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理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析

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理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。

曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。

试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。

解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A+= （2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R =ϕθr R =， ϕϕrrR A+=（4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R tr R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。

试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。

解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。

作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。

则角速度杆AB习题6-1图A BCv 0hθ 习题6－2图 P ωAv CA BC v oh θ 习题6－2解图习题6-6图习题6-6解图l ϕυl2BO 1ωABAυB υO1O ABωω解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。

图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。

6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =21AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。

试求当示。

ϕ= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。

解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOAvAABrad/s ωl v B3=2.531===ωωl v BBO rad/s6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图333.16.08.03.09.0==-=AOv ωrad/s 2.1689.09.0=⨯==OO v ωm/s 卷轴向右滚动。

ωω习题6-5解图OO 1ABCOO 1A BDv Bvvvv Bv vP(a (b习题6-7图(a)o90DCv Bv CAv ABωOE(b)DED v v =A CBCv ωAv DOE6－8 图示两齿条以速度1v 和2v 作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。

解：如图，以O 为基点：r v v OOω+=1r v v OOω-=2解得：221vv v O+= rv v O 221-=ω6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度ω= 20rad/s ，试求当曲柄OA 在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE 的速度。

已知OA = 400mm ，AC = CB = 20037mm 。

解：OA 定轴转动；AB 、CD 平面运动，DE 平移。

1．当ϕ= 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图（a ）表示ϕ= 90°情形，此时AB 瞬时平移，v C 水平，而v D 只能沿铅垂， D 为CD 之瞬心 v DE = 0同理，ϕ= 270°时，v DE = 0A1vOB2vA1vOB2vvω习题6－8图 习题6－8解图习题6－9图2．ϕ= 180°，0°时，杆AB 的瞬心在Bϕ= 0°时，图（b ），ACv v 21=（↑） 此时CD 杆瞬时平移421====ACDDEv v v v m/s （↑） 同理ϕ= 180°时，v DE = 4m/s （↓）6－10 杆AB 长为l = 1.5 m ，一端铰接在半径为r = 0.5 m 的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。

轮沿地面作纯滚动，已知轮心O 速度的大小为v O = 20 m/s 。

试求图示瞬时（OA 水平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。

解：轮O 的速度瞬心为点C ，杆AB 的速度瞬心为点P 405.020===r v OOωrad /s2202==r v O A ωm/sθωcos 5.145sin 220︒==AP v A AB 210==14.1 rad/s)45cos(cos θθ+︒=A B v v9.12)tan 45sin 45(cos 220=︒-︒=θB v m/s6－11 图示滑轮组中，绳索以速度v C = 0.12m/s 下降，各轮半径已知，如图示。

假设绳在轮上不打滑，试求轮B 的角速度与重物D 的速度。

解：轮B 瞬心在F 点 v E = v C112.012.0102603==⨯⨯=-EBv ωrad/s AO v B A O v B Cvv P习题6－10图习题6－10解图ωωθ 习题6－9解图Fr υο60ωDE GυOAeυAυe ωC DυFEυG06.02121====C E B D v v v v m/s习题6－11图6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA 为一摇杆，且CA ⊥DE 。

曲柄OA = 200mm ，CO = CE = 250mm ，曲柄转速n = 70r/min ，CO = 2003mm 。

试求当ϕ= 90°时（这时OA 与CA 成60°角）F 、G 两点的速度的大小和方向。

解：动点：OA 上A ；动系：DCEA ；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。

3π4.130π2.0=⨯=⋅=n OA v Aωm/s π37.021e ==Av v m/s 12π74.03π7.0ee=⨯==CA v ωrad/s 48π7254.0===eD E v v ωm/s 397.02348π730cos =⋅=︒=E G v v m/s （→）397.0==G F v v m/s（←）6－13 平面机构如图所示。

已知：OA = AB = 20 cm ，半径r = 5 cm 的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。

在图示位置时，OA 水平，其角速度ω = 2 rad/s 、角加速度为零，杆AB 处于铅垂。

试求该瞬时：（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB 的角加速度。

习题6－12图习题6－12解图解：（1） 圆轮的角速度和角加速度cm /s 40=⋅=ωOA v A杆AB 瞬时平移，ωAB = 0cm /s 40==A B v vrad/s 8==r vB B ω0n==BA B a a0==raB B α（2）杆AB 的角加速度。

0t=-BA A a a ，22t cm /s 80=⋅==ωOA a a A BA2trad/s 4==ABa BA ABα6－14 图示机构由直角形曲杆ABC ，等腰直角三角形板CEF ，直杆DE 等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE 杆绕D 轴匀速转动，角速度为0ω，求图示瞬时（AB 水平，DE 铅垂）点A 的速度和三角板CEF 的角加速度。

解： （1）求点A 的速度0ωωa DE v E =⋅=三角板CEF 的速度瞬心在点Fωa v v E C == 曲杆ABC 的速度瞬心在点O02ωa OA OCv v CA =⋅=（2）求三角板CEF 的角加速度n t n t FEFE E F F a a a a a ++=+将上式沿水平方向投影t n ==FE F a a （因为v F = 0）0t==FEa FE CEFαAOB C ω习题6－13解图AOB C ωvv a atBAa (a )(b )习题6—14解图vv vaa n FE a t Fan Fa t FEa O(a )(b)6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C 以铰链与CD 相连接，DE 杆可以绕E 点转动。

如曲柄的角速度rad/s 8=ω，且cm 25=OA ，cm 100=DE ，若当B 、E 两点在同一铅垂线上时，O 、A 、B 三点在同一水平线上，ο90=∠CDE ，求杆DE 的角速度和杆AB 的角加速度。

解：（1）求杆DE 的角速度cm /s200=⋅=ωOA v A杆AB 的速度瞬心在点Bcm/s 1002==ACv v对杆CD 应用速度投影定理 cm /s 5030sin =︒=CDv vrad/s 5.0==DEv DDEω （2）求杆AB 的角加速度n t BABA AB a a a a ++= 将上式沿铅垂方向投影t 0BAa =， 0t ==ABaABABα6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA 和摇杆O 1B 在铅垂位置时，B 点的速度和加速度（切向和法向）。

曲柄OA 以等角加速度0α= 5rad/s 2转动，并在此瞬时其角速度为0ω= 10rad/s ，OA = r = 200mm ，O 1B = 1000mm ，AB = l = 1200mm 。

解：1．v ：0ωr v A= v B //v A ∴ 0=ABω2102.00=⨯==ωr v Bm/s （1）2．a ：t t n t n BAA AB B a a a a a ++=+ 上式沿AB 方向投影得：θθθθcos sin cos sin t n t n AA B B a a a a +=+ω习题6—15解图 ω v v t BAaavaa n BAa(a)(b )习题6－16解图(a)v vtBAan Aa n A a n Bat Aat Aa t Ba θ(b)即169.0169.0tan tan 12020n t n t ⋅-+⋅=-+=BO v r r a a a a BB A A B αωθθ70.352.0169.0)12102.0(22=⨯+⨯-⨯=m/s 2（169.04.12.02.02.12.0tan 22==-=θ）4122n ==Ba m/s 2Ba ：⎪⎩⎪⎨⎧==2t2n m/s 7.3m/s 4BB B a a a （方向如图）6－17 图示四连杆机构中，长为r 的曲柄OA 以等角速度0ω转动，连杆AB 长l = 4r 。

设某瞬时∠O 1OA =∠O 1BA = 30°。

试求在此瞬时曲柄O 1B 的角速度和角加速度，并求连杆中点P 的加速度。

解：1．v ：0ωr v A=由速度投影定理知：v B = 001=BO ω4ωωω===l r AB v AAB2．a ：t n tBABAABBa a a a a ++== 上式向a A 投影 n t 60cos BAABa a a +=︒)(2)(2220n t ABBA ABl r a a a ωω+=+=20202025)4(42ωωωr r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2020t t 1t 235253530cos 230cos 251ωωα=⋅=︒=︒==r r r a r a BO aBBBB O 2020t t 435252330cos ωωr r a a B BA =⋅=︒=t n PAPA A P a a a a ++=20ωr a A =，202n82ωωr r aAB PA==，20t t 83521ωr a aBA PA==2220222t 2n 56.1)()835()811()()(ωωr r a a a a PAPAA P =⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=vv(a )习题6－17解图n BAa a at BAaa a n PAa t PAa (b )6－18 滑块以匀速度v B =2m/s 沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB 带动轮子A 沿水平面作纯滚动。

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理论力学习题答案

理论力学习题答案

2.3.11图示桁架系统上，已知：F=1500kN，L1=4m， L2=3m。试求桁架中各杆（1，2，3，4，5，6，7）的内力。
第三章 空间力系
一、是非题判断题
3.1.1对一空间任意力系，若其力多边形自行封闭，则该力系的主矢为零。 （∨）
平面力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（×）
3.1.2只要是空间力系就可以列出6 个独立的平衡方程。 （×）
2.3.4悬臂式吊车的结构简图如图所示，由DE、AC二杆组成，A、B、C为铰链连接。已知P1=5kN，P2=1kN，不计杆重，试求杆AC杆所受的力和B点的支反力。
（答案：FBx=3.33kN，FBy=0.25kN，FAC=6.65kN）
2.3.5由AC和CD构成的组合粱通过铰链C连接，它的支承和受力如图所示，已知均布载荷强度q=10kN/m，力偶矩M=40kN.m，不计梁重，求支座A、B、D的约束反力和铰链C处所受的力。
3.1.3若由三个力偶组成的空间力偶系平衡，则三个力偶矩矢首尾相连必构成自行封闭的三角形。（∨）
3.1.4空间汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力为零；空间力偶系平衡的充分和必要条件是力偶系的合力偶矩为零。（∨）
二、填空题
3.2.1若一空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，则此力系有5个独立的平衡方程。
3.3.3如图所示，三圆盘A、B、C的半径分别为15cm、10cm、5cm，三根轴OA、OB、OC在同一平面内，∠AOB为直角，三个圆盘上分别受三个力偶作用，求使物体平衡所需的力F和α角。
3.3.4某传动轴由A、B两轴承支承。圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3cm，压力角 =20º，在法兰盘上作用一力偶矩为M=1030N.m的力偶，如轮轴的自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时A、B两轴承的约束反力。（答案：FAx=4.2kN，FAz=1.54kN，FBz=7.7kN，FBz.=2.79kN）
理论力学-刚体的平面运动

理论力学-刚体的平面运动

表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA

vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B

刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω

求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω

作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60

vD
60
理论力学06_4刚体平面运动_加速度

理论力学06_4刚体平面运动_加速度

§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。

设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。

以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。

因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。

相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。

由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。

t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。

因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。

当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。

例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。

理论力学简明教程第六章答案

理论力学简明教程第六章答案

第六章 分析力学滔滔长江东逝水，浪花淘尽英雄。

达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。

长江后浪推前浪，你或许在此能够加倍“忘乎因此‘。

微分方程将叱咤风云。

[要点分析与总结]1虚功原理：（平稳时）理想条件下，力学系的平稳条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：10ni i i W F r δδ==•=∑用广义坐标来表述：310n ii i x W F q q ααδδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 1()0ni i i i i W F m r r δδ==-•=∑〈析〉r δ，W δ均是在时刻未转变（0dt =）时所假想的量，而广义坐标a q 能够是角度，长度或其它的独立的坐标变量。

3拉格朗日方程()d T TQ dt q q ααα∂∂-=∂∂ (1,2,3,,)a s =在保守力下，取拉氏数 L T V =-方程为：()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ 假设拉氏数中L 不显含广义坐标q β，那么：0Lq β∂=∂ 即 循环积分： Lp const q ββ∂==∂ 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正那么方程 （1） 哈密顿函数1(,,)sH p q t L p q ααα==-+∑式中T Lp q q ααα∂∂==∂∂为广义坐标动量 （2） 正那么方程Hq P Hp q H Lt tαααα∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,)a s =假设哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，那么：0Hp q ββ∂=-=∂ 即：循环积分 Tp const q ββ∂==∂ 在稳固条件下（H 中不显含t ），12sp q T ααα==∑那么有能量积分：H T V =+6泊松括号1[,]()sG H G HG H q p p q ααααα=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正那么变换 （1）哈密顿原理保守力系下：210t t Ldt δ=⎰概念：21t t S Ldt =⎰为主函数（3） 正那么变换通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正那么方程的形式不变（相当于坐标变换）。