北师大版八年级数学下册总复习专项测试题附答案解析(八)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题09 分式的规律探究问题【典型例题】1．观察下面的变形规律：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想()1n n 1=+________； （2）证明你猜想的结论；（3）求和：111112233420132014++++⨯⨯⨯⨯． 【答案】（1）11n n 1-+；（2）证明见解析；（3）20132014 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）利用分式的加减法则计算即可得到结果；（3）原式利用拆项方法变形，抵消即可得到结果．【详解】（1）()111n n 1n n 1=-++； 故答案为：11n n 1-+； （2）证明：11n n 1-+ ()()n 1n n n 1n n 1+=-++ ()n 1n n n 1+-=+ ()1n n 1=+； （3）原式＝111111112233420132014-+-+-++-＝112014- 20132014=． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减法法则以及通分、约分的方法为解题关键．【专题训练】一、选择题1．有下列等式：第1个等式：31144=-； 第2个等式，3117214=-；第3个等式：31110330=-； 第4个等式：31113452=-；… 请你按照上面的规律解答下列问题：（1）第5个等式是_________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：_______________________；（用含n 的等式表示），并证明其正确性．【答案】(1)31116580=- ；(2)猜想：()3113131n n n n =-++，理由见解析 【分析】（1）根据已知式子可得下一个：31116580=-； （2）根据观察可得第n 个等式：()3113131n n n n =-++；根据分式运算法则，从等式的右边进行通分合并，由右边=左边可证得；【详解】（1）31116580=-； （2）猜想：()3113131n n n n=-++； 证明：等式右边()()()3113313131n n n n n n n n+=-=+++331n =+=等式左边 故猜想成立.【点睛】 考核知识点：分式加减.观察规律，列出式子，运用分式加减法整理是关键.2．观察下列等式： 第一个等式：111122+-= 第二个等式：111134122+-= 第三个等式：111156303+-= 第四个等式：111178564+-= 按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第五个等式____________；（2）写出你猜想的第n 个等式____________（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）1111910905+-=；（2）11112122(21)n n n n n +-=--，证明见解析． 【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式；（2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．【详解】解：（1）1111910905+-=； 故答案为：1111910905+-=； （2）11112122(21)n n n n n+-=--． 证明：1112122(21)n n n n +--- 22112(21)2(21)2(21)n n n n n n n n -=+---- 22112(21)n n n n +--=-2(21)2(21)n n n -=- 1n=． 故答案为：11112122(21)n n n n n+-=--． 【点睛】 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．3．观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=； 第2个等式：111112323++⨯= 第3个等式：121213434++⨯= 第4个等式：131314545++⨯= 第5个等式：141415656++⨯= ……按照以上规律，解决下列问题（1）写出第8个等式：____________．（2）写出你猜想的第n 个等式：____________(用含有n 的等式表示），并证明这个等式．【答案】（1）171718989++⨯=；（2）1111111n n n n n n --++⋅=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第8个等式；（2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：（1）根据前面的规律，第8个等式是：171718989++⨯=； （2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++， 111111n n n n n n --++⋅++()()()()111111n n n n n n n n n n -+-=+++++ ()2111n n n n n n ++-+-=+ 22n n n n+=+ 1=，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．4．观察以下等式:第1个等式:11111122-+=⨯， 第2个等式:11212233-+=⨯， 第3个等式:11313344-+=⨯， 第4个等式:11414455-+=⨯， ……按照以上规律,解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n (n 为正整数)个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.【答案】（1）115-+=15566⨯；（2）111(1)1n n n n n -+=++，见解析. 【解析】【分析】（1）根据以上所总线的规律即可写出第6个等式；（2）同理，律即可猜想出第n 个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等．【详解】解：（1）115-+=15566⨯（2）第n 个等式为：111(1)1n n n n n -+=++ 2(1)+=+n n n n (1)1(1)+===+右边n n n n ∴等式成立【点睛】解答此题意的关键是根据前几个算式找出各分数的分子、分母与等式序数之间的关系找出规律，然后根据规律写出第n 个等式，再证明猜想是否正确．5．观察以下等式：第1个等式：11212+⨯=1， 第2个等式：1113232+=⨯， 第3个等式：1114343+=⨯， 第4个等式：1115454+=⨯， 第5个等式：1116565+=⨯， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ．(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）1117676+=⨯；（2）1111(1)n n n n +=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可；（2）第n 个等式是1111(1)n n n n+=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：(1)第6个等式为：111 7676 +=⨯．故答案为：111 7676 +=⨯，(2) 第n个等式：1111(1)n n n n+=++，故答案为：1111(1)n n n n+=++，证明：111111(1)(1)(1)(1)n nn n n n n n n n n n++=+==+++++，∴左边=右边，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．6．观察下列等式，探究其中的规律：①11+12﹣1＝12，②13+14﹣12＝112，③15+16﹣13＝130，④17+18﹣14＝156，…．（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；（2）猜想并写出第n个等式：_________；（3）请证明猜想的正确性．【答案】（1）115+116−18＝1240；（2）121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明见解析．【分析】（1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案；（2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可；（3）利用分式的运算法则进行计算验证即可.【详解】（1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，∴第⑧个等式为：115+116−18＝1240，故答案为：115+116−18＝1240；（2）根据（1）中规律总结归纳可得：121n-+12n−1n＝12(21)n n-，故答案为：121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明：对等式左边进行运算可得：121n-+12n−1n=2212(21)2(21)n n nn n+----＝12(21)n n-，∴等式右边＝12(21)n n-，∴左边＝右边，∴121n-+12n−1n＝12(21)n n-成立．【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.7．观察下列各式及证明过程：=========（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．【答案】（1==，证明见解析；（2）=，证明见解析 【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；（2）利用规律写出不等式并验证即可．【详解】（1=====（2= 证明：===【点睛】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．8．观察下列各式：111122-=-+⨯；1112323-=-+⨯； 1113434-=-+⨯； (1)你发现的规律是 (用含n 的式子表示)；(2)用规律计算：111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯． 【答案】(1) ()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）；(2) 2019.2020- 【分析】 (1) 由观察部分可知：左边分母是两个连续正整数的积，分子是1的两个分数相乘的积的相反数等于以这两个正整数为分母，分子为1的两个分数的和，且绝对值大的分数为负数，从而可得答案；(2)利用(1)推导的规律直接拆分，再进行计算即可得到答案．【详解】解：(1)由题意得：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． 故答案为：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． (2)111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯ 1111111111223342018201920192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112020=-+ 2019.2020=- 【点睛】本题考查分数（式）的运算中数字的变化规律，找出数字之间的变化规律，运用规律是解答本题的关键． 9．观察下列各组式子：①2611513133⨯-+==⨯；②1262111353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ （1）请根据上面的规律写出第 4个式子；（2）请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】（1）1264123797963⨯-+==⨯；（2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，证明见解析． 【分析】（1）仿造①②③中的规律直接写出第4个式子即可；（2）仔细观察①②③④四个式子总结出规律()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，然后进一步将等式左边直接进行变形计算得出等式右边，由此证明结论即可.【详解】（1）1264123797963⨯-+==⨯ （2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+证明： 等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∴等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点睛】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.10．观察下列各组式子： ①1611723133⨯++==⨯；②2162113353515⨯++==⨯；③2163119575735⨯++==⨯（1）请根据上面的规律写出第5个式子；（2）请写出第n 个式子（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）216513191191199⨯++==⨯；（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+，证明见解析 【分析】（1）依据前三个式子的规律，第四个应为：2164257963179⨯++==⨯，第五个应为：216513191191199⨯++==⨯； （2）这些式子的规律是：等式左边是两个分数的和，分母为相邻两个奇数，前一个分式的分子为2，后一个分式的分子为1，等式的右边的分母是这两个分数分母的积，分子是等式的序号数的6倍与1的和，根据这个规律即可写出第n 个式子．【详解】（1）第5个等式：216513191191199⨯++==⨯（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+ ∴212121n n +-+ 2(21)21(21)(21)(21)(21)n n n n n n +-=+-+-+ 2(21)(21)(21)(21)n n n n ++-=-+ 61(21)(21)n n n +=-+ ∴等式成立【点睛】本题是一个带规律的探索题，考查了学生的观察归纳能力、分式的加法运算能力，关键是根据前三个式子找到规律．11．观察下列等式： ①11122=+，②111236=+，③1113412=+，④1114520=+， （1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)=(_______)+(________)； （2）写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）15，16，130；（2）1111(1)n n n n =+++，证明见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；（2）由（1）的规律发现第n 个式子为1111(1)n n n n =+++，利用分式的加减证明即可． 【详解】（1）11122=+ 111236=+ 1113412=+1114520=+1115630∴=+ 故答案为：15，16，130； （2）由规律可得：第n 个等式(用含n 的式子表示)为：1111(1)n n n n =+++， 右边111(1)(1)(1)n n n n n n n n n+=+==+++， ∴左边=右边，即1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题．12．观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…… （1）写出第四个等式是 ；（2）探索这些等式中的规律，直接写出第n 个等式（用含n 的等式表示）；（3）试说明你的结论的正确性.【答案】（1）（1）444455⨯=-；（2）11n n n n n n ⨯=-++；（3）见解析 【解析】【分析】（1）（2）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个因数减去第二个因数；由此规律解决问题；（3）把左边运用整式乘法计算，右边进行通分即可证明.【详解】 解：（1）观察题中等式可知，第四个等式是：444455⨯=-； （2）观察题中等式猜想第n 个等式为：11n n n n n n ⨯=-++；（3）∴左边＝211n n n n n ⨯=++，右边＝2(1)1111n n n n n n n n n n +-=-=++++， ∴左边＝右边，即11n n n n n n ⨯=-++． 【点睛】此题考查数字类变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．该规律实质上是运用了分式的加减运算法则．13．探索发现： 112⨯＝1－12 123⨯＝12－13 134⨯＝13－14根据你发现的规律，回答下列问题：（1）156⨯＝__________；1(1)n n ⨯+＝__________； （2）利用发现的规律计算：112⨯＋123⨯＋134⨯＋···＋1(1)n n ⨯+ （3）利用以上规律解方程：1(2)x x +＋1(2)(4)x x ++＋···＋1(48)(50)x x ++＝150x + 【答案】（1）1156-，111n n -+；（2）1n n +；（3）x =25. 【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可； （2）利用前面的运算规律得到原式=11111111223341n n -+-+-++-+，然后合并后通分即可； （3）利用运算规律方程化为11111111()2224485050x x x x x x x -+-++-=++++++ ， 合并后解分式方程即可．【详解】（1）1115656=-⨯，111(1)1n n n n=-⨯++；（2）原式=111111111122334111nn n n n-+-+-++-=-=+++；（3）原方程可化为11111111() 2224485050 x x x x x x x-+-++-=++++++，即1111 ()25050 x x x-=++，解得x=25,经检验x=25是原方程的解.【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：111(1)1n n n n=-⨯++是解答本题的关键．14．数式规律；观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-；第2个等式：521(1)2533⨯+=-；第3个等式：921(1)2755⨯+=-；第4个等式：1321(1)2977⨯+=-；第5个等式：1721(1)2 1199⨯+=-；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）2121(1)2131111⨯+=-；（2）4321(1)2212121nn n n-⋅+=-+--，证明见解析．【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：212112131111⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭； （2）432112212121n n n n -⎛⎫⨯+=- ⎪+--⎝⎭， 证明：∴左边=432432143112212121212121n n n n n n n n n n --+-⎛⎫⨯+=⨯==- ⎪+-+---⎝⎭=右边， ∴等式成立．【点睛】 本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 15．观察下列式子，并探索它们的规律：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552().11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）根据以上式子填空： ①3531x x +=++ ． ②ax b a x c +=++ ． （2）当x 取哪些正整数时，分式4321x x +-的值为整数？ 【答案】（1）①21x +；②b ac x c -+ ；（2）1或3 【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x 取什么值时，4321x x +-的值为整数．即可得到答案． 【详解】解：（1）①3533+23322+3+11111x x x x x x x x +++===+++++． 故答案为21x +． ②+++ax b ax b ax b a x c x ac ac ac c x c ac b ac x c cx +++---===++++++故答案为b ac x c-+． （2）4342234255=22121212121x x x x x x x x +-++-=+=+----- 当x 为正整数，且21x -为5的约数时，4321x x +-的值为整数， 即21=1x -或21=5x -时，4321x x +-的值为整数． ∴1=1x ，2=3x ．即当x 为1或3时，4321x x +-的值为整数． 【点睛】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．。

2019-2020学年度第二学期期末测试八年级数学试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本部分共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出四个选项,其中只有一项是正确的)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.不等式215x -≤的解集在数轴上表示为（ ） A.B.C.D.3.下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. 2242(2)a a a a +=+ B. 22(1)y x xy x x-=-C. 2(3)(3)9a a a +-=-D. 25(2)(3)1x x x x +-=-++4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6C. 5D. 45.若分式2ab a b +中,a b 都扩大到原来的3倍，则分式2aba b+的值是（ ） A. 扩大到原来3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的13D. 不变6.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD =2CD ，BC =6cm ，则点D 到AB 距离为（ ）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm7.如图，将一个含有45o 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30o 角，则三角板最长的长是（ ）A. 2cmB. 4cmC. 22cm D. 42cm8.已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，在△ABC 中，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若∠BAD =45°，则∠B 的度数为（ ）A. 75°B. 65°C. 55°D. 45°10.下列语句：①每一个外角都等于60o 的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）A 13310=+B. 25916=+C. 491831=+D. 642836=+12.如图，等边△ABC 边长为6，点O 是三边垂直平分线的交点，∠FOG =120°，∠FOG 的两边OF ，OG 分别交AB ，BC 与点D ，E ，∠FOG 绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（ ）①OD =OE ；②ODE BDE S S ∆∆=；③2738ODBES =；④△BDE 的周长最小值为9， A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分)13.分解因式：255x -=__________．14.如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移得到的,左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是__.15.若分式方程2322x mx x+=--有增根,则m 等于__________. 16.在△ABC 中，AB =10，CA =8，BC =6，∠BAC 的平分线与∠BCA 的平分线交于点I ，且DI ∥BC 交AB 于点D ,则DI 的长为____.三、解答题：17.解不等式组：22112x x x x ≤+⎧⎪⎨-<+⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.18.解分式方程：2303(3)x x x x --=++ 19.先化简，再求值：2144(1)11x x x x -+-÷--，其中x 是不等式30x -≥正整数解.20.如图，平行四边形ABCD 的边OA 在x 轴上，将平行四边形沿对角线AC 对折，AO 的对应线段为AD ，且点D ，C ，O 在同一条直线上，AD 与BC 交于点E .（1）求证：△ABC ≌△CDA .（2）若直线AB 的函数表达式为6y x =-，求三角线ACE 的面积.21.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料. （1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？22.如图，在平面直角坐标系中，网格图由边长为1的小正方形所构成，Rt △ABC 的顶点分别是A （-1，3），B （-3，-1），C （-3，3）.（1）请在图1中作出△ABC 关于点（-1，0）成中心对称△'''A B C ,并分别写出A ，C 对应点的坐标'A ;'C（2）设线段AB 所在直线的函数表达式为y kx b =+，试写出不等式2kx b +>的解集是 ； （3）点M 和点N 分别是直线AB 和y 轴上的动点，若以'A ，'C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的M点坐标.23.如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6,△ABC沿BC方向向右平移得△DCE，A、C对应点分别是D、E.AC与BD相交于点O.（1）将射线BD绕B点顺时针旋转，且与DC，DE分别相交于F，G，CH∥BG交DE于H，当DF=CF时，求DG的长；（2）如图2，将直线BD绕点O逆时针旋转，与线段AD，BC分别相交于点Q，P.设OQ=x，四边形ABPQ 的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求y的最小值.（3）在（2）中PQ的旋转过程中，△AOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长？若不能，请说明理由.答案与解析一、选择题1.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】A. 是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；C. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；D. 是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.x-≤的解集在数轴上表示为（）2.不等式215A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．【详解】解不等式得：x⩽3，所以在数轴上表示为故选A.【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式的解集.3.下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. 2242(2)a a a a +=+ B. 22(1)y x xy x x-=-C. 2(3)(3)9a a a +-=-D. 25(2)(3)1x x x x +-=-++【答案】A 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【详解】2242(2)a a a a +=+是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以A 正确；22(1)yx xy x x-=-中含有分式，所以B 错误；2(3)(3)9a a a +-=-不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以C 错误； 25(2)(3)1x x x x +-=-++不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以D 错误.【点睛】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义.4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【详解】设多边形的边数为n ，根据题意 （n-2）•180°=360°， 解得n=4．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．5.若分式2ab a b +中,a b 都扩大到原来的3倍，则分式2aba b+的值是（ ） A. 扩大到原来3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的13D. 不变【答案】A 【解析】 【分析】把分式中的分子,分母中的 ,a b 都同时变成原来的3倍,就是用 3a, 3b 分别代替式子中的a , b,看得到的式子与原式子的关系. 【详解】将分式2ab a b+中,a b 都扩大到原来的3倍，得到1833ab a b +=6ab a b +，则6ab a b +是2aba b +的3倍.故答案为A.【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质.6.如图，在三角形ABC 中，90C =o ∠，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2BD CD =，6BC cm =，则点D 到AB的距离为（ ）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm【答案】C 【解析】 【分析】如图，在△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD=2CD ，BC=9cm ，则点D 到AB 的距离.【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD：DC=2：1，BC=6，∴DC=112×6=2，∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，∴DE=DC=2．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.7.如图，将一个含有45o角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30o角，则三角板最长的长是（）A. 2cmB. 4cmC. 22cmD. 42cm【答案】D【解析】【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【详解】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×2=4，又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=4，∴BC 2=AB 2+AC 2=42+42=32， ∴BC= 故选：D.【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.8.已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩①②由①得x ＜m ； 由②得x ＞2；∵m 的取值范围是4＜m ＜5， ∴不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个．故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．9.如图，在ABC ∆中，B Ð=55°，30C ∠=o ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD ∠的度数为（ ）A. 65oB. 75oC. 55oD. 45o【答案】A【解析】【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中,∵∠B=55°,∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=95°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=65°，故选：A.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，解题关键在于求出∠BAC=95°.10.下列语句：①每一个外角都等于60o的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．【详解】①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确； ④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，故正确；正确的有3个.故选C.【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理.11.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）A. 13310=+B. 25916=+C. 491831=+D. 642836=+【答案】D【解析】【分析】 三角形数=1+2+3+……+n ，很容易就可以知道一个数是不是三角形数.结合公式，代入验证三角形数就可以得到答案.【详解】A.中3和10是三角形数，但是不相邻；B.中16、9均是正方形数，不是三角形数；C.中18不是三角形数；D.中28=1+2+3+4+5+6+7，36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以D 正确；故选D.【点睛】此题考查此题考查规律型：数字的变化类，勾股数，解题关键在于找到变换规律.12.如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，120FOG ∠=o ，FOG ∠的两边,OF OG 与,AB BC 分别相交于,D E ，FOG ∠绕O 点顺时针旋转时，下列四个结论正确的个数是（ ）①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③433ODBE S =四边形BDE ∆周长最小值是9.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】首先连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，利用全等三角形的对应边相等可对①进行判断；再利用SBODV =SCOEV得到四边形ODBE的面积=13S ABCV，则可对③进行判断，然后作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S ODEV=3OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断，接下来由△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+3OE，结合垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断.【详解】连接OB，OC，如图.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵点O是△ABC的中心，∴OB=OC，OB. OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，BO=CO ，∠OBD=∠OCE ，∴△BOD ≌△COE ，∴BD=CE ，OD=OE ，所以①正确；∴S BOD V =S COE V ，∴四边形ODBE 的面积=S OBC V =13 S ABC V =13×42 ，所以③正确； 作OH ⊥DE ，如图，则DH=EH ，∵∠DOE=120°，∴∠ODE=∠OEH=30°．∴OH=12OE ，OE ，∴OE ，∴S △ODE=12 ·12· OE 2， 即S ODE V 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，∴S ODE V ≠S BDE V ，所以②错误；∵BD=CE ，∴△BDE 的周长OE ，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时， ∴△BDE 周长的最小值=4+2=6，所以④错误.故选：B. 【点睛】此题考查旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记旋转前、后的图形全等.二、填空题13.分解因式：255x -=__________．【答案】5(1)(1)x x -+【解析】【分析】先提出公因式5，再直接利用平方差公式分解因式．平方差公式：a 2 -b 2=（a+b ）（a-b ）．【详解】255x -=5()21x - =5(1)(1)x x -+故答案为：5(1)(1)x x -+.【点睛】此题考查分解因式，解题关键在于先提出公因式.14.如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移得到的,左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是__.【答案】（5，4）【解析】【详解】由左图案中左眼的坐标是（－4，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），可知左图案向右平移了7个单位长度，向上平移了2个单位长度变为右图案．因此右眼的坐标由（－2，2）变为（5，4）． 故答案为：（5，4）.15.已知关于x 的方程2322x m x x+=--会产生增根，则m =__________． 【答案】4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出未知字母的值．【详解】方程两边都乘(x−2)，得2x−m=3(x−2)，∵原方程有增根，∴最简公分母x−2=0，即增根为x=2，把x=2代入整式方程，得m=4.故答案为：4.【点睛】此题考查分式方程的增根，解题关键在于根据方程有增根进行解答.16.如图所示,△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,过点O作BC的平行线MN 交AB于点M,交AC于点N,则△AMN的周长为____.【答案】18【解析】【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边可知OM=BM，ON=CN，则△AMN的周长=AB+AC可求．【详解】∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵BC∥MN，∴∠BOM=∠CBO，∠CON=∠BCO，∴∠BOM=∠ABO，∠CON=∠ACO，∴OM=BM，ON=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+OM+AN+NC=AB+AC=18cm.故答案为：18.【点睛】此题考查角平分线的定义，平行线分线段成比例，解题关键在于得出OM=BM，ON=CN.三、解答题17.解不等式组：()-324 211 52x xx x⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩并把其解集在数轴上表示出来.【答案】−7<x⩽1，见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式x−3(x−2)⩾4，得：x⩽1，解不等式52112x x-+<，得：x>−7，则不等式组的解集为−7<x⩽1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.18.解分式方程：233(3)xx x x--=++【答案】原方程无解.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2(3)0x x--=30x+=3x=-经检验3x=-是原方程的增根∴原方程无解【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于先去分母.19.先化简，再求值：2144(1)11x x x x -+-÷--，其中x 是不等式30x -≥的正整数解. 【答案】1.【解析】【分析】将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x 的不等式求出解集得到x 的范围，在范围中找出正整数解得到x 的值，将x 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．【详解】解：原式=()2211()111x x x x x ---÷--- =()22112x x x x --⨯-- 12x =- 30x -≤的正整数解为1,2,3x =但1,2x x ≠≠所以3x = ∴原式的值112x =- 【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.20.如图，平行四边形ABCD 的边OA 在x 轴上，将平行四边形沿对角线AC 对折，AO 的对应线段为AD ，且点D ，C ，O 在同一条直线上，AD 与BC 交于点E .（1）求证：△ABC ≌△CDA .（2）若直线AB 的函数表达式为6y x =-，求三角线ACE 的面积.【答案】（1）证明见详解；（2）92 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质，可得出CD=AB ，∠DCA=∠BAC ，结合AC=CA 可证出△ABC ≌△CDA （SAS ）；（2）由点D ，C ，O 在同一直线上可得出∠DCA=∠OCA=90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标及OA 的长度，由OC ∥AB 可得出直线OC 的解析式为y=x ，进而可得出∠COA=45°，结合∠OCA=90°可得出△AOC 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出OC 、AC 的长，结合（1）的结论可得出四边形ABDC 为正方形，再利用正方形的面积公式结合S △ACE =14S 正方形ABDC 可求出△ACE 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCO 为平行四边形，∴AB=CO ，AB ∥OC ，∴∠BAC=∠OCA ．由折叠可知：CD=CO ，∠DCA=∠OCA ，∴CD=AB ，∠DCA=∠BAC ．在△ABC 和△CDA 中， AB CD BAC DCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CDA （SAS ）．（2）解：∵∠DCA=∠OCA ，点D ，C ，O 同一直线上，∴∠DCA=∠OCA=90°．当y=0时，x-6=0，解得：x=6，∴点A 的坐标为（6，0），OA=6．∵OC ∥AB ，∴直线OC 的解析式为y=x ，∴∠COA=45°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∴AC=OC=32∵AB ∥CD ，AB=CD=AC ，∠DCA=90°，∴四边形ABDC 为正方形，2119442ACE ABCD S S AC ∆==⋅=正方形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS 证出△ABC ≌△CDA ；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，求出正方形边长AC 的长．21.某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？【答案】（1）甲框每个2.4米，乙框每个2米；（2）最多可购买甲种边框100个.【解析】【分析】（1）设每个乙种边框所用材料x米，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”，列出方程，即可解答；（2）设生产甲边框y个，则乙边框生产640 2.42y-个，再根据“要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍”求出y的取值范围，即可解答．【详解】解（1）设每个乙种边框所用材料x米则121211.2x x-= 2x=经检验：2x=是原方程的解，1.2x=2.4, 答：甲框每个2.4米，乙框每个2米.（2）设生产甲边框y个，则乙边框生产640 2.42y-个，则640 2.422yy-≥100y≤所以最多可购买甲种边框100个.【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程.22.由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1),B(−4,5),C(−5,2).(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；(3)请你判断△AA1A2与△CC1C2的相似比;若不相似,请直接写出△AA1A2的面积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点位置求出即可；（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标进而求出即可；（3）利用相似三角形的判定方法得出即可，再利用三角形面积求法得出答案．【详解】(1)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；(2)如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；(3)∵112112CC C C AA A A ， ∴△AA 1A 2与△CC 1C 2不相似，S 12AA A △ =12×2×4=4. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，相似三角形的判定，解题关键在于掌握作图法则.23.如图1，在△ABC 中，AB=BC=5，AC=6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、BE ，且AC 和BE 相交于点O.(1)求证：四边形ABCE 是菱形；(2)如图2,P 是线段BC 上一动点(不与B. C 重合)，连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，过Q 作QR ⊥BD 交BD 于R.①四边形PQED的面积是否为定值?若是，请求出其值；若不是，请说明理由；②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B. C. O为顶点的三角形是否可能相似?若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）①24，②75；【解析】【分析】（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；（2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值；②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长．【详解】(1)证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，∴EC=AB，AE=BC，∵AB=BC，∴EC=AB=BC=AE，∴四边形ABCE是菱形；(2)①四边形PQED的面积是定值，理由如下：过E作EF⊥BD交BD于F,则∠EFB=90°，∵四边形ABCE是菱形，∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，∵AC=6，∴OC=3，∵BC=5，∴OB=4,sin ∠OBC=3=5OC BC ， ∴BE=8， ∴EF=BE ⋅sin ∠OBC=8×324=55， ∵AE ∥BC ，∴∠AEO=∠CBO ，四边形PQED 是梯形，在△QOE 和△POB 中AEO CBO OE OBQOE POB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△QOE ≌△POB ，∴QE=BP ，∴S PQED 梯形 =12 (QE+PD)×EF=12 (BP+DP)×EF=12×BD×EF=12×2BC×EF=BC×EF=5×245 =24； ②△PQR 与△CBO 可能相似，∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO ，∴当∠QPR=∠BCO 时,△PQR ∽△CBO ，此时有OP=OC=3.过O 作OG ⊥BC 交BC 于G.∵∠OCB=∠OCB ，∠OGC=∠BOC ，∴△OGC ∽△BOC ，∴CG:CO=CO:BC ，即CG:3=3:5，∴CG=95， ∴BP=BC−PC=BC−2CG=5−2×95=75 . 【点睛】此题考查相似形综合题,涉及了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，平移的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题02 垂直平分线与角平分线【典型例题】1．如图，△ABC 中，△ABC ＝25°，△ACB ＝55°，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，E ，G 分别为垂足； （1）直接写出△BAC 的度数；（2）求△DAF 的度数；（3）若BC 的长为30，求△DAF 的周长．【答案】(1)100BAC ∠=︒；（2）20DAF ∠=︒；（3）30DAF C =【分析】 （1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：（1）△△ABC +△ACB +△BAC ＝180°，△△BAC ＝180°﹣25°﹣55°＝100°；（2）△DE 是线段AB 的垂直平分线，△DA ＝DB ，△△DAB ＝△ABC ＝25°，△FG 是线段AC 的垂直平分线，△AF ＝CF ，△△F AC ＝△ACB ＝55°，△△DAF ＝△BAC ﹣△DAB ﹣△F AC ＝100°﹣25°﹣55°＝20°；（3）△BC =30，由（2）可知， AD ＝BD ，F A ＝FC ，△C △DAF =AD +DF +F A ＝BD +DF +FC ＝BC ＝30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,B AD ∠=︒平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若1BD =，则DE 的长为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．6【答案】B【分析】根据△B =90°，AD 平分△BAC ，DE △AC ，再根据角平分线的性质得到DE =BD =１．【详解】△90B ∠=︒，△DB AB ⊥，又△AD 平分BAC ∠，DA AC ⊥，△由角平分线的性质得1DE BD ==． 故选：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．2．如图，在ABC 中，直线ED 是线段BC 的垂直平分线，直线ED 分别交BC 、AB 于点D 、点E ，已知BD =3，ABC 的周长为20，则AEC 的周长为（ ）A ．14B ．20C ．16D ．12【答案】A【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到EC =EB ，BC =2BD =6，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】△ED 是线段BC 的垂直平分线，△EC =EB ，BC =2BD =6，△△ABC 的周长为20，△AB +AC +BC =20，△AB +AC =14，△△AEC 的周长=AC +AE +EC =AC +AE +EB =AC +AB =14，故选：A ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD DE =，若ABC 的周长为26cm ，5AF =cm ，则DC =（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解．【详解】解：△AD△BC，BD=DE，EF垂直平分AC△AB=AE=EC△△ABC周长是26cm，AF=5cm△AC=10cm△AB+BC=16cm△AB+BE+EC=16cm即2DE+2EC=16cm△DE+EC=8cm△DC=DE+EC=8cm故选A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分△ABC，CD△AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）A．1B．43C．53D．2【答案】B【分析】过点E作EG△AB于点G，由EG△AB，CD△AB，可得EG△CD，由平行线的性质可得△GEB=△EFC；在Rt△ABC 中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC△Rt△EBG，由全等三角形的性质可得△CEB=△EFC及AG 的值，进而可判定CF=CE．设CF=EG=EC=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x 的值即为CF 的长．【详解】解：过点E 作EG △AB 于点G ，如图：△CD △AB 于D ，△EG △CD ，△△GEB ＝△EFC ，△在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，△EC △CB ，又△BE 平分△ABC ，EG △AB ，△EG ＝EC ．在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5．在Rt △EBC 和Rt △EBG 中，EB EB EC EG=⎧⎨=⎩， △Rt △EBC △Rt △EBG （HL ），△CEB ＝△GEB ，BG ＝BC ＝4，△△CEB ＝△EFC ，AG ＝AB ﹣BG ＝5﹣4＝1，△CF ＝CE ．设CF ＝EG ＝EC ＝x ，则AE ＝3﹣x ，在Rt △AEG 中，由勾股定理得：（3﹣x ）2＝x 2+12，解得x ＝43△CF 的长是43．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．如图，在△ABC中，△B=15°，△C=30°，MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，已知S△ANQ则BC的长为（）A B．3C．3D．2+【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AQ=CQ，BN=AN，根据等腰三角形的性质和已知条件得出△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，根据三角形外角性质得出△ANQ=△B+△BAN=30°，△AQN=△C+△CAQ=60°，求出△NAQ=90°，再根据三角形的面积求出AQ，最后求出BC即可．【详解】解：△MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，△AQ=CQ，BN=AN，△△B=15°，△C=30°，△△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，△△ANQ=△B+△BAN=15°+15°=30°，△AQN=△C+△CAQ=30°+30°=60°，△△NAQ=180°﹣△ANQ﹣△AQN=90°，△NQ=2AQ，AN==，△S△ANQ=，2△12⨯AQ 解得：AQ =1（负数舍去），即CQ =AQ =1，AN =BN NQ =2AQ =2，△BC =BN +NQ +CQ 2+1=3故选：B ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC 中，△C =90°，AP 平分△CAB ，且PC =3，PB =5，则点P 到边AB 的距离是 ______________【答案】3【分析】作PH △AB 于H ．直接根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：作PH △AB 于H ，如图，△AP 平分△CAB ，且△C =90°，△3PH PC ==，即点P 到边AB 的距离是3．故答案为3．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线性质定理是解答此题的关键．7．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB 、BC 于D 、E ，若△CAB ＝△B +28°，则△CAE＝__．【答案】28︒【分析】先根据直角三角形的两锐角互余可得31,59B CAB ∠=︒∠=︒，再根据垂直平分线的性质可得AE BE =，然后根据等腰三角形的性质可得31B BAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】解：△在ABC 中，90C ∠=︒，△90CAB B ∠+∠=︒，又△28CAB B ∠=∠+︒，△31,59B CAB ∠=︒∠=︒，△DE 垂直平分斜边AB ，△AE BE =，△31BAE B ∠=∠=︒，△593128CAE CAB BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：28︒．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝11，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点F 、G ，则△AEG 的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解△DE是线段AB的垂直平分线，△EA＝EB，同理，GA＝GC，△△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．9．如图，在四边形ABCD中，△A=90°，AD= 6，连接BD，BD△CD，△ADB=△C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．【答案】6【分析】根据垂线段最短得出当DP△BC时，DP的长度最小，求出△ABD=△CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=6，即可得出选项．【详解】解：△BD△CD，△△BDC=90°，△△C+△CBD=90°，△△A=90°△△ABD+△ADB=90°，△△ADB=△C，△△ABD=△CBD，当DP△BC时，DP的长度最小，△AD△AB，△DP=AD，△AD=6，△DP的最小值是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP△BC时，DP的长度最小是解此题的关键．10．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC为12，点P在边BC上，且BP：PC＝3：1，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDP周长的最小值为___________．【答案】8．【分析】如图作AH△BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DP+DC＝AD+DP，可得当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长,此时，△CDP周长的最小,求出AP的长即可．【详解】解：如图作AH△BC于H，连接AD．△EG垂直平分线段AC，△DA＝DC，△DP+DC＝AD+DP，△当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长，△12×12•AH＝24，△AH＝4，△AB＝AC，AH△BC，△BH＝CH＝6，△BP：PC＝3：1，△CP＝PH＝3，△AP5，△DP+DC的最小值为5．△△CDP周长的最小值为5+3＝8；故答案为：8．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分△ABC，DE△BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝DE；（2）若△DEB＝30°且DE＝3，求AD的长度．【答案】（1）见解析；（2）3．【分析】（1）由BE平分△ABC，DE△BC可得△DBE＝△DEB，可得结论；（2）通过证明△ADE为等边三角形，可得AD＝DE＝3．【详解】证明：（1）△BE平分△ABC，△△ABE＝△EBC，△DE△BC，△△DEB＝△EBC，△△DBE＝△DEB，△BD＝DE；（2）△△DEB＝△DBE＝30°＝△EBC，△△ABC＝60°，△AB＝AC，△△ABC是等边三角形，△△ABC＝△ACB＝△A＝60°，△DE△BC，△△ADE＝△ABC＝60°，△AED＝△C＝60°，△△ADE是等边三角形，△AD＝DE＝3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．，的垂直平分线交于点P．12．如图，ABC中，边AB BC==．（1）求证：PA PB PC（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：△边AB、BC的垂直平分线交于点P，△P A=PB，PB=PC．△P A=PB=PC．（2）△P A=PC，△点P 在边AC 的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．13．如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ．（1）求证：△DEF ＝△DFE ；（2）求证：AD 垂直平分EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的性质证明即可得解；（2）根据已知条件证明Rt △AED △Rt △AFD （HL ）和△△DEO DFO ≅即可得解；【详解】（1）△AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB ，DF △AC ，△DE ＝DF ，△△DEF ＝△DFE ；（2）根据已知条件可得△AED ＝△AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，DE DF AD AD=⎧⎨=⎩， △Rt △AED △Rt △AFD （HL ），△△ADE ＝△ADF ；在△DEO 和△DFO 中， DEO DFO DE DFEDO FDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△△DEO DFO ≅，△EO FO =，EOD FOD ∠=∠，△∠EOD +∠FOD ＝180°，△∠EOD =∠FOD ＝90°，△AD 垂直平分EF ．【点睛】本题主要考查了角平分线的垂直平分线的判定与性质，结合等三角形证明是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于M ，交AC 于N ．（1）若70ABC ∠=︒，求A ∠的度数；（2）连接NB ，若8cm AB =，NBC 的周长是14cm ，求BC 的长．【答案】（1）40°；（2）6cm【分析】（1）由AB =AC 可得△C =△ABC =70°，由三角形内角和可得△A =40°；（2）由（1）可知BN =AN ，由此可得BN +NC =AN +NC =AC =AB =8cm ，再由C △BNC =BN +CN +BC =14cm ，可得BC =14-8=6（cm ）．【详解】解：（1）△AB =AC ，△△ABC =△ACB =70°，△△A =180°-70°-70°=40°；（2）MN 是AB 的垂直平分线，△AN =BN ，△BN +CN =AN +CN =AC ，△AB =AC =8cm ，△BN +CN =8cm ，△C △BNC =BN +CN +BC =14（cm ），△BC =14﹣8=6（cm ）．【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长是解题关键．15．如图，△ABC 中，AD 平分△BAC ，DG △BC 且平分BC ，DE △AB 于E ，DF △AC 于F ．（1）求证：BE =CF ；（2）如果AB =8，AC =6，求AE ，BE 的长．【答案】（1）证明见解析，（2）AE ＝7，BE ＝1．【分析】（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE ＝DF ，再证明△DBE △△DCF 就可以得出结论； （2）由条件可以得出△ADE △△ADF 就可以得出AE ＝AF ，进而就可以求出结论．【详解】解：（1）证明：连接DB 、DC ，△DG △BC 且平分BC ，△DB ＝DC ．△AD 为△BAC 的平分线，DE △AB ，DF △AC ，△DE ＝DF ．在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩， Rt △DBE △Rt △DCF （HL ），△BE ＝CF ．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，△Rt△ADE△Rt△ADF（HL）．△AE＝AF．△AC+CF＝AF，△AE＝AC+CF．△AE＝AB﹣BE，△AC+CF＝AB﹣BE，△AB＝8，AC＝6，△6+BE＝8﹣BE，△BE＝1，△AE＝8﹣1＝7．即AE＝7，BE＝1．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．16．如图，已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，△BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．（1）试说明△CEF是等腰三角形；（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．【答案】（1）见解析；（2）AB＝2AC，理由见解析；（3）12【分析】（1）求出△B＝△ACD，根据三角形的外角性质求出△CFE＝△CEF，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）求出△B＝△CAE＝△BAE，根据三角形内角和定理求出△B＝30°，再求出答案即可；（3）求出高EM的长，求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：（1）△CD△AB，△△CDB＝90°，△△B+△BCD＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△BCD＝90°，△△ACD＝△B，△AE平分△BAC，△△CAE＝△BAE，△△ACD+△CAE＝△B+△BAE，即△CFE＝△CEF，△CF＝CE，即△CEF是等腰三角形；（2）AB＝2AC，理由是：△E在线段AB的垂直平分线上，△AE＝BE，△△B＝△BAE，△△CAE＝△BAE，△ACB＝90°，△3△B＝90°，△△B＝30°，△AB＝2AC；（3）△AC＝2.5，△AB＝2AC＝5，由（2）得，△CAB=60°，△AE平分△CAB，△△CEA =30°，设CE 为x ，则AE 为2x ,AC ，x ，过E 作EM △AB 于M ，△EM ＝CE ＝6，△△ABE 的面积S ＝12AB EM ⋅＝12⨯5． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用所学知识，整合已知条件，解决综合问题．17．如图1，在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，△ABC ＝45°，FD ＝CD ． （1）请写出BE 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接DE ，求证：△BED ＝△DEC ；（3）若AD ＝4，CD ＝2，在直线BC 上方的平面内是否存在点P ，使得△BFP 为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 到直线BC 的距离．【答案】（1）BE △AC ，见解析；（2）见解析；（3）存在，4或6或3【分析】（1）证明△BDF △△ADC ，得到△DBF ＝△DAC ，由△BFD ＝△AFE 证得△BDF ＝△AEF ＝90°，即可得到结论；（2）过点D 作DM △AC ，DN △BE ，根据△BDF △△ADC ，得到BF =AC ，BDF ADC SS =，推出DM =DN ，证得ED 平分△BEC ，由此得到结论；（3）根据勾股定理求出AC 由△BDF △△ADC ，得到BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，分三种情况：当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时， 当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时， 当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时， 根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：如图①中，△AD △BC ，△△ADB ＝90°，△△ABC ＝45°，△△ABD ＝△BAD ＝45°，△BD ＝DA ，△DF ＝DC ，△BDF ＝△ADC ＝90°，△△BDF △△ADC （SAS ）．△△DAC =△CBE ，△△BFD ＝△AFE ，△△BDF ＝△AEF ＝90°，△BE △AC ．（2）解：如图，过点D 作DM △AC ，DN △BE ，△△BDF △△ADC ，△BF =AC ，BDF ADC SS =，△DM =DN ，△ED 平分△BEC ，△△BED ＝△DEC ；（3）解：如图2－1中，满足条件的点P 有3个．在Rt △ADC 中，△AD ＝4，CD ＝2，△AC ，△△BDF △△ADC ，△BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时，作PM △CB 交CB 的延长线于M ． 易证△PMB △△BDF ，△PM ＝BD ＝4，△点P 到直线BC 的距离为4；当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时，作P ′H △BC 于H ，FG △P ′H 于G ． 易证：P ′G ＝BD ＝4，GH ＝DF ＝2，△P ′H ＝4＋2＝6，△P ′到直线BC 的距离为6；当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时，作P ″N △BC 于N ．易证P ″N ＝2PM DF +＝3，△P″到直线BC的距离为3，综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键．18．在△ABC中，若AD是△BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE△AB，垂足为E，DF△AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：①△AED+△AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有条件“AD是△BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：（1）若△AED+△AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE＝DF，则△AED+△AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）【答案】（1）DE＝DF，理由见解析；（2）不一定成立【分析】（1）过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，DM＝DN，△DME△△DNF，DE＝DF；（2）如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立；【详解】（1）DE＝DF．理由如下：过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，△AD平分△BAC，DM△AB，DN△AC，△DM＝DN，△△AED+△AFD＝180°，△AFD+△DFN＝180°，△△DFN＝△AED，△△DME△△DNF（AAS），△DE＝DF；（2）不一定成立．如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，所以不一定成立．．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，难点在于熟练和灵活的应用角平分线要点；19．根据图片回答下列问题．(1)如图①，AD平分△BAC，△B+△C=180°，△B=90°，易知：DB____DC．(2) 如图②，AD平分△BAC，△ABD+△ACD=180°，△ABD<90°，求证：DB=DC．(3)如图③，四边形ABCD中，△B=45°△C=135°，DB=DC AB−AC=________．【答案】（1）=；（2）见解析；（3）【分析】（1）利用HL判断出△ADC△△ADC，即可得出结论；（2）先构造出△ACD△△AED，得出DC=DE，△AED=△C，在判断出DE=DB，即可得出结论；（3）利用（2）结论得出DE=DB，再判断出△BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论．【详解】解：证明：（1）△△B+△C=180°，△B=90°，△△C=90°，△AD平分△BAC，△△DAC=△BAD，△AD=AD，△△ACD△△ABD（AAS），△BD=CD；（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，△AD平分△BAC，△△CAD=△EAD，△AD=AD，AC=AE，△△ACD△△AED（SAS），△DC=DE，△AED=△C，△△C+△B=180°，△AED+△DEB=180°，△△DEB=△B，△DE=DB，△DB=DC；（3）如图③，连接AD，在AB上取一点E使AE=AC，同（2）的方法得，AE =AC ，CD =DE =BD =2，△△DEB =△B =45°，△△BDE =90°，根据勾股定理得，BE =，△AB -AC =BE =故答案为：【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．20．如图①，△ABC 中，△ABC ，△ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB ，AC 于E ，F ． （1）试说明：EO ＝BE ；（2）探究图①中线段EF 与BE ，CF 间的关系，并说明理由；（3）探究图②，△ABC 中若△ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F ，这时EF 与BE ，CF 的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）EF BE CF =+，理由见解析；（3）EF BE CF =-【分析】（1）由题意易得△EOB =△EBO ，△ABO =△OBC ，则有△EOB =△ABO ，进而问题得证；（2）由题意易得△FOC =△OCB ，△FCO =△OCB ，则有△FCO =△FOC ，然后可得CF =OF ，由（1）得BE =OE ，进而问题可求解；（3）同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，然后问题可求解．【详解】证明：（1）△EF△BC，△△EOB=△EBO，△BO平分△ABC，△△ABO=△OBC，△△EOB=△ABO，△BE=OE；=+，理由如下：（2）解：EF BE CF△EF△BC，△△FOC=△OCB，△CO平分△ACB，△△FCO=△OCB，△△FCO=△FOC，△CF=OF，由（1）得：BE=OE，△EF=BE+CF；（3）解：EF=BE-CF，理由如下：同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，△EF=OE-OF=BE-CF．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键，也要熟练掌握“双平等腰”模型．。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、设m为整数，若方程组3131x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩的解x、y满足175x y+>-，则m的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．72、一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤33、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x 的图像过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A ．x ≤﹣2B ．﹣2≤x ＜﹣1C ．﹣2＜x ≤﹣1D ．﹣1＜x ≤04x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2 B ．x >2 C ．x ≠2D ．x <2 5、下列四个说法：①若a ＝﹣b ，则a 2＝b 2；②若|m |+m ＝0，则m ＜0；③若﹣1＜m ＜0，则m 2＜﹣m ；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16、若a ＞b ，则（ ）A ．a ﹣1≥bB ．b +1≥aC ．2a +1＞2b +1D ．a ﹣1＞b +17、若不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）A ．x ＞﹣13 B ．x ＜﹣13 C ．x ＞13 D ．x ＜138、如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <9、把不等式组123x x >-⎧⎨+≤⎩的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．10、如果点P （m ，1﹣2m ）在第一象限，那么m 的取值范围是 （ ）A ．102m ＜＜ B ．102m -＜＜ C ．0m ＜ D ．12m ＞ 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，关于x 的不等式组在数轴上所表示的的解集是：______．2、a 、b 、c 表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的＞”“＜”或“＝”．（1）3a +______3b +；（2）-a b ________0；（3）35a __________35b ；（4）2a -________2b -； （5）14a -________14b -；（6）ac ⋅_______b c ⋅；（7）a c -________b c -；（8）ab _______2b ．3、在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜___场．4、关于x 的正比例函数y =(m +2)x ，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．5、 “a 的25用不等式表示__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解不等式：3x ﹣2≤5x ，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组2(2)313123x x x x -≤-⎧⎪+-⎨>+⎪⎩，并写出它的最大整数解． 2、解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 ()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩3、春节将至，小明家亲友团准备去某地旅游，甲旅行社的优惠办法是：买4张全票其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠；已知这两家旅行社的原价均为4000元每人.（1）若亲友团有6人，甲、乙旅行社各需多少费用？（2）亲友团为多少人时，甲、乙旅行社的费用相同？（3）当亲友团人数满足什么条件时，甲旅行社的收费更优惠？当亲友团人数满足什么条件时，乙旅行社的收费更优惠？（直接写出结果，不需说明理由）4、三角形的三边长分别是2，x ，10，且正偶数x 满足不等式11145x x +-<-，求该三角形的周长． 5、某公司销售A 、B 两种型号教学设备，每台的销售成本和售价如表：已知每月销售两种型号设备共20台，设销售A 种型号设备x 台，A 、B 两种型号设备全部售完后获得毛利润y 万元（毛利润＝售价-成本）（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）若销售两种型号设备的总成本不超过80万元，那么公司如何安排销售A 、B 两种型号设备，售完后毛利润最大？并求出最大毛利润．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先把m 当做常数，解一元二次方程，然后根据175x y +>-得到关于m 的不等式，由此求解即可 【详解】解：3131x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩①② 把①×3得：9333x y m +=-③，用③+①得：1042x m =-，解得25m x -=，把25mx-=代入①得6315my m-+=-，解得125my--=，∵175x y+>-，∴21217555m m---+>-，即131755m->-，解得6m<，∵m为整数，∴m的最大值为5，故选B．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式和求不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．2、D【分析】观察直线位于x轴及x轴上方的图象所对应的自变量的值即可完成解答．【详解】由图象知：不等式的解集为x≤3故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解答本题的关键．3、B【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，∴不等式2x＜kx+b≤0的解集是-2≤x＜-1，故选：B．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4、A【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】x-≥，解：根据题意，得20x≥，∴2故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义条件、一元一次不等式解法；解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．5、C【分析】根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．【详解】解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；①③正确，共有2个.故选：C.【点睛】本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟练掌握相关的概念是解题的关键.6、C【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的性质即可判断C．【详解】解：A、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；B、若a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；C、∵a＞b，∴2a+1＞2b+1，符合题意；D、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7、A【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案．【详解】解：不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得x ＞﹣13．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．8、A【分析】根据图像的意义当x =-3时，kx +b =2，根据一次函数的性质求解即可．【详解】解：∵当x =-3时，kx +b =2，且y 随x 的增大而减小，∴不等式2kx b +<的解集3x >-，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数图像的性质，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．9、D【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可求解．【详解】解：123x x >-⎧⎨+≤⎩①②， 解不等式②，得：1x ≤ ，所以不等式组的解集为11x -<≤把不等式组的解集在数轴上表示出来为：故选：D【点睛】本题主要考查了解一元一次不等组，熟练掌握解一元一次不等组的步骤是解题的关键．10、A【分析】根据第一象限的横坐标为正、纵坐标为负，列出关于m 的不等式组解答即可．【详解】解：∵P （m ，1﹣2m ）在第一象限，∴0120m m ⎧⎨-⎩＞＞ ，解得：102m ＜＜ 故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系等知识点，根据点在平面直角坐标系的象限列出关于m 的一元一次不等式组成为解答本题的关键．二、填空题1、21x -<≤【分析】根据图像特点向左是小于，向右是大于，即可得答案．【详解】∵从-2出发向右画出的折线中表示-2的点是空心，∴x ＞-2，∵从1出发向左画出的折线中表示1的点是实心，∴x ≤1，∴不等式的解集是：−2<x ≤1故答案为：−2<x ≤1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，做题的关键是掌握空心和实心的区别．2、＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞【分析】本题主要是根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的方向不改变；（2）不等式的两边同时乘或除以一个大于零的数或式子，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以一个小于零的数或式子，不等号的方向改变．据此可以对不等号的方向进行判断．【详解】解：由数轴的定义得：a>0，b>0，c ＜0，a >b >c ，（1）不等式a >b 的两边同加上3，不改变不等号的方向，则3a +>3b +；（2）不等式a >b 的两边同减去b ，不改变不等号的方向，则a -b >b -b ，即a -b >0；（3）不等式a >b 的两边同乘以35，不改变不等号的方向，则35a >35b ； （4）不等式a >b 的两边同乘以-2，改变不等号的方向，则2a -<2b -；（5）不等式a >b 的两边同乘以-4，改变不等号的方向，则-4a <-4b ；不等式-4a <-4b 的两边同加上1，不改变不等号的方向，则14a -<14b -；（6）不等式a >b 的两边同乘以正数c ，不改变不等号的方向，则a c ⋅ > b c ⋅；（7）不等式a >b 的两边同减去c ，不改变不等号的方向，则a c ->b c -；（8）不等式a >b 的两边同乘以正数b ，不改变不等号的方向，则ab >2b ．【点睛】本题主要是考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的三个性质的应用是解本题的关键，同时不等式的性质（3）是类似题型中考查的重点及易错点．3、8【分析】设这个班要胜x 场，则负()28x -场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．【详解】解：设这个班要胜x 场，则负()28x -场，由题意得，()32843x x +-≥，解得：7.5x ≥，∵场次x 为正整数，∴8x ≥．答：这个班至少要胜8场．故答案为：8．【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应不等式求解是解题关键．4、m >-2【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵正比例函数()2y m x =+中，y 随x 的增大而增大，∴2m +＞0，解得-2m ＞．故答案为；-2m ＞．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．5、25a【分析】根据题意表示出a 的25即可．【详解】解：由题意可得：a 的25可表示为25a ．故填25-<a．【点睛】本题考查列一元一次不等式，掌握列一元一次不等式的基本方法成为解答本题的关键．三、解答题1、（1）x≥﹣1，数轴见解析；（2）733x-<≤，2【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而即可求解．【详解】解：（1）移项，得：3x﹣5x≤2，合并同类项，得：﹣2x≤2，系数化为1，得：x≥﹣1，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式2（x﹣2）≤3﹣x，得：x≤73，解不等式13123+->+x x，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤73，∴其最大整数解为2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式组，熟练掌握解不等式（组）的基本步骤是解题的关键．2、542x ≤＜图见解析【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】 解：()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩①②解不等式①得：4x ≤， 解不等式②得：52＞x ， ∴不等式组的解集为：542x ≤＜，数轴上表示解集为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键在于能够熟练掌握求不等式组的解集的方法．3、（1）甲旅行社费用20000元，乙旅行社费用18000元；（2）8人；（3）亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【分析】（1）由题意直接根据甲、乙旅行社的优惠办法列式进行计算即可；（2）根据题意设亲友团有x 人，进而依据甲、乙旅行社的费用相同建立方程求解即可；（3）由题意直接根据（2）的结论可知当亲友团人数满足什么条件时，甲、乙旅行社的收费更优惠.【详解】解：（1）甲旅行社费用=1400044000(64)200002⨯+⨯⨯-=元， 乙旅行社费用=0.754000618000⨯⨯=元；（2）设亲友团有x 人，甲旅行社费用=1400044000(4)200080002x x ⨯+⨯⨯-=+ 乙旅行社费用=0.7540003000x x ⨯=由20008000x +=3000x解得：x =8∴亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同（3）由（2）可知当亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同，则8x >，有200080003000x x +<，即亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠；则8x <，有200080003000x x +>，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【点睛】本题考查一元一次方程的运用以及一元一次不等式的运用，读懂题意并根据题意列出方程和不等式求解是解题的关键.4、22【分析】先求出不等式的解集，再根据x 是符合条件的正整数判断出x 的可能值，再由三角形的三边关系求出x 的值即可．解：原不等式可化为5（x+1）＜20-4（1-x），解得x＜11，∵x是它的正整数解，∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，∵x是正偶数，∴x=10．∴第三边的长为10，∴这个三角形的周长为10+10+2=22．【点睛】本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．5、（1）y=-2x+60；（2）公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【分析】（1）设销售A种品牌设备x台，B种品牌设备（20-x）台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润；（2）由“生产两种品牌设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案．【详解】解：（1）设销售A种型号设备x台，则销售B种型号设备（20-x）台，依题意得：y=（4-3）x+（8-5）×（20-x），即y=-2x+60；（2）3x+5×（20-x）≤80，解得x≥10．∴当x=10时，y最大=40万元．故公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．。

最简公分母一、选择题1、分式，，的最简公分母是（）A．（m+n）2（m-n）B．（m+n）3（m-n）C．（m+n）（m-n）D．（m2-n2）22、分式，，的最简公分母是（）A．（a2-1）2B．（a2-1）（a2+1）C．a2+1D．（a-1）43、分式，，的最简公分母是（）A．40a2b2c2B．20abc C．20a2b2c2D．40abc 4、分式，，的最简公分母是（）A．5abx B．15abx5C．15abx D．15abx3 5、分式，，的最简公分母是（）A．72xyz2B．108xyz C．72xyz D．96xyz2 6、下列不属于分式与的公分母的是（）A．（2x2-18）（4x+12）B．16（x-3）（x+3）C．4（x-3）（x+3）D．2（x+3）（x-3）7、分式与的最简公分母是（）A．6y B．3y2C．6y2D．6y38、分式，，的最简公分母为（）A．6xy2B．6x2y C．36x2y2D．6x2y29、分式的最简公分母是（）A．（a2-b2）（a+b）（a-b）B．（a2-b2）（a+b）C．（a2-b2）（b-a）D．a2-b210、分式，，的最简公分母是（）A．（a+b）（a-1）B．（a-1）2（a+1）C．（a-1）2（a2-1）D．（a+1）（a-1）+211、下列各题中，所求最简公分母正确的是（）A．与的最简公分母为6x2B．与的最简公分母为3ab2cC．与的最简公分母为ab（x-y）（y-x）D．与的最简公分母为ab（m2-n2）12、分式，，的公分母是（）A．36a3b4c3B．3a3b4c3C．36a6b8c6D．3a6b8c6二、填空题13、分式、和的最简公分母是__________．14、分式、、的最简公分母是 __________ ．15、分式、-、的最简公分母是 __________ ．16、分式，，的最简公分母是__________．17、的最简公分母是__________．18、分式，，的最简公分母为__________．19、给出下列3个分式：，，，它们的最简公分母为 __________ ．20、分式，，的最简公分母为__________．21、分式，，a-b+的最简公分母是__________．22、分式，的最简公分母是__________．23、分式，的最简公分母是__________．24、把分式与通分，其最简公分母为__________．25、分式和的最简公分母是__________．26、直接写出下列各组分式的最简公分母：（1），，；（2），；（3）；（4）．27、分式与的最简公分母是__________．28、分式，，的最简公分母为__________．29、分式、的最简公分母是__________．30、将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为__________．31、分式，，的最简公分母是__________．32、分式与的最简公分母是__________．三、解答题33、分式和的最简公分母是__________．34、通分（1）与；（2）与．35、分式，，的最简公分母是__________．36、分式的最简公分母是__________，通分时，这三个分式的分子分母依次乘以__________，__________，__________．最简公分母的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；即可得出答案．试题解析：分式，，的最简公分母是（m+n）2（m-n）；故选A．2、答案：A试题分析：利用最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母或整式的最高次幂，所有不同字母或整式都写在积里求解即可．试题解析：=，，=，所以分式，，的最简公分母是（a-1）2（a+1）2．即（a2-1）2故选：A．3、答案：C试题分析：按照求最简公分母的方法计算即可．试题解析：∵5、4、2的最小公倍数为20，a的最高次幂为2，b的最高次幂为2，c的最高次幂为2，∴最简公分母为20a2b2c2．故选C．4、答案：D试题分析：先回顾一下如何找最简公分母（系数找最小公倍数，相同字母找最高次幂），根据以上方法找出即可．试题解析：分式，，的最简公分母是15abx3，故选D．5、答案：A试题分析：按照求最简公分母的方法求解即可．试题解析：∵12、9、8的最小公倍数为72，x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，∴最简公分母为72xyz2．故选A．6、答案：D试题分析：先把各个分母分解因式，再找出最简公分母，即可得出选项．试题解析：∵==，∴最简公分母是4（x+3）（x-3），A、（2x2-18）（4x+12）=2（x+3）×4（x-3）（x+3），故本选项错误；B、16（x+3）（x-3）=4×4（x-3）（x+3），故本选项错误；C、4（x+3）（x-3）=4（x+3）（x-3），故本选项错误；D、2（x+3）（x-3）不是公分母，故本选项正确；故选D．7、答案：C试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：分式与的分母分别是3y、2y2，故最简公分母是6y2；故选C．8、答案：D试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：，，分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母是6x2y2；故选：D．9、答案：D试题分析：要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．试题解析：分母是a+b，分母分解后是（a+b）（a-b），分母可变形为-（a-b），所以最简公分母是的分母，即a2-b2．故选D．10、答案：B试题分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．试题解析：分式，，的分母分别是a+1、a2-2a+1=（a-1）2、a-1，故最简公分母是（a-1）2（a+1）．故选B．11、答案：A试题分析：各分式的最简公分母，系数应是各系数的最小公倍数，含字母的应是字母的最高次数．试题解析：A、两分母分别是3x和6x2，故最简公分母是6x2；B、两分母分别是3a2b3和3a2b3c，故最简公分母是3a2b3c，而不是3ab2c；C、两分母分别是a（x-y）和b（y-x），故最简公分母是ab（x-y），而不是ab（x-y）（y-x）；D、两分母分别是m+n和m-n，故最简公分母是m2-n2，而不是ab（m2-n2）．故选A．12、答案：A试题分析：公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．试题解析：因为6、9、12的最小公倍数是36，ab2c、a3bc2、a2b4c3最小公分母是a3b4c3，所以分式的公分母是36a3b4c3，故选A．二、填空题13、答案：x（m-n）试题分析：把各个分母分解因式，找出各个因式的最高次幂，乘积就是分母的最简公分母。

专题5.16分式与分式方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式2x nx m+-（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误．．的是（）x 的取值－22pq分式的值无意义012A ．2n =B ．2m =-C ．6p =D ．q 的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m ，n 的值，进而可知p ，q 的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x 为﹣2时方程无意义，∴x －m =0，解得：m =﹣2，故B 正确，故分式为：22x n x ++，当x =2时，分式的值为0，故2×2＋n =0，n =﹣4，故A 错误，故分式为：242x x -+，当分式值为1时，2x －4=x +2，解得：x =6，故6p =，故C 正确，当2422x x -=+时，2x －4=2x ＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确，故选：A ．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论x 取何实数时，分式22ax x a-+总有意义，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >且0a ≠C ．1a >D ．1a <【答案】C 【分析】分式22ax x a-+总有意义，则分母永远不等于0，即22x x a -+的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式22ax x a-+总有意义，∴()22211x x a x a -+=-+-的最小值10a ->，解得1a >．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，则a 满足的条件是（）A ．3a =B ．3a =-C ．3a =±D ．3a =或2a =-【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：()()30320a a a ì-=ïí-+¹ïî①②，再解方程与不等式即可．解：∵分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，()()30320a a a ì-=ï\í-+¹ïî①②由①得：3,a =±由②得：3a ≠且2,a ≠-∴ 3.a =-故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（）A ．11x x y y +=+B ．1x yx y-+=--C ．22x y x y x y-=++D ．22233x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.11x x y y ++≠，故该选项错误，不符合题意；B.()1x y x y x y x y---+==---，故该选项正确，符合题意；C.22x y x y x y-=-+，故该选项错误，不符合题意；D.22239x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该选项错误，不符合题意；【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（）A ．22x y y xx y x y--=++B ．a b a bc c-+-=-C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．1x yx y--=+【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A 、22x y y xx y x y--=-++，此选项变形错误；B 、a b a bc c -+-=-，此选项变形正确；C 、0.22100.2102a b a ba b a b++=++，此选项变形错误；D 、1x yx y--=-+，此选项变形错误；故选B ．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（）A ．扩大20倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小10倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：()x y xy xyx y x y x y==+++101010010101010 故选：B ．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式122m +与11m +的最简公分母是（）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式122m +与11m +的最简公分母22m +，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式212x y 和216xy 的最简公分母是（）A ．2xyB ．222x y C ．226x y D ．336x y 【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式212x y 和216xy的最简公分母是226x y ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A ．2xB ．22x x C ．42xD ．11x x --【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.2x，是最简分式，符合题意；B.22x x =12x，不是最简分式，不合题意；C.422x x=，不是最简分式，不合题意；D.111xx -=--，不是最简分式，不合题意，故选：A ．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（）A ．224x x B ．22x y x y++C ．2211x x x +++D ．242x x -+【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A 选项22142x x x=，故不是最简分式；B 选项不能再化简，故是最简分式；C 选项()22121111x x x x x x +++==+++，故不是最简分式；D 选项()()2224222x x x x x x +--==-++，故不是最简分式．故选：B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：()22xyx y +和22x x y -；（2）约分：22416m mm --．【答案】（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y x x y x y x y +=-+-；（2）4m m +【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y xx y x y x y +=-+-；（2）()()()224416444m m m m m m m m m --==-+-+．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：236a bab；（2）通分：223b a 与abc 【答案】（1）2a ；（2）2223b c a bc 与3233a a bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）2336322a b ab a aab ab ⨯==⨯；（2）223b a与abc 最简公分母为：23a bc ，则：2222222333b b bc b ca a bc a bc ⨯==⨯，23223333a a a a bc bc a a bc⨯==⨯．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程1x aa x -=+有增根，则a 的值为________．【答案】1-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x +=，得到=1x -，然后代入整式方程算出a 的值即可．解：方程两边同时乘以1x +得，()1x a a x -=+，∵方程有增根，∴10x +=，解得=1x -．∴10a --=，解得1a =-．故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x 的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x 的方程2133mx x =---有增根，那么m 的值为________．【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x 的值，最后代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：23x m =--，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程得：2m =-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y的分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，23a+为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩①②，解不等式①得：3x≥，解不等式②得：7x a<-，∵不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，∴73a-≤，∴10a≤，分式方程3122y a yy y+=---去分母，得32y y a y-=---，∴23ay+=，∵分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，∴0y≥且20y-≠，∴203a+≥且4a≠，∵a为整数，23a+为非负整数，∴2a=-，1，7，10，∴整数a的和为2171016-+++=．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是____．【答案】4m ≥-且3m ≠-【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．解：去分母得，m +3＝2x ﹣1，∴x ＝42+m ，∵方程的解是非负数，∴m +4≥0即m ≥﹣4，又因为2x ﹣1≠0，∴x ≠12，∴42+m ≠12，∴m ≠-3，则m 的取值范围是m ≥﹣4且m ≠-3．故答案为：m ≥﹣4且m ≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，则m 取值范围是______．【答案】5m <且2m ≠【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和3x ≠建立不等式，由此即可得．解：1233x m x x -=+--，方程两边同乘以()3x -，得()123x m x -=+-，去括号，得126x m x -=+-，移项、合并同类项，得5x m -=-，系数化为1，得5=-+x m ，关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，50m ∴-+>，且53m -+≠，解得：5m <且2m ≠，故答案为：5m <且2m ≠．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，则满足条件的整数a 的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a 的值．解：分式方程334111ax x x x +-+=--的解为：24x a =+，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，且24x a =+≠1，∴满足条件的所有整数a 的值为：-3，∴a 的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x 的分式方程()2141111k k x x x +=≠-+--①若k ＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k 的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k 的值________．【答案】2x =k ＝2|k|>5即可，如6±【分析】①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x =±1，然后把x 的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得51k x k -=+，利用方程的解为负数求出k 的取值范围，再求出互为相反的两个k 值．解：①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，去分母得114x x -++=，解得2x =．故答案为：2x =；②将()2141111k k x x x +=≠-+--去分母得()114x k x -++=，解得51k x k-=+．∵方程有增根且无解，∴210x -=，解得1x =±，当x =1时，511k k-=+，解得：2k =，当x =-1时，511k k -=-+无解，∴k 的值为2．故答案为：2k =；③∵方程的解为负数，∴x ＜0且x ≠±1，∴501k k-<+且511k k -≠±+，解得5k <-或5k >，∴符合条件的且互为相反数的两个k 的值可以是±6．故答案为：5k <-或5k >，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x 的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：(1)211a a a ---；（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a 【答案】(1)11a -(2)a 【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）211a a a ---=2(1)(1)11a a a a a +----=2(1)(1)1a a a a -+--=22(1)1a a a ---=22+11a a a --=11a -（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a =4222a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=24422a a a a -+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭=222a a a a-⨯-=a【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：(1)22122x x x x-+÷；（2）2126339x x x x --++--．（3）22241123x x x x x ---÷+--．（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)12x -；(2)2239x x --；(3)52x +；(4)22m m --+．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）22122x x x x-+÷解：原式()()()1121x x x x x +-=⋅+12x -=；（2）2126339x x x x --++--解：原式()()1263333x x x x x -=+++-+-()()()()()()()()2336333333x x x x x x x x x -+-=+++--++-()()236633x x x x x -++-+=+-22239x x x +-=-()()()()3133x x x x +-=+-13x x -=-；（3）22241123x x x x x ---÷+--解：原式()()()()3121122x x x x x x -+-=-⋅+-+2322x x x x +-=-++()232x x x +--=++（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭解：原式()()()22113111m m m m m m -+-⎡⎤=÷-⎢⎥---⎣⎦()()2231211m m m m ⎡⎤---⎢⎥=÷--⎢⎥⎣⎦()222411m m m m -⎡⎤-=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()221122m m m m m --=-⋅--+22m m -=-+．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：2224124421x x x x x x x x ⎛⎫-+-÷--- ⎪-+--⎝⎭，然后从1-，0，1，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21--x x，1x =-时，12-【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式()()()22222412212x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-=÷- ⎪----⎝⎭()22224412212x x x x x x x x ⎛⎫-+--=÷-- ⎪----⎝⎭()2222441212x x x x x x x -+--+=÷----12121x x x x -=⋅---111x x =---21x x =--20x -≠ ，且10x -≠，且0x ≠2x ∴≠，且1x ≠，且0x ≠取=1x -时，原式12=-【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．【答案】82x +，1x =时，83【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭22(2)22(2)(2)x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥-⎣⎦-++-22(2)(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x ⎡⎤-=-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦+2428x x x x =÷--2482x x x x -=⋅-82x =+，由()34212x x -≤-，2863x x -≤-，解得：54x ≥-；由13212x x +-<，4132x x --<，解得：3x <，故不等式组的解集为：534x -≤<，0,2,2x ≠- 当1x =时，原式83=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．(1)33122x x x-+=--；（2）214111x x x -+=+-【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以(2)x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）33122x x x-+=--323x x -+-=-3+23x x +=-22x =解得，1x =经检验，1x =是原方程的解，所以，原方程的解为：1x =（2）214111x x x-+=+-2(1)4(1)(1)x x x --=+-222141x x x -+-=-22x -==1x -经检验，=1x -是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的关键．举一反三：【变式】解分式方程(1)432x x =+；（2）217133x x x+=---【答案】(1)6x =(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以(2)x x +将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以(3)x -将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．（1）解：432x x=+，去分母得：43(2)x x =+，解得：6x =，经检验6x =是原方程的解；（2）217133x x x+=---去分母得：2137x x +=-+，解得：3x =，经检验3x =是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．类型五、分式方程的应用➽➼列方程✭✭解方程✭✭求值13．（1）解方程：411233x x x -=+--；（2）先化简，再求值：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+，其中x 从2-，2和3中选一个合适的值．【答案】（1）2x =-（2）72x +，75【分析】（1）将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最检验整式方程的解是不是分式方程的解即可；（2）根据分式的运算法则化简，再代入一个使原方式有意义的值求解即可．（1）解：411233x x x -=+--，方程两边同乘3x -，得()41231x x -=-+，解得2x =-，检验：当2x =-时，30x -≠，∴原分式方程的解是2x =-；（2）解：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+()()222252(2)2x x x x x x x +-+-=⋅--++512x x -=-+252x x x +-+=+72x =+，2x =- 或2时，原分式无意义，3x ∴=，当3x =时，原式77325==+．【点拨】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式】解方程：(1)2232122x x x x x --+=--（2）()32011x x x x +-=--【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．解：（1）2232122x x x x x--+=--去分母，得()22322x x x x ---=-，解得1x =，经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的解为：1x =；（2）()32011x x x x +-=--去分母，得()320x x -+=，解得1x =，经检验，1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．14．小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、15元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（假设购进的两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元(2)甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．（1）解：设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.5x 元，,由题意得：14001800101.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.52030⨯=元，答：甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则(30203)(20152)(1200)48400W a a a =--+---=+∵2015(1200)20000a a +⨯-≤，解得400a ≤，∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大，∴当400a =本时，W 最大，此时，乙种图书进货本数为1200400800-=（本），答：甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大．【点拨】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．举一反三：【变式1】为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少最少总金额是多少元?【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()+5x 元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x 的分式方程，进而求解即可．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液为()100m -桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m 的一元一次不等式，解得m 的取值范围，然后设所需资金总额为w 元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．（1）解：设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()5+x 元/桶，依题意得：9007205x x =+，解得：=20x ，经检验，=20x 是原方程的解，且符合题意，525x ∴+=．答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：（2）解：设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液()100m -桶，依题意得：()11002m m ≥-，解得：1003m ≥，设所需资金总额为w 元，则()250.8201000.841600w m m m =+-=+ ，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当34m =时，w 取得最小值，最小值43416001736=⨯+=，答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．【点拨】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．【变式2】某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元【分析】（1）设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，由题意列出不等式，解不等式即可．（1）解：设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，根据题意得：1680800101.4x x -=，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，则1.4 1.44056x =⨯=，8004020÷=，16805630÷=，答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，根据题意得：8001680(5)8004056y y ++≥，解得：13y ≥，134053+=，1355674++=，答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．【变式3】为预防新冠疫情的反弹，桐君阁大药房派采购员到厂家去购买了一批A 、B 两种品牌的医用外科口罩．已知每个B 品牌口罩的进价比A 品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？(2)若B 品牌口罩的售价是A 品牌口罩的售价的1.5倍，要使桐君阁大药房销售这批A 、B 两种品牌口罩的利润不低于8800元，则A 品牌口罩每个的售价至少定为多少元？【答案】(1)A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元(2)3元【分析】（1）设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，根据用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍列分式方程解答；（2）先求出两种品牌口罩购买的数量，设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，列不等式求解即可．（1）解：设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，720050020.7x x =⨯+，解得 1.8x =，经检验， 1.8x =是原方程的解，且符合题意，∴0.7 2.5x +=，答：A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元；（2）购进B 品牌口罩的数量为5000 2.52000÷=（个），购进A 品牌口罩的数量为200024000⨯=（个），设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，依题意得：()()4000 1.82000 1.5 2.58800y y ⨯-+⨯-≥，解得3y ≥，答：A 品牌口罩每个的售价至少定为3元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．。

2023年北师大版数学八年级下册《因式分解计算题》专项练习一、选择题1.若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( )A.－2B.2C.－50D.502.因式分解x2－9y2的正确结果是( )A.(x+9y)(x－9y)B.(x+3y)(x－3y)C.(x－3y)2D.(x－9y)23.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.－21B.21C.-10D.104.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y25.把多项式2x2-8x+8因式分解，结果正确的是( )A.(2x-4)2B.2(x-4)2C.2(x-2)2D.2(x+2)26.计算：101×1022﹣101×982=( )A.404B.808C.40400D.808007.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x﹣3)则a，b的值分别是（）A.a=2，b=3B.a=﹣2，b=﹣3C.a=﹣2，b=3D.a=2，b=﹣38.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.729.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能是正数，也可能是负数D.可能为010.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为( )A.2028B.2027C.2026D.202511.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B.2x﹣19C.2x+15D.2x﹣1512. (－8)2 020＋(－8)2 019能被下列数整除的是( )A.3B.5C.7D.9二、填空题13.把多项式(x﹣2)2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是 解：原式=(x﹣2)2﹣(4x﹣8)…A=(x﹣2)2﹣4(x﹣2)…B=(x﹣2)(x﹣2+4)…C=(x﹣2)(x+2)…D.14.若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是.15.已知a2＋b2=13，ab=6，则a4-2a2b2＋b4= .16.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.17.已知x=1,y=-2是方程mx+ny=4的解，则m2﹣4mn+4n2的值为.18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可).三、解答题19.因式分解：3x2﹣12xy+12y2；20.因式分解：4a2﹣3b(4a﹣3b)；21.因式分解：2x3(a-1)+8x(1-a).22.因式分解：－4x3y+16x2y2－16xy3.23.已知x2+3x-1=0，先化简，再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x2-1).24.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.25.已知一个长方形的周长为20,其长为a,宽为b,且a,b满足a2﹣2ab＋b2﹣4a＋4b＋4=0,求a,b的值.26.两位数相乘：19×11=209,18×12=216,25×25=625,34×36=1 224，47×43=2 021，…(1)认真观察，分析上述各式中两因数的个位数字、十位数字分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来；(2)验证你得到的规律.27.阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．答案1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.A9.B10.B11.A12.C13.答案为：C.14.答案为：15.15.答案为：2516.答案为：2m＋317.答案为：1618.答案为：273024或27243019.解：原式=3(x2﹣4xy+4y2)=3(x﹣2y)2；20.解：原式=4a2﹣12ab+9b2=(2a﹣3b)2.21.解：原式=2x(a-1)(x-2)(x+2).22.解：原式=－4xy(x－2y)2.23.解：原式=6.24.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x－z)=16.25.解∵长方形的周长为20,其长为a,宽为b,∴a+b=20÷2=10.∵a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,∴(a-b)2-4(a-b)+4=0.∴(a-b-2)2=0.∴a-b-2=0,由此得方程组a+b=10，a-b-2=0，解得a=6,b=4.26.解：(1)上述等式的规律是：两因数的十位数字相等，个位数字相加等于10，而积后两位是两因数个位数字相乘、前两位是十位数字相乘，乘积再加上这个十位数字之和；如果用m表示十位数字，n表示个位数字的话，则第一个因数为10m＋n，第二个因数为10m＋(10－n)，积为100m(m＋1)＋n(10－n)；表示出来为：(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)；(2)∵左边=(10m＋n)(10m－n＋10)=(10m＋n)[10(m＋1)－n]=100m(m＋1)－10mn＋10n(m＋1)－n2=100m(m＋1)－10mn＋10mn＋10n－n2=100m(m＋1)＋n(10－n)=右边，∴(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)，成立.27.解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a +c ＜bB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ac +1＜bc +1D ．a （c ﹣2）＜b （c ﹣2）2、不等式270x -<的最大整数解为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、一次函数y =（m -2）x +m 2-3的图象与y 轴交于点M （0，6），且y 的值随着x 的值的增大而减小，则m 的值为（ ）A ．6-B ．C ．3D ．3-4、已知关于x 的不等式组3x x a≤⎧⎨>⎩有解，则a 的取值不可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、若m ＜n ，则下列各式正确的是（ ）A ．﹣2m ＜﹣2nB ．33m n ＞C ．1﹣m ＞1﹣nD ．m 2＜n 26、对有理数a ，b 定义运算：a ✬b =ma +nb ，其中m ，n 是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n 的取值范围是（ ）A ．n >1-B ．n <1-C ．n >2D ．n <27、若m >n ，则下列不等式不成立的是（ ）A ．m +4>n +4B ．﹣4m <﹣4nC ．44m n >D ．m ﹣4<n ﹣48、如果a ＞b ，下列各式中正确的是（ ）A ．﹣2021a ＞﹣2021bB ．2021a ＜2021bC ．a ﹣2021＞b ﹣2021D ．2021﹣a ＞2021﹣b9、若整数a 使得关于x 的方程2(2)3x a -+=的解为非负数，且使得关于y 的一元一次不等式组322222010y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．23 B ．25 C ．27 D ．2810、若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．﹣2a ＜﹣2bB ．am ＜bmC ．a ﹣3＜b ﹣3D ．3a ＋1＜3b ＋1 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为_____(a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数_____的值大于0或小于0时，求_____的取值范围．2、从2-，1-，0，13，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a ，则使得关于x 的不等式组102321x a x ⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩只有三个整数解的概率是 __． 3、已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空．（1）2a ________a +b（2）2ac _______2b c（3）c -a _______c -b（4）-a |c |_______-b |c |4、大学城熙街新开了一家大型进口超市，开业第一天，超市分别推出三款纸巾：洁柔体验装、洁柔超值装、妮飘进口装进行促销活动，纸巾只能按包装整袋出售，每款纸巾的单价为整数，其中妮飘进口装的促销单价是其余两款纸巾促销单价和的4倍，同时妮飘进口装的促销单价大于40元且不超过60元，当天三款纸巾的销售数量之比为3:1:1第二天，超市对三款纸巾恢复原价，洁柔体验装比其促销价上涨50%，洁柔超值装的价格是其促销价的53，而妮飘进口装的价格在其第一天的基础上增加了14，第二天洁柔体验装与妮飘进口装的销量之比为4:3，洁柔超值装的销量比第一天的销量减少了20%．超市结算发现，第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，这两天妮飘进口装的总销售额为_______元．5、不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩，写出其整数解的和_____． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、若(m -2)23m x --2≥7是关于x 的一元一次不等式，求m 的值． 2、（1）解方程组：2523517x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）解不等式组()20 2131x x x +>⎧⎨+≥-⎩ 3、关于x 的方程6422x a x a +-=+的解大于1，求a 的取值范围．4、解不等式3x ﹣1≤x +3，并把解在数轴上表示出来．5、某学校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2、B【分析】求出不等式的解集，然后找出其中最大的整数即可．【详解】x-<，解：270x<，277x<，2则符合条件的最大整数为：3，故选：B．【点睛】本题题考查了求不等式的整数解，能够正确得出不等式的解集是解本题的关键．3、D【分析】由一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m=-3．【详解】解：∵一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），∴m2-3=6，即m2=9，解得：m=-3或m=3．又∵y的值随着x的值的增大而减小，∴m-2＜0，∴m＜2，∴m=-3．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出关于m的方程及一元一次不等式是解题的关键．4、D【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a 的取值范围，然后根据a 的取值范围解答即可．【详解】解：∵关于x 的不等式组3x x a ≤⎧⎨>⎩有解， ∴a <3，∴a 的取值可能是0、1或2，不可能是3．故选D ．【点睛】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．5、C【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A ：∵m ＜n ，∴﹣2m ＞﹣2n ，∴不符合题意；B ：∵m ＜n ， ∴33m n <， ∴不符合题意；C ：∵m ＜n ，∴﹣m ＞﹣n ，∴1﹣m ＞1﹣n ，∴符合题意；D ： m ＜n ，当10m n =-=，时，m 2＞n 2， ∴不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3条基本性质是解题关键．6、A【分析】先根据新运算的定义和3✬4=2将m 用n 表示出来，再代入5✬8>2可得一个关于n 的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：由题意得：342m n +=， 解得243n m -=， 由5✬8>2得：582m n +>， 将243n m -=代入582m n +>得：5(24)823n n -+>， 解得1n >-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．7、D【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A ．∵m >n ，∴m +4>n +4，故该选项正确，不符合题意；B ．∵m >n ，∴44m n -<-，故该选项正确，不符合题意；C ．∵m >n ， ∴44m n >，故该选项正确，不符合题意； D ．∵m >n ，∴44m n ->-，故该选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式的基本性质“1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解答本题的关键．8、C【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴−2021a ＜−2021b ，故A 错误；B、∵a＞b，∴2021a＞2021b，故B错误；C、∵a＞b，∴a﹣2021＞b﹣2021，故C正确；D、∵a＞b，∴2021﹣a＜2021﹣b，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查不等式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．9、B【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：32222210y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②，解不等式①得：2y>-，解不等式②得：y a≤∴不等式组的解集为：1yy a>-⎧⎨≤⎩，∵由不等式组至少有3个整数解，∴2a≥，即整数a＝2，3，4，5，…，∵()223x a -+=，∴243x a -+= 解得：72a x ， ∵方程()223x a -+=的解为非负数，∴702a -≥， ∴7a ≤∴得到符合条件的整数a 为3，4，5，6，7，之和为25．故选B ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10、A【分析】由题意直接依据不等式的基本性质对各个选项进行分析判断即可.【详解】解：A ．∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，故本选项符合题意；B ．a ＞b ，当m ＞0时，am ＞bm ，故本选项不符合题意；C ．∵a ＞b ，∴a ﹣3＞b ﹣3，故本选项不符合题意；D ．∵a ＞b ，∴33a b >， ∴1133ab +>+，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，注意掌握不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二、填空题1、ax +b >0或ax +b <0 y =ax +b 自变量【分析】根据一次函数图象与一元一次不等式的关系解答．【详解】解：任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b >0或ax +b <0 (a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y =ax +b 的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围． 故答案为：ax +b >0或ax +b <0；y =ax +b ；自变量．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b （k ≠0）的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b （k ≠0）在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2、13【分析】解关于x 的不等式组，由不等式组整数解的个数求出a 的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．【详解】解：解不等式组12321x ax⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩，得：12a＜x≤2，∵不等式组只有3个整数解，∴不等式组的整数解为2、1、0，则-1≤12a＜0，即-2≤a＜0∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有-2，-1，∴只有三个整数解的概率是21 = 63故答案为：13．【点睛】题主要考查的是解一元一次不等式组的解集和概率的知识，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力及概率公式的应用．3、＞＞＜＜【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（2）根据不等式的性质：不等式两边同时除以一个正数，不等号不变号，即可得；（3）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（4）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变号，即可得．【详解】解：（1）∵a b>，∴a a b a +>+，即：2a b a >+；（2）∵a b >，20c >， ∴22a b c c >； （3）∵a b >，∴a b -<-，∴c a c b -<-；（4）∵a b >，∴a b -<-，0c >， ∴a c b c -<-；故答案为：（1）>；（2）>；（3）<；（4）<．【点睛】题目主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质并综合运用是解题关键．4、14960【分析】设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，第二天，洁柔体验装的原价为： (150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为： 53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为： 1(1)4z +，销售量为 1c 包，根据第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，可得()()175767x y c c +-=，进而可得 1755913x y c c +=⎧⎨-=⎩,x y 为整数，即可求得x y +，根据第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，解得 5135482828c <<，由 121753c c ，都是整数，则 5135482828c <<能被 3和5整除的数即能被15整除，即可求得c ，则这两天妮飘进口装的总销售额为11(1)4zc z c ++，即 ()()965x y c +-，代入数值求解即可． 【详解】解：设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，()44060::3:1:1z x y z a b c ⎧=+⎪<≤⎨⎪=⎩1015x y ∴<+≤，33a b c ==， 则35a b c c c c c ++=++=第二天，洁柔体验装的原价为：(150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为：53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为：1(1)4z +，销售量为1c 包， 11:=4:3a c ，即1143a c = ()1120%b b =-4=5b 4=5c 则11111144743535a b c c c c c c ++=++=+ 第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3(344)75ax by cz c x y z c x y x y c x y ++=++=+++=+()111150%14x a z c ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 1151.54()4xa x y c =+⨯+1111.555xa xc yc =++111345523x c xc yc =⨯++ 1175xc yc =+()175x y c =+∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1(75)(75)c x y c x y +-+767=即()()175767x y c c +-=7671359=⨯1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩或 1751359x y c c +=⎧⎨-=⎩ 1015x y <+≤505575x y ∴<+≤7550x y ∴+>1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩ 5975x y -∴=,x y 为整数，解得29x y =⎧⎨=⎩或 72x y =⎧⎨=⎩洁柔体验装的原价为：(150%)x + 1.5x =是整数，则7x ≠，洁柔超值装的原价为：53y 是整数则2y ≠ ∴ 29x y =⎧⎨=⎩4()44z x y ∴=+=第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，∴()()11196120a b c a b c ≤++-++≤113c c -=1c c ∴>()()111a b c a b c ++-++=117421753553c c c c c ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭ ∴217633591(13)5315153c c c ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭2891153c =+ 即289196120153c <+< 解得5135482828c <<121753c c ，都是整数，则5135482828c <<能被3和5整除的数即能被15整除 ∴45c =11(1)4zc z c ++=()()11554444zc zc x y c x y c +=+++ ()()145x y c c =++()()4513x y c c =++-⎡⎤⎣⎦()()965x y c =+-44=⨯()94565⨯-14960=故答案为：14960【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式组求整数解，理清题中数据关系是解题的关键． 5、0【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解，最后相加即可．【详解】 解：3561162x x x x <+⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解不等式①，得3x >-；解不等式②，得2x ≤．∴不等式组的解集为32x -<≤，∴不等式组的整数解分别为-2、-1、0、1、2，∴不等式组的整数解的和为：210120--+++=．故答案为：0．【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组中每一个不等式的解集是解答本题的关键．三、解答题1、m =-2【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答.【详解】解∵不等式(m-2) 23mx- -2≥7是关于x的一元一次不等式，∴m2-3=1，m-2≠0，解得m=-2当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．2、（1）43xy=⎧⎨=⎩；（2）﹣2﹤x≤3．【分析】（1）方程运用加减消元法求解即可；（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可【详解】解：（1）2523 517x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①+②×5得：27x=23+17×5，解得：x=4，将x=4代入②中，得：20﹣y=17，解得：y=3，∴原方程组的解为43xy=⎧⎨=⎩．（2）202(1)31xx x+>⎧⎨+≥-⎩①②，解：解①得：x﹥﹣2，解②得：x≤3，∴不等式组的解集为：﹣2﹤x≤3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3、a＞0【分析】先解方程得出x＝44a+，根据方程的解大于1得出关于a的不等式，解之即可．【详解】解：解不等式6x＋a−4＝2x＋2a，得x＝44a+，根据题意，得：44a+＞1，解得a＞0．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4、x≤2；数轴表示见解析．【分析】按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．【详解】解：313x x -≤+，移项，得331x x -≤+，合并同类项，得24x ≤，系数化为1，得x ≤2，把解集在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法是解题的关键．5、当购买少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【分析】设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，根据题意可得甲乙两种购买方式得函数解析式，分三种情况讨论：当12y y >时；当12y y =时；当12y y <时；分别进行计算得出自变量的取值范围即可得出在什么情况下选择哪种方案更优惠．【详解】解：设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，则根据题意可得：()()1600016000125%45001500y x x =+⨯⨯=+－－（x 为正整数）；()2·6000120%4800y x x =⨯=－（x 为正整数）；当12y y >时，学校选择乙商场购买更优惠，即450015004800x x +>，解得5x <，即15x <<；当12y y =时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠，即450015004800x x +=，解得5x =；当12y y <时，学校选择甲商场购买更优惠，即450015004800x x +<，解得5x >．∴当购买数量少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买数量多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【点睛】题目主要考查一次函数应用中的方案选择，理解题意，列出相应函数解析式，求解不等式是解题关键．。

第八章列二元一次方程组解应用题专项训练1、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。

”请问老师、学生今年多大年龄了呢？2、某长方形的周长是44cm，若宽的3倍比长多6cm，则该长方形的长和宽各是多少？3、已知梯形的高是7，面积是56cm2，又它的上底比下底的三分之一还多4cm，求该梯形的上底和下底的长度是多少？4、某校初一年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元（1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？（2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？（3）若两班人数均等，您认为是分班购票合算还是集体购票合算？5、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。

已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。

（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？6、某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天 35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？7、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。