEC =∠PFD，∴△CPE ≌△DPF ASA ，∴PC =PD ；(3)过点P 作PE ⊥OA ,PF ⊥OB ，垂足分别为E ,F ，∴四边形OEPF 为矩形，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE =PF =3，四边形OEPF 为正方形，∵∠AOB =90°，∠OEP =90°,∠OFP =90°，∴∠EPF =90°，∵∠CPD =90°，∴∠CPE +∠EPD =∠EPD +∠DPF =90°，∴∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠CEP =∠DFP，∴△CPE ≌△DPF (ASA )，∴CE =DF ，∵OD =1，∴DF =OD +OF =1+3=4，∴OC =OE +CE =3+4=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【例3】(2021·全国·八年级专题练习)如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【详解】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．【例4】(2021·贵州·九年级专题练习)【特例感知】(1)如图(1)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离．【类比迁移】(2)如图(2)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】(3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=72，AB=6，求△ABC的内心与外心之间的距离．【答案】(1)125；(2)AB+BC=2BE，理由见解析；(3)5．【分析】(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF=DE解决问题；(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE．只要证明ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，推出AF=CE，RtΔBDF ≅RtΔBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；(3)如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由(1)(2)可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：AN=6+10-82=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtΔOMN中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．图①∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=BD2+CD2=42+32=5，∵12·BC·DE=12·BD·DC，∴DE=125，∴DF =DE =125．故答案为125(2)如图②中，结论：AB +BC =2BE ．图②理由：作DF ⊥BA 于F ，连接AD ，DC ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF =DE ，∠DFB =∠DEB =90°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠EDF =180°，∴∠ADC =∠EDF ，∴∠FDA =∠CDE ，∵∠DFA =∠DEC =90°，∴ΔDFA ≅ΔDEC (ASA )，∴AF =CE ，∵BD =BD ，DF =DE ，∴Rt ΔBDF ≅Rt ΔBDE (HL )，∴BF =BE ，∴AB +BC =BF -AF +BE +CE =2BE ．(3)如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由(1)(2)可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③∵BD =72，∴正方形BEDF 的边长为7，由(2)可知：BC =2BE -AB =8，∴AC =62+82=10，由切线长定理可知：AN =6+10-82=4，∴ON=5-4=1，设内切圆的半径为r，则12×r×10+12×r×6+12×r×8=12×6×8解得r=2，即MN=2，在RtΔOMN中，OM=MN2+ON2=22+12=5．故答案为5．【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．培优训练一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC>BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC上截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C=∠DEC，则DE=DC，从而得出AD=CD即可证明．【详解】证：如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，∵BD=BD，∠ABD=∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A=∠DEB，AD=DE，∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴AD=CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．2.(2022·全国·八年级课时练习)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．(1)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；(2)判断△BEG的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=12AD，见解析；(2)△BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】(1)延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE=HE=12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH=AD，则BE=12AD；(2)先证明CF垂直平分AB，则AG=BG，再证明∠CAB=∠CBA=45°，则∠GAB=∠GBA= 22.5°，于是∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：(1)BE=12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEH=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，∴△BAE≌△HAE(ASA)，∴BE=HE=12BH，∵∠ACB=90°，∴∠BCH=180°-∠ACB=90°=∠ACD，∴∠CBH=90°-∠H=∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，∴△BCH≌△ACD(ASA)，∴BH=AD，∴BE=12AD．(2)△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC=BC，AF=BF，∴CF⊥AB，∴AG=BG，∴∠GAB=∠GBA，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠GAB=1∠CAB=22.5°，2∴∠GAB=∠GBA=22.5°，∴∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，∵∠BEG=90°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴EG=EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．3.(2022·江苏·八年级专题练习)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．(1)如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E=48°，AE=AD=DC，则∠ABC的度数为 ．(2)如图2，AC>AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．(3)连接AE，若∠DAE=90°，∠BAC=24°，且满足AB+AC=EC，请求出∠ACB的度数(要求：画图，写思路，求出度数)．【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC，见解析；(3)44°或104°；详见解析．【分析】(1)根据等边对等角，可得∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质求出∠ADE=2∠DAC=48°，由此即可解题；(2)在AC边上取一点M使AM=AB，构造△ABP≅△AMP，根据MP+MC>PC即可得出答案；(3)画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；根据∠BAC= 24°，AD为△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠DAC=12°，可证△AGE≅△ABE(SAS)，得出∠ABE=∠G=90°-x，利用还有∠ABE=24°+2x，列方程90°-x=24°+2x；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA 到G，使AG=AB，可得GC=EC，得出∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；∠BAC=24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出∠BAD=∠DAC=12°，证明△AGE≅△ABE (SAS)，得出∠ABE=∠G=x，利用三角形内角和列方程x+24°+2x=180°，解方程即可．【详解】解：(1)∵AE=AD=DC，∴∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，∵∠E=48°，∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=2∠DAC=48°，∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAC=2∠DAC，∴∠BAC=48°；∴∠ABC=180°-48°-24°=108°(2)如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在△ABP和△AMP中，AB=AM∠BAP=∠MAPAP=AP，∴△ABP≅△AMP(SAS)，∴BP=MP，∵MP+MC>PC，MC=AC-AM，∴AC-AB+BP>PC，∴AC+BP>AB+PC；(3)如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG= AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；又∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，∴∠BAE=90°-∠BAD=78°，∠GAE=90°-∠DAC=78°，∴∠BAE=∠GAE，在△AGE和△ABE中，AE=AE∠GAE=∠BAEAG=AB，∴△AGE≅△ABE(SAS)，∴∠ABE=∠G=90°-x，又∵∠ABE=∠BAC+∠ACB=24°+2x，∴90°-x=24°+2x，解得：x=22°，∴∠ACB=2x=44°；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；又∵∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，在△AGE和△ABE中，AE=AE，∠GAE=∠BAEAG=AB∴△AGE ≅△ABE (SAS )，∴∠ABE =∠G =x ，∴x +24°+2x =180°，解得：x =52°，∴∠ACB =2x =104°．∴∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．4.(2022·全国·八年级课时练习)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF ．(1)求证：AC =AE ；(2)若AB =7.4，AF =1.4，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)证明△ACD ≌△AED (AAS )，即可得出结论；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD (SAS )，得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE (HL )，得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，∠C =∠DEA∠DAC =∠DAE AD =AD，∴△ACD ≌△AED (AAS )，∴AC =AE ；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAMAD=AD，∴△FAD≌△MAD(SAS)，∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE，∴Rt△MDE≌Rt△BDE(HL)，∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE=12BM=3，即BE的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．5.(2022·江苏·八年级专题练习)如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k+1【分析】(1)延长CM至点D，使CM=DM，可证ΔACM≅ΔBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证ΔDCB≅ΔNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ=CP，可证ΔCPO≅ΔCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB≅ΔNOQ等量转化即可求出CPCM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在△ACM与△BDM中，CM=DM∠AMC=∠BMDAM=BM，∴ΔACM≅ΔBDM，∴AC=BD，∵2CM=CN，∴CD=CN，在△DCB与△NCB中，CD=CN∠DCB=∠NCBCB=CB,∴ΔDCB≅ΔNCB，∴BN=BD，∴AC=BN；(2)如图所示，∵∠AMC=120°，∴∠CMN=60°，∵NP平分∠MNC，∠BCN=∠BCM，∠PNC+∠BCN=12∠AMC=60°，∴∠CON=120°，∠COP=60°，∴∠CMN+∠BOP=180°，作CQ=CP，在△CPO与△CQO中，CQ=CP∠QCO=∠PCOCO=CO，∴ΔCPO≅ΔCQO，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB与△NOQ中，∠4=∠5∠BNO=∠QNONO=NO，∴ΔNOB≅ΔNOQ，∴BN=NQ，∴CN=CP+NB，∴2CM=CP+AC，设AC=a，∴CP=ka，CM=a(k+1)2，∴CP CM =2kk+1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG 是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE=120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．7.(2022·全国·八年级课时练习)已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；(2)①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，故S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．【详解】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE ，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.8.(2022·全国·八年级)如图1，在△ABC 中，AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．(1)求证：CD 平分∠ACB ；(2)如图2，过F 作FP ⊥AC 于点P ，连接PD ，若∠ACB =45°，∠PDF =67.5°，求证：PD =CP ；(3)如图3，若2∠BAF +3∠ABE =180°，求证：BE -BF =AB -AE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG =DH =DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；(2)作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ，通过证明△SQD ≌△TFD 和△QDP ≌△FDP 得到∠PDC =∠PCD =22.5°，从而根据等角对等边判断即可；(3)延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ，通过证明△AFC ≌△AFM 得到AC =AM ，再结合CE =EB 即可得出结论．【详解】(1)证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴DG =DH =DK ，∴CD 平分∠ACB ；(2)证明：如图，作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ．∵CD 平分∠ACB ，∴DS =DT ，∵∠QDP =∠FDP =67.5°，∠ACB =45°，∴∠QDF +∠ACB =135°+45°=180°，在四边形QDFC 中，∠CQD +∠DFC =180°，又∵∠DFT +∠DFC =180°，∴∠CQD =∠DFT ，在△SQD 和△TFD 中，∠CQD =∠DFTDS =DT∠DSQ =∠DTF =90°∴△SQD ≌△TFD ，∴QD =FD ，在△QDP 和△FDP 中QD =FD∠QDP =∠FDPDP =DP∴△QDP ≌△FDP，∴∠QPD =∠FPD =45°又∵∠QPD =∠PCD +∠PDC ，∠PCD =22.5°，∴∠PDC =∠PCD =22.5°，∴CP =PD ；(3)证明：延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ．∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴2∠BAF +2∠ABE +∠C =180°，又∵2∠BAF +3∠ABE =180°，∴∠C =∠ABE =∠CBE ，∴CE =EB ，∵BM =BF ，∴∠BFM =∠BMF =∠ABE =∠CBE =∠C ，在△AFC 和△AFM 中，∠C =∠BMF∠CAF =∠BAF AF =AF，∴△AFC ≌△AFM ，∴AC =AM ，∴AE +CE =AB +BM ，∴AE +BE =AB +BF ，∴BE -BF =AB -AE ．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．9.(2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A(0，6)，B(6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S△AFH-S△FBG=9．【分析】(1)由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；(2)过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：(1)∵a2-12a+36+a-b=0∴(a-6)2+a-b=0，∴a-6=0a-b=0，即a=b=6．∴A(0，6)，B(6，0)．(2)如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据题意可知∠ACO+∠CAO=90°．∵BD⊥AC，∴∠BCD+∠CBE=90°，∴∠CAO=∠CBE．∵A(0，6)，B(6，0)，∴OA=OB=6．在△AOC和△BOE中，∠CAO=∠EBOOA=OB∠AOC=∠BOE=90°，∴△AOC≅△BOE(ASA)．∴OE=OC，AC=BE，S△AOC=S△BOE．∴1 2AC·ON=12BE·OM，∴OM=ON，∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB．(3)如图，连接OF，∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，∴OF⊥AB，OF=FB，OF平分∠AOB．∴∠OFB=∠OFH+∠HFB=90°．又∵FG⊥FH，∴∠HFG=∠BFG+∠HFB=90°，∴∠OFH=∠BFG．∵∠FOB=12∠AOB=45°，∴∠FOH=∠FOB+∠HOB=45°+90°=135°．又∵∠FBG=180°-∠ABO=180°-45°=135°，∴∠FOH=∠FBG．在△FOH和△FBG中∠OFH=∠BFG OF=BF∠FOH=∠FBG ，∴△FOH≅△FBG(ASA)．∴S△FOH=S△FBG，∴S△AFH-S△FBG=S△AFH-S△FOH=S△FOA=12S△AOB=12×12OA·OB=14×6×6=9．故不发生变化，且S△AFH-S△FBG=9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得△BEF≌△BED，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得△AEF≌△AEC，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，BF=BD∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌△BED(SAS)，∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，∠EAF=∠EAC∠AFE=∠CAE=AE，∴△AEF≌△AEC(AAS)，∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11.(2022·全国·八年级课时练习)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)见解析；(2)AD-AB=2BE，理由见解析；(3)3．【分析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．【详解】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD-AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CDF =∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，∠CBE =∠CDF∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE ≌△DCF (AAS )，∴DF =BE ，∴AD =AF +DF =AE +DF =AB +BE +DF =AB +2BE ，∴AD -AB =2BE ；(3)解：如图3，在BD 上截取BH =BG ，连接OH ，∵BH =BG ，∠OBH =∠OBG ，OB =OB在△OBH 和△OBG 中，BH =BG∠OBH =∠OBG OB =OB，∴△OBH ≌△OBG (SAS )∴∠OHB =∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH =∠ODF ，∵∠OHB =∠ODH +∠DOH ，∠OGB =∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH =∠DAB =60°，∴∠GOH =120°，∴∠BOG =∠BOH =60°，∴∠DOF =∠BOG =60°，∴∠DOH =∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，∠DOH =∠DOFOD =OD ∠ODH =∠ODF，∴△ODH ≌△ODF (ASA )，∴DH =DF ，∴DB =DH +BH =DF +BG =2+1=3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．12.(2022·全国·八年级)在平面直角坐标系中，点A -5,0 ，B 0,5 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD ⊥BC 交y 轴于点E ．(1)如图①，若点C 的坐标为(3，0)，试求点E 的坐标；(2)如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且OC <5，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分∠ADC(3)若点C 在x 轴正半轴上运动，当∠OCB =2∠DAO 时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】(1)(0，3)；(2)详见解析；(3)AD =OC +CD【分析】(1)先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE =OC ，再根据点C 的坐标为(3，0)，得到OC =2=OE ，进而得到点E 的坐标；(2)先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM =ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；(3)在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO =30°，进而得到∠OCB =60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，再根据三角形外角性质得PA =PO =OC ，故AD =PA +PD =OC +CD ．【详解】(1)如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE =∠BDE ，又∵∠AEO =∠BED ，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (-5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE =OC ，又∵点C 的坐标为(3，0)，∴OC =3=OE ，∴点E 的坐标为(0，3)；(2)如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；(3)如所示，在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，∵∠OCB =2∠DAO ，∠ADC =90°∴∠PAO +∠OCD =90°，∴∠DAC =90°3=30°，∠DCA =2×90°3=60°∵∠PDO =∠CDO ，OD =OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．13.(2022·全国·八年级)如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN⎳PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于点D(不与点A重合)，交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=AD+AB【分析】(1)由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解：(1)∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ∴∠BAC+∠ABC=12×180°=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC =CF ，AB =BF∵MN ∥BQ∴∠DAC =∠EFC∵∠ACD =∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD =EF∴AB =BF =BE +EF =BE +AD即：AB =AD +BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD +AB =BE如图3，延长AC 交PQ 点F ,∵MN ⎳PQ ．∴∠AFB =∠FAN ，∠DAC =∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF =∠FAN∴∠BAF =∠AFB∴AB =FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC =FC在△ACD 与△FCE 中∠DAC =∠EFC AC =FC ∠ACD =∠FCE∴△ACD ≅△FCE (ASA )∴AD =EF∵AB =FB =BE -EF∴AD +AB =BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14.(2018·湖北武汉·八年级期中)在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，∠CAB =90°，A (0，a )，B (b ，0)．(1)如图1，若2a-b+(a-2)2=0，求△ABO的面积；(2)如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；(3)如图3，在(1)的条件下，若以P(0，-6)为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】(1)△ABO的面积=4；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：(1)∵2a-b+(a-2)2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△ACE和△BAF中，∠CAE=∠ABFAC=AB∠ACE=∠BAF，∴△ACE≌△BAF(ASA)，∴CE=AF，在△CED和△AFD中，CD=AD∠C=∠DAFCE=AF，∴△CED≌△AFD(SAS)∴∠CDE=∠ADB；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO，在△ACM和△BAO中，。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。