2018年人教-高中数学必修五-第二章

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

必修五数学第二章知识点必修五数学第二章知识点11、数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1、等差数列通项公式an=a1+（n—1）dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn—Sn—1an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b 则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①Sn=an+an—1+an—2+······+a1=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n 个）=n（a1+an）∴Sn=n（a1+an）÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）亦可得a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷nan=2sn÷n—a1有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d它可以看作等差数列广义的通项公式。

2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时等比数列1.理解等比数列的定义.(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法.(易错点)基础·初探]教材整理1 等比数列的定义阅读教材P44～P45倒数第10行，完成下列问题.1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).(2)符号语言：a n＋1a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋).2.等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列.(2)结论：G叫做x，y的等比中项.(3)满足的关系式：G2＝xy.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列.()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.()(3)等比数列中的项可以为零.( )(4)若a ，b ，c 三个数满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 一定能构成等比数列.( ) 【解析】 (1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列.(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列. (3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，但是反之不成立，比如：a ＝0，b ＝0，c ＝1，则a ，b ，c 就不是等比数列.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 教材整理2 等比数列的通项公式 阅读教材P 45～P 47，完成下列问题. 1.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比.2.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点.1.在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比q ＝3，则通项公式a n ＝________. 【解析】 a n ＝a 1q n －1＝4·3n －1. 【答案】 4·3n －12.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________. 【解析】 ∵a 2＝a 1q ＝2， ① a 5＝a 1q 4＝14，②∴②÷①得：q 3＝18，∴q ＝12. 【答案】 123.在等比数列{a n }中，已知a 2＝3，a 5＝24，则a 8＝________.【解析】 由⎩⎨⎧a 2＝a 1q ＝3， a 5＝a 1q 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32， q ＝2，所以a 8＝32·27＝192. 【答案】 192小组合作型]A.2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B.－1,1，－1,1，－1，…C.0,2,4,6,8,10，…D.a 1，a 2，a 3，a 4，…(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列. 【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定.(2)先利用S n 与a n 的关系，探求a n ，然后利用等比数列的定义判定.【自主解答】 (1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B .由等比数列定义知该数列为等比数列.C .等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列.D .当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列. 【答案】 B(2)证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1，∴a n ＋1＝12a n . 又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝12，∴{a n }是等比数列.判断一个数列{a n }是等比数列的方法： (1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a na n －1n＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1,＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.再练一题]1.已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式.【证明】 由已知得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 故b n ＋1b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－(n ＋1)－3＋n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， ∴数列{b n }是等比数列. ∵b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－1＝14，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14×2n －1＝2n －3.(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A.±4 B.4 C.±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.【导学号：18082031】【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项.(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可.【自主解答】(1)由a n＝18·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.【答案】 A(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).再练一题]2.设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k 等于()A.2B.4C.6D.8【解析】∵a n＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.【答案】 B探究共研型]1q 的等比数列{a n}的通项公式吗？【提示】由等比数列的定义可知：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3， a 5＝a 4q ＝a 1q 4…由此归纳等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1.探究2 由等比数列的定义式a n ＋1a n ＝q (q ≠0)你能用累乘法求出用首项a 1，公比q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项a m 及公比q 表示a n 吗？【提示】 由a n ＋1a n ＝q ，知a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q ，将以上各式两边分别相乘可得a n a 1＝q n －1，则a n ＝a 1q n －1； 由⎩⎨⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1qm －1两式相比得a n a m ＝q n －m ， 则a n ＝a m ·q n －m ，事实上该式为等比数列通项公式的推广.探究3 在等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中，若已知a 1＝2，q ＝12，你能求出a 3吗？若已知a 1＝2，a 3＝8，你能求出公比q 吗？这说明了什么？【提示】 若a 1＝2，q ＝12，则a 3＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12； 若a 1＝2，a 3＝8，则2·q 2＝8， 所以q ＝±2，由此说明在a n ＝a 1q n －1中所含四个量中能“知三求一”.(1)在等比数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求数列{a n }的通项公式a n .【精彩点拨】 (1)先由a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9， 列出方程组，求出a 1，q ，然后再由a n ＝1解出n . (2)根据条件求出基本量a 1，q ，再求通项公式. 【自主解答】 (1)法一 因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ① a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ②由②①得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .1.等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.2.关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.再练一题]3.在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .【导学号：18082032】【解】 (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.(2)因为⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ① a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2.1.在等比数列{a n }中，若a 1＜0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( A.32 B.23 C.－23 D.23或－23 【解析】 由⎩⎨⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27， q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27， q ＝－23.又a 1＜0，因此q ＝－23. 【答案】 C2.如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A.b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C.b ＝3，ac ＝－9D.b ＝－3，ac ＝－9【解析】 因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，a 2＝－1×b ＝－b ＞0，所以b ＜0，所以b ＝－3，且a ，c 必同号.所以ac ＝b 2＝9. 【答案】 B3.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 4＝6，则a 5＝________. 【解析】 法一：由q ＝a 4a 3＝63＝2，所以a 5＝a 4q ＝12.法二：由等比数列的定义知，a 3，a 4，a 5成等比数列，a 4a 3＝a 5a 4，∴a 24＝a 3·a 5，∴a 5＝a 24a 3＝12.【答案】 124.已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 【解析】 由已知可知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.【答案】 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －15.在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8， (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .【解】 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，28－n ＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n －3＝12，解得n ＝9.。