2018年人教-高中数学必修五-第二章-数列测试题(含答案)

2018-2019年高中数学新课标人教A版《必修五》《第二章数列》综合测试试卷【1】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题 1.．在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为( ) A．B． C．D．【答案】B 【解析】2.已知偶函数y=f(x)在区间〔-1,0〕是减函数,又是锐角三角形的两个内角,则（） A f(sin)＞f(cos) B f(sin)＜ f(cos) C f(sin)＞f(sin) D f(cos)＜f(cos)【答案】A【解析】所以；因为偶函数y=f(x)在区故选A间〔-1,0〕是减函数,所以y=f(x)在区间〔0,1〕是增函数；所以 3.在中，，，则A．或B．C．D．【答案】D 【解析】试题分析：考点：两角和的三角函数公式 4.若a>b>0，则下列不等式总成立的是（） A． B．a＋>b＋ C．a ＋>b＋ D．> 【答案】C 【解析】试题分析：，由不等式的加法性质可知成立考点：不等式性质5.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点、两地相距米，，其中到的距离比到的距离远米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）C．米B．米A．米D．米【答案】B 【解析】试题分析：由题意，设，则，在内，由余弦定理：，即，解得．在中，，，由正弦定理：，故该仪器的垂直弹射高.考点：解三角形的实际应用. 6.若,满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，目标函数，可看作与点连线的斜率，结合图形可知，当过与平行时，即重合时，斜率最大．故最大值．故本题答案选．7.若函数，在处取最小值，则=（）C．3D．4A．B．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以＝4，当且仅当，即时等号成立，所以，故选C．考点：基本不等式．【方法点睛】使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．8.已知中，，，，则等于（）B．1D．2A．C．【答案】A【解析】由正弦定理有 ,将已知值代入公式，求得，选A.9.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意a∈(0,1)，由关系式a＝f(a)得＋1nnn* 到的数列{a}满足a>a(n∈N)，则该函数的图象是( )＋1nnn【答案】A【解析】由a>a可知数列{a}为递增数列，又由a＝f(a)>a可知，当x∈(0,1)时，y＝＋1＋1nnnnnn f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.10.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是() A．5B．10C．10D．10 【答案】C【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理，得BB′＝＝＝10 (m)．∴坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°．评卷人得分二、填空题11.如图，四边形 ABCD 为菱形，四边形 CEFB 为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB,CE=1,∠AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小_________【答案】【解析】试题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用正弦定理求出此角即可．由题意，正方形和菱形变成均为1，又平面ABCD⊥平面CEFB，所以CE⊥平面ABCD，于是CE⊥CD，从而DE=在△ADE中，AD=1，DE=，∠AED=30°，由正弦定理可知故∠DAE=45°,又BC∥AD，故异面直线BC与AE所成角等于∠DAE,故答案为：45°考点：异面直线所成角的求解点评:直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A∥a，B∥b，相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决12.当时，函数的最小值为_____________。

学业分层测评(六) 数 列(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.【答案】 B2.数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A.70B.28C.20D.8【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 C3.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A.a n ＝1＋(－1)n ＋1 B.a n ＝1－cos n π C.a n ＝2sin 2n π2D.a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n ＝3和4时，D 选项不满足，故选D.【答案】 D4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )【导学号：18082074】A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列.【答案】 A5.在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( ) A.第100项 B.第12项 C.第10项D.第8项【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 【答案】 C 二、填空题6.已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________.【解析】 由a n ＝19－2n >0，得n <192. ∵n ∈N ＋， ∴n ≤9. 【答案】 97.已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【导学号：18082075】【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或－1， 又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋m ＝2，∴m＝3，∴a n＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.【答案】 28.如图2-1-1是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个.图2-1-1【解析】各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n ＋1)个.【答案】(5n＋1)三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，….【导学号：18082076】【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4 5，4 8，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n＝43n＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n＝n(n＋1)2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1).10.在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有 ⎩⎨⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66， 解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N ＋， 故2 016不是数列{a n }中的项.[能力提升]1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2.已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.(－∞，3)C.(－∞，2)D.(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可.【答案】 B3.根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点.图2-1-2【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点.【答案】 n 2－n ＋14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋).(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？【导学号：18082077】(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项. 【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项.令a n ＝1，得n 2－21n2＝1， 而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2.解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.。

百度文库 - 让每个人平等地提升自我1 数列（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611aa 等于（ ）A ．6B ．23C ．16 D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞ 7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65 B ．65- C ．25 D ．25- 8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．11S D ．10S 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．12 D ．12- 10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 11．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 m B ．15 m C ．16 m D ．17 m 12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大． 16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=， 则101102200()lg x x x +++=________．百度文库 - 让每个人平等地提升自我2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．百度文库 - 让每个人平等地提升自我319．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b Sn c =+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．百度文库 - 让每个人平等地提升自我421．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于百度文库- 让每个人平等地提升自我4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?51 2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（二）答 案一、选择题1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>，∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ．3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ．4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=， ∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ．5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ．6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q -==-，231a a q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q --⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-． ∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ． 8．【答案】B 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=，所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ． 10．【答案】A 【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ． 解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列， 设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =，2 ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ．11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ．12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-，∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-．又451a a q =，∴121168a -==-，∴()()666111212181128S a q q ⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．②联立①②两式得11a =-，2d =，故91818215a a d =-+⨯==+．15．【答案】8 【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >， ∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102 【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅， 故101102200l (g )102x x x ++=+． 三、解答题 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值． 【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，3 ∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩． 所以1)2(1n a a n d n -=++=．（2）由（1）可得2n n b n =+．∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c =+，求非零常数c ．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列，∵342522a a a a +=+=，又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根．又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =．∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩， ∴43n a n =-． （2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=， ∴22n n S n c n c n n b ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c =+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)． 20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ， 求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值． 【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －， ∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥． 11111333a S ==，211433a a =≠． ∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，4 ∴24621161393161167919n n n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=．又因为0q >，解得2q =，2d =．所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－，设{}n c 的前n 项和为n S ，则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++，123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=． 所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==， 令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥． 故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ． 由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >， 即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =． 故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．。

习题课(一) 求数列的通项公式课时过关·能力提升基础巩固1在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( ).A.2B.6C.7D.8 解析:1+2+3+4+…+n =n (n+1)2,当n=6时,共21项,故第25项为7. 答案:C2在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=3a n +2,则a 2 016的值为( ).A.32 015B.32 015-1C.32 016D.32 016-1 答案:D3数列17,29,311,413,…的一个通项公式是( ).A.a n =n 2n+3B.an =n 2n -3 C.a n =n 2n+5D.an =n 2n -5答案:C4已知数列{a n }满足a n+2=a n+1+a n ,若a 1=1,a 5=8,则a 3等于( ).A.1B.2C.3 D .72解析:由a n+2=a n+1+a n ,a 1=1,a 5=8,得a 3=a 2+1,a 4=a 3+a 2,消去a 2得a 4=2a 3-1.又a 5=a 4+a 3=8,即8=3a 3-1,所以a 3=3.故选C .答案:C5已知数列前n 项和S n =2n 2-3n+1,n ∈N *,则它的通项公式为 . 解析:当n=1时,a 1=S 1=0;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5,故a n ={0,n =1,4n -5,n ≥2.答案:a n ={0,n =1,4n -5,n ≥26在数列{a n }中,a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n (n ∈N *),则a 2 016= . 解析:∵a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n ,∴a 1=1,a 2=5,a 3=4,a 4=-1,a 5=-5,a 6=-4,a 7=1,a 8=5. ∴数列{a n }是周期数列,周期为6.∴a 2016=a 6×336=a 6=-4.答案:-47在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n = . 解析:∵a n+1=a n +n+1,∴a n+1-a n =n+1.∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n-1=n ,各式相加得a n -a 1=2+3+4+…+n =(n+2)(n -1)2. 又a 1=2,∴a n =(n+2)(n -1)2+2=n 2+n+22. 答案:n 2+n+22 8已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,则a n = . 解析:∵log 2(S n +1)=n+1,∴S n =2n+1-1.当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2n =2n .∵当n=1时,上式不满足,∴a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.答案:{3,n =1,2n ,n ≥29根据下列条件,求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n +2n ;(2)在数列{a n }中,a n+1=n+2n ·a n ,a 1=4.解(1)∵a n+1=a n +2n , ∴a n+1-a n =2n .∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,a 4-a 3=23,…,a n -a n-1=2n-1,以上各式两边分别相加得a n -a 1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n -1)1-2=2n −2.。

02第二章数列2.1　数列的概念与简单表示法第1课时　数列的概念与简单表示法课时过关·能力提升基础巩固1下列说法不正确的是( ).A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示解析:数列中的项可以相等,如常数列,故选项C 不正确.答案:C2已知在数列{a n }中,a n =n 2+n ,则a 3等于( ).A.3B.9C.12D.20解析:a 3=32+3=12.答案:C3数列1,3,7,15,31,…的一个通项公式为( ).A.a n =2n B.a n =2n +1 C.a n =2n -1 D.a n =2n-1答案:C4在数列{a n }中,已知a n =nn +1,则{an }是( ).A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列解析:∵a n .=n n +1=1‒1n +1,∴{an }是递增数列答案:A5已知数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (n+1),则a 1+a 2+a 3+…+a 10等于( ).A.-55B.-5C.5D.55解析:a 1+a 2+a 3+…+a 10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.答案:C6设数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( ).A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析:易得数列的一个通项公式为a n =3n -1,n=7,7项.令3n -1=25,得即25是这个数列的第答案:B7已知函数f (x )=3x ,点(n ,a n )在函数f (x )的图象上,则数列{a n }的通项公式a n = . 解析:∵点(n ,a n )在f (x )的图象上,∴a n =f (n )=3n .答案:3n8数列152,245,3510,4817,6326,…的一个通项公式为 .解析:观察分子与分母,分母为n 2+1,分子为(n+3)2-1,所以其通项为a n=(n +3)2-1n 2+1=n 2+6n +8n 2+1.答案:a n=n 2+6n +8n 2+19已知在数列{a n }中,a n =5n-3.(1)求a 5;(2)判断27是否为数列{a n }的一项.解(1)a 5=5×5-3=22.(2)令5n-3=27,解得n=6,即27是数列{a n }的第6项.10写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1)23,415,635,863,1099;(2)1,0,‒13,0,15,0,‒17,0.解(1)原数列的前5项可化a n为222-1,2×242-1,2×362-1,2×482-1,2×5102-1,故它的一个通项公式是=2n (2n )2-1=2n 4n 2-1.(2)该数列可写为1,该数列第n 项的分母为n ,分子是si.故它的一个通项,02,-13,04,15,06,-17,08,…n nπ2的值公式是a n=sinnπ2n.能力提升1数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式如下:①a n=1+(-1)n +12;②an =sin 2nπ2;③a n =cos2(n -1)π2;④an ={1,n 是奇数,0,n 是偶数.其中正确的个数是( ).A.1B.2C.3D.4解析:可以验证①②③④均可以是该数列的通项公式.答案:D2已知数列3,5,7,9a-b ,a +b,…,根据前3项给出的规律,则实数对(a ,b )可能是( ).A.(19,3)B.(19,-3)C .(192,32)D .(192,-32)答案:C3已知在数列{a n }中,a n =2n 2-3n+5,则数列{a n }是( ).A.递增数列 B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析:∵a n+1-a n =2(n+1)2-3(n+1)+5-(2n 2-3n+5)=(2n 2+n+4)-(2n 2-3n+5)=4n-1>0,∴数列{a n }为递增数列.答案:A4数列{a n }的通项公式a n =log (n+1)(n+2),则它的前30项之积是( ).A .15B .5C.6D.log 23+log 31325解析:a 1a 2…a 30=log 23×log 34×…×log 3132=lg3lg2×lg4lg3×…×lg32lg31=log 232=log 225=5.答案:B5已知数列{a n }的通项公式a n∈N *),=1n (n +2)(n 则1120是这个数列的第 项.解析:令a nn=10或-12.=1120,得1n (n +2)=1120,解得又n ∈N *,则n=10.答案:106已知数列1,1,2,3,5,8,13,…,则这个数列的第12项为.解析:由数列所给的前几项知,从第三项起,每一项是前面两项的和,所以第12项为144.答案:144★7已知数列{a n }的通项公式为a n =3n+1,是否存在m ,n ,k ∈N *,满足a m +a n+1=a k ?如果存在,求出m ,n ,k 的值;如果不存在,请说明理由.解由a m +a n+1=a k ,得3m+1+3(n+1)+1=3k+1,化简得k=m+n+43.∵m ,n ∈N *,∴m+n ∉N *,而k ∈N *,+43∴不存在m ,n ,k ∈N *,使等式成立.。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：10．已知数列{}na 中，，31=a前n 和1)1)(1(21-++=n na n S．①求证：数列{}na 是等差数列； ②求数列{}na 的通项公式； ③设数列⎭⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为nT ，是否存在实数M ，使得MTn≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n nn a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}na 为等差数列． ②1)1(311-+==+n n a n na a，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n+++，要使得三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：1113. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且acb ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①qp n ma a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ，③{}na 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则SqS=偶奇．⑤n n mn mSS q S +=+⋅．⑥，，，时，n n n nnS S S SS q 2321---≠仍成等比数列．6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}na 是等差数列⇔{})10(≠>c c c na ，是等比数列；②{}na 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c，是等差数列；③{}na 既是等差数列又是等比数列⇔{}na 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列；②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a{}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k Sn n,)1({}n a 为等比数列．性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．703．⑴在等比数列{}na 中，143613233+>==+n n a a a a a a，，．①求na ，②若nn nT a a a T求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式nn a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}nb 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}na lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果=m a 在等差数列中有nm na a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果qp n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}nb ，则有qp n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列．A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21C ．1或－1D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( ) A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89a b B ．(ab )9 C ．910a b D ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}na 中，公比2q =，且30123302a aa a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a aa a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_________，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a且na an n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=na ．．15.512 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n＋(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)qn－1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2Sn ，∴q ≠1 根据已知条件∴S 3n ＝q a -11(1－q 3n)＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )20．求和：S n ＝1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1(x ≠0)．解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)xn －1， ①等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋xn －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66， ∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64，∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．∴q =2，由a n =a 1qn －1得2n －1=32， ∴n =6．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2) 解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

第2课时 等比数列的性质课时过关·能力提升基础巩固1在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,则公比q 为( ).A.2B.3C.4D.8答案:A2对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ).A.a 1,a 3,a 9成等比数列B.a 2,a 3,a 6成等比数列C.a 2,a 4,a 8成等比数列D.a 3,a 6,a 9成等比数列答案:D3已知等差数列a ,b ,c 三项之和为12,且a ,b ,c+2成等比数列,则a 等于(). A.2或8 B.2C.8D.-2或-8解析:由已知得{a +c =2b ,a +b +c =12,a (c +2)=b 2,解得{a =2,b =4,c =6或{a =8,b =4,c =0.故a=2或a=8.答案:A4等比数列{a n }的公比q=−14,a1=√2,则数列{an}是( ).A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列解析:由于公比q=−14<0,所以数列{a n }是摆动数列.答案:D5已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1= ,d= .解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,即{(a 1+2d )2=(a 1+d )·(a 1+6d ),2a 1+a 1+d =1,解得{a 1=23,d =-1.答案:23 −1 6若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20= . 答案:507在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的积为 .解析:设此三个数为x ,y ,z ,即数列83,x,y,z,272构成等比数列.。

高中数学必修五第二章单元测试题《数列》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210B.129C.110D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的1320．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n .高中数学必修五第二章单元测试题《数列》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 D2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．83 答案 B3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.3115 答案 A5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C. 6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln nn －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B11．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n 答案 B12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210B.129 C.110 D.15 答案 D解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n}为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n . ∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －9解析 由题意得a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋9)，解得a 1＝－12.所以a 2＝－12＋3＝－9.14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． 答案 n 22－n2＋3(n ≥3)解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3(n ≥3)．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.答案 4 解析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋89)＝4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．答案 a n ＝2＋(n －1)×2＝2n18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ， a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200； 当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13 答案 (1)1 458辆 (2)2011年底20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1. c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 1(1－q 10)1－q ＋10b 1＋10×92d＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析 (1)a n ＝12n ，n ＝1,2，…(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－(12＋222＋…＋n 2n )， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1)，② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(12＋122＋…＋12n )＋n 2n ＋1＝n (n ＋1)4－12(1－12n )1－12＋n 2n ＋1， 即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n 2n －2.。

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是().A.1B.-1,2,-3,4,…C.-1,D.1解析:A项中数列是递减的无穷数列,B项中数列是摆动数列,D项中数列是递增的有穷数列.答案:C2若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于().A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的().A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项解析:a1=1×2=1×(1+1),a2=2×3=2×(2+1),a3=3×4=3×(3+1),a4=4×5=4×(4+1),…,a n=n(n+1),令n(n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列{a n}的第24项.答案:B4在等比数列{a n}中,若a2a3a6a9a10=32,A.4B.2C.-2D.-4解析:设公比为q,由a2a3a6a9a10=32,a6=2,所答案:B5若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S11A解析:S11则a6a6=答案:B6若数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8等于().A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则解所以S8=8a1=8答案:B7若等比数列{a n}各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,A.2 B解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0.∵a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q答案:C8已知等差数列{a n}的前n项和为S n,A.1 006B.1 008C.2 006D.2 008解析:∵A,B,C三点共线,∴a1+a2 016=1.∴S2 016008.答案:B9已知在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1≥2),则数列{a n}的前9项和等于().A.20B.27C.36D.45答案:B10设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数A答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案:1012若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=,前n项和S n=.解析:由题意知q∵a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴S n答案:22n+1-213若数列{a n}的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a值构成,则数列{a n}的一个通项公式a n=.解析:由题中程序框图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,a n=a n-1+n,即a n=1+2+3+…+(n-1)+n答案:14已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=.解析:当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2;当n≥2时,S n-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,所以a n=S n-S n-1=(n2+2n-1)-(n2-2)=2n+1.此时若n=1,则a n=2n+1=3≠a1,所以a n故a1+a3+a5+...+a25=2+(7+11+15+ (51)=2答案:35015中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.解析:由题意知,1 010为数列首项a1与2 015的等差中项,010,解得a1=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解设该数列公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列{a n}的前n项和S n=4n或S n17(8分)已知数列{a n}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{b n}的前n项和是T n,且T n(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和T n.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意,解得a1=2,d=4.故a n=2+4(n-1)=4n-2.(2)当n=1时,b1=T1,由T1b1当n≥2时,∵T n∴T n=1∴T n-T n-1∴b n∴数列{b n}是.∴T n18(9分)已知首项∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n∈N*),求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{a n}的公比为q.因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2又数列{a n}不是递减数列且a1q=故等比数列{a n}的通项公式为a n(2)由(1)得S n=1当n为奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1故0<S n≤S1当n为偶数时,S n随n的增大而增大,所≤S n<1,故0>S n≥S2综上,对于n∈N*,总≤S n所以数列{T n}最大项的值19(10分)已知{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项公式a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解(1)因为{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以a n=19-2(n-1)=-2n+21,即a n=-2n+21,S n=19n即S n=-n2+20n.(2)因为{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以b n-a n=3n-1,即b n=3n-1+a n=3n-1-2n+21,所以T n=b1+b2+…+b n=(30+a1)+(3+a2)+…+(3n-1+a n)=(30+3+…+3n-1)+(a1+a2+…+a n)20(10分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,q=2,或q=-1.又由S6=a1·q≠-1,所以a1·a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n即{b n}是首项1的等差数列.设数列{(-1)n项和为T n,则T2n=(+( =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n。