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自主招生之函数与方程问题选讲（附答案）解法要点：1.函数单调性2.参变量与主变量3.换元法4.数形结合5.分类讨论6.特殊探路1．（2005年复旦大学）设212{|log (1)0},{|221}x x A x R x x B x R -=∈-->=∈->，则B A C 为 ；2．（2005年复旦大学）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2()40151x f x f x x ++=--，则(2004)f = ；3．（2003同济大学）()f x 是周期为2的函数，在区间[1,1]-上，()||f x x =，则3(2)2f m += （m 为整数） 4．（2008上海交通大学）若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则3()5g = ；5．（2008年浙江大学）225{(,)|(1)(2)},{(,)||1|2|2|}4A x y x y B x y x y a =-+-≤=-+-≤，A B ⊆，求a 的取值范围。
6．（2008上海交通大学）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，试判断[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论。
7．（2006年上海交大）若有函数(,)()()()()f x y a x b y c x d y =+，其中(),()a x c x 为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由。
（1） 1xy + （2）221xy x y ++8．（2005年上海交大）若2281ax x b y x ++=+得最大值为9，最小值为1，求满足条件的实数,a b 。
9．（2005年复旦大学）定义在R 上的函数4121(),()()(),2,3,42x n x n f x S f f f n n n n-==+++=+ （1） 求n S（2） 问是否存在常数0M >，使得2n ∀≥有231111n M S S S ++++≤10．（2003年复旦大学）定义闭集合S ，若,a b S ∈，则,a b S a b S +∈-∈（1）举一例，真包含于R 的无限闭集合；（2）求证对任意两个闭集合12,S S R ⊂，存在c R ∈，但是12c S S ∉11.(2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足()()()22x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）()f x 2x = （2）()f x =3x （3）()f x =2log x （0x >）（4）,0,()2,0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ 中是下凸函数的有A ．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)12. （06复旦）设x 1,x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，下列不等式中成立的是： (1)12（tanx 1+tanx 2）>tan 122x x +; (2) 12（tanx 1+tanx 2）<tan 122x x +; (3)12（sinx 1+sinx 2）>sin 122x x +; (4) 12（sinx 1+sinx 2）<sin 122x x + A ． (1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)13.（09，清华）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221x -≥+n n n y14.（07交大） 设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．15.（06交大）设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程16. （053=的实数根．参考答案1.｛1|-<x x ｝2.60153.21 4.2 5.25≥a 6.无7.（1）是 （2）不是8.a=b=5 9.21-=n S n ;不存在 10.（1）S ＝Z （2）设1S x ∉，2S y ∉，则21S S y x ⋃∉+11.D12.B13.略14.⑴x ＝－2；⑵0)2(≠f15.)3(+-=k x 或227632--±-=k k k x 16.6=x 或9-=x。
高中数学竞赛与自主招生专题第五讲 函数与方程 自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：2b x a-= 2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=（韦达定理） 3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。
竞赛与自主招生专题第五讲 函数与方程从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：2b x a-= 2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a= （韦达定理） 3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. 方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。
2. 10 函数与方程考试内容函数零点的定义，函数零点的判定，二分法．知识结构梳理夯实基础知识提升1-函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如函数的性质应用应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点问题，应适当加强．2．数形结合思想应贯穿于函数研究的各个领域的全部过程，掌握了这一点，将体会到函数问题既千姿百态，又有章可循． 3．函数的综合体现在三个方面：①函数内容自身的相互综合，主要是概念、图像、性质等知识的综合；②函数与其他知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等；③与实际问题的综合，重点在于模型的构造和函数关系式的建立．4．利用函数知识解应用题一般是设变量写出函数表达式，然后再用常用教学方法去解答．常用的方法有：二次函数配方求最值、重要不等式法、判别式法等．5．解函数应用问题，一般地，可按以下四步进行：第一步，阅读理解、认真审题就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息，在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化。
审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．第二步，引进教学符号，建立数学模型一般地，设自变量为z，函数为y，并用z表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型，第三步，利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步，再转译成具体问题作出解答．6．解函数应用问题常见错误①不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；②在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．函数应用题是高考考查的重点，应结合前面的例题仔细体会解应用题的一般步骤和应注意的问题，。
2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==-3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
序号：初中数学备课组 教师： 班级：初三 日期 上课时间 学生：主课题:利用函数图像判定方程根的个数及函数最值第一部分 利用函数图像判定方程根的个数基本结论：判断方程根的个数问题，常常运用图像法。
当函数图像并不容易作出时，可以再次进行转化，如：()()f x g x =的根的个数，可以构造函数()()()F x f x g x =-，于是将问题转化为函数()y F x =的图像与x 轴交点个数问题，再依据()F x 的单调性和特殊点的位置来判断 例题1：若关于x 的方程|||1|0x a --=有四个解，求实数a 的取值范围例题2：已知关于x 的方程2230(03)x x a x ---=≤≤，根据下列条件，求出a 的取值范围（1）方程没有实数解 （2）方程有一解 （3）方程没有解例题3：若关于x 的方程2|23|0x x m ---=有四个解，求实数m 的取值范围例题4：若关于x 的方程22||30x x m ---=有三个解，求实数m 的取值范围针对练习：1.已知关于x 的方程2|43|0x x m -++=有四个实数根，求实数m 的取值范围2.已知关于x 的方程|3||1|0x x m -+--=，试就m 的值讨论方程根的个数3.已知方程10||a x +=，有两个实数根，求实数a 的取值范围4.已知方程2|2|30x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数5.已知方程2|3|20x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数6.已知函数222,31024,3x x x y x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩且使得y k =成立的x 的值恰好有3个，求实数k 的值第二部分 函数的最值1.基本公示（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 当0a >时，当2min 4,24b ac b x y a a-=-= 当0a <时，当2max 4,24b ac b x y a a-=-= (2)若0,0a b >>，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时，等号成立） 当a b +为定值时，2max ()()2a b ab += 当ab 为定值时，min ()2a b ab +=2.基本结论：一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()();()()f x f x f x f x ==当0k <时，min 2max 1()();()()f x f x f x f x ==例题1：若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值（直观法）例题 2.已知函数()|||15||15|f x x P x x p =-+-+--（其中15P x ≤≤，015P <<），求函数的最小值例题3.若关于x 的方程22(2)(35)0()x k x k k k R --+++=∈的两个实数根分别为12,x x ，求2212x x +的最小值（配方法）例题4.已知a b >，且2a b +=，求22a b a b+-的最小值（换元法）例题5.求函数2223221x x y x x --=++的最大值，最小值（判别式法）针对练习：1.求函数11(1)y x x =--的最大值2.求函数|1||3|y x x =-+-的最小值3.函数2()23f x x x =-+在[0,]a 上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围4.求函数22()1(4)4f x x x =++-+的最小值5.求函数226121022x x y x x ++=++最小值课后作业：1.若方程|3|0x a --=有一个根，求实数a 的值2.判断方程||21||3x x -+=的解的个数3.已知关于x 的方程2|23|0x x a ---=有两个解，求实数a 的取值范围4.已知05x ≤≤，求函数2()43f x x x =-+的最值5.求函数2365y x x =--+-的最小值6.设a 为实数，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值7.已知关于正整数n 的二次式22y n an =+（a 为实数）若当且仅当5n =时，函数有最小值，求实数a 的取值范围。
2013 年自主招生专题第三讲：函数与方程第一部分概述函数是自主招生的一个非常重要内容！⏹就近几年来，本人作了一个统计，复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。
⏹其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。
而其中特别提醒同学们注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
第二部分：知识补充：一．函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
结论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数y=f(x)零点的判断方法：1、方程法：解方程f(x)=0，得函数y=f(x)的零点。
2、图象法：画出函数y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标就是y=f(x)的零点。
3、定理法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a) 〃f(b)<0。
例1：若函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1的两个零点中，一个在0和1之间，另一个在1和2之间，求k的取值范围。
二．反函数的反解：y=f(x+1)的反函数三． 函数的对称性定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （a +x ）= f （b －x ），那么y = f （x ）的图像关于直线x a b=+2的对称。
定理2.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2a b -对称。
定理3.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a －x) = 2b四． 函数的周期性抽象函数周期————“六部曲”探究一. T=a （周一）定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数a ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+a ∈D 时都有f(x+a)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数a 叫这个函数的周期。
探究二. T=2a （周二）若函数y=f(x)满足()()f x a f x +=－或 )0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 或 1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；（a 俗称半周期）例。
若函数y=f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(x)周期为————————。
T=4探究三：T=3a （周三）若函数y=f(x)满足)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；证明：探究四: T=4a （周四）若函数y=f(x)对任意实数x ,都有f(x ＋a)＝)(1)(1x f x f -+,则4a 是f(x)的一个周期.证明：探究五：T=5a （周五）若函数y=f(x)满足f(x)+f(x+a)+ +f(x+2a)f(x+3a) +f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则)(x f 的周期T=5a ；探究六：T=6a （周六）若函数y=f(x)满足)()()2(x f a x f a x f -+=+，则)(x f 的周期T=6a. 证明：五．三次方程的韦达定理推广到一元n 次方程的韦达定理：第三部分：典型例题例1：定义在R 上的函数满足：)10(x f +为偶函数，且)20()20(x f x f +=-，则)(x f 为（ ） A ．奇函数且周期函数B ．奇函数且非周期函数A ．偶函数且周期函数A ．偶函数且非周期函数 答案：A例2.求函数y = |x + 2 |+ |x -1| + |x| 的递增区间这道题，只要利用绝对值的几何意义，画数轴就能轻松得出答案例3.求关于x 1=的实根的个数这道题，先将原方程变形为3|5|1+=，然后还是利用绝对值的几何 意义，即可得出原方程根的个数为0。
例4.(2007年北京大学)设函数|19653|19653)(22+-++-=x x x x x f ,求)50()2()1(f f f +++ .答案:660例5.(2008年复旦大学)设321,,x x x 是023=++x x 的三个根,则行列式213132321x x x x x x x x x = . 答案:0例6.(2008年上海交大)已知函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,且x x f =)(没有实根,试判断x x f f =))((是否有实根?说明理由.答案:没有例7.. Let N={0,1,2,…..}.Determine all functions ：f N →N,such that)()()()(22y x f y x x yf y xf ++=+ for all x and y in N （Note: The answer can be in Chinese.）原题：设N={0,1,2,…..}，求所有的：f N→N ，使得对任意N y x ∈,，均有)()()()(22y x f y x x yf y xf ++=+ 提示：设有)()(y f x f ≤， 则)()()()())()()(()()(22y f yx y yf y xf y x f y x x yf y xf y x x f y x xf x f =++≤+=++≤++=即)()()()(022x f y f x f y x f -≤-+≤，因为N y x ∈, 易得：c x f =)( N c ∈例8.若1)2(log )2(log 44=-++y x y x ，则|x|-|y|的最小值是 。
解：⎩⎨⎧=-≥>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+440||24)2)(2(020222y x y x y x y x y x y x由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，所以只须求x y 的最小值。
令x y =u 代入x 24y 2=4中有3y 22uy+(4u 2)=0 ∵y ∈R∴⊿≥03≥⇒u∴当33,334==y x 时，u=3，故|x||y|的最小值是3 例9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f(x)的最小值为 554 。
解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x x ππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g(x)≥0，g(x)在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g(x 2)=g(x 1)。
于是 )(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f(x)在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f(x)在]45,41[上的最小值是554。
例10．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．解：(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005⇔(x ＋1x2005)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006⇔x ＋x 3＋x 5＋…＋x 2005＋1x2005＋1x2003＋1x2001＋…＋1x＝2006，故x ＞0，否则左边＜0．⇔2006＝x ＋1x ＋x 3＋1x 3＋…＋x 2005＋1x 2005≥2×1003＝2006．等号当且仅当x ＝1时成立．所以x ＝1是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为1．例11.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( 3 ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞例12、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -.例13, 1. （2007北大）解方程组例14.已知函数2()x f x ax b =+ ，(1)1f = 12()23f = 。
令112x = 1()n n x f x += （1）求数列{}n x 的通项公式 （2）证明：121>2n x x x e解：由12(1)1()1()21x f f a b f x x =====+2，得，312x 01nn n x x +=>+于是1111112n n x x +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭得11212n n n x --=+ （2）当0x 时，ln(1)x x + ，因此n-112111111lnln ln ln 1ln 1ln 1+122n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln 21ln 222n e -+++= ，即121ln ln 2ne x x x 故1212n x x x e(I)先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+。
用数学归纳法证明。
当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k kk x x f x x +===++，得证。
(II) 我们证明12112n e x x x +> 。
事实上，12111112(1)(1)(1)242n n x x x +=+++ 。
我们注意到2212(1)12(1)nna a a a +<++<+ ，，，于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n n n e x x x -+++-+<+=+<+<例15.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';(2)设0,a b <<求常数c ,使得1|ln |ba x c dxb a --⎰取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,Ma b ,证明,ln 2Ma b <.15.(1)1()ln ln 1f x x x x x '=+⋅=+;(2)若ln ,c a ≤则|ln |ln ,x c x c -=-显然,当ln ,ln c a x c =-取最小; 若ln ,c b ≤则|ln |ln ,x c c x -=-当ln ,ln c b c x =-取最小. 故ln ln .a c b ≤≤11|ln |[(ln )(ln )]c c b e b a a e x c dx x c dx c x dx b a b a -=-+---⎰⎰⎰ 1{[(ln 1)(1)][(1)(ln 1)]}c c e b a e x c dx c x dx b a =+-+++-+-⎰⎰由(1)知[(ln 1)(1)]ln |(1)()cce e ca ax c dx x x c e a +-+=-+-⎰[(1)(ln 1)](1)()ln |ccbc be ec x dx c e a x x +-+=+--⎰所以,11|ln |(ln ln 2)()b c a x c dx a a b b e a b ac bc b a b a -=---+++-*--⎰记()2()ln ln ,cg c e a b c a a b b a b =-++--++ 则令()20cg c e a b '=-++=,得2a b c +=即2a bc +=时,1|ln |b a x C dx b a --⎰取最小值.(3)将2a bc +=代入()*式右边,1,[ln ln ()ln ]ln 22a b Ma b a a b b a b b a +=--++<-等价于()lnln ln ()ln2()ln()ln ln 2ln22a ba b a a b b b a a b a b a a b b b ++--<-⇔+⋅+<++ln()ln ln()ln 2ln2ln(1)ln(1)2ln2.b aa ab a a b a b b b b a b b a b ⇔+-++-<⇔+++<由于0,12a a b b <<+<时,ln(1)ln2.a b b b +<所以下面只须证明ln(1)ln2ba b a +<即可. 又ln(1)ln 2ln(1)ln 2.b a b a b a b a +<⇔+<令(0,1)at b =∈,则11ln(1)ln(1)ln(1)t a b t ba t t +=+=+,注意到函数1ln(1)tt +是单调递增的,且 1.t < 所以111ln(1)ln(1)ln 21t t +<+=.得证.第四部分：巩固练习1.（2006年复旦）设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数. 已知当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式为 .2. (2006年复旦) 函数x x y 212-+=的最值为 .3.（2006年复旦）已知函数)(x f 的定义域为()1,0，则函数)()()(c x f c x f x g -++=在210<<c 时的定义域为 .4.（2002上海交大保送生）若cba643==，则=-+cb a 1211 . 5. （2010华科）记函数)(x f 的反函数为)(1x f-，已知xx f 23log )(=，则=-)2(1f . 6.（2011华约）已知12)(23+--=x x x x f ，点)1,1(-P ，切线过P 而切点不是P ，则该切线斜率为 .7. （2002上海交大保送生）函数()aax xy ---=23log 在()31,-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是 .8. （2011年清华保送）{}x x x f ,6max )(-=，则=min )(x f . 9. （2008上海交大）函数812++=x x y 的最大值为 . 10. （2000上海交大保送生）设)(x f 的原函数是1+x ，则⎰=1)2(dx x f .11. （2012北约）求函数x x x y +-++=12的递增区间 . 12.（2007北大）已知函数1965319653)(22+-++-=x x x x x f ，求)50()2()1(f f f +++ .13.（2004上海交大）已知11)(1+-=x xx f ，对于一切正整数n ，都有())()(11x f f x f n n =+，且)()(63x f x f =，求=)(28x f .14.（2001上海交大）已知函数22)(2++=x x x f ，[]1,+∈t t x 的最小值为)(t g ，试写出)(t g 的解析式 .15.（2004同济）试求22124)(x x x x f -+-=的最大值与最小值 .16.（2004复旦）若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界. 问函数x x x f 1sin 1)(=在⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 上是否有界？ . 17.（2006复旦）设函数)(x f y =对于一切实数x 均满足()()x f x f -=+55，且方程0)(=x f 恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为 .18.（2006复旦）方程()0532333321222312=---------=x x x x x x x x x x f 的实根的个数为 .19.（2008复旦）设321,,x x x 是方程023=++x x 的三个根，则行列式=213132321x x x x x x x x x . 20.（2004复旦）()()112124248++++=+ax x x x x ，则=a . 21. （2002上海交大）方程x x a -=-222，()21≤≤a ，则方程有 个实数解22.（2005复旦）定义在R 上的函数)(x f ()1≠x 满足()x x x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛-++4015120022，则()=2004f .23.（2003复旦）解方程22log ax xxa=，得=x . 24.（2000上海交大）方程xxx365812163⋅=⋅+⋅的解=x .25. （2000上海交大）方程()0213722=--++-k k x k x 的两根分别在区间()1,0和()2,1内，则k 的取值范围 .26. (2011年卓越联盟)若关于x 的方程24kx x x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为 .27.（2011北大）过x ax x f sin )(+=上两点B A ,的切线互相垂直，求实数=a .。
