九年级数学角平分线的应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。

在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。

首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。

在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。

角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。

接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。

角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。

通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。

除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。

在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。

总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。

通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。

平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。

本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。

一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。

如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。

二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。

如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。

2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。

如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。

3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。

如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。

三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。

假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。

则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。

又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。

因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。

2. 求平行四边形的面积。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。

3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。

在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。

掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。

初中数学如何使用三角形的角平分线解决实际问题三角形的角平分线是初中数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种与三角形有关的实际问题。

在本文中，我们将深入探讨如何使用三角形的角平分线解决实际问题，并通过具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，让我们回顾一下三角形的角平分线的定义。

对于一个任意三角形ABC，如果从顶点A 引出一条线段AD，使得∠BAD和∠CAD的度数相等，那么AD就是∠BAC的角平分线。

利用三角形的角平分线，我们可以解决许多实际问题。

其中最常见的问题是确定角平分线的长度和角的度数。

接下来，我们将通过一些具体的例题来演示如何使用三角形的角平分线解决实际问题。

例题1：在图中，已知三角形ABC的角A的角平分线AD的长度为4cm，求角A的度数。

解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。

根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。

因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。

由于我们已知角平分线AD的长度为4cm，我们可以利用这个已知条件来求解角A的度数。

根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 2∠BAD。

因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD = (∠BAC) / 2。

由于我们已知∠BAD = ∠CAD，我们可以得到(∠BAC) / 2 = 4。

通过计算，我们可以得到∠BAC = 8度。

因此，角A的度数为8度。

例题2：在图中，已知三角形ABC的角A的度数为60度，求角A的角平分线AD的长度。

解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。

根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。

因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。

由于我们已知角A的度数为60度，我们可以利用这个已知条件来求解角平分线AD的长度。

根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = 180 - 60 - 60 = 60度。

角的平分线-方法技巧拓展方法一 巧用角平分线性质证明线段相等或垂直问题角平分线的性质： 点在角平分上⇔点到这个角的两边距离相等．角平分线性质定理实现了由“等角”到“等线段”的转化，很多时候可取代证明三角形全等的过程，同时也大大简化了解题过程．例1如图12-3-9，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE =2 cm ，AB =9 cm ，BC =6 cm ，求△ABC 的面积．例2 如图12 -3 -10，F ，G 是OA 上两点，M ，N 是OB 上两点，且FG =MN ，PMN PFG S S ∆∆=，试问点P 是否在∠AOB 的平分线上？例3如图12 -3 -11，在△ABC 中，AC =AB ，点D 在BC 上，若DF ⊥AB 于点F ，DG ⊥AC 于点G ，DF =DG ,求证：AD ⊥BC .变式链接1，如图12 -3 -12，AD 是△ABC 中/BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，7=∆ABC S ,DE =2，AB =4，则AC 的长是( )． A .3 B .4 C .6 D .5方法2 利用角平分线截长补短从角平分线上一点作角的两边的垂线，使得垂线段相等，也使得顶点到两垂足的距离相等。

借此，可在角的两边上实施截长补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。

其实质是角平分线两侧的对称位置的三角形全等。

例4如图12 -3 -13在等腰直角△ABC 中,∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：AB =AC +CD .图12 - 3-11图12 - 3-13图12 - 3-12变式 如图12 - 3-14，BD 平分∠ABC ，AD = DC ，若作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，求证：AB+BC=2BE 。

例5如图12—3-15,AD ∥BC ,DC ⊥AD ,AE 平分∠BAD 且E 是DC 的中点，问：AD +BC 与AB 之间有何关系？例6图12-3-16，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ,并且BE =21(AB +BC )，求∠ABC +∠ADC 的度数．变式链接2如图12—3-17，△ABC 的高AD 、CE 交于点F ，AD =DC ,AC =BC . (1)求证：CF =2AE . (2)求证：AC =AD +DF . (3)求证：∠BED = 45°．方法3三角形的内心及性质的应用三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这一点叫作三角形的内心， 此结论可通过其中两条角平分线的交点在第三个角的平分线上加以证明．根据角平分线的性质可知该点到三边的距离相等。

初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。

下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。

步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。

-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。

步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。

-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。

需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。

总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。

这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N MB AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。

这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。

一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。

2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。

3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。

二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。

海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。

而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。

这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。

2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。

我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。

然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。

3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。

我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。

如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。

总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。