宁夏石嘴山市2020届高三第二次模拟数学(文)试题含答案

宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试数学试题一、单选题1．从集合{}1,1,2A =-中随机选取一个数记为k ,从集合{}2,1,2B =-中随机选取一个数记为b ,则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．592．当102x <<时，下列大小关系正确的是（ ）． A ．12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭3．若集合{1,1}M =-，{2,1,0}N =-，则M N =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,0}-D ．{2,1,0,1}--4．图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（ ）A ．该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B ．该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C ．2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D ．该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 5．在ABC 中，点D 满足3BD DC =，则AD =（ ） A ．3142AB AC -+ B ．1344AB ACC ．1324AB AC - D ．1132AB AC + 6．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-257．函数g(x)=log 2x (x >12)，关于x 的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m +3=0恰有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−∞,4−2√7)∪(4+2√7,+∞)B ．(4−2√7,4+2√7)C ．(−32,−43) D ．(−32,−43]8．i 是虚数单位，若11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则z =（ ）A ．1B C D 9．“ln 0x <”是“1x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．若()2sin 3sin f x x t x=+++(x ,t R ∈)最大值记为()g t ,则()g t 的最小值为( )A ．0B ．14C ．23D ．3411．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n b b b b +=++n b +⋅⋅⋅+，11b =，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）A ．1062B ．2124C ．1101D ．110012．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．设n ＝206sin xdx π⎰，则二项式(x －2x)n的展开式中，x 2项的系数为________． 14．若a 为实数，且关于x的方程=x 有实数解，则a 的取值范围是__________. 15．若直线2ax-by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a +1b的最小值是______．16．已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a a +=+.记2nn nC a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++=_______.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，又1C ：2x =-与x轴交点为H ，求HMN △的面积.18．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率()7P X ≥；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望()E X ．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4． （1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标． 20．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点.（1）求证：11BC A C ；（2）求异面直线1D E 与1C F 所成角的余弦值. 21．（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求cos B 的值；（2）若2,cos a C ABC ==∆的外接圆的半径R. 22．已知函数()2a f x x x=+，其中0a >．()1若1x =是函数()()ln h x f x x x =++的极值点，求实数a 的值；()2若对任意的[]1,(x e e ∈为自然对数的底数)，都有()1f x e -≥成立，求实数a 的取值范围．23．设函数()|1|||f x x x t =-+-（0t >）的最小值为1. （1）求t 的值；（2）若33a b t +=（*,a b R ∈），求证：2a b +≤.【答案与解析】1．A试题分析：直线y kx b =+不经过第三象限即0{k b <≥，设点为(),k b ，则一共有()()()()()()()()()1,2,1,1,1,2,1,2,1,1,1,2,2,2,2,1,2,2------九种情况，符合的有：()()1,1,1,2--两种情况，所以概率为：29p =，选A ．考点：古典概型． 2．D画出12121log ,,2xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像，结合x 的取值范围，判断出正确结论.画出12121log ,,2xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像如下图所示，由于102x <<，结合图像可知12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：D本小题主要考查指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质，属于基础题. 3．B本题根据集合的交集运算直接计算即可. 解：因为{1,1}M =-，{2,1,0}N =-， 所以{1}M N =故选：B本题考查集合的交集运算，是基础题. 4．C根据图（1）中的条形统计图可判断出A 、B 、D 选项的正误，结合图（1）和图（2）比较该品牌汽车所属公司7月份和8月份销量的大小，可判断出C 选项的正误.根据图（1）中的条形统计图可知，该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多，A 选项正确；该品牌汽车2019年上半年销量最少的月份是5月份，下半年销量最少的月份是10月份，B 选项正确；由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，D 选项正确；由图（1）和图（2）可知，该品牌汽车7月份和8月份的销量相等，但该品牌汽车7月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大，所以，2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少，C 选项错误. 故选：C.本题考查条形统计图与频率分布折线图的应用，考查学生数据处理的能力，属于中等题. 5．B利用平面向量减法运算得3()AD AB AC AD -=-，整理即可求解． 解：3BD DC =，∴3()AD AB AC AD -=-， ∴1344AD AB AC =+， 故选：B ．本题考查了平面向量的线性运算的应用，属于基础试题． 6．A由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可.由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A.本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题. 7．D【解析】∵g(x)=log 2x 在 x >12单调递增, g(x)>−1,令t =|g(x)|,故|g(x)|2+m|g(x)|+2m +3=0在x >12内有三个不同实数解可化为t 2+mt +2m +3=0有两个根,分别在(0,1),[1,+∞)上或在(0,1),{0}上; 当若在(0,1),{0}上,则2m +3=0,则m =−32;故t =0或t =32>1,不成立;若在(0,1),{1}上,则1+m +2m +3=0,故m =−43; 故t 2+mt +2m +3=0的解为t =13或t =1成立;若在(0,1),(1,+∞)上,则Δ=m 2−4(2m +3)>0,f(1)=1+m +2m +3<0, f(0)=2m +3>0,,计算得出−32<m <−43;故本题正确答案为D. 8．C试题分析：由题意得11111(1)12222421115551(1)(1)2224i i i iz i i i i ⨯+-+====-+--+，所以z=故选C ．考点：复数的运算及复数的模． 9．Aln 001x x <⇔<<，即可判断出结论.解：ln 001x x <⇔<<，∴“ln 0x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A.本题考查了函数的性质､简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.。

石嘴山市三中2020届高三年级第二次高考适应性考试数学（文科）能力测试试题命题人： 审题人：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分） 1. 设全集,集合,,则等于( ) A.B. C.D.2.设实数a ,b 满足,则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.设,且,若恒成立,则实数m 的取值范围是A.B.C.D.4. 若tan 3θ=,则sin 21cos 2θθ=+（ ）A. B. 3- C.33D.33-5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其意思为：有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,因为脚痛,每天走的路程为前一天的一半,6天后到达目的地这个人第二天走了( )A. 113里B. 107里C. 96里D. 87里6.已知函数满足,且对任意都满足,则的值为( ) A. 2019 B. 2C. 0D.7.函数x xx x f sin ||)(∙=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. π139.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()sin g x x =，要得到函数()y g x =的图象，只需将函数()y f x =的图象上的所有点( )A ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位得到 B ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移3π个单位得到 C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位得到 D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位得到 10.已知m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//nB ．若α////m n m ，，则α//nC ． 若n =⋂βα，α//m ，β//m ，则n m //D ．若γα⊥，γβ⊥，则βα// 11. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则（ ）A ．90B ．30C ．45D ．6012．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，都有()()20xf x f x '+>恒成立，且21f =（），则使22x f x <（）成立的实数x 的集合为（ ） A ．(()22-∞+∞， B ．(22-，C ．(-∞D ．)2+∞，二．填空题（本大题共4小题，共20分） 13..已知），，若，则在方向上投影数量是________.14.已知实数x ,y 满足不等式组,则的最小值为______．15.已知等腰直角三角形ABC 中， AB AC =， ,D E 分别是,BC AB 上的点，且1AE BE ==， 3CD BD =，则•AD CE =__________．16.给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________. .① 10.230.51log 32()3<<；② 函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点； ③ 函数的图象关于点对称。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}09|2≤-=x x A ，{})12ln(|2++-==x x y x B ，则B A ⋂=A ．{}33|≤<-x xB ．{}02|≤<-x xC ．{}02|<<-x xD ．{}320|≠><x x x x 且或2．复数z 满足(13)|13|z i i +=+，则z 等于A ．i 31-B ．1C ．i 2321-D ．i 2123-3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则 B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则C ．,m m n αβ=⊥I且,n αβα⊥⊥则 D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则4．已知21log 3=a ，31log 21=b ，31)21(=c ，则 A ．a b c >> B ． a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 5．已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a =A ．1B ．eC ．1eD ．06．若函数2()x f x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是7．如果执行右面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．120 8．已知)0,0( )cos()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示， 为得到)6sin()(πω+-=x A x g 的图象,可以将)(x f 的图象A ．向右平移65π个单位长度 B ．向右平移π125个单位长度 C ．向左平移65π个单位长度 D ．向左平移π125个单位长度 (8题图) (7题图) 9． 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项，168=S ，则10S 等于A ．18B ．24C ．30D ．6010．已知b a ,是单位向量，b a ,的夹角为ο90，若向量满足2||=--b a c ，则||c 的最大值为A ．22-B ．2C ．2D ．22+11．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若21MF F ∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 A ．),2(∞+ B ．),2(∞+ C ．)2,1( D ．)2,1(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数z=2x+3y 的最小值为 .14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 .15．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则||||QM CQ ⋅的最大值为 . 16．已知实数b a ,满足11,10<<-<<b a ，则函数b ax ax y ++=2331有三个零点的概率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）设函数21cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （1）求)(x f 的最小正周期及值域；（2）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积． 18．（本题满分12分）绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣。

2020年高考(文科)数学二模试卷一､选择题：(共12小题).1.已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B =I （ ） A. (2,3) B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数求出{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，再利用交集定义求出A B I . 【详解】解：Q {}03A x x =<<，{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，∴A B I ={|23}x x <<，故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.2.设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A.2 B. 2 C. 22 D.5【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、22a b +对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =( )A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据15815S a =，即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列， 故可得15815S a =，又150S =， 故可得80a =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属基础题.4.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量2K 的观测值4.892k ≈，参照附表，得到的正确结论是（ ）2()P K k ≥0.10 0.05 0.025 k2.7063.8415.024A. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算得到统计量值2k 的观测值k ，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论. 【详解】解：∵计算得到统计量值2k 的观测值 4.892 3.841k ≈>， 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”. 故选：C .【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题． 5.已知向量,a b v v 满足||1,||3a b ==v v且a v 与b v的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v ( ) A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】2231()(2)2231322a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=v v v v v v v v .故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227B.15750C.289D.337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.7.已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，则//m β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若//m β，则//αβ D. 若m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可确定,,A B C 错误；由面面垂直的判定定理可知D 正确.【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，A ，B 错误； 若//m β且m α⊂，则α与β可能相交或平行，C 错误；由面面垂直判定定理可知，D 选项的已知条件符合定理，则αβ⊥，D 正确. 故选D【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理. 8.函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A. B. C. D.【答案】D 【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ，由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9.要得到函数()()sin 23f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（ ） A. 6π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.12π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】()sin 2322sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ， 因此，将2sin 2y x =的图象向左平移6π可得到函数()y f x =的图象. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.10.数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【解析】 【分析】先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.11.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为（ ） A.3 B.23C.5 D.25【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,02 由题得，圆心到直线的距离()22211d =-=，22201b d b a-==+．解得2213b a =，所以2222222231c a b b e a a a +===+=【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12.已知函数32log 0()410x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（ ） A. 4?- B. 3?-C. 2-D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论. 【详解】()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x 就是(),y f x y b ==图象交点横坐标， 作出()f x 的函数图象如图所示：由图象知124x x +=-，333434log log 1x x x x -=⇒=， ∴1234441x x x x +-==-. 故1234x x x x +的值是-4.【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解题关键．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则5a =________. 【答案】12【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q 及首项，进而可求. 【详解】解：因为1310a a +=，2413()105a a a a q q +=+==， 所以12q =， ∴211(10)a q +=，所以18a =则45118()22a =⨯=. 故答案为：12【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，掌握等比数列的通项公式是解题关键．14.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题． 15.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________. 【答案】21y x =- 【解析】 【分析】求出函数的导函数，把1x =代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数ln y x x =+知1'1y x=+， 把1x =代入'y 得到切线的斜率112k =+= 则切线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-. 故答案为：21y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．16.已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【详解】解：PC ⊥Q 平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64，∴6PC PA =4PA ∴=，根据勾股定理可得2210AC PA PC - 在ABC ∆中，6=BC 10AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球， 故26644R =++，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 32sin a c A =. （1）求角C 的大小； （2）若7c =ABC ∆33+a b 的值. 【答案】（1）60o ；(2) 5.【解析】 【分析】（132sin a c A =，利用正弦定理可得3sin 2C =，结合C 是锐角可得结果；(2)由1sin 2ab C =332，可得6ab =，再利用余弦定理可得结果. 【详解】（132sin a c A =32sin sin A C A =,因为sin A 0≠，所以3sin 2C =, 因为C 是锐角， 所以60C =o .(2)由于1sin 2ab C =332，6ab ∴=， 又由于2222cos60c a b ab =+-o()()227318a b ab a b =+-=+-，()225a b +=，所以5a b +=.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表： 分组[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180]男生人数 2 16 19 18 5 3女生人数 3 20 10 2 1 1若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．②2 5【解析】【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．【详解】（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为107000700100⨯=（人）（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故42 ()105P A==．【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，三棱柱111A B C ABC-中，1BB⊥平面ABC，AB BC⊥，2AB=，1BC=，13BB=，D是1CC的中点，E是AB的中点.（1）证明://DE平面11C BA;（2）F是线段1CC上一点，且12CF FC=，求1A到平面ABF的距离.【答案】（1）详见解析；（2）35【解析】【分析】（1）要证//DE平面11C BA,只需证明1//DE C M,即可求得答案;（2）先求证1A,1B到平面ABF 的距离相等,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】（1）设1A B中点为M,连EM,1C M1BAA∆中M是1A B中点,E是AB的中点,∴1//EM AA且112EM AA=,棱柱中侧棱11//CC AA,且D是1CC的中点,∴11//DC AA且1112DC AA=,∴1//EM DC,1EM DC=,∴1//DE C M,又Q ED ⊄平面11C BA 且1MC ⊂平面11C BA ,∴//DE 平面11C BA（2）F 在线段1CC 上,且12CF FC =,棱柱中113CC BB ==,∴2CF =侧面11ABB A 中11//A B AB ,且AB Ì平面ABF ,11A B ⊄平面ABF ,∴11//A B 平面ABF ,1A ,1B 到平面ABF 的距离相等.在平面11BCC B 中作1B H ⊥直线BF 于H ——①1BB ⊥平面ABC可得1BB AB ⊥, 又Q AB BC ⊥,∴AB ⊥平面11BCC B , Q 1B H ⊂平面11BCC B ,1AB B H ⊥——②,又Q ①②及AB BF B =I , 可得1B H ⊥平面ABF故线段1B H 长为点1A ,1B 到平面ABF 的距离.Rt BCF ∆中1BC =,2CF =,2C π∠=,可得5BF =1111122FBB S BB BC BF B H ∆=⋅=⋅, ∴1355B H = 【点睛】本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的焦距是2，长轴长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 的左右顶点，过点(2,0)F -作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=.（2）14207x y -=或14207x y ++=.【解析】 【分析】（1）由题意求得a 与c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN ：2x my =，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由面积关系可得M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m ，则直线方程可求.【详解】（1）由题意，222c =，24a =，则2a =，2c =∴2222b a c =-=.∴椭圆C 的方程22142x y +=；（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN ：2x my =联立222142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)2220m y my +--=.22288(2)16160m m m ∆=++=+>.122222my y m +=+，122202y y m -=<+. 由2MAB NAB S S =△△，得12y y =，即122y y =-，从而22121221221()41222y y y y m y y m y y +-==++=-+. 解得227m =，即147m =±. ∴直线MN 的方程为：14207x y -+=或14207x y ++=. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标11(,)M x y ，22(,)N x y ，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中其他条件求解．21.已知函数2()ln f x x mx =-，21()2g x mx x =+(R m ∈)，令()()()F x f x g x =+.（1）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值. 【答案】（1）(0,1).（2）2 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间； （2）关于x的不等式()1F x mx ≤-恒成立，即为21ln (1)102x mx m x -+-+≤恒成立，令()h x =21ln (1)12x mx m x -+-+，求得导数，求得单调区间，讨论m 的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m 的最小值.【详解】（1）当12m =时，21()ln 2f x x x =-，(0x >)， 由211'()0x f x x x x-=-=>，又∵0x >，所以01x <<．∴函数()f x 的单调递增区间为(0,1).（2）关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，即为21ln (1)102x mx m x -+-+≤恒成立，令21()ln (1)12h x x mx m x =-+-+，21(1)1'()1mx m x h x mx m x x-+-+=-+-=，当0m ≤可得'()0h x >恒成立，()h x 递增，无最大值，不成立；当0m >时，1(1)()'()m x x m h x x-+-=，当1x m >，'()0h x <，()h x 递减，当10x m<<，'()0h x >，()h x 递增， 则有1x m=取得极大值，且为最大值. 由恒成立思想可得111ln 02m m m-+≤， 即为2ln 1m m ≥，显然1m =不成立，2m =时，4ln 21≥即有42e ≥成立. 整数m 的最小值为2.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握等价转化思想，不等式恒成立转化为求函数的最值，利用最值满足不等关系得出结论． 22.在直角坐标系0x y 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数且0t ≠，[0a ∈，))π，曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求2C 的普通方程及3C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线23C C 分别交于点A ，B ，求||AB 的最大值． 【答案】（1）2C ：22(1)1y x +-=，3C ：22(2)4x y -+=；（2）25【解析】 【分析】（1）在曲线2C 的参数方程中消去参数可得出曲线2C 的普通方程，在曲线3C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，并代入222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩可得出曲线3C 的直角坐标方程；（2）由曲线1C 的参数方程得出其极坐标方程为θα=，并设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，将曲线1C 的极坐标方程分别代入曲线2C 、3C 的表达式，求出1ρ、2ρ关于α的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出12AB ρρ=-的最大值．【详解】（1）由cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩消去参数θ得2C 的普通方程为：22(1)1y x +-=；由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，得3C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）1C 的极坐标方程为：θα=，2C 的极坐标方程为：2sin ρθ= 将θα=分别代入2C ，3C 的极坐标方程得：2sin A ρα=，4cos B ρα=， |||||2sin 4cos ||5)|5A B AB ρραααϕ∴=-=-=+…【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解． 23.已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞. 【解析】 分析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围.【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a af ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为()32f x a +>恒成立，所以3322aa --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。

2020 年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学模拟试卷（文科）（6 月份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若复数 z=2i（3+i），则 z 的共轭复数 =（ ）A. 6-2iB. -2+6iC. -2-6iD. -6+2i2. 已知集合 A={x|x2-x-2＞0}，B={x|0＜x＜3}，则 A∩B 等于（ ）A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）D. （2，3）3. 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4，a3+a5=8，则它的前 8 项的和为（ ）A. 95B. 80C. 40D. 204. 若变量 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 2D. 15. 在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）A.B.C.D.6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 27. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A. 24 里B. 12 里C. 6 里D. 3 里8. 已知在正四面体 A-BCD 中，M 为 AB 的中点，则直线 CM 与 AD 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.第 1 页，共 14 页9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A. 2710. 函数A.B. 30C. 32的图象大致为（）B.D. 36C.D.11. 设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 • =0，则| + |=（）A.B. 2C.D. 212. 定义域 R 的奇函数 f（x），当 x∈（-∞，0）时 f（x）+xf′（x）＜0 恒成立，若 a=3f（3），b=f（1），c=-2f（-2），则（ ）A. a＞c＞bB. c＞b＞aC. c＞a＞b二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）D. a＞b＞c13. 已知向量 =（-2，1）与 =（x，2）互相垂直，则 x=______．14. 已知 F 是抛物线 C：y=2x2 的焦点，点 P（x，y）在抛物线 C 上，且 x=1，则|PF|=______．15.=______．16. 将函数 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x-1 的图象向右平移 φ（φ＞0）个单位长度后，其函数图象关 于 y 轴对称，则 φ 的最小值为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 在△BC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2acosC=2b-c．（1）求角 A；第 2 页，共 14 页（2）若 a2=b（b+c），试判断△ABC 的形状．18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如 下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．附：K2=P（K2＞k0） 0.10k02.7060.05 3.8410.005 0.017.879 6.63519. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1，A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D，∠BCA=90°，AC=BC=2， 又知 BA1⊥AC1． （1）求证：AC1⊥平面 A1BC； （2）求点 C 到平面 A1AB 的距离．第 3 页，共 14 页20. 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（ ， ）．（1）求椭圆方的程； （2）设不过原点 O 的直线 l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于 P、Q 两点，直线 OP、OQ 的斜 率分别为 k1、k2，满足 4k=k1+k2，试问：当 k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并 证明你的结论；若不是，请说明理由．21. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线（1）求函数 的单调区间；（2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围.平行.第 4 页，共 14 页22. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-2ρcosθ-2=0，点 P 的极坐标是（ ，）． （1）求直线 l 的极坐标方程及点 P 到直线 l 的距离； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求△PMN 的面积．23. 已知 f（x）=|2x+3|-|2x-1|． （Ⅰ）求不等式 f（x）＜2 的解集； （Ⅱ）若存在 x∈R，使得 f（x）＞|3a-2|成立，求实数 a 的取值范围．第 5 页，共 14 页1.答案：C-------- 答案与解析 --------解析：【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算得答案． 【解答】 解：由 z=2i（3+i）=-2+6i，得．故选：C．2.答案：D解析：解：A={x|x＜-1，或 x＞2}； ∴A∩B=（2，3）． 故选：D． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：C解析：解：∵等差数列{an}满足 a2+a4=4，a3+a5=8， ∴2a3=a2+a4=4，2a4=a3+a5=8， ∴a3=2，a4=4， ∴d=a4-a3=2， ∴a1=-2∴数列的前 8 项之和 S8=-16+=40，故选：C． 由等差数列的性质和已知条件可得 a3=2，a4=4，进而可得 d=2，a1=-2，根据求和公式计算即可． 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．4.答案：D第 6 页，共 14 页解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=3x+y 为 y=-3x+z， 由图可知，当直线 y=-3x+z 过 A（0，1）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 1． 故选：D． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标 代入目标函数得答案． 本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：A解析：解：设圆的半径为 r，则正方形的边长为 2r； ∴圆的面积为 πr2，正方形的面积为 4r2； 以面积为测度，可得点 P 落在⊙O 外的概率为P=1- = ．故选：A． 以面积为测度，计算圆的面积，正方形的面积，即可求得点 P 落在⊙O 外的概率． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．6.答案：B解析：【分析】 直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果． 本题考查的知识要点：程序框图的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 【解答】 解：根据程序框图， 在执行循环前：n=6，i=1， 执行第一次循环：n=3，i=2． 执行第二次循环时，n=4，i=3， 由于执行第三次循环时，n=2， 故输出：i=4， 故选：B．7.答案：C第 7 页，共 14 页解析：解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比 的等比数列，由 S6=378，得，解得：a1=192，∴，故选：C．由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是基础的计算题．8.答案：C解析：解：如图，设正四面体 A-BCD 的棱长为 2，取 BD 的中点 N， 连结 MN，CN，∵M 是 AC 的中点，∴MN∥AD， ∴∠CMN 是 CM 与 AD 所成的角， 设 MN 的中点为 E，则 CE⊥MN，在△CME 中，ME= ，CM=CN= ，∴直线 CM 与 AD 所成角的余弦值为 cos∠CME= = = ．故选：C． 设正四面体 A-BCD 的棱长为 2，取 BD 的中点 N，连结 MN，CN 则 MN∥AD，∠CMN 是 CM 与 AD 所 成的角，由此能求出直线 CM 与 AD 所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算 求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.答案：A解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示， 其中底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，DA⊥平面 PAB，AP⊥平面 ABCD，AP=4，∴CD⊥平面 PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP== ，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积 S=6+6+ + =27．故选：A． 几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积． 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，属于中档题．10.答案：C第 8 页，共 14 页解析：【分析】 本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，是基础题． 判断函数的奇偶性，排除选项 B，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可． 【解答】 解：由题意，函数 f（x）=e|x|-2|x|-1 是偶函数，排除选项 B， 当 x＞0 时，函数 f（x）=ex-2x-1，可得 f′（x）=ex-2， 当 x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当 x＞ln2 时，f′（x）>0，函数是增函数， 排除选项 A，D， 故选 C．11.答案：B解析：解：根据题意，F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点．∵点 P 在双曲线上，且 • =0，∴| + |=2| |=| |=2 ． 故选：B． 由点 P 在双曲线上，且 • =0 可知| + |=2| |=||．由此可以求出| + |的值．把| + |转化为||12.答案：A|是正确解题的关键步骤．解析：【分析】 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 先构造函数 g（x）=xf（x），依题意得 g（x）是偶函数，且 g'（x）＜0 恒成立，从而故 g（x）在 x∈ （-∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出 g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较 a，b，c 的大 小． 【解答】 解：设 g（x）=xf（x），依题意得 g（x）是偶函数， 当 x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0， 即 g'（x）＜0 恒成立，故 g（x）在 x∈（-∞，0）单调递减， 则 g（x）在（0，+∞）上递增， 又 a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2）， 故 a＞c＞b． 故选：A．13.答案：1解析：解：∵向量 =（-2，1）与 =（x，2）互相垂直， ∴ • =-2x+2=0，解得 x=1．第 9 页，共 14 页故答案为：1． 向量 =（-2，1）与 =（x，2）互相垂直，可得： • =0，即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：由 y=2x2，得 x2= ，则 p= ；由 x=1 得 y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+ =2+ = ，故答案为： ． 利用抛物线方程求出 p，利用抛物线的性质列出方程求解即可． 本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．15.答案：解析：解：分母=3+6+9+……+3n=．∴通项公式==．∴原式===．故答案为： ．利用等差数列的求和公式、裂项求和方法即可得出． 本题主要考查等差数列的求和公式、裂项求和方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属 于中档题．16.答案：解析：解：将函数 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x-1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）的图象向右平移 φ（φ ＞0）个单位长度后， 可得 y=2sin（2x-2φ+ ）的图象，∵所得函数图象关于 y 轴对称，∴-2φ+ =kπ+ ，k∈Z，∴φ=- - ，k∈Z，则 φ 的最小值为 ，故答案为： ． 由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三 角函数的图象的对称性，求得 φ 的最小值． 本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的图象的对称性，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，第 10 页，共 14 页属于基础题．17.答案：（本题满分为 12 分）解：（1）∵2acosC=2b-c． 由正弦定理，2sinAcosC+sinC-2sinB=0， ∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∴代入上式，得 sinC-2cosAsinC=0，即 sinC（1-2cosA）=0， ∵C∈（0，π），得 sinC＞0，∴1-2cosA，得 cosA= ．结合 A 为三角形的内角，可得 A= ；…6 分（2）∵a2=b（b+c），又 A= ，由余弦定理可得：a2=b2+c2-bc，∴可得：b（b+c）=b2+c2-bc，可得：c=2b，a2=b（b+c）=3b2， ∴c2=a2+b2，可得△ABC 为直角三角形．…12 分解析：（1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得 sinC（1-2cosA）=0，再由 sinC＞0，解出 cosA= ，可得 A= ；（2）由已知及余弦定理可得：a2=b2+c2-bc，结合已知等式可求 c=2b，a2=3b2，可得 c2=a2+b2，利用 勾股定理即可判断三角形的形状． 本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综 合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题．18.答案：解：（1）将 2×2 列联表中的数据代入公式，计算得x2== ≈4.762，因为 4.762＞3.841， 所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异； （2）这 5 名数学系学生中，2 名喜欢甜品的记为 A、B， 其余 3 名不喜欢甜品的学生记为 c、d、e， 则从这 5 名学生中任取 3 人的结果所组成的基本事件为 ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共 10 种； 3 人中至多有 1 人喜欢甜品的基本事件是 Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共 7 种；所以，至多有 1 人喜欢甜品的概率为 P= ．解析：（1）利用 2×2 列联表中的数据计算观测值 x2，对照表中数据即可得出结论； （2）利用列举法求出从这 5 名学生中任取 3 人的基本事件数，计算对应的概率即可． 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19.答案：证明：（1）∠BCA=90°得 BC⊥AC，因为 A1D⊥底 ABC，所以 A1D⊥BC，（2 分）A1D∩AC=D，所以 BC⊥面 A1AC， 所以 BC⊥AC1（3 分） 因为 BA1⊥AC1，BA1∩BC=B， 所以 AC1⊥底 A1BC（1 分）第 11 页，共 14 页解：（2）作 DE⊥AB 于点 E，连 A1E 作 DF⊥A1E， 因为 A1D⊥平面 ABC，所以 A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D， 所以 AB⊥平面 A1DE，（2 分） 又 DF⊂面 A1DE，所以 AB⊥DF，A1E∩AB=E，所以 DF⊥平面 A1AB，（2 分）Rt△A1DE 中，，因为 D 是 AC 中点，所以 C 到面 A1AB 距离 ．（2 分）解析：（1）BC⊥AC，根据 A1D⊥底 ABC，得到 A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以 BC⊥面 A1AC，从而 BC⊥AC1， 又因 BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知 AC1⊥底 A1BC； （2）作 DE⊥AB 于点 E，连 A1E 作 DF⊥A1E，A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D，满足线面垂直的判定 定理则 AB⊥平面 A1DE，又 DF⊂面 A1DE，所以 AB⊥DF，A1E∩AB=E，DF⊥平面 A1AB，在 Rt△A1DE 中，从而求出 DF 的长度，而 D 是 AC 中点，所以 C 到面 A1AB 距离是 2DF． 本题主要考查了线面垂直的判定，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转 化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：（1）依题意可得，解得 a=2，b=1，所以椭圆 C 的方程是；（2）当 k 变化时，m2 为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2）．则 x1+x2=，x1x2=∵直线 OP、OQ 的斜率分别为 k1，k2，且 4k=k1+k2，∴4k==，得 2kx1x2=m（x1+x2），…（•）将（•）代入得：m2= ， 经检验满足△＞0．解析：（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程． （2）联立直线与椭圆方程，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线 OP、OQ 的斜 率分别为 k1，k2，且 4k=k1+k2，求解即可． 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化 思想的应用．21.答案：解：（1）函数 f（x）的定义域为{x|x＞0}，，又曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 y=2x 平行第 12 页，共 14 页所以 f'（1）=a-1+2=2，即 a=1∴，由 f'（x）＜0 且 x＞0，得，即 f（x）的单调递减区间是由 f'（x）＞0 得 ，即 f（x）的单调递增区间是．（2）由（1）知不等式恒成立可化为即 m≤x lnx+1 恒成立 令 g（x）=x lnx+1，g'（x）=lnx+1当时，g'（x）＜0，g（x）在上单调递减．当时，g'（x）＞0，g（x）在上单调递增．所以 时，函数 g（x）有最小值由 m≤x lnx+1 恒成立得，即实数 m 的取值范围是．恒成立，解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想， 是一道综合题． （1）求出函数的导数，结合切线方程求出 a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即 可； （2）问题转化为 m≤x lnx+1 恒成立，令 g（x）=x lnx+1，根据函数的单调性求出 m 的范围即可．22.答案：解（1）由消去 t，得到 y= ， 则 ρsinθ= ρcosθ， ∴θ= ，所以直线 l 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R）．点 P（ ， ）到直线 l 的距离为 d= ×sin（ - ）= × = ．（2）由，得，ρ2-ρ-2=0 所以 ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=-2所以，|MN|=|ρ1-ρ2|==3第 13 页，共 14 页则△PMN 的面积为．S△PMN= |MN|×d= ×=．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离； （2）在极坐标下，利用韦达定理求出 MN 的长度，从而得出面积． 本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用 韦达定理是解题的关键．属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式 f（x）＜2，等价于或或，得 x＜- 或- ≤x＜0，即 f（x）＜2 的解集是（-∞，0）； （Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4， ∴f（x）max=4，∴|3a-2|＜4，解得实数 a 的取值范围是（- ，2）．解析：（Ⅰ）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出取并集即可； （Ⅱ）求出 f（x）的最大值，得到关于 a 的不等式，解出即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．第 14 页，共 14 页。

2020年石嘴山市高三年级适应性测试数学试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B =I （ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2.设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）B. 2C.3.已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为B. 2 或2 D.24.在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅=u u u r u u u r（ ） A. 33+B.92D. 95.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 6.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A. ()3x x f x e=B. ()x xxf x e e -=-C. ()xx f x e =D. ()xf x xe =7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A.125216B.827C.49D.148.下列说法正确的是（ ）A. 命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B. 若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>=D. 设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 9.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A .[1,2]-B. [1,1]-C. [3,2]D. [3,3]-10.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =+的图象相切，则该双曲线离心率为（ ） A. 2B. 3C. 2D. 511.如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,62AB OD AD ===，异面直线CD 与AB 所成角为30°，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A. 32B. 4221 4212.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则6S =________.15.已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．16.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数,若函数()()222y f x f x m =++--只有一个零点,则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且122 2.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.18.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为,,a b c 若2cos cos cos c A a B b A =+. （1）求角A ；（2）若2a b c =+，且ABCV 的外接圆半径为1，求ABC V 的面积.19.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)20.已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左，右焦点，点(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v时，求△1F CD 的面积． 21.已知21()ln 2x f x x ae x =+-． （1）设12x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间： （2）0a >时，求证：()12f x >．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系0x y 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数且0t ≠，[0a ∈，))π，曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求2C 的普通方程及3C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线23C C 分别交于点A ，B ，求||AB 的最大值． 23.已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.。

2020年宁夏石嘴山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|log2x>1}，则A∩B=()A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2.设复数z满足(1+i)z=3+i，则|z|=()A. √2B. 2C. 2√2D. √53.S n为等差数列{a n}的前n项和，若S15=0，则a8=()A. −1B. 0C. 1D. 24.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗|=√3，且a⃗，b⃗ 夹角为π6，则(a+b⃗)⋅(2a−b⃗)=()A. 12B. −32C. −12D. 326.《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积V≈136L2ℎ的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式V≈3112L2ℎ相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. 227B. 15750C. 289D. 3371157.已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，则m//βB. 若α⊥β，则m⊥βC. 若m//β，则α//βD. 若m⊥β，则α⊥β8.函数y=xcosx+sinx的图象大致为()A.B.C.D.9. 要得到函数f(x)=sin2x +√3cos2x(x ∈R)的图象，可将y =2sin2x 的图象向左平移( )A. π6个单位B. π3个单位C. π4个单位D. π12个单位10. 数学老师给出一个定义在R 上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(−∞,0]上函数单调递减；乙：在[0,+∞)上函数单调递增；丙：函数f(x)的图象关于直线x =1对称；丁：f(0)不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2.则双曲线C 的离心率为( )A. √3B. 2√33C. √5D. 2√5512. 已知函数f(x)={|log 3x|,x >0x 2+4x +1,x ≤0，函数F(x)=f(x)−b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1+x 2x3x 4的值是( )A. −4B. −3C. −2D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 5=______．14. 若实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,2x −3y −8≤0,x ≥1,则目标函数z =3x −y 的最大值为______．15. 曲线f(x)=x +lnx 在x =1处的切线方程是______．16. 已知三棱锥P −ABC 中，PC ⊥平面ABC ，若PC =BC =√6，AB =2，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为√64，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且√3a=2csinA(1)确定角C的大小；(2)若c=√7，且△ABC的面积为3√3，求a+b的值．218.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位：分钟)进行调查，按平均分组[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)[150,180]男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于分钟的学生称为“锻炼达人”．(1)将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动．①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．19.如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2，BC=1，BB1=3，D是CC1的中点，E是AB的中点．(Ⅰ)证明：DE//平面C1BA1；(Ⅱ)F是线段CC1上一点，且CF=2FC1，求A1到平面ABF的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距是2√2，长轴长为4． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 的左右顶点，过点F(−√2,0)作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若△MAB 的面积是△NAB 面积的2倍，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=lnx −mx 2，g(x)=12mx 2+x(m ∈R)，令F(x)=f(x)+g(x)．(1)当m =12时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x 的不等式F(x)≤mx −1恒成立，求整数m 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t cos αy =t sinα(t 为参数且t ≠0，a ∈[0,π))，曲线C 2的参数方程为{x =cos θy =1+sin θ(θ为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求C 2的普通方程及C 3的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与曲线C 2，C 3分别交于点A ，B ，求|AB|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+a|−|x−3|(a∈R)．(1)若a=−1，求不等式f(x)+1>0的解集；(2)已知a>0，若f(x)+3a>2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：集合A={x|0<x<3}=(0,3)，B={x|log2x>1}=(2,+∞)，则A∩B=(2,3)，故选A．2.答案：D解析：解：由(1+i)z=3+i，得z=3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：S n为等差数列{a n}的前n项和，S15=15(a1+a15)2=15a8=0，则a8=0，故选：B．根据等差数列的性质和求和公式即可求出．本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．本题考查了通过计算得到统计量值k2的观测值k，对照数表估计概率结论的应用问题，是基础题目．【解答】解：∵计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892>3.841，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．故选C．5.答案：A解析：【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．【解答】解：(a+b⃗)⋅(2a−b⃗)=2a2−b⃗2+a⋅b⃗=2−3+1×√3×√3 2=1 2故选：A．6.答案：C解析：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L=2πr，13πr2ℎ=3112⋅(2πr)2ℎ，∴13π=12112π2，即π=289．即π的近似值为289．故选：C．设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．本题考查π的近似值的计算，考查计算能力，是基础题．7.答案：D解析：解：对于选项A：若α⊥β，则m//β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m//β，故错误．对于选项C：若m//β，则α//β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=π2时，y=π2×cosπ2+sinπ2=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9.答案：A解析：解：由于函数f(x)=sin2x+√3cos2x=2(12sin2x+√32cos2x)=2sin(2x+π3)=2sin[2(x+π6 )]，故将y=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得f(x)=2sin(2x+π3)的图象，故选：A．根据两角和差的正弦公式求得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．10.答案：B解析：解：假设甲，乙两个同学回答正确，∵在[0,+∞)上函数单调递增；∴丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误．此时f(0)是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾．∴只有乙回答错误．故选：B．如果甲乙正确，那么丙丁都是错的，与题干矛盾；根据函数图象的性质，乙丙不会同时成立，故乙的说法错误这是一道根据函数性质来判断、逻辑推理四个说法三个正确的题，要求对函数性质、图象掌握的非常娴熟．11.答案：B解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2−4x+2=0即为(x−2)2+y2=2的圆心(2,0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a2+b2，4b2c2=4c2−a2c2=1，解得：e=ca =2√33，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．12.答案：A解析：解：作出f(x)的函数图象如图所示：由图象知x1+x2=−4，x3x4=1，∴x1+x2x3x4=−41=−4．故x1+x2x3x4的值是−4．故选：A．根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与应用，是中档题．13.答案：12解析：解：因为a 1+a 3=10，a 2+a 4=(a 1+a 3)q =10q =5， 所以q =12， ∴a 1(1+q 2)=10， 所以a 1=8则a 5=8×(12)4=12． 故答案为：12由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q 及首项，进而可求． 本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题． 14.答案：12解析：解：作出实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,2x −3y −8≤0,x ≥1,可行域如图，由{x +y −4=02x −3y −8=0，解得A(4,0) 目标函数y =3x −z ，当y =3x −z 过点(4,0)时，该直线在y 轴截距−z 最小，即z 有最大值，且最大值为12． 故答案为：12．画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值． 本题考查线性规划的简单应用，属于基础题． 15.答案：y =2x −1解析：解：由函数y =x +lnx 知y′=1+1x ， 把x =1代入y′得到切线的斜率k =1+1=2则切线方程为：y−1=2(x−1)，即y=2x−1．故答案为：y=2x−1求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可．本题主要考查了学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程，属于基础题．16.答案：16π解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P−ABC的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键．根据已知可得AB⊥BC，可得三棱锥P−ABC的外接球，即为以BC，AB，PC为长宽高的长方体的外接球，根据已知BC，AB，PC的长，代入长方体外接球直径(长方体对角线)公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：∵PC⊥平面ABC，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为√64，∴PCPA =√64⇒PA=4，根据勾股定理可得AC=√PA2−PC2=√10，在△ABC中，BC=√6，AC=√10，AB=2，则△ABC为直角三角形．三棱锥P−ABC外接球即为以BC，AB，PC为长宽高的长方体的外接球，故2R=√6+6+4=4，三棱锥外接球的表面积为S=4πR2=16π．故答案为：16π．17.答案：解：(1)∵√3a=2csinA∴正弦定理得√3sinA=2sinCsinA，∵A锐角，∴sinA>0，∴sinC=√32，又∵C锐角，∴C=π3(2)三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC 即7=a2+b2−ab，又由△ABC的面积得S=12absinC=12ab√32=3√32．即ab=6，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．解析：(1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sin C，进而求得C．(2)利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．18.答案：解：(1)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为7000×10100=700(人)(2)①由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故抽取的2人中男生和女生各1人的概率P(A)=410=25．解析：(1)100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出我校7000名学生中“锻炼达人”的人数．(2)①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：取AA1的中点G，连接EG，DG，∵D是棱CC1的中点，G是棱AA1的中点，∴DG//A1C1，EG//BA1，∵DG⊄平面C1BA1，C1A1⊂平面C1BA1，EG⊄平面C1BA1，BA1⊂平面C1BA1，∴DG//平面AB1C1，BA1//平面AB1C1，又∵EG∩DG=G，∴平面DEG//平面BA1C1，∵DE⊂平面DEF∴DE//平面BA1C1；(Ⅱ)解：连接AF，BF，A1F，由已知BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，可得BC⊥平面AA1B，则F到底面AA1B的距离为BC=1．又AB=2，AA1=BB1=3，∴S△AA1B =12×2×3=3．由CF=2FC1，得CF=2，则BF=√5，S△ABF=12×2×√5=√5．设A1到平面ABF的距离为h，则由V F−AA1B =V A1−ABF，得13×3×1=13×√5×ℎ，则ℎ=3√55．故A 1到平面ABF的距离3√55．解析：(Ⅰ)取AA 1的中点G ，连接EG ，DG ，利用D 是棱CC 1的中点，G 是棱AA 1的中点，可得线线平行，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明DE//平面C 1BA 1；(Ⅱ)连接AF ，BF ，A 1F ，由已知可得BC ⊥平面AA 1B ，则F 到底面AA 1B 的距离为BC =1.再求出三角形AA 1B 与三角形ABF 的面积，设A 1到平面ABF 的距离为h ，则由V F−AA 1B =V A 1−ABF 列式求解A 1到平面ABF 的距离．本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)由题意，2c =2√2，2a =4，则a =2，c =√2．∴b 2=a 2−c 2=2．∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN ：x =my −√2．联立{x =my −√2x 24+y 22=1，整理得(m 2+2)y 2−2√2my −2=0． △=8m 2+8(m 2+2)=16m 2+16>0．y 1+y 2=2√2m m 2+2，y 1y 2=−2m 2+2<0． 由S △MAB =2S △NAB ，得|y 1|=|y 2|，即y 1=−2y 2，从而(y 1+y 2)2y 1y 2=−4m 2m 2+2=y 1y 2+y 2y 1+2=−12． 解得m 2=27，即m =±√147． ∴直线MN 的方程为：x −√147y +√2=0或x +√147y +√2=0．解析：(1)由题意求得a 与c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN ：x =my −√2，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由面积关系可得M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m ，则直线方程可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 21.答案：解：(1)当m =12时，f(x)=lnx −12x 2，(x >0)，由f′(x)=1x −x =1−x 2x >0，得x <1，又∵x >0，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．(2)关于x 的不等式F(x)≤mx −1恒成立，即为lnx −12mx 2+(1−m)x +1≤0恒成立，令ℎ(x)=lnx −12mx 2+(1−m)x +1，ℎ′(x)=1x−mx +1−m =−mx 2+(1−m)x+1x ，当m ≤0可得ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)递增，无最大值，不成立；当m >0时，ℎ′(x)=−m(x+1)(x−1m )x ， 当x >1m ，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，当0<x <1m ，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，则有x =1m 取得极大值，且为最大值．由恒成立思想可得ln 1m −12m +1m ≤0，即为2mlnm ≥1，显然m =1不成立，m =2时，4ln2≥1即有24≥e 成立．整数m 的最小值为2．解析：(1)先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；(2)关于x 的不等式F(x)≤mx −1恒成立，即为lnx −12mx 2+(1−m)x +1≤0恒成立，令ℎ(x)=lnx −12mx 2+(1−m)x +1，求得导数，求得单调区间，讨论m 的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m 的最小值．本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题． 22.答案：解：(1)由{x =cos θy =1+sinθ，消去参数θ， 得C 2的普通方程为：x 2+(y −1)2=1，由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，得C 3的直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4，(2)C 1的极坐标方程为：θ=α，C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ，将θ=α分别代入C 2，C 3的极坐标方程得：ρA =2sinα，ρB =4cosα，∴|AB|=|ρA −ρB |=|2sinα−4cosα|=|2√5sin (α+φ)|≤2√5，∴|AB|的最大值为2√5．解析：本题考查了极坐标方程和参数方程，属于中档题．(1)由{x =cos θy =1+sin θ，消去参数θ得C 2的普通方程为：x 2+(y −1)2=1；由ρ=4cosθ得C 3的直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4．(2)C 1的极坐标方程为：θ=α，C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ，将θ=α分别代入C 2，C 3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．23.答案：解：(1 )当a =−1吋，函数f(x)=|2x −1|−|x −3|，当x ≤12时，f(x)=1−2x +(x −3)=−x −2，不等式f(x)+1>0化为−x −2+1>0，解得x <−1；当12<x <3时，f(x)=2x −1+(x −3)=3x −4，不等式f(x)+1>0化为3x−4+1>0，解得x>1，取1<x<3；当x≥3时，f(x)=2x−1−(x−3)=x+2，不等式f(x)+1>0化为x+2+1>0，解得x>−3，取x≥3；综上所述，不等式f(x)+1>0的解集为{x|x<−1或x>1}；(2)当a>0吋，若x≤−a2，则f(x)=−2x−a+(x−3)=−x−a−3，此时f(x)min=f(−a2)=−a2−3，则f(x)+3a≥52a−3>2，解得a>1；若−a2<x<3，则f(x)=2x+a+(x−3)=3x+a−3，此时f(x)>f(−a2)=−12a−3，则f(x)+3a>52a−3>2，解得a>1；若x≥3，则f(x)=2x+a−(x−3)=x+a+3，此时f(x)min=f(3)=6+a，则f(x)+3a≥4a+6>2恒成立；综上所述，不等式f(x)+3a>2对任意x∈R恒成立时，a的取值范围是a>1．解析：本题考查了含有字母系数的绝对值不等式恒成立应用问题，是中档题．(1)当a=−1吋，函数f(x)=|2x−1|−|x−3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；(2)当a>0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f(x)的最小值f(x)min，再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围．。

2020届宁夏石嘴山市高三4月二模数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则AB =（ ） A ．(2,3) B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 2．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2 C ．D 3．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A ．3B ．2C ．3或2D ．2 4．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅=（ ）A ．33+B ．92CD ．95．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．()3x x f x e =B ．()x x x f x e e -=-C ．()x x f x e =D ．()x f x xe = 7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A ．125216 B ．827 C ．49 D ．148．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>=D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 9．将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,1]-C ．2]D ．[ 10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =+的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）A B C ．2 D 11．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD AD ===异面直线CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A．B．CD12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则6S =________.15．已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．16．已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数,若函数()()222y f x f x m =++--只有一个零点,则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值为________.三、解答题 17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.18．在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为,,a b c 若2cos cos cos c A a B b A =+. （1）求角A ；（2）若2a b c =+，且ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积.19．2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)20．已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=时，求△1F CD 的面积． 21．已知21()ln 2x f x x ae x =+-． （1）设12x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间； （2）当0a >时，求证：1()2f x >． 22．在直角坐标系0x y 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数且0t ≠，[0a ∈，))π，曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求2C 的普通方程及3C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线23C C 分别交于点A ，B ，求||AB 的最大值．23．已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈.（1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．A【分析】先利用对数函数求出{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，再利用交集定义求出A B . 【详解】 解：{}03A x x =<<，{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，∴A B ={|23}x x <<，故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用. 2．D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3．A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【详解】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1 当m=﹣3时，圆锥曲线2x m+y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3． 故选A ．【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．4．D【分析】根据平面向量基本定理,利用,AC AB 作为基底化简AC AE ⋅再求解即可.【详解】因为在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=︒,故()2AC AB AD AB AD =+=+ 22222AB AD AB AD =++⋅==E 是BC 的中点,故()2111222AC AE AC AB AC AB AC AC ⋅=⋅+=⋅+ 221111cos3092222AB AC AC AB AC AC =⋅+=⋅⋅︒+=. 故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用以及数量积的运算,属于中档题.5．C【分析】由柱状图观察信息服务商逐年增长并在后续2029年开始超过设备制造商GDP.【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．故选：C【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.6．A【分析】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项.【详解】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减.对于A 选项，函数()3x x f x e =的定义域为R ，()()x x x x f x f x e e---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()x x f x e=，()1x x f x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意；对于B 选项，函数()x x x f x e e-=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意； 对于C 选项，函数()x x f x e =的定义域为R ，()1f e -=-，()11f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D 选项，函数()x f x xe =的定义域为R ，当0x >时，()xf x xe =，()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．C【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个， 由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 9642169==． 故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.8．D【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x <⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥， βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或1x >， 故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.9．A 【分析】由图象平移可得()g x ，根据()g x 为偶函数和ϕ的范围可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；利用x 的范围求得26x π+的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.【详解】()f x 向左平移6π个单位得：()2sin 22sin 263g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又()g x 为偶函数 32k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 6k πϕπ∴=+，k Z ∈0ϕπ<< 6πϕ∴=()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()[]1,2f x ∴∈-本题正确选项：A 【点睛】本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内的值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解. 10．A 【分析】易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数()ln(1)f x x =+在()0,0的切线斜率,继而得出,a b 的关系求解离心率即可. 【详解】由题可知,切点为原点.又()ln(1)f x x =+的导函数1'()1f x x =+,故1'(0)101f ==+.故22222112b c a c e a a a-=⇒=⇒=⇒=故选：A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题. 11．C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．A 【分析】可将问题转化，求直线1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增； 当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 13．80 【分析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果. 【详解】5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=.故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 14．126 【分析】设等比数列{}n a 公比为q ,再根据2a ,42a +,5a 成等差数列以及基本量法求解q ,再根据等比数列求和公式求6S 即可. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ,因为2a ,42a +,5a 成等差数列,故()42522a a a +=+,又12a =,故()3422222q q q ⋅+=+,即()()43322012=0q q q q q -+-=⇒+-,因为0q >,故2q.故()6621212612S -==-.故答案为：126 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式等.属于中档题.15．x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0 【解析】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r ＝5，弦长m ＝8.设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋2，解得d ＝3.若l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，则d ＝＝3，即9k 2－6k ＋1＝9k 2＋9，解得k ＝－，则直线l 的方程为4x ＋3y ＋25＝0.所以直线l 的方程是x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0.16．5 【分析】根据()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数,求解()()2220f x f x m ++--=中m 的值,再利用基本不等式求解4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值即可. 【详解】由题, ()()2220f x f x m ++--=只有一个零点,故()()222f x f x m +=---,又()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数,故()()222f x f x m +=+,2222220x x m x x m +=+⇒-+-=仅有一个零点.故()()224201m m ∆=---=⇒=.又1x >,故44()111511g x x x x x =+=-++≥=--,当且仅当4131x x x -=⇒=-时取得等号. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用以及基本不等式的用法.属于中档题.17．(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D . 设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故6sin cos ,26n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18．（1）3A π=（2【分析】(1)根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简2cos cos cos c Aa Bb A =+求解即可. (2)根据正弦定理与ABC 的外接圆半径为1,结合(1)中3A π=可得a =再根据余弦定理结合2a b c =+可得3bc =,再根据面积公式求解即可. 【详解】解：()1因为2cos cos cos c A a B b A =+.由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+,从而可得2sin cos sin C A C =, 又C 为三角形的内角,所以sin 0C ≠,于是1cos 2A =,又A 为三角形内角,因此3A π=.（2）设的外接圆半径为R ,则1R =,2sin a R A ==由余弦定理得22222cos()33a b c b b c bc π=+-=+-,即3123bc =-,所以3bc =.所以ABC的面积为：1sin 24S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,属于中档题. 19．(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===. 故分布列为：()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．（1）1a b ==；（2）7. 【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），122P F +P F a ＝＝a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 273∆⋅＝＝＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力． 21．（1）a ；单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）证明见解析. 【分析】（1）求得1()xf x x ae x '=+-，利用1211()2022f ae '=+-=．求得a =．再求()f x 的单调区间．（2）由（1）可得0a >时，0(0,1)x ∃∈使得0()0f x '=，即00010x x ae x +-=．0220000000111()()22x min f x f x x ae lnx x x lnx x ==+-=+--，0(01)x <<令211()(01)2g x x x lnx x x =-+-<<．利用导数可得1()2f x >． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．又1()xf x x ae x'=+-，12x =是()f x 的极值点，1211()2022f ae ∴'=+-=．a ∴=()f x '在(0,)+∞上单调递增，且1()02f '=．()0f x ∴'>时，12x >，()0f x '<时，12x <． ()f x ∴的递减区间为1(0,)2，递增区间为1(2，)+∞．（2）由（1）可得0a >时，1()xf x x ae x '=+-在(0,)+∞上单调递增．又因为f '（1）110ae ae =+-=>，当x 趋近于0时，()f x '趋近于-∞．0(0,1)x ∴∃∈使得0()0f x '=，即00010xx ae x +-=． 当0(0,)x x ∈时，0()0f x '<，0(x x ∈，)+∞时，0()0f x '>．()f x ∴在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增．022*******111()()22x min f x f x x ae lnx x x lnx x ∴==+-=+--，0(01)x << 令211()(01)2g x x x lnx x x=-+-<<． 21()1x g x x x +'=--，在(0,1)上()0g x '<， ()g x ∴'单调递减，∴1()(1)2g x g >=． ∴当0a >时，1()2f x >． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题．22．（1）2C ：22(1)1y x +-=，3C ：22(2)4x y -+=；（2）【分析】（1）在曲线2C 的参数方程中消去参数可得出曲线2C 的普通方程，在曲线3C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，并代入222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩可得出曲线3C 的直角坐标方程；（2）由曲线1C 的参数方程得出其极坐标方程为θα=，并设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，将曲线1C 的极坐标方程分别代入曲线2C 、3C 的表达式，求出1ρ、2ρ关于α的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出12AB ρρ=-的最大值． 【详解】（1）由cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩消去参数θ得2C 的普通方程为：22(1)1y x +-=；由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，得3C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）1C 的极坐标方程为：θα=，2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=将θα=分别代入2C ，3C 的极坐标方程得：2sin A ρα=，4cos B ρα=，|||||2sin 4cos ||)|25A B AB ρραααϕ∴=-=-=+． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．23．（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞.【分析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围.【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩， 根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322a a --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。

2020年高考（理科）数学二模试卷一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（0，3）C．（1，2）D．（0，1）2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（）A．B．2C．D．3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（）A．2B．C．或2D．或4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．B．C．D．95．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（）A．B．C．D．8．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD ＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（）A．3B．4C．D．12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x2+）5展开式中x4系数为．14．在各项均为正数的等比数列{x n}中，x1＝2，且x2，x4+2，x5成等差数列，记x n是数列{x n}的前n项和，则x6＝15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是．16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为x，x，x，若2xxxx A＝xxxx B+xxxx A．（1）求角A；（2）若2x＝x+x，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成（结绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．论不要求证明）20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．（1）求a，b的值：（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求△F1CD的面积．21．已知f（x）＝x2+ae x﹣lnx．（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（0，3）C．（1，2）D．（0，1）【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3），故选：A．2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（）A．B．2C．D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（）A．2B．C．或2D．或【分析】先根据等比数列中项公式求出m的值，然后根据椭圆的几何性质即可求出离心率．解：∵实数1，m，9成等比数列，∴m2＝9，即m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，椭圆的方程为，∴a＝，b＝1，c＝∴离心率为，故选：B．4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．B．C．D．9【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可．解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴•＝2×2×cos60°＝2；又E为BC中点，∴＝+＝+，且＝+，∴•＝（+）•（+）＝+•+＝4+×2+×4＝9．故选：D．5．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【分析】本题结合图形即可得出结果．解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故D项表达错误．故选：D．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|【分析】由图象可知，函数的定义域为R，且为奇函数，当x→0时，f（x）→0，结合选项即可得出正确答案．解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C；又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D．故选：A．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（）A．B．C．D．【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．解：有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p＝＝．故选：C．8．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y ＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，故选：A．10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为函数f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），，∴．故选：A．11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD ＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（）A．3B．4C．D．【分析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO＝30°，求出OC，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径．解：由条件可知AB∥OD，所以∠CDO为异面直线CD与AB所成角，故∠CDO＝30°，而OD＝6，故OC＝OD tan30°＝2，在直角梯形ABOD中，易得OB＝6，以OB，OC，OD为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R即为所求的球的半径，由（2R）2＝（2）2+62+62＝84，故R＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可解：∵函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，∴f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得，x＝1；故k AC＝﹣1；设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），y′＝2x+，故2x+＝，解得，x＝﹣1；故k AB＝﹣2+＝﹣；故﹣1＜﹣k＜﹣，故＜k＜1；故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x2+）5展开式中x4系数为80．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．解：∵（2x2+）5展开式的通项公式为T r+1＝•25﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r ＝2，故展开式中x4的系数为•23＝80，故答案为：80．14．在各项均为正数的等比数列{x n}中，x1＝2，且x2，x4+2，x5成等差数列，记x n是数列{x n}的前n项和，则x6＝126【分析】由a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5＝2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可求得x6．解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＝2，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5＝2（a4+2），∴2q+2q4＝2（2q3+2），解得q＝2．∵S6＝＝126．故答案为：126．15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是x＝﹣4和4x+3y+25＝0．【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．解：圆心（﹣1，﹣2），半径r＝5，弦长m＝8，设弦心距是d，则由勾股定理，r2＝d2+（）2d＝3，若l斜率不存在，直线是x＝﹣4，圆心和它的距离是﹣3，符合题意，若l斜率存在，设直线方程y+3＝k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3＝0，则d＝＝3，即9k2﹣6k+1＝9k2+9，解得k＝﹣，所以所求直线方程为x+4＝0和4x+3y+25＝0，故答案为：x＝﹣4和4x+3y+25＝0．16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为5．【分析】函数的零点转化为方程的根，由函数f（x）的奇偶性和单调性可得f（x2+2）＝f（2x+m）有唯一解，整理可得二次方程由判别式为0解出m的值，代入g（x）中，由均值不等式可得函数g（x）的最小值．解：函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，可得：f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）＝0有唯一解，即f（x2+2）＝﹣f（﹣2x﹣m），又f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，所以f（x2+2）＝f（2x+m），即x2+2＝2x+m，所以x2﹣2x﹣m+2＝0有唯一解，即△＝4﹣4（﹣m+2）＝0，解得m＝1，所以函数g（x）＝mx+（x＞1）＝x﹣1++1+1＝5，当且仅当x﹣1＝（x＞1），即x＝3时取等号．所以函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为5，故答案为：5．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AA1，AB⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），＝（2，0，0），＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣2，2），设平面B1CD1的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（1，1，2），设直线AB与平面B1CD1所成角为θ，则直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为x，x，x，若2xxxx A＝xxxx B+xxxx A．（1）求角A；（2）若2x＝x+x，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求bc，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）因为2c cos A＝a cos B+b cos A．由正弦定理得2sin C cos A＝sin A cos B+sin B cos A，从而可得2sin C cos A＝sin C，又C为三角形的内角，所以sin C≠0，于是，又A为三角形内角，因此；（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，，由余弦定理得，即3＝12﹣3bc，所以bc＝3．所以△ABC的面积为：．19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成（结绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．论不要求证明）【分析】（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X＝0，1，2，求出分布列和数学期望；（III）根据题意，求出即可．解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X＝0，1，2，则P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，X的分布列如下：x012p故E（X）＝0，（III）m的最小值为4．20．已知F1，F2分别是椭圆E ：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．（1）求a，b的值：（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D 两点，当时，求△F1CD的面积．【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出a，b；（2）联立直线与圆的方程可以求出t2，再联立直线和椭圆的方程化简，有根与系数的关系的到结论，继而求出面积．解：（1）∵y2＝4x的焦点为F（1，0），则F1（﹣1，0），F2（1，0），∴2a＝|PF1|+|PF2|＝，解得，c＝1，b＝1．（2）由已知，可设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，易知△＞0，则，，∴＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝．因为，所以＝1，解得t2＝3．联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，△＝8（t2+1），设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，∴＝＝．21．已知f（x）＝x2+ae x﹣lnx．（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．（1）求得，利用f＝﹣2＝0．求得a＝．再【分析】求f（x）的单调区间．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．f （x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）令．利用导数可得f（x）＞．方法2，令g（x）＝，（x＞0），利用导数可得．即可得．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又，∵x＝是f（x）的极值点，∴f＝﹣2＝0．∴a＝．∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．∴f′（x）＞0时，x，f′（x）＜0时，．∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）＝x+ae x﹣在（0，+∞）上单调递增．又因为f′（1）＝1+ae﹣1＝ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于﹣∞．∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．∴f（x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）令．，在（0，1）上g′（x）＜0，∴g′（x）单调递减，∴．∴当a＞0时，f（x）＞．方法2，令g（x）＝，（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴，∴．∵a＞0，∴ae x＞0．∴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．【分析】（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．解：（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2sin（α+φ）|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；（2）当a＞0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f（x）的最小值f（x）min，再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围．解：（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，当x≤时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，不等式f（x）+1＞0化为﹣x﹣2+1＞0，解得x＜﹣1；当＜x＜3时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，不等式f（x）+1＞0化为3x﹣4+1＞0，解得x＞1，取1＜x＜3；当x≥3时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，不等式f（x）+1＞0化为x+2+1＞0，解得x＞﹣3，取x≥3；综上所述，不等式f（x）+1＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}；（2）当a＞0吋，若x≤﹣，则f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，此时f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣3，则f（x）+3a≥a﹣3＞2，解得a＞2；若﹣＜x＜3，则f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，此时f（x）＞f（﹣）＝﹣a﹣3，则f（x）+3a＞a﹣3＞2，解得a＞2；若x≥3，则f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，此时f（x）min＝f（3）＝6+a，则f（x）+3a≥4a+6＞2恒成立；综上所述，不等式f（x）+3a＞2对任意x∈一、选择题恒成立时，a的取值范围是a＞2．。