九年级数学角平分线的应用

12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。

角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。

在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。

首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。

在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。

角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。

接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。

角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。

通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。

除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。

在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。

总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。

通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。

图形的角平分线角平分线是一条从角的顶点出发的线段，将角等分为两个相等的部分。

它在数学和几何中有着重要的应用和性质。

本文将详细介绍图形的角平分线及其相关性质。

一、角平分线的定义及性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角等分成两个相等的角的线段。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线与角的边相交，将角分成两个相等的角。

2. 角平分线与角的对边垂直相交。

3. 当一个角的两条边上的点到另一边的距离相等时，这个点就是角的平分线上的点。

二、三角形的角平分线在三角形中，角平分线具有一些特殊性质，如下所示：1. 内角平分线：从一个内角的顶点出发，将这个内角等分成两个相等的角的线段。

三角形的三个内角的角平分线会相交于一个点，被称为内心，内心到三角形的各个顶点的距离相等。

2. 外角平分线：从一个外角的顶点出发，将这个外角等分成两个相等的角的线段。

三角形的三个外角的角平分线被称为三角形的外心，外心到三角形的顶点的距离相等。

3. 中心角平分线：从一个中心角的顶点出发，将这个中心角等分成两个相等的角的线段。

三角形的三个中心角的角平分线相交于一个点，被称为三角形的外接圆心，外接圆心到三角形的各个顶点的距离相等。

三、四边形的角平分线除了三角形，四边形的角平分线也具有一些特殊性质，如下所示：1. 对角线的角平分线：四边形的对角线的交点到四边形的各个顶点的距离相等。

2. 长方形的角平分线：长方形的角平分线是垂直平分线，将角等分为两个相等的直角。

3. 正方形的角平分线：正方形的角平分线具有特殊性质，将角等分为两个相等的直角。

四、其他除了三角形和四边形之外，其他一些图形也存在角平分线，如下所示：1. 平行四边形的角平分线：平行四边形的对角线交点到相对顶点的距离相等。

2. 五边形的角平分线：五边形的每个内角都可以有一个角平分线。

3. 圆的角平分线：圆的半径可以被视为角平分线，将圆内的角等分为两个相等的角。

五、应用领域角平分线在实际生活和学科中有广泛应用，如下所示：1. 建筑设计：在建筑设计中，角平分线可以帮助确定房间的布局和摆放家具的位置。

平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。

本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。

一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。

如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。

二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。

如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。

2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。

如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。

3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。

如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。

三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。

假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。

则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。

又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。

因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。

2. 求平行四边形的面积。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。

3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。

在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。

掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。

例析角平分线性质定理的应用.可联想角平分线的性质，数学问题中，若出现角平分线这一条件时，往往可以化难为易.下面举例予以说明．MAN，AC平分∠MAN例1 （临沂）已知∠；＋AD＝AC，求证：＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°AB（1）在图1中，若∠MAN，则⑴中的结论是否仍然成180°ABC＋∠ADC＝（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．MMMCCCEDDD G BAAB F NNBAN图32图图1分析：（1）中可利用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化．解：（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°．1AC．＝AB∴＝AD2∴AB＋AD＝AC．（2）成立．如图3，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F．∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°．∴∠CDE＝∠ABC．∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB．∴AB＋AD＝（AF＋BF）＋（AE－ED）＝AF＋AE，由（1）知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC．例2 如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB- 1 -的平分线解决问题.图4解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°－20°=80°，∠PBA=180°－100°=80°，所以∠PBA=∠ABD.因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM.又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，所以EN=EM.11∠ADB=×40°平分∠ADB，所以∠ADE==20°. ED所以22例3 如图5，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠PDO＋∠PEO ＝180°．分析：要证∠PDO＋∠PEO＝180°，∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决．由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可．证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．因OC是角平分线，故PM=PN．由PD=PE，PM=PN，得Rt△PMD≌RtPNE，所以∠MDP＝∠NEP．图5则∠PEO＝∠MDP，而∠MDP＋∠PDO＝180°，∠PDO＋∠PEO＝180°．?A?90ABPD?BCADC//AD P．求4例如图6是，，平分的中点，，已知：CP?DCB．证：平分?ADC?DCB PP的角平分线上，可转化为证的平分线上，而欲证点在在点分析：DC PP引垂线，这是本题证明的关键．点到这个角两边的距离相等，从而考虑过点一点向- 2 -以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．EDCPE?证明：作，垂足为，D A90?4??A??3?2 ，所以1 E 4 3P PE???ADC?1?2PAPD，所以．因为平分，所以CBPBPE??ABPAPB P因为是，所以的中点，所以，6 图DCB?CPDCB?P平分的平分线上，所以．所以点在- 3 -。

初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。

下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。

步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。

-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。

步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。

-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。

需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。

总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。

这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。

直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。

这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。

一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。

2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。

3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。

二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。

海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。

而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。

这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。

2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。

我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。

然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。

3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。

我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。

如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。

总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。

初中角平分线相关的经典题型什么是角平分线呢？角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。

在初中数学中，角平分线是一个非常常见的概念，并且在各类题型中经常被考察。

接下来，我们将介绍一些与初中角平分线相关的经典题型，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。

题型一：已知角的两边长，求角平分线的长度和夹角大小。

在这种题型中，我们需要根据已知的角的两边长，求出角平分线的长度和夹角大小。

解题的关键是利用角平分线将一个角划分成两个相等的角，并应用三角函数的相关知识。

示例题：已知角ABC的两边AB和AC的长度分别为8cm和10cm，求角平分线BD的长度和角ABD的大小。

解析：首先，利用角平分线将角ABC分成了两个相等的角，即角ABD和角CBD。

然后，利用三角函数的正弦定理和余弦定理可以求解出角ABD和角CBD的大小。

最后，通过角ABD的大小，可以用正弦函数求出角平分线BD的长度。

题型二：已知角平分线的长度，求角的两边长和夹角大小。

在这种题型中，我们需要根据已知的角平分线的长度，求出角的两边长和夹角大小。

解题的关键是利用角平分线将一个角分成两个相等的角，并利用三角函数的相关知识解方程。

示例题：在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，已知角BAD 的长度为6cm，且角ABD的大小为60°，求角BAC的大小和边AC的长度。

解析：首先，利用已知条件可以得出角BAC可以由角ABD的大小得出，再由角BAC的大小，可以用三角函数求解出边AC的长度。

最后，应用角平分线的性质可以求出角CAD的大小。

题型三：利用角平分线性质求证题这类题型主要是利用角平分线的性质来进行证明。

我们需要根据已知条件，通过合理的推理和运用一些几何性质，来证明某些定理或者结论。

示例题：已知在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，证明：AB/BC=AD/DC。

解析：首先，利用角平分线的定义可以得出角BAD和角DAC的大小相等。

然后，通过角度相等和边的比值可以得出AB/BC=AD/DC的关系。

角平分线定理及其应用角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

这个定理是很多其它定理的基础，而且在各种应用中也有着广泛的应用。

角平分线定理的表述很简洁，即一个角的平分线将该角分成两个相等的角。

对于一个角ABC，假设BD是角ABC的平分线，那么角ABD和角CBD是相等的。

这个性质可以通过严谨的证明得出，但在此不再详述。

角平分线定理的应用非常广泛。

首先，它可以用来证明其它定理。

例如，利用角平分线定理可以证明“一个角所对的弧等于该角所对的另一个角所对的弧”的定理。

具体来说，如果一个角ABD的平分线BD所对的弧是AC，那么角CBD所对的弧也是AC。

这个定理在圆的相关问题中有着重要的应用。

其次，角平分线定理还可以用来解决一些有关角度的问题。

例如，在解决三角形的相关问题中，可以利用角平分线定理求解未知的角度。

假设有一个三角形ABC，若角BAD和角CAD是相等的，即平分了角BAC，那么可以根据已知的角度求得角BAD和角CAD的具体数值。

这在解决三角形的角度问题时是非常有用的。

除了以上两个应用之外，角平分线定理还可以在一些几何建模问题中有所应用。

例如，在设计建筑物或道路时，需要进行各种测量和角度确定。

利用角平分线定理可以确保所设计的结构物的角度准确无误。

这对于保证建筑物的安全和美观性非常重要。

总的来说，角平分线定理是平面几何中一个非常重要的定理，它的应用涉及到了各个领域。

在证明其它定理、解决角度问题以及几何建模中都有着广泛的应用。

它不仅是数学研究的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。

对于学习数学的学生来说，理解和掌握角平分线定理是至关重要的。

角平分线定理不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，它也可以在生活中的各种场景中得到运用。

例如，当我们使用罗盘进行导航时，角平分线定理可以帮助我们确定正确的方向。

在使用罗盘时，我们需要将罗盘的指针对准北方，以便获得准确的方向信息。

然而，在实际使用中，我们很难完全准确地判断罗盘指针是否指向了北方，因为我们无法直接看到罗盘的指针和地球北极。