最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》自我检测2

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。

等差数列的性质(20分钟35分)1.(2020·榆林高二检测)已知数列{a n}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( )A.36B.30C.24D.1〖解析〗选B.由于a7+a13=2a10=20,即a10=10,故a9+a10+a11=3a10=30.〖补偿训练〗已知等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为( )A.1B.2C.3D.4〖解析〗选B.因为数列{a n}是等差数列,所以2a3=a1+a5=10,所以a3=5,又a4=7,所以数列{a n}的公差d=a4-a3=2.2.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为( )A.13B.14C.15D.16〖解析〗选 C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{a n},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.3.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为( )A.12B.8C.6D.4〖解析〗选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.〖补偿训练〗在等差数列{a n}中,a1=,a2+a5=4,a n=33,则n是( )A.48B.49C.50D.51〖解析〗选C.a1=,a2+a5=2a1+5d=4,所以d=,所以a n=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,所以n=50.4.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( )A.公差为-1的等差数列B.公差为20的等差数列C.公差为-20的等差数列D.公差为19的等差数列〖解析〗选D.(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.5.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为________的等差数列.〖解析〗因为a3-a1=6-2=4,所以2d=4,即d=2.所以{2a n-3}的公差为2d=4.答案:46.已知数列{a n}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.〖解析〗(1)等差数列{a n}中,a15=8,a60=20,则解得d=,a65=a60+5d=20+=.(2)数列{a n}为等差数列,且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列{a n}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=( )A.7B.14C.21D.7(n-1)〖解析〗选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.2.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )A.-2B.-C.2D.〖解析〗选C.因为a n+1-a n=3,所以{a n}为等差数列,设其公差为d,则d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.补偿训练〗在等差数列{a n}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011=( )A.0B.7C.1D.49〖解析〗选A.因为数列{a n}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.3.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则( )A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0〖解析〗选C.因为数列{2a1a n}为递减数列,a1a n=a1〖a1+(n-1)d〗=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d<0.4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过5 000元,则m等于( )A.6B.7C.8D.10〖解析〗选B.设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},则a2=2 500,a5=4 000.由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.〖补偿训练〗《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )A.个B.个C.个D.个〖解析〗选C.易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1,公差为d(d>0),根据题意,有〖20+(a1+3d)+(a1+4d)〗×=a1+(a1+d),解得a1=.故最小一份的量为个.5.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个说法.(1)数列{a n}是递增数列;(2)数列{na n}是递增数列;(3)数列是递增数列;(4)数列{a n+3nd}是递增数列.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)〖解析〗选D.因为a n=a1+(n-1)d,d>0,所以a n-a n-1=d>0,说法(1)正确;na n=na1+n(n-1)d,所以na n-(n-1)a n-1=a1+2(n-1)d,与n的大小和a1的取值情况有关. 故数列{na n}不一定递增,说法(2)不正确;=+d,所以-=,当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,但d>a1不一定成立,则(3)不正确;设b n=a n+3nd,则b n+1-b n=a n+1-a n+3d=4d>0.所以数列{a n+3nd}是递增数列,(4)正确.综上,正确的说法为(1)(4).〖补偿训练〗若{a n}是等差数列,则下列数列为等差数列的有( )①{a n+a n+1};②{};③{a n+1-a n};④{2a n};⑤{2a n+n}.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选D.设等差数列{a n}的公差为d.对于①,(a n+a n+1)-(a n-1+a n)=(a n-a n-1)+(a n+1-a n)=2d(n≥2),所以{a n+a n+1}是以2d为公差的等差数列;对于②,-=(a n+1-a n)(a n+a n+1)=d(a n+a n+1)≠常数,所以{}不是等差数列;对于③,因为a n+1-a n=d,所以{a n+1-a n}为常数列;所以{a n+1-a n}为等差数列;对于④,因为2a n+1-2a n=2d,所以{2a n}为等差数列;对于⑤,(2a n+1+n+1)-(2a n+n)=2d+1,所以{2a n+n}为等差数列.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·成都高二检测)等差数列{a n}中,a1=1,a9=21,则a3与a7等差中项的值为________. 〖解析〗根据等差数列的性质可知,a3+a7=a1+a9=1+21=22,所以a3与a7的等差中项为(a3+a7)=11.答案:117.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.〖解析〗设这三个数为a-d,a,a+d,则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.答案:-218.在等差数列{a n}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为________.〖解析〗方法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.方法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39,所以a1+3d=13,①因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33.所以a1+4d=11,②联立①②解得所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.答案:27三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{a n},a n=2n-1,b n=a2n-1.(1)求{b n}的通项公式;(2)数列{b n}是否为等差数列?说明理由.〖解析〗(1)因为a n=2n-1,b n=a2n-1,所以b n=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)由b n=4n-3,知b n-1=4(n-1)-3=4n-7.因为b n-b n-1=(4n-3)-(4n-7)=4,b1=4×1-3=1,所以{b n}是首项为1,公差为4的等差数列.10.已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).(1)若a20=30,求公差d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.〖解析〗(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),a30=10,当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.1.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.〖解析〗因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:192.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求数列{b n}的通项公式;(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?〖解析〗(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3-5(n-1)=8-5n,设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N*.所以b1=a3=8-5×3=-7, b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以数列{b n}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N*,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.。

自我小测 2.2.1等差数列(一)夯基达标1.{a n }是首项a 1＝1,公差d ＝3的等差数列,如果a n ＝2 005,则序号n 等于( ) A.667 B.668 C.669 D.6702.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前6项均为正数,第7项起为负数,则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－63.在数列{a n }中,a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1,则a 101的值是( )A.52B.51C.50D.494.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1＝25,b 1＝75,a 2＋b 2＝100,则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－375.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2),又a 1＝5,则使得}3{nn a λ+为等差数列的实数λ＝_______________.6.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5＝－1,a 8＝2,求a 1与d ; (2)已知a 1＋a 6＝12,a 4＝7,求a 9. 能力提升7.在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n ),…,对一切正整数n ,点P n 位于函数4133+=x y 的图象上,且P n 的横坐标构成以25-为首项,－1为公差的等差数列{x n },则P n 的坐标为____________________.8.若x ≠y ,且x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自都成等差数列,则=--1212b b a a _______________.9.已知数列{a n }中,a 1＝3,5111=--n n a a (n ≥2),则a n ＝______________.10.在数列{a n }中,1235lg +=n n a ,判断该数列是否为等差数列.11.已知等差数列{a n }中,a 15＝33,a 61＝217,试判断153是否是这个数列中的项?如果是,是第几项?拓展探究12.下表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列,a ij 表示位于第i 行第j 列的数. (1)写出a 45的值;(2)写出a ij 的计算公式,以及2 008这个数在等差数阵中所在的一个位置.参考答案1答案:C2 解析:∵a n ＝23＋(n －1)d ,则⎩⎨⎧<>,0,076a a得－4.6＜d ＜653-,且d ∈Z ,∴d ＝－4. 答案:C3解析:∵2a n ＋1＝2a n ＋1,∴211+=+n n a a , 即211=-+n n a a (常数).∴数列{a n }是以a 1＝2为首项,21=d 为公差的等差数列. ∴5221)1101(2)1101(1101=⨯-+=⨯-+=d a a .答案:A4 解析:设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2,则a 2＋b 2＝a 1＋d 1＋b 1＋d 2, ∴100＝25＋75＋d 1＋d 2.∴d 1＋d 2＝0.∴a 37＋b 37＝a 1＋36d 1＋b 1＋36d 2＝a 1＋b 1＋36(d 1＋d 2)＝100＋36×0＝100. 答案:C5解析:a 1＝5,a 2＝23,a 3＝95,令n n n a b 3λ+=, 则2795,923,35321λλλ+=+=+=b b b , ∵b 2－b 1＝b 3－b 2,∴21-=λ.答案:21-6解:(1)由题意,知⎩⎨⎧=-+-=-+.2)18(,1)15(11d a d a解得⎩⎨⎧=-=.1,51d a(2)由题意,知⎩⎨⎧=-+=-++.7)14(,12)16(111d a d a a 解得⎩⎨⎧==.2,11d a∴a 9＝a 1＋(9－1)d ＝1＋8×2＝17.7解析:∵23)1)(1(25--=--+-=n n x n , ∴4534133--=+=n x y n n . ∴)453,23(----n n P n .答案:)453,23(----n n P n8 解析:设数列x ,a 1,a 2,y 的公差为d 1,数列x ,b 1,b 2,b 3,y 的公差为d 2,则a 2－a 1＝d 1,b 2－b 1＝d 2,而y ＝x ＋3d 1, 所以31x y d -=. 又y ＝x ＋4d 2,所以42xy d -=. 所以3421=d d .所以34211212==--d d b b a a .答案:349 解析:∵5111=--n n a a (n ≥2), ∴数列}1{na 是以5为公差的等差数列, 且首项为3111=a . 根据数列}1{na 的通项公式:3141555315)1(111-=-+=⨯-+=n n n a a n , ∴14153-=n a n .答案:14153-n10解:∵常数==⨯⋅=-=-++++++31lg )53335lg(35lg35lg1221121)1(21n n n n n n a a ,∴数列{a n }是等差数列. 11 解法一:设等差数列的公差为d ,则a n ＝a 1＋(n －1)d . ∵a 15＝33,a 61＝217, ∴⎩⎨⎧+=+=,60217,143311d a d a 解得⎩⎨⎧=-=,4,231d a∴a n ＝－23＋(n －1)·4＝4n －27.令a n ＝153,则4n －27＝153,得n ＝45∈N *, ∴153是所给数列的第45项. 解法二:∵{a n }不是常数列,∴{a n }的通项公式是关于n 的一次函数.假设153是该数列的第n 项,则(15,33)、(61,217)、(n ,153)三点共线. ∴1533153156133217--=--n ,解得n ＝45∈N *.∴153是所给数列的第45项. 12解:(1)a 45＝49.(2)该等差数阵的第1行是首项为4,公差为3的等差数列:a 1j ＝4＋3(j －1);第2行是首项为7,公差为5的等差数列:a 2j ＝7＋5(j －1);…;第i 行是首项为4＋3(i －1),公差为2i ＋1的等差数列,因此 a i j ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要找2 008在该等差数阵中的位置,也就是要找正整数i ,j 使得2ij ＋i ＋j ＝2 008, ∴122008+-=t ij .当i ＝1时,得j ＝669.∴2 008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列.2.2.2等差数列(二)夯基达标1.)23lg(-与)23lg(+的等差中项为( ) A.0 B.2323lg +- C.)625lg(- D.12.设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1＋a 2＋a 3＝15,a 1a 2a 3＝80,则a 11＋a 12＋a 13等于( )A.120B.105C.90D.753.设等差数列{a n }中,311=a ,a 2＋a 5＝4,a n ＝33,则n 是( ) A.48 B.49 C.50 D.514.已知等差数列a 1,a 2,a 3,…,a n 的公差为d ,则ca 1,ca 2,ca 3,…,ca n (c 为常数,且c ≠0)是( ) A.公差为d 的等差数列 B.公差为cd 的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对5.已知等差数列{a n }中,a 3和a 15是方程x 2－6x －1＝0的两个根,则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝_______.6.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于________.能力提升7.在等差数列{a n }中,若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120,则11931a a -的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.178.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m －n |的值为( )A.1B.43C.21D.839.在－1与7之间顺次插入三个数a ,b ,c ,使这五个数成等差数列,则这个数列为___________.10.已知a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列,求a 、b 的值. 11.已知c b a 1,1,1成等差数列,则cb a bc a a c b +++,,是否也成等差数列?并说明你的理由.拓展探究12.已知数列a 1,a 2,a 3,…,a 30,其中a 1,a 2,a 3,…,a 10是首项为1,公差为1的等差数列;a 10,a 11,a 12,…,a 20是公差为d 的等差数列;a 20,a 21,a 22,…,a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0). (1)若a 20＝40,求d ;(2)试写出a 30关于d 的关系式,并求a 30的取值范围.参考答案1 解析:等差中项为01lg 21)23)(23lg(21)]23lg()23[lg(21==+-=++-. 答案:A 2 解析:由⎩⎨⎧=++==+=++,80)2)((,15332113211321d a d a a a a a d a a a a得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==3,83,211d a d a 或(舍去), 所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝105. 答案:B3 解析:∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝4,∴3116=a . ∴321616=--=a a d .由a n ＝a 1＋(n －1)d ,知)1(323133-+=n , ∴n ＝50. 答案:C4解析:∵ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd ,∴选B. 答案:B 5解析:∵a 3＋a 15＝6,∴2a 9＝6.∴a 9＝3. ∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝5×3＝15. 答案:156 解析:因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32, 所以a 8＝8,即m ＝8. 答案:87解析:由题意知5a 8＝120,∴a 8＝24. ∴1632)3(31)(31888119==+-+=-a d a d a a a . 答案:C8解析:本题主要考查等差数列的性质和探索问题的能力,因为原方程有四个根,所以方程x 2－2x ＋m ＝0和x 2－2x ＋n ＝0各有两个根. 又因为这两个方程的两根之和都等于2,且四个根组成等差数列,记为{a n }, 所以可设四个根为a 1,a 2,a 3,a 4.根据等差数列的性质,只能a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2, 设公差为d ,则2341232141=+⨯=+=+d d a a a , 21=d ,从而47,45,43432===a a a . 于是|m －n |＝|a 1·a 4－a 2·a 3| 21|45434741|=⨯-⨯=,故选C 项. 答案:C9解析:由等差中项的定义,知3271=+-=b , ∴527327,123121=+=+==+-=+-=b c b a . 答案:－1,1,3,5,710解法一:∵a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列, ∴d ＝2lg2＋lg3－lg6＝lg12－lg6＝lg2. ∴b ＝lg6－lg2＝lg3,23lg 2lg =-=b a . 解法二:(利用性质)∵a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列, ∴2lg6＝b ＋2lg2＋lg3. ∴b ＝lg3. 同理2b ＝a ＋lg6.∴23lg=a . 11 解法一:∵c b a 1,1,1成等差数列,∴bc a 211=+,即2ac ＝b (a ＋c ).∴acb a ac b c c b a a c b )()(+++=+++ bc a c a b c a ac c a b c a )(2)()(2)(222+=++=+++=. ∴cb a bc a a c b +++,,也成等差数列. 解法二:∵cb a 1,1,1成等差数列,∴c cb a bc b a a c b a ++++++,,也成等差数列, 即1,1,1++++++c ba b c a a c b 也成等差数列. 故cba b c a a c b +++,,也成等差数列. 12解:(1)∵a 10＝10,∴a 20＝10＋10d ＝40.∴d ＝3. (2)∵a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0), 则]43)21[(10230++=d a ,∴当d ∈(－∞,0)∪(0,＋∞)时,a 30∈［7.5,＋∞).。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

高中数学学习材料唐玲出品必修五 第二章 数列 2.2 等差数列 同步测试一、选择题1．等差数列34,37,40中的第一个负数项是 （ ） Ａ．第13项 Ｂ．第14项 Ｃ．第15项 Ｄ．第16项 2．等差数列}{n a 中，153,334515==a a ，则217是这个数列的 （ ） Ａ．第59项 Ｂ．第60项 Ｃ．第61项 Ｄ．第62项3．已知等差数列}{n a 的项数为n ，前4项和为21，后4项和为67，所有项的和为220，则n 的值为 （ ） Ａ．20 Ｂ．18 Ｃ．22 Ｄ．214．等差数列}{n a 中，40,19552==+S a a ，则10a 为 （ ） Ａ．27 Ｂ．28 Ｃ．29 Ｄ．305．数列}{n a 是等差数列的一个充要条件是 （ ） Ａ．c bn an S n ++=2 Ｂ．bn an S n +=2 Ｃ．)0(2≠++=a c bn an S n Ｄ．)0(2≠+=a bn an S n6．等差数列}{n a 的公差为d ，则前20项的和20S 等于 （ ） Ａ．2020a Ｂ．d a 102010+ Ｃ．d a 380201+ Ｄ．d a 3801+ 二、填空题7．在1-与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则此数列为 .8．在等差数列}{n a 的公差为1，前100项的和为150100=S ，则=++++99531a a a a .9．已知等差数列}{n a 满足：4,126473-=+-=a a a a ，则通项公式=n a . 10．已知数列n 2,,4,3,2,1 ，则其和为 ，奇数项的和为 . 11．在数列}{n a 中，122,211=--=+n n a a a ，则=51a .12．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和为24，偶数项的和为30，且末项比首项大5.10，则该数列的项数为 . 三、解答题13．已知222,,c b a 成等差数列，求证：ba a c cb +++1,1,1也成等差数列.14．已知等差数列}{n a 的首项为60，公差为3-，试求数列}{n a 前30项的和.15．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项的和，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1，求等差数列}{n a 的通项公式.16．设等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，已知0,0,1213123<>=S S a ， （1）求公差d 的取值范围;（2）指出1221,,,S S S 中那一个值最大，并说明理由.17．设}{n a 是等差数列，nan b ⎪⎭⎫⎝⎛=21，已知：81,821321321==++b b b b b b ，求等差数列的通项n a .*18．设}{n a 是公差为d 等差数列,}{n b 满足n n a n nb b b b )321(32321++++=++++)(N n ∈，求证：}{n b 是等差数列，并求公差.答案1．C ；2．C ；3．A ；4．C ；5．B ；6．B ；7．7,5,3,1,1-；8．50；9．122-=n a n 或82+-=n a n ；10．2),12(n n n +；11．23；12．8项；13．略；14．765；15．1=n a 或)(532512N n n a n ∈+-=；16．（1）3724-<<-d ；（2）6S 最大；17．32-=n a n 或n a n 25-=；18．公差为d 23.。

第二章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在等差数列{a n}中,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10==120解得,a1+a10=24.2.等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不对答案:A解析:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a2>0,a6>0,则a4>0.又=a2·a6=64,∴a4=8.3.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…)且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.4.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==50,∴=5.又a4a5a6=(a4a6)·a5=,故选A.5.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-(n-1)=-n+,由a n=-n+>0,得n<23.5,所以使a k·a k+1<0的k值为23.6.若数列{a n}满足a n+1=1-,且a1=2,则a2 012等于()A.-1B.2C.D.答案:D解析:∵a n+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.-由此可见,数列{a n}的项是以3为周期重复出现的,∴a2 012=a670×3+2=a2=.7.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11答案:B解析:{b n}为等差数列,公差d=-=2,-∴b n=b3+2(n-3)=2n-8.∴a n+1-a n=2n-8.∴a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3+(-6)+(-4)+…+6=3+-=3.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+-×1=0,∴a1=--.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.9.等差数列{a n}中,已知3a5=7a10,且a1<0,则数列{a n}前n项和S n(n∈N*)中最小的是()A.S7或S8B.S12C.S13D.S14答案:C解析:由3a5=7a10得3(a1+4d)=7(a1+9d),解得d=-a1>0.所以a n=a1+(n-1)d=a1-(n-1)×a1,由a n=a1-(n-1)×a1≤0,即1--≥0,解得n≤=13,即当n≤13时,a n<0.当n>13时,a n>0,所以前13项和最小,所以选C.10.(2015河南南阳高二期中,12)数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1;b n=(-1)n a n(n∈N*);则数列{b n}的前50项和为()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,∴a1=S1=3,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故a n=∴b n=(-1)n a n=--∴数列{b n}的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.已知数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和S n=.答案:-解析:∵数列{a n}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴其前n项和S n=---.12.正项数列{a n}满足:a1=1,a2=2,2-(n∈N*,n≥2),则a7=.答案:解析:因为2-(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.所以=1+3(n-1)=3n-2.所以a n=-,n≥1.所以a7=-.13.(2015江西吉安联考,13)已知数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014=.答案:5 033解析:∵数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a1a2a3a4=24,a4==4,∵a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a n+1a n+2a n+3a n+4=24,∴a n+4=a n,∴数列{a n}是以4为周期的周期数列,2 014=503×4+2,∴a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014=503×(1+2+3+4)+1+2=5 033.14.(2015山东省潍坊四县联考,14)已知数列{a n}满足a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,则a n=.答案:-解析:∵a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,∴当n≥2时,a1+3·a2+32·a3+…+3n-2·a n-1=-,两式相减得3n-1·a n=-,即a n=,n≥2,-,当n=1时,a1=,满足a n=-.故a n=-三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.(2015河南郑州高二期末,17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n的最大值.解:(1)由a n=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,解得-数列{a n}的通项公式为a n=11-2n.(2)由(1)知S n=na1+-d=10n-n2.因为S n=-(n-5)2+25.所以n=5时,S n取得最大值25.16.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当1≤n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=17.(2015福建省宁德市五校联考,21)已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=4a n+3.(1)试写出数列{a n}的前三项;(2)求证:数列{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式a n;(3)设b n=log2(a n+1),记数列的前n项和为T n,求T n的取值范围.解:(1)∵a1=3,a n+1=4a n+3,∴a1=3,a2=15,a3=63.(2)∵=4,∴数列{a n+1}是公比为4的等比数列.∴a n+1=(a1+1)·4n-1=4n,∴a n=4n-1.(3)∵b n=log2(a n+1)=log24n=2n,∴-,∴T n=---…=-,∵T n=-是关于n(n∈N*)的单调递增函数,∴n=1时,(T n)min=,n→+∞时,T n→.∴T n的取值范围是.18.(2015山东高考,理18)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)因为2S n=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,即a n=3n-1,所以a n=-(2)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+b3+…+b n=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n), 所以3T n=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=-----(n-1)×31-n =,所以T n=.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=.。

单元测评数 列(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A ．它的首项是－2，公差是3 B ．它的首项是2，公差是－3 C ．它的首项是－3，公差是2 D ．它的首项是3，公差是－2解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，S 3＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22·d ＝3⇒a 1＝－2，d ＝3.答案：A2．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 23·a 23·a 3＝1，∴a 3＝1. 答案：B3．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146，∴3(a 1＋a n )＝180.∴a 1＋a n ＝60.∵n2(a 1＋a n )＝390，∴n ＝13.答案：A4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14解析：∵a 13＝0，∴n ＝12或13，S n 最大． 答案：C5．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，q ＝2，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1) C ．4n－1 D.13(4n－1) 解析：S n ＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)． 答案：D6．在正项等比数列{a n }中，a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 35解析：∵a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 2(a 5a 6)5＝log 395＝10. 答案：B7．已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 13＜0，S 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 13＜0，a 1＋a 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 7＜0，a 6＋a 7＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＜0，a 6＞0，∴绝对值最小的项为第7项． 答案：C8．已知数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且S 25＝100，则a 12＋a 14为( ) A ．16 B ．4 C ．8D ．不确定解析：{a n }是等差数列． 答案：C9．某储蓄所计划从2011年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则到2014年底该储蓄所的吸储量将比2011年的吸储量增加( )A ．24%B ．32%C ．(1.083－1)×100% D ．(1.084－1)×1.083答案：C10．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14D ．100答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝__________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3.又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ＞1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ＞112．设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 006和a 2 007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 008＋a 2009＝__________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，又q ＞1，则a 2 006＝12，a 2 007＝32.则q ＝a 2 007a 2 006＝3. 所以a 2 008＋a 2 009＝q 2(a 2 006＋a 2 007)＝18. 答案：1813．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 5(n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝__________.解析：x 5n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n 5＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n14．设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝__________.解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1， 所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)． 又f 2(4)＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2. 所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1. 所以{f (2n )}是公差为4的等差数列．所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝n 5＋4n ＋12＝2n 2＋3n .答案：2n 2＋3n三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上． 求数列{a n }的通项公式．解：由点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上知S n ＝n 2－4n ，(4分) 当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n －[(n －1)2－4(n －1)]＝2n －5；(8分) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－3，满足上式；(10分) ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －5.(12分)16．(12分)(2012·肇庆高二检测)已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；(2)设c n ＝5－a n2，b n ＝2c n ，证明数列{b n }是等比数列．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2，(3分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n .(6分)(2)∵a n ＝－2n ＋5，∴c n ＝5－a n 2＝5－－2n ＋52＝n ；(8分)∴b n ＝2c n ＝2n.(10分)∵b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2(常数)， ∴数列{b n }是等比数列．(12分)17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，可得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3符合上式，所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3，(4分)可得4n －1＝4log 2b n ＋3， 解得b n ＝2n －1(n ∈N *)．(6分)(2)a n b n ＝(4n －1)·2n －1，∴T n ＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)×2n －1，①2T n ＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n －1)×2n.② ①－②可得－T n ＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n －1)－(4n －1)×2n＝3＋4×21－2n －11－2－(4n －1)×2n＝－5＋(5－4n )×2n， ∴T n ＝5＋(4n －5)×2n.(12分)18．(14分)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)因为(a n ＋1)2＝4S n ， 所以S n ＝a n ＋124，S n ＋1＝a n ＋1＋124.所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a n ＋1＋12－a n ＋124，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．(4分) 因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列． 由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(6分) (2)由(1)知b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－122n ＋1.(10分)∵T n ＋1－T n ＝12－122n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－122n ＋1＝122n ＋1－122n ＋3＝12n ＋12n ＋3＞0，∴T n ＋1＞T n .∴数列{T n }为递增数列，(12分) ∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13.(14分)。

2.2 等差数列2．2.1 等差数列1．等差数列的前4项依次是a －1，a ＋1,2a ＋3，2b －3，则a ，b 的值为( ) A ．1,2 B ．－1,4 C ．0,4 D ．2，－22．在等差数列{a n }中，a 3＋a 12＝60，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则tan(A ＋C)＝________.4．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝__________.答案：1．C 方法一：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＋3＝2(a ＋1)，a ＋1＋2b －3＝2(2a ＋3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4.方法二：由(a ＋1)－(a －1)＝2可得d ＝2，再利用通项公式可得a ，b 的值．方法三：采用特殊值代入法求解．2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75，∴a 7＝25. 又∵a 3＋a 12＝a 7＋a 8＝60， ∴a 8＝35，d ＝a 8－a 7＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．－ 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C .∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝3∠B ＝180°. ∴∠B ＝60°.∴∠A ＋∠C ＝120°. ∴tan(A ＋C )＝tan120°＝－ 3. 4.32∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列， ∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.课堂巩固 1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2009辽宁高考，文3){a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．23．等差数列的首项为125，第10项为开始比1大的项，则公差d 的取值范围为( )A ．d ＞875 B.875＜d ≤325 C ．d ＜325 D.875＜d ＜3254．(2009山东高考，文13)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________. 5．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为__________．6．已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c)，lg(a－c)，lg(a ＋c －2b)也成等差数列．7．等差数列{a n }中，已知a 59＝70，a 80＝112，求a 101.答案：1．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2. ∴m 和n 的等差中项是3.2．B 方法一：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.∴a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0.∴d ＝－12.方法二：∵a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.3．B 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1125＋8d ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d >875d ≤325⇒875<d ≤325. 4．13 等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5－a 2＝6， ∴3d ＝6.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.5．log 25 2lg(2x －1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以可得(2x －1)2＝2(2x＋3)，即(2x )2－4·2x－5＝0.解之，得2x ＝5或2x＝－1(舍)． 所以x ＝log 25.6．证明：由已知1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数， ∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 7.解法一：设首项为a 1，公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋58d ＝70，a 1＋79d ＝112. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 101＝a 1＋100d ＝－46＋100×2＝154.解法二：设公差为d ，则a 80＝a 59＋(80－59)d ＝a 59＋21d ， 即112＝70＋21d ， ∴d ＝2.∴a 101＝a 80＋(101－80)d ＝112＋21×2＝154.解法三：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a 59)，(80，a 80)，(101，a 101)共线． ∴a 80－a 5980－59＝a 101－a 80101－80，即112－7021＝a 101－11221. ∴a 101＝154.1．在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( ) A.272B ．10C ．13D ．19 1．答案：C 由2a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1－a n ＝32，∴{a n }是等差数列．a 1＝－2，d ＝32，a 11＝13.2.(2009安徽高考，文5)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 2．答案：B 设其公差为d ，∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105.∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33. ∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差数列{a n }的公差为d ，若c ≠0，且c 为常数，则数列{ca n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．不能判断 3．答案：B 因为a n ＋1－a n ＝d ，所以ca n ＋1－ca n ＝cd . 所以数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．4．设{a n }是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{a n }的首项为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．答案：B 方法一：设首项为a ，公差为d ，则由题意知：d >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝12，a (a ＋d )(a ＋2d )＝48，解得a ＝2.方法二：设三数为：a －d ，a ，a ＋d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧d >0，a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝2.∴a －d ＝2.5．等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.5．答案：n －2 ∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4， ∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根． 又∵{a n }单调递增， ∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.6．已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于________．6. 答案：12 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴m ，n 分别为716，1516.∴|m －n |＝12.7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30. 假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解，即所求通项公式为a n ＝1 892＋4n (n ∈N ＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．8．已知f(x)＝x a(x ＋2)，且方程x ＝f(x)有唯一解，且f(x 0)＝11 005，f(x n －1)＝x n ，n ＝1,2,3，….(1)问数列{1x n}是否是等差数列？(2)求x 2 009的值．8．答案：解：(1)由f (x )＝x 得x a (x ＋2)＝x ，即x [1－1a (x ＋2)]＝0.解得x ＝0或x ＝1a－2.∵方程x ＝f (x )有唯一解， ∴1a －2＝0.∴a ＝12.∴f (x )＝2x x ＋2. 又x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2，∴1x n ＝1x n －1＋12.∵x 1＝f (x 0)＝11 005，∴{1x n }是首项为1 005，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)12＝1 005＋(n －1)12＝2 009＋n2，∴x n ＝22 009＋n.∴x 2 009＝22 009＋2 009＝12 009.9．如下图，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长； (2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 9．答案：解：(1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为1 521 cm2.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分）1.在等差数列{}n a 中，已知48a a ＋＝16，则210a a ＋＝( )A.12B.16C.20D.242.已知等差数列{}n a 的公差为d (d ≠0)，且36a a ＋＋1013a a ＋＝32，若m a ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.43.已知不等式2230x x <－－的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项为()A.3B.－1C.2D.3或－14.已知数列{}n a 为等差数列且17134πa a a ＋＋＝，则212tan()a a ＋的值为( )A. 3B.± 3C.－33D.－ 3 5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L ，下面3节的容积共4 L ，则第5节的容积 A.1 L B.6766 LC.4744 LD.3733L6.将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组：{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组：{14,16,18,20,22,24}，则2 010位于第( ) A.30组 B.31组 C.32组 D.33组7.已知方程22(2)(2)x x m x x n －＋－＋＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A.1B.34C.12D.388.在等差数列{}n a 中，若18152a a a ＋＋＝96，则9102a a －＝( )A.24B.22C.20D.－8 9.已知等差数列{}n a 中有两项m a 和k a 满足m a ＝1k，k a ＝1m，则该数列前mk 项之和是( ) A.2m k + B.12mk + C.2m k + D.21mk +10.若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg lg y x ，， lg 2y x-成等差数列，则点P 所表示的图形是( )二、填空题（每小题4分，共16分）11.设等差数列{}n a 的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________. 12.将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列． 13.若数列{}n x 满足1n n x x d －－＝(n ∈*N ，n ≥2)，其中d 为常数，1220x x x ＋＋＋＝80，则516x x ＋＝_____. 14.已知函数()sin tan f x x x ＝＋，项数为27的等差数列{}n a 满足ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差d ≠0.若1()f a ＋227()()f a f a ＋＋＝0，则当k ＝_____时，()k f a ＝0.三、解答题（共54分）15.（12分）求等差数列8，5，2，…的第20项. 16.（14分）已知等差数列{}n a 前三项的和为－3，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式.17.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？18.（14分）数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（n ≥2），设n b =12n a -. （1）判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明； （2）求数列{}n a 的通项公式.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由等差数列的性质，得2104816a a a a ＋＝＋＝，故选B ．2.B 解析：由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝＝，∴ 88a ＝.∴ 8m ＝.3.D 解析：由2230x x <－－及x ∈Z ，得x ＝0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,－1. ∴ 4a ＝3或4a ＝－1.故选D.4.D 解析：由题意可得734πa ＝，∴ 7a ＝4π3，∴ 2127tan()tan(2)a a a ＋＝＝8πtan 3＝2πtan 3＝－ 3. 5.B 解析：设该等差数列为{}n a ，公差为d ，则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d ＝＋＝1322＋766×4＝6766. 6.C 解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2n ＋n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数，若n ＝31，则2n ＋n ＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组． 7.C 解析：设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14. ∵ 122x x ＋＝，∴ 2x ＝74.又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34， 4x ＝54.∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12，故选C.8.A 解析：因为1815296a a a ＋＋＝，所以8496a ＝，所以 8a ＝24.又因为91082a a a ＝＋，所以9108224a a a －＝＝.9.B 解析：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则111(1),1(1),m k a a m d ka a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mk d mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析：由题意可知2lg lg lg2y x x y -＝＋，即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭＝.整理，得222x y xy ＝－. 化简可知(2)()0x y x y －＋＝，即20x y －＝或0x y ＋＝，且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析：∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >，∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.12.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即第252行第2列．13.8 解析：由1n n x x d －－＝知{}n x 是公差为d 的等差数列，∴ 122080x x x ＋＋＋＝⇒12010()80x x ＋＝⇒1208x x ＋＝，∴ 5161208x x x x ＋＝＋＝.14.14 解析：∵ ()sin tan f x x x ＝＋为奇函数，且在0x ＝处有定义，∴ (0)0f ＝. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠，1227()()()0f a f a f a ＋＋＋＝，∴ *(127)n a n n ≤≤∈，N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a ＝，∴ k ＝14. 三、解答题15.解：由18a =，583d =-=-，20n =，得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则21312a a d a a d ＝＋，＝＋.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n ＝－－＝－＋或43(1)37n a n n ＝－＋－＝－. 故35n a n ＝－＋或37n a n ＝－.17.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米处的车费记为111.2a =，公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a .11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2.答：需要支付车费23.2元. 18.解：（1）∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-⨯=，∴ 122n n a =-，∴ 2(1)n n a n +=.。