Ch2微分与导数2.3(2)

导数与微分的概念及其应用导数和微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程和经济学等领域都有广泛的应用。

本篇文章将介绍导数和微分的概念以及它们在实际问题中的应用。

一、导数的定义和性质1. 定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以看作函数的瞬时增量与自变量的瞬时变化率的比值。

若函数f(x)在点x处可导，则其导数记作f'(x)、dy/dx、df(x)/dx等等。

2. 几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。

切线的斜率等于导数的值。

导数正值表示函数在该点上升，负值表示函数下降，零值表示函数有极值。

3. 基本性质：导数的四则运算法则是导数计算中常用的工具。

导数具有可乘性、可加性、链式法则、导数的导数等性质，这些性质使得导数的计算更加简便。

二、微分的定义和性质1. 定义：微分是导数的微小变化量，即函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)。

微分可以看作函数值的小增量与自变量的小变化量的乘积。

2. 近似代替：微分在实际问题中常用来做近似计算的代替。

当自变量的变化量很小的时候，我们可以使用微分来近似计算函数值的变化量。

3. 微分形式：微分有两种形式，即全微分和偏微分。

全微分表示函数的所有自变量的微分都要考虑进去，而偏微分仅考虑某几个自变量的微分。

三、导数和微分的应用导数和微分在各个领域中都有丰富的应用。

以下是一些应用举例：1. 极值问题：导数在解决函数的极值问题中起到重要作用。

求解极大值和极小值的方法包括使用导数的方法、二阶导数的方法和高级数学中的拉格朗日乘子法等等。

2. 物理学应用：在物理学中，导数和微分用于描述运动的速度和加速度。

例如，速度可以通过对位移函数进行微分得到，而加速度可以通过对速度函数进行微分得到。

3. 经济学应用：导数和微分在经济学中有着广泛的应用。

例如，利润最大化和成本最小化问题可以通过导数的方法来解决。

导数还可以用于弹性和边际效用的计算。

4. 工程学应用：导数和微分在工程学中有着广泛的应用。

第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t 质点的坐标为s s 是t 的函数s f (t)求动点在时刻t 0的速度考虑比值000)()(t t t f t f t t s s 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t 00取比值0)()(t tt f t f 的极限如果这个极限存在设为v 即0)()(l i mt tt f t f vt t这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋于点M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C 就是函数y f (x)的图形现在要确定曲线在点M(x 0, y 0)(y 0f(x 0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为000)()(t a nx xx f x f x xy y 其中为割线MN 的倾角当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x 0如果当x0时上式的极限存在设为k即0)()(limx xx f x f kx x存在则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里k tan 其中是切线MT 的倾角于是通过点M(x 0, f(x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限0)()(limx xx f x f x x令x x x 0则y f (x 0x)f (x 0) f(x)f(x 0)xx 0相当于x 0于是00)()(limx xx f x f x x成为xy xl i m或xx f x x f x)()(lim00定义设函数y f(x)在点x 0的某个邻域内有定义当自变量x 在x 0处取得增量x(点x 0x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x 0x)f (x 0)如果y 与x 之比当x0时的极限存在则称函数y f (x)在点x 0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点x 0处的导数记为0|x xy 即xx f x x f xyx f xx)()(limlim)(00也可记为0|x xy 0x xdxdy或)(x xdxx df 函数f(x)在点x 0处可导有时也说成f (x)在点x 0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有hx f h x f x f h)()(lim)(000000)()(lim)(0x xx f x f x f x x在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限xx f x x f x)()(lim00不存在就说函数y f(x )在点x 0处不可导如果不可导的原因是由于xx f x x f x)()(lim00也往往说函数y f (x)在点x 0处的导数为无穷大如果函数y f (x)在开区间I 内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I 内可导这时对于任一x I都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f (x)的导函数记作y)(x f dxdy 或dxx df )(导函数的定义式xx f x xf yx)()(limhx f h x f h)()(limf (x 0)与f (x)之间的关系函数f(x)在点x 0处的导数f (x)就是导函数 f (x)在点x x 0处的函数值即)()(0x xx f x f 导函数 f (x)简称导数而f (x 0)是f (x)在x 0处的导数或导数f (x)在x 0处的值左右导数所列极限存在则定义f (x)在0x 的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(0000f (x)在0x 的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(000如果极限hx f h x f h)()(lim000存在则称此极限值为函数在x 0的左导数如果极限hx f h x f h)()(lim00存在则称此极限值为函数在x 0的右导数导数与左右导数的关系Ax f )(0Ax f x f )()(002．求导数举例例1．求函数f (x)C （C 为常数）的导数解hx f h xf x f h)()(lim)(0limhC Ch即(C ) 0例2求xx f 1)(的导数解hxh xhx f h x f x f hh11lim )()(lim)(021)(1lim)(limx xh xxh xh h hh例3求x x f )(的导数解hxh xhx f h xf x f hhlim)()(lim)(xxhxx h x h hhh211lim)(lim例2．求函数f (x)x n(n 为正整数)在x a 处的导数解f (a)axa f x f ax)()(limax axnnaxlimaxlim (xn 1ax n 2an 1)nan 1把以上结果中的a 换成x 得f (x)nxn 1即(x n )nxn 1(C)021)1(x x xx 21)(1)(xx 更一般地有(x )x 1其中为常数例3．求函数f (x)sin x 的导数解f (x)hx f h x f h)()(limhxh x hsin )sin(lim2sin)2cos(21limh h xhhxh h h xhcos 22sin )2cos(lim 0即(sin x)cos x用类似的方法可求得(cos x )sin x例4．求函数f (x) a x(a>0a 1) 的导数解f (x)hx f h xf h )()(limha a xhxhlimh a a h h x1lim 0ta h 1令)1(log limt ta a tx aa ea x axln log1特别地有(e x)ex例5．求函数f (x)log a x (a>0a 1) 的导数解hxh xhx f h xf x f aa hhlog)(log lim)()(lim)(0hxa ha ha hxh x xh hxxxhx h)1(log lim 1)1(log lim1)(log 1lima x e x a ln 1log 1解h xh xx f a a hlog )(log lim)(0)1(log 1limxh ha hhx a h xh x )1(log lim 10ax e xa ln 1log 1即a x x a ln 1)(log 特殊地xx 1)(l n ax x aln 1)(logxx 1)(ln 3．单侧导数极限h x f h xf h)()(lim存在的充分必要条件是hx f h x f h)()(lim及hx f h xf h)()(lim都存在且相等f (x)在0x 处的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(00f (x)在0x 处的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(00导数与左右导数的关系函数f(x)在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x 0) 和右导数f (x 0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a) 和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间[a, b]上可导例6．求函数f (x)x|在x 0处的导数解1||lim)0()0(lim)0(0h h hf h f f hh 1||lim)0()0(lim)0(0hh hf h f f hh因为f (0) f (0)所以函数f(x)|x|在x 0处不可导四、导数的几何意义函数y f (x)在点x 0处的导数f (x 0)在几何上表示曲线y f (x)在点M(x 0, f(x 0))处的切线的斜率即f (x 0)tan其中是切线的倾角如果y f (x)在点x 0处的导数为无穷大这时曲线y f (x)的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置即曲线y f (x)在点M(x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x 0, y 0)处的切线方程为y y 0f (x 0)(x x 0)过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点M 处的法线如果f (x 0)0法线的斜率为)(10x f 从而法线方程为)()(1000x xx f y y 例8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xx k 41112k k 所求切线方程为)21(42xy 即4x y 40所求法线方程为)21(412xy 即2x 8y 150例9 求曲线x x y 的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为212302323)()(0x x x x f x x于是所求切线的方程可设为)(23000x xx x x y根据题目要求点(04)在切线上因此)(234000x x x x 解之得x 04于是所求切线的方程为)4(42344xy即3x y 40四、函数的可导性与连续性的关系设函数y f (x)在点x 0处可导即)(lim00x f x yx存在则0)(limlimlimlim00x f xxyx xyy xxxx这就是说函数y f(x)在点x 0处是连续的所以如果函数y f(x)在点x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数3)(x x f 在区间(, )内连续但在点x 0处不可导这是因为函数在点x 0处导数为无穷大hf h f h)0()0(limhh hlim3x§2 2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u u(x)及v v(x)在点x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数并且[u(x)v(x)]u (x)v (x)[u(x)v(x)]u (x)v(x)u (x)v (x))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u 证明(1)hx v x u h x v h x u x v x u h)]()([)]()([lim])()([0hx v h x v hx u h xu h)()()()(limu (x)v (x)法则(1)可简单地表示为(u v)u v (2)hx v x u h x v h x u x v x u h)()()()(lim])()([0)]()()()()()()()([1limx v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h hhx v h xv x u h x v hx u h xu h)()()()()()(limhx v h xv x u h xv hx u h x u hhh)()(lim)()(lim )()(limu (x)v(x)u(x)v (x)其中0lim hv(x h)v(x)是由于v (x)存在故v(x)在点x 连续法则(2)可简单地表示为(uv)uv uv(3)hx v h x v h x v x u x v h xu h x v x u h xv h xu x v x u hh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(0h x v h xv x v h x v x u x v x u h x u h)()()]()()[()()]()([lim)()()()()()()()(limx v h xv hx v h xv x u x v hx u h x u h)()()()()(2x v x v x u x v x u 法则(3)可简单地表示为2)(v v u v u vu (u v)u v (uv)u v uv2)(v v u v u vu 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设u u(x)、v v(x)、w w(x)均可导则有(u v w)u v w(uvw)[(uv)w](uv)w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)uvw uv w uvw在法则(2)中如果v C(C 为常数)则有(Cu)Cu 例1．y 2x 35x23x 7求y解y (2x35x23x 7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)23x252x 36x210x 3例22sincos 4)(3xx x f 求f (x)及)2(f 解xx x x x f sin 43)2(sin)cos 4()()(23443)2(2f 例3．y e x(sin x cos x)求y 解ye x )(sin x cos x) e x(sin x cos x) e x (sin x cos x) e x(cos x sin x) 2e xcos x例4．y tan x 求y解xx x x x xxx y2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan xxxxx 22222sec cos 1cos sincos 即(tan x)sec 2x例5．y sec x 求y解xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec xx 2cos sin sec x tan x即(sec x)sec x tan x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x (csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数x f (y )在某区间I y 内单调、可导且f (y)0那么它的反函数y f 1(x)在对应区间I x {x|x f(y)y I y }内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 1简要证明由于x f (y)在I y 内单调、可导(从而连续)所以x f (y)的反函数y f 1(x)存在且f1(x)在I x 内也单调、连续任取x I x 给x 以增量x(x 0xx I x )由y f1(x)的单调性可知y f 1(x x)f1(x)0于是yx xy 1因为y f1(x)连续故l i m 0yx从而)(11limlim])([01y f yx xyx fyx上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设x sin y ]2,2[y 为直接函数则y arcsin x 是它的反函数函数x sin y 在开区间)2,2(内单调、可导且(sin y)cos y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (1 1)内有2211s i n 11c o s 1)(s i n 1)(a r c s i n xyy y x 类似地有211)(arccos x x 例7．设x tan y)2,2(y为直接函数则y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在区间)2,2(内单调、可导且(tan y)sec 2y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x ()内有22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x yyy x 类似地有211)cot arc (x x 例8设x a y(a 0a 1)为直接函数则y log a x 是它的反函数函数x a y在区间Iy()内单调、可导且(a y)a yln a 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (0)内有ax aa a x y y aln 1ln 1)(1)(log到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3如果u g(x)在点x 可导函数y f(u)在点u g(x)可导则复合函数y f[g(x)]在点x 可导且其导数为)()(x g u f dxdy 或dxdu du dy dxdy 证明当u g(x)在x 的某邻域内为常数时y=f [(x)]也是常数此时导数为零结论自然成立当u g(x)在x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有xx g x x g x g x xg x g f x x g f xx g f x x g f xy )()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g uu f u uf )()()()(xx g x x g uu f u u f xy dxdy xux)()(lim)()(limlim= f (u)g (x )简要证明xu uyxydxdy xxlimlim)()(limlimx g u f xu uyxu例9 3x ey 求dxdy 解函数3x ey 可看作是由y euu x 3复合而成的因此32233x uex xedx du dudy dxdy 例10 212sin xx y 求dxdy 解函数212sin xx y 是由y sin u 212x x u复合而成的因此2222222212cos)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x udxdu dudy dxdy 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11．lnsin x 求dx dy 解)(sin sin 1)sin (ln x xx dxdy xx xcot cos sin 1例12．3221xy 求dxdy 解)21()21(31])21[(2322312x x x dxdy 322)21(34x x 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设y f (u)u (v)v (x)则dxdvdv du du dydxdu dudy dxdy 例13．y lncos(e x)求dxdy 解])[cos()cos(1])cos([ln xxxe e e dxdy )t a n ()()]sin([)cos(1xx xxx e e e e e 例14．xe y 1sin求dxdy 解)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxx exeedxdy xxxxe xx1cos11sin2例15设x 0证明幂函数的导数公式(x )x 1解因为x(eln x)eln x 所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) eln xx1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x )x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec 2x(6)(cot x)csc 2x (7)(sec x)sec x tan x (8)(csc x)csc x cot x (9)(a x)a xln a (10)(e x)ex(11) ax x aln 1)(log(12) xx 1)(ln (13) 211)(arcsin x x (14) 211)(arccos x x (15) 211)(arctan xx (16) 211)cot arc (x x 2．函数的和、差、积、商的求导法则设u u(x)v v(x)都可导则(1)(u v)u v (2)(C u)C u (3)(u v)u v u v(4)2)(v v u v u vu 3．反函数的求导法则设x f (y)在区间I y 内单调、可导且f (y)0则它的反函数y f 1(x)在I x f (I y )内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 14．复合函数的求导法则设y f (x)而u g(x)且f (u)及g(x)都可导则复合函数y f[g(x)]的导数为dxdu du dydxdy 或y (x)f (u)g (x)例16求双曲正弦sh x 的导数. 解因为)(21sh xxe ex所以xe e ee x xx xx c h )(21)(21)s h (即(sh x)ch x 类似地有(ch x)sh x例17求双曲正切th x 的导数解因为xx xch sh th 所以xxxx 222ch sh ch )(th x2ch 1例18求反双曲正弦arsh x 的导数解因为)1ln(arsh 2x xx 所以22211)11(11)a r s h (x x x x xx 由)1ln(arch 2x x x 可得11)arch (2x x 由xxx 11ln 21arth 可得211)arth (x x 类似地可得11)arch (2x x 211)arth (x x 例19．y sin nx sin nx (n 为常数)求y解y (sin nx) sin n x + sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+sin nx n sin n 1x (sin x )ncos nx sin nx+n sinn 1x cos x n sinn 1x sin(n+1)x§2. 3 高阶导数一般地函数y f(x)的导数y f (x)仍然是x 的函数我们把y f (x)的导数叫做函数y f (x)的二阶导数记作y 、f (x)或22dx y d 即y(y )f (x)[f (x)])(22dxdy dx d dx y d 相应地把y f (x)的导数f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy(4)y(n)或33dx y d 44dx y d nn dx y d 函数f (x )具有n 阶导数也常说成函数f(x)为n 阶可导如果函数f (x)在点x 处具有n 阶导数那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数yyy(4)y (n)都称为高阶导数例1．y ax b 求y解y a y 0例2．s sint 求s解s cos t s 2sin t例3．证明函数22x xy满足关系式y 3y10证明因为22212222x xx x x x y22222222)1(2x xxxx x xxy)2()2()1(22222x x x xx xx 32321)2(1y x x所以y 3y10例4．求函数y e x的n 阶导数解y e xy exy exy( 4)ex一般地可得y( n)ex即(e x )(n)ex例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数解y sin x)2s i n (c o s x xy)22s i n ()22s i n ()2c o s (x x x y )23s i n ()222s i n ()22c o s (x x x y )24s i n ()23c o s ()4(x x y 一般地可得)2s i n ()(nx y n 即)2sin()(sin )(nx x n 用类似方法可得)2cos()(cos )(nxx n 例6．求对函数ln(1x)的n 阶导数解y ln(1x)y (1x)1y(1x)2y (1)(2)(1x)3y (4)(1)(2)(3)(1x)4一般地可得y(n)(1)(2)(n 1)(1x)nnnx n )1()!1()1(1即nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(例6．求幂函数y x (是任意常数)的n 阶导数公式解yx 1y (1)x 2y (1)(2)x 3y( 4)(1)(2)(3)x 4一般地可得y(n)(1)(2) (n 1)x n即(x )(n)(1)(2) (n 1)xn当n 时得到(x n )(n) (1)(2) 3 2 1n!而(x n )( n 1)如果函数u u(x)及v v(x)都在点x 处具有n 阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x 处具有n 阶导数且(u v)(n)u(n)v(n)(uv)uv uv (uv)u v 2u v uv (uv)u v 3u v 3u vuv用数学归纳法可以证明nkk k n k n n v uC uv 0)()()()(这一公式称为莱布尼茨公式例8．y x 2e 2x 求y (20)解设u e2x v x2则(u)(k)2ke 2x(k 1, 2,, 20)v 2x v2 (v)(k)0 (k 3, 4, , 20)代入莱布尼茨公式得y(20)(u v)(20)u (20)v C 201u(19)v C 202u(18)v 220e2xx220 219e 2x2x !21920218e2x2220e 2x (x220x 95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如y f(x)的函数称为显函数例如y sin x y ln x+e x隐函数由方程F(x y)0所确定的函数称为隐函数例如方程x y3 10确定的隐函数为y31xy如果在方程F(x y)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x y)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1．求由方程e yxy e 0 所确定的隐函数y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y)(xy)(e)(0)即e y y y xy 0从而yex y y(x ey0)例2．求由方程y 52y x 3x 70 所确定的隐函数y f (x)在x 0处的导数y |x解把方程两边分别对x 求导数得5y y 2y 121x6由此得2521146y x y因为当x 0时从原方程得y 0所以21|25211|046xxyx y 例3求椭圆191622y x 在)323,2(处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928y y x 从而y x y169当x 2时323y代入上式得所求切线的斜率43|2xy k 所求的切线方程为)2(43323x y即03843y x 解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928yyx 将x 2323y代入上式得3141y于是k y |x243所求的切线方程为)2(43323xy即3843y x 例4．求由方程0sin 21y yx 所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得cos 211dxdy y dxdy 于是ydxdy cos 22上式两边再对x 求导得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dxdyydx y d 对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y 的导数设y f (x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对x 求导得])([ln 1x f yy yf (x)[ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数y [u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求y x sin x(x>0)的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得xxx x y y1sin ln cos 1于是)1sin ln (cos xxx x y y )sin ln (cos sin xx xx x x 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y xsin xesin x ·ln x)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx xx xx x eyxxx 例6求函数)4)(3()2)(1(xx x x y 的导数解先在两边取对数(假定x>4)得ln y21[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)]上式两边对x 求导得)41312111(211x x x x y y于是)41312111(2x x x x y y当x<1时)4)(3()2)(1(x x x x y当2<x<3时)4)(3()2)(1(x x x x y用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x 4x 1 2x 3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程)()(t yt x 确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t 有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x (t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t )构成复合函数y[(x) ]若x(t)和y(t)都可导则)()(1t t dt dx dtdy dxdt dtdy dxdy 即)()(t t dxdy 或dtdx dt dydxdy若x (t)和y (t)都可导则)()(t t dxdy例7求椭圆tb yt a x sin cos 在相应于4t点处的切线方程解t a bt a t b t a t b dxdy cot sin cos )cos ()sin (所求切线的斜率为a b dx dy t 4切点的坐标为224cos 0aa x 224sin0bb y 切线方程为)22(22ax ab b y 即bx ay2ab例8．抛射体运动轨迹的参数方程为22121gt tv yt v x求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v 2t g t2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)v 1y (t)v 2gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)]([)]([t y t x v2221)(gt v v 再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为12)()(tanv gtv t x t y dxdy 已知x (t), y(t)如何求二阶导数y ?由x(t))()(t t dxdy dx dt t t dtd dx dy dx d dx y d ))()(()(22)(1)()()()()(2t t t t t t )()()()()(3t t t t t例9．计算由摆线的参数方程)cos 1()sin (t a yt t a x 所确定的函数y f (x)的二阶导数解)()(t x t y dxdy )cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a 2cot cos 1sin t t t (t 2nn 为整数)dxdtt dt d dxdy dx d dx y d )2(cot )(2222)cos 1(1)cos 1(12sin21t a t a t (t 2n n 为整数)三、相关变化率设x x(t)及y y(t)都是可导函数而变量x 与y 间存在某种关系从而变化率dtdx 与dtdy 间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m 时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t (秒)后其高度为h 观察员视线的仰角为则500tanh 其中及h 都是时间t 的函数上式两边对t 求导得dtdh dtd 5001sec 2已知140dtdh (米/秒)又当h 500(米)时 tan1 sec 22代入上式得14050012dtd 所以14.050070dtd (弧度/秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x 0变到x 0x 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x 面积为A 则A 是x 的函数A x2金属薄片的面积改变量为A (x 0x)2(x 0)22x 0x (x)2几何意义2x 0x 表示两个长为x 0宽为x 的长方形面积 (x)2表示边长为x 的正方形的面积数学意义当x 0时(x)2是比x 高阶的无穷小即(x)2o(x)2x 0x 是x 的线性函数是A 的主要部分可以近似地代替A定义设函数y f(x)在某区间内有定义x 0及x 0x 在这区间内如果函数的增量y f (x 0x)f (x 0)可表示为y A x o(x)其中A 是不依赖于x 的常数那么称函数y f (x)在点x 0是可微的而A x 叫做函数y f(x)在点x 0相应于自变量增量x 的微分记作dy 即dy Ax函数可微的条件函数f (x)在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x)在点x 0可导且当函数f (x)在点x 0可微时其微分一定是dy f (x 0)x证明设函数f (x)在点x 0可微则按定义有y A x o(x)上式两边除以x 得xx o Axy )(于是当x0时由上式就得到)(lim00x f xy Ax因此如果函数f (x)在点x 0可微则f (x)在点x 0也一定可导且A f (x 0)反之如果f (x)在点x 0可导即)(lim00x f xyx存在根据极限与无穷小的关系上式可写成)(0x f xy 其中0(当x 0)且A f (x 0)是常数x o(x)由此又有y f (x 0)xx因且f (x 0)不依赖于x 故上式相当于y A x o(x)所以f(x)在点x 0也是可导的简要证明一方面Ax f xy xx o Axy x o xA yx)(lim)()(00别一方面xx x f y x f xy x f xy x)()()(lim0000以微分dy 近似代替函数增量y 的合理性当f (x 0)0时有1lim )(1)(limlim0000dxy x f xx f ydyyx xxy dy o(d y)结论在f (x 0)0的条件下以微分dy f (x 0)x 近似代替增量y f (x 0x)f (x 0)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式y dy函数y f (x)在任意点x 的微分称为函数的微分记作dy 或d f(x)即dy f (x)x例如d cos x (cos x)x sin xxde x(e x)x e xx例1 求函数y x 2在x 1和x 3处的微分解函数y x 2在x 1处的微分为dy (x 2)|x 1x 2x 函数y x 2在x 3处的微分为dy (x 2)|x3x 6x 例2．求函数y x 3当x 2x 0. 02时的微分解先求函数在任意点x 的微分dy (x 3)x 3x2x再求函数当x 2x 0. 02时的微分dy|x2x 0.023x 2| x2, x 0.023220.020.24自变量的微分因为当y x 时dy dx (x)xx 所以通常把自变量x 的增量x 称为自变量的微分记作dx即dxx 于是函数y f (x)的微分又可记作dy f (x)dx从而有)(x f dxdy 这就是说函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商”二、微分的几何意义当y 是曲线y f(x)上的点的纵坐标的增量时dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时 |y dy|比|x|小得多因此在点M 的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy f (x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式微分公式(x )x 1d (x )x1d x(sin x)cos xd (sin x)cos x d x(cos x)sin xd (cos x)sin x d x(tan x)sec 2xd (tan x)sec 2x d x(cot x)csc 2x d (cot x)csc 2x d x (sec x)sec x tan x d (sec x)sec x tan x d x (csc x)csc x cot xd (csc x)csc x cot x d x(a x)a xln a d (a x)a x ln a d x (e x)exd (e x)e xd xax x aln 1)(logdxa x x d aln 1)(logxx 1)(ln dxxx d 1)(ln 211)(arcsin xx dxx x d 211)(arcsin 211)(arccos xx dxx x d 211)(arccos 211)(arctan xx dxxx d 211)(arctan 211)cot arc (xx dxxx d 211)cot arc (2函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则(u v)u vd(u v)du dv (Cu)Cud(Cu)Cdu (u v)uv uvd(u v)vdu udv)0()(2vvv u v u vu )0()(2v dx vudvvduvu d 证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx 再根据乘积的求导法则有(uv)u v uv 于是d(uv)(u v uv )dx u vdx uv dx由于u dx du v dx dv 所以d(uv)vdu udv3复合函数的微分法则设y f(u)及u (x)都可导则复合函数y f [(x)]的微分为dy y x dx f (u)(x)dx 于由(x)dx du所以复合函数y f[(x)]的微分公式也可以写成dy f (u)du 或dy y u du 由此可见无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dy f (u)du 保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dy f (u)du 并不改变例3．y sin(2x 1)求dy 解把2x 1看成中间变量u 则dy d(sin u)cos udu cos(2x 1)d (2x 1) cos(2x 1)2dx 2cos(2x 1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4)1ln(2x e y 求dy解)1(11)1ln(222x x x e d ee d dyxdxe ex d e exx x x 211)(1122222dxexe x x 2212例5．y e 13xcos x 求dy解应用积的微分法则得dy d(e13xcos x)cos xd(e 13x)e13xd(cos x)(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx)e13x(3cos x sin x)dx例6．在括号中填入适当的函数使等式成立(1) d( )xdx (2) d()cost dt解 (1)因为d(x 2)2xdx 所以)21()(2122x d x d xdx即xdxx d )21(2一般地有xdx C x d )21(2(C 为任意常数)(2)因为d(sint)cos tdt 所以)sin1()(sin1cos t d t d tdt因此tdt C t d cos)sin 1((C 为任意常数)四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进行计算那是很费力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替如果函数y f (x)在点x 0处的导数f (x)0且x|很小时我们有y dy f (x 0)x y f(x 0x)f(x 0)dy f (x 0)x f(x 0x)f (x 0)f (x 0)x若令x x 0x 即x x x 0那么又有f(x) f(x 0)f (x 0)(x x 0)特别当x 00时有f(x)f(0)f (0)x这些都是近似计算公式例1．有一批半径为1cm 的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为0 01cm 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?解已知球体体积为334R V R 01cmR 0. 01cm镀层的体积为V V(R 0R)V(R 0)V (R 0)R 4R 02R 43. 14120. 010. 13(cm 3)于是镀每只球需用的铜约为0. 13 8. 9 1. 16(g)例2．利用微分计算sin 3030的近似值解已知303036066x 360xsin 3030sin(x 0x)sin x 0x cos x 03606c o s6s i n5076.03602321即sin 30300. 5076常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）(1)xnx n111(2)sin x x ( x 用弧度作单位来表达)(3)tan x x ( x 用弧度作单位来表达)(4)ex1x(5)ln(1x)x 证明(1)取nxx f 1)(那么f (0)1nx nf x n1)1(1)0(011代入f(x)f(0)f (0) x 便得xnx n111证明(2)取f(x)sin x 那么f(0)0f (0)cos x|x1代入f (x)f(0)f (0) x 便得sin x x例3．计算05.1的近似值解已知x n xn111故025.105.021105.0105.1直接开方的结果是02470.105.12．误差估计在生产实践中经常要测量各种数据但是有的数据不易直接测量这时我们就通过测量其它有关数据后根据某种公式算出所要的数据由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响测得的数据往往带有误差而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差我们把它叫做间接测量误差下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为A 它的近似值为a 那么|A a|叫做a 的绝对误差而绝对误差|A a|与|a|的比值||||a a A 叫做a 的相对误差在实际工作中某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素有时能够确定误差在某一个范围内如果某个量的精确值是A 测得它的近似值是a 又知道它的误差不超过A :|A a|A则A 叫做测量A 的绝对误差限||a A叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差)例4．设测得圆钢截面的直径D 60. 03mm 测量D 的绝对误差限D005利用公式24D A计算圆钢的截面积时试估计面积的误差解DDDAdAA2A||dA|DDD D 2||2已知D 60.03D0. 05所以715.405.003.6022DAD(mm 2)%17.003.6005.022422DD D ADDA若已知A 由函数y=f(x)确定A=y 测量x 的绝对误差是x那么测量y 的y =?由y dy y x 有y||dy||y ||x||y |x 所以测量y 的绝对误差y =|y |x测量y 的相对误差为xyyy y ||。

微分与导数的概念及应用微分和导数是高等数学中的重要概念，它们在数学、物理、经济学、工程以及其他领域中都有着广泛的应用。

本文将首先介绍微分和导数的基本概念，然后探讨它们在各个领域中的应用。

微分是描述函数变化率的工具，它用来表示函数在某个点的局部变化情况。

在数学上，如果函数在点x处可微分，那么它在该点的微分就是函数在该点的切线斜率。

微分以 dy/dx 或 f'(x) 的形式表示，其中 dy 表示函数在 x 处的微小变化量，dx表示自变量 x 的微小变化量。

微小变化量 dx 无限接近于零时，对应的函数值的微小变化量 dy 即为函数的微分。

导数是函数变化率的一种度量方式，它是微分的极限形式。

在数学上，导数描述了函数在每个点的变化率。

通过求取函数的导数，可以得到函数的斜率，从而揭示函数的各种性质。

导数常表示为 f'(x) 或 dy/dx 的形式，其中 f'(x) 表示函数 f(x)的导数，dy 表示函数值的微小变化量，dx 表示自变量的微小变化量。

微分和导数在各个领域中都有广泛的应用。

其中一个重要的应用领域是物理学。

在物理学中，微分和导数用于描述物体运动的速度、加速度和力等概念。

例如，当我们求取一个物体的速度时，可以通过对其位置函数求取导数来得到。

同样地，加速度可以通过速度函数的导数获得。

微分和导数的概念在物理学中的广泛应用，使得我们能够精确地描述和预测物体的运动。

在经济学中，微分和导数也有着重要的应用。

经济学研究经济体的生产、消费和投资等诸多方面，而微分和导数则用于了解经济变量之间的关系。

例如，需求曲线和供给曲线的斜率可以通过微分和导数来计算，从而确定价格和数量的变化关系。

此外，微分和导数还可以用于经济学中的边际分析。

边际成本和边际收益都可以通过对相应成本和收益函数求取导数来计算，从而帮助决策者做出合理的决策。

在工程学领域，微分和导数则用于建立模型和解决实际问题。

例如，工程师在设计容器的形状时，可以通过对容器的体积函数求导来确定最佳形状。

微分与导数的通俗理解微分和导数是微积分中非常重要的概念，它们是描述函数变化率的工具。

在现实生活中，我们经常会遇到各种变化的现象，比如物体的运动、温度的变化以及人口的增长等等。

微分和导数的概念能够帮助我们更好地理解和描述这些变化的过程。

1.微分的概念微分是函数在某一点附近的局部线性近似。

具体来说，如果有一个函数f(x)，在某一点x=a处，对于很小的dx的变化量，函数值的变化量df可以通过微分来表达。

微分的一般形式可以用df=f'(x)dx来表示，即函数f(x)的微分df等于其导数f'(x)与自变量的微小变化量dx的乘积。

微分的几何解释是函数曲线在某一点处的切线斜率，也就是函数的导数。

微分的物理解释是速度，它描述了物体在某一点的瞬时速度。

2.导数的概念导数是描述函数在某一点的变化率，它是函数在某一点处的斜率。

导数的一般定义是f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函数f(x)在x点的导数等于函数在x+h点与x点之间的变化量f(x+h)-f(x)与自变量变化量h的比值在h趋近于0时的极限值。

导数的几何解释是函数曲线在某一点的切线斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。

导数的物理解释是速度的瞬时变化率和加速度，它描述了物体在某一点的瞬时速度和瞬时加速度。

3.微分与导数的关系微分和导数是紧密相关的概念，它们之间有着非常密切的联系。

微分和导数都是描述函数的变化率，它们本质上都是一阶导数。

微分是函数在某一点的局部线性近似，而导数是函数在某一点的斜率。

微分和导数之间的关系可以用微分等式df=f'(x)dx来表示，即函数的微分等于其导数与自变量微小变化量的乘积。

4.微分和导数的应用微分和导数在现实生活中有着广泛的应用。

在物理学中，微分和导数可以用来描述物体的运动、速度和加速度等。

在工程学中，微分和导数可以用来描述电路的电流和电压的关系。

在经济学和金融学中，微分和导数可以用来描述市场的供需关系和货币的通胀率。

导数和微分（摘⾃百度百科）1.导数导数（Derivative），也叫导函数值。

⼜名，是中的重要基础概念。

当函数y=f（x）的x在⼀点x0上产⽣⼀个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与⾃变量增量Δx的⽐值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx定义设y=f（x）在点x0的某个内有定义，当⾃变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之⽐当Δx→0时存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。

2.判断可导可导函数都是连续的,但是连续函数不⼀定是可导函数.例如，y=|x|,在x=0上不可导.即使这个函数是连续的,但是lim(x趋向0+)y'=1,lim(x趋向0-)y'=-1，两个值不相等，所以不是可导函数。

3.微分设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表⽰为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），⽽o(Δx)是⽐Δx⾼阶的⽆穷⼩（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）AΔx叫做函数在点x0相应于⾃变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。

微分dy是⾃变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的⾼阶⽆穷⼩量，我们把dy称作△y的线性主部。

得出：当△x→0时，△y≈dy。

导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表⽰导数的记号，⽽且还可以表⽰两个微分的⽐值（把△x看成dx，即：定义⾃变量的增量等于⾃变量的微分），还可表⽰为dy=f′(X)dX。