北师大八年级不等式培优上课讲义

【2】不等式含参问题、三角形的综合考点一：根据不等式的解集情况求参数例1、若关于x的一元一次不等式组有三个整数解，则m的取值范围是．变式1：若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是．变式2：关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是．考点二：“新定义”在不等式中应用求参数例2、新定义：对非负数x“四舍五入“到个位的值记为＜x＞，即当n为非负数时，若n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…试回答下列问题：（1）填空：①＜9.6＞＝；②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是．（2）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求＜m＞的值；（3）求满足＜x＞＝x的所有非负实数x的值．变式1：．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：（1）①＜π+2.4＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为；（2）求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．变式2：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．（1）在方程①5x﹣3＝0，②x﹣3＝0中，不等式组的关联方程是．（填序号）；（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是．（写出一个即可）；（3）若方程x＝2与x＝3都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．考点三：与三角形有关的性质及计算1例3、已知等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角为40度，那么它的顶角为．变式1：已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为度．变式2：等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为．变式3：如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长．变式4：如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC 于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．变式5：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE ＝3cm，则BF＝cm．变式6：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为．考点四：与三角形有关的最值问题例4、如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为cm．例5、如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．例6、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值＝．变式1：如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为cm．变式2：如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是．变式3：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝．变式4：如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．变式5：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是．考点五：与三角形有关的证明及计算例7、（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE＝CD；（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝60米，AC＝AE，求BE的长．变式1：（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC＝；②线段AD，BE之间的数量关系；（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝12，DE＝7，求AB的长度；（3）如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝4，CP ＝3，DP＝7，求BD的长．变式2：如图1，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM （点D 与点A 重合除外）上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边△CDE ，连接BE ． （1）判断AD 与BE 是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB ＝8，点P 、Q 两点在直线BE 上且CP ＝CQ ＝5，试求PQ 的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AM 的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ 的长是否为定值，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．考点五：一次函数综合 如图，直线l 1的解析表达式为112y x =+，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 4,0)（、B (1,5)-，直线l 1与l 2交于点C ． （1）求直线l 2的函数关系式； （2）求△ADC 的面积；（3）在直线l 2上是否存在一点P ，使得△CDP 的面积为6？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

北师大八年级不等式培优 Prepared on 24 November 2020第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组【知识总结】一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 三. 不等式的解集:※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. ¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.※3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >; ②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x <; 五. 一元一次不等式组※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.※3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b) 一元一次不等式解集 图示 叙述语言表达x>b 两大取较大x>a 两小取小 a<x<b 大小交叉中间找无解 在大小分离没有解(是空集)【培优训练】一、选择题(每小题3分，共30分)1..下列不等式一定成立的是( )＞4a +2＜x +3 C.－a ＞－2a D.aa 24> 2.不等式－3x +6＞0的正整数有( )个 个 个 D.无数多个3. .在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A.－8＜x ＜8 ＜－8或x ＞8 ＜8 ＞84.若不等式组⎩⎨⎧>≤11x m x 无解，则m 的取值范围是( ) ＜11 ＞11 ≤11 ≥115.要使函数y =(2m －3)x +(3n +1)的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为( )＞23，n ＞－31 ＞3，n ＞－3 ＜23，n ＜－31 ＜23，n ＞－316. 如右图，当0<y 时，自变量 x 的范围是（ ）A 、2-<xB 、2->xC 、2<xD 、2>x7. 如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ）A 、x x x 12<<B 、x x x 12<<C 、21x x x <<D 、x x x<<21 8. 若a>b>0, 则下列结论正确的是 （ ）(A) -a>-b (B)ba 11> (C)a 3<0 (D)a 2>b 29.某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中52环,如果他要打破89环(10次射击)的记录，第七次射击不能少于（ ）环（每次射击最多是10环）A 、5B 、6C 、7D 、810.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要元，洗一张相片需要元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足元，那么参加合影的同学人数 .Ａ．至多6人Ｂ．至少6人 Ｃ．至多5人 Ｄ．至少5人11.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-->84332x x 的最小整数解为 ( ) (A)–1 (B) 0 (C)1 (D) 412、如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ）A 、x x x 12<<B 、x x x 12<<C 、21x x x <<D 、x x x<<21 13、在平面直角坐标系内，点P （3-m ，5-m ）在第四象限，则m 的取值范围是（ ）A 、35<<-mB 、53<<-mC 、53<<mD 、35-<<-m二、填空题：（每题3分，共15分）1、若11|1|-=--x x ，则x 的取值范围是_______ 2、 如果关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和42<x 的解集相同，则a 的值为________．3、若b a <，用“＜”或“＞”号填空：2a______b a +，33a b -_____． 4、 点A （－5，1y ）、B （－2，2y ）都在直线x y 2-=上，则1y 与2y 的关系是 。

第5讲一元一次不等式1．掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；2．理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；3．掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．知识点01 不等式的相关概念1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“＞” 、“＜” 、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．【知识拓展】（2021春•萍乡期末）“实数x不小于6”是指（）A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6【即学即练】（2021春•建平县期末）据天气预报，2021年7月5日建平县最高气温是25℃，最低气温是22℃，则当天我县气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞25 B．t≤22 C．22＜t＜25 D．22≤t≤25知识点02 不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a c＞bc）．知识精讲目标导航性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c＜b c）． 要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 【知识拓展1】（2021春•饶平县校级期末）若2a +3b ﹣1＞3a +2b ，试比较a ，b 的大小．【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列式子不一定成立的是（ ） A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．C ．ac ＞bcD ．ac ＞bd【即学即练2】（2021秋•澧县期末）若a ＞b ，则﹣2a ﹣2b ．（用“＜”号或“＞”号填空） 【即学即练3】（2021春•万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题． （1）①如果a ﹣b ＜0，那么a b ； ②如果a ﹣b ＝0，那么a b ； ③如果a ﹣b ＞0，那么a b ； （2）比较2a 与a 的大小． （3）若a ＞b ，c ＞d ． ①比较a +c 与b +d 的大小； ②比较a ﹣d 与b ﹣c 的大小．【即学即练4】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范围．【即学即练5】（2021春•饶平县校级期末）根据要求，回答下列问题：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为．【即学即练6】（2021•连州市模拟）已知a＞b，则下列结论正确的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a+c＞b+c C．3a＜3b D．ac＞bc【即学即练7】（2021春•潍坊期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是．A．a+2＞b+2 B.＜C．﹣2a＜﹣2b D．a2＜b2【即学即练8】（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．知识点03 一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．【知识拓展1】（2021春•皇姑区校级期中）若x2m﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m＝．【即学即练1】（2021春•饶平县校级期末）已知（b+2）x b+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．【即学即练2】（2021春•平川区校级期末）在数学表达式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练3】（2021•南岗区校级开学）下列各式中，是一元一次不等式的有（）（1）x+2+x2＜2x﹣5+x2；（2）2x+xy+y；（3）3x﹣4y≥0；（4）﹣5＜x；（5）x≠0；（6）a2+1＞5．A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练4】（2021春•甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x＜y B．a2+b2＞0 C．＞1 D．＜0【即学即练5】（2021春•冠县期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝．【知识拓展2】（2021秋•肇源县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是．【即学即练1】（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（）A．﹣3 B．C．D．2【即学即练2】（2021•河南模拟）用三个不等式x＞﹣4，x＜﹣1，x＞1中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【即学即练3】（2021•新野县三模）已知关于x的不等式组有实数解，则m的取值范围是．【即学即练4】（2021春•沭阳县期末）如图，是关于x的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为．【即学即练5】（2021春•陆河县校级期末）如图，此不等式的解集为．【即学即练6】（2021春•天津期末）分别用含x的不等式表示如图数轴中所表示的不等式的解集：②；②．【即学即练7】（2021•潮阳区模拟）把某个关于x的不等式的解集表示在数轴上如图所示，则该不等式的解集是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【即学即练8】（2021春•抚州期末）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为．【即学即练9】（2021春•饶平县校级期末）解不等式7﹣2x＞（1﹣）2，把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解．【即学即练10】（2019•衢江区二模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1和﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）将x的取值范围在数轴上表示出来．【知识拓展3】（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足（）A．a＝B．a＞C．a＜D．a＝﹣【即学即练1】（2021秋•济南期末）不等式﹣3x≤6的解集为．【即学即练2】（2021秋•鹿城区校级期中）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，则m的取值范围为．【即学即练3】（2021秋•肇源县期末）若关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【即学即练4】（2021•安徽模拟）解不等式≤．【即学即练5】（2021•永定区模拟）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在数轴上表示出来．【即学即练6】（2021秋•清镇市期中）已知点M（﹣6，3﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是．【知识拓展4】（2021•陕西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．【即学即练1】（2021•长兴县模拟）整数x满足不等式2x+1＜8，则x的值可能是.（写出一个符合的值即可）【即学即练2】（2021春•聊城期末）解不等式，并写出它的负整数解．【即学即练3】（2021春•鞍山期末）解不等式（1﹣2x ）≥；并写出它所有的非负整数解．【即学即练4】（2021秋•朝阳区校级期中）不等式4（x ﹣2）＜2x ﹣3的非负整数解的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1.比较a b +和a b -的大小．2.等式()()52186117x x -+<-+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a 的值．3.解不等式：11315111x x x x ++>+-++．能力拓展分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足（）A．a＝B．a＞C．a＜D．a＝﹣2．（2021•锦江区校级开学）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．am＜bm C．a﹣3＞b﹣3 D．3．（2021秋•龙凤区期末）已知a＜b，则下列不等式错误的是（）A．a﹣7＜b﹣7 B．ac2＜bc2C．D．1﹣3a＞1﹣3b4．（2021秋•杜尔伯特县期末）若m＜n，则下列各式正确的是（）A．﹣2m＜﹣2n B．C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2二．填空题（共6小题）5．（2021秋•肇源县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是．6．（2021秋•瓯海区月考）根据“3x与5的和是负数”可列出不等式．7．（2021秋•青羊区校级期中）﹣＜x＜的所有整数的和是．8．（2021秋•济南期末）不等式﹣3x≤6的解集为．9．（2021秋•澧县期末）若a＞b，则﹣2a﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）10．（2020秋•开化县期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，则a的取值范围是．三．解答题（共2小题）11．（2021春•澄城县期末）已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求这个不等式的解集．12．（2021春•秦都区月考）解不等式：3x ﹣4＜4+2（x ﹣2）．题组B 能力提升练一、单选题1．在数学表达式：30-<，+a b ，3x =，222x xy y ++，5x ≠，23x y +>+中，是一元一次不等式的有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．不等式x ﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．不等式2﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，是关于x 的不等式2x ﹣a≤﹣1的解集，则a 的取值是（ ）A ．a≤﹣1B ．a≤﹣2C ．a=﹣1D ．a=﹣25．已知关于x 的不等式(1)2a x ->的解集为21x a<-，则a 的取值范围是（ ） A ．0a >B ．1a >C ．0a <D ．1a <6．若方程3(1)1(3)5m x m x x ++=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．54m >B ．54m <C ．54m >-D ．54m <-7．若关于x 的不等式mx m nx n +<-+的解集为23x >-，则关于x 的不等式2mx m nx n ->-的解集是（ ） A ．43x >B ．43x <C ．43x >-D ．43x <-二、填空题8．不等式5x-9≤3(x+1)的解集是________.9．已知不等式3x -0a ≤的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是_________________. 10．不等式112943x x ->+的正整数解的个数为___________________． 11．当x _____________时，21x -的值小于32x +的值． 12．不等式442x x ->-的最小整数解为_____． 13．（1）已知x a <的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是________． （2）已知x a >的解集中最小整数为-2，则a 的取值范围是________．14．若不等式2113x -≤中的最大值是m ，不等式317x --≤-中的最小值为n ，则不等式nx mn mx +<的解集是________． 三、解答题15．解一元一次不等式532122x x ++-<．16．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1）6327x x ->-； （2）21123x x -+-≤．17．已知，关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜10 7．（1）求ba的值．（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．题组C 培优拔尖练1．列式计算：求使的值不小于的值的非负整数x．2．已知不等式5（x﹣2）﹣9＞7（x﹣11）+36，它的最大整数解恰好是方程x﹣ax＝20的解，求a的值．3．为了保护环境，池州海螺集团决定购买10台污水处理设备，现有H和G两种型号设备，其中每台价格及月处理污水量如下表：H G价格（万元/台）1512处理污水量（吨/月）250220经预算，海螺集团准备购买设备的资金不高于130万元．（1）请你设计该企业有几种购买方案？（2）哪种方案处理污水多？。

不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、知道不等式的意义；2、知道不等式的解集的含义；3、会在数轴上表示解集.1．不等式用 或 号表示大小关系的式子，叫做不等式．与方程类似，把使不等式成立的____________叫做不等式的解,解的集合简称______. 类似于一元一次方程，含有___未知数，未知数的次数是___的不等式，叫做一元一次不等式.2. 不等式的性质性质1 不等式两边加（或减） ________，不等号的方向不变．如果a b >，那么a c ± ____b c ±.性质2 不等式两边乘（或除以） ________，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么ac ____bc （或a c ______b c）. 性质3 不等式两边乘（或除以） ________，不等号的方向改变． 如果,0a b c ><，那么ac ____bc （或a c ______bc ）. 3. 不等式在数轴的表示方法在数轴上画实心圆点，表示取值范围包括这个数；空心圆点表示不包括这个数. 参考答案：1. > < 未知数的值 解集 一个 12. 同一个数（或式子） > 同一个正数 > 同一个负数 <1、解不等式【例1】解不等式 321x x <+【解析】解未知数为x 的不等式，就是要使不等式逐步化为x a >或x a <的形式.解： 321x x <+32212x x x x -<+-1x <.这个不等式的解集在数轴上的表示如下图.总结：解不等式即将不等式化为x a >或x a <的形式.练1.解不等式11622x x >-+，并将解集表示在数轴上. 【解析】将含有x 项的移到不等式的同一边，化为x a >的形式，即可求解． 解：11622x x >-+ 11622x x +> 6x >练2.当x 取什么值时，式子365x -的值为（1）零；（2）正数；（3）小于1的数. 【解析】利用不等式的性质，正数即原式＞0，小于1的数即原式＜1，再将不等式化为x a >或x a <的形式，即可求解．解： （1） 3605x -= 360x -=36x =2x =（2） 3605x -> 360x ->2x >（3） 3615x -<365x -<311x <113x < 练3. （2015春•崇安区期中）x 取什么值时，代数式134x --的值不小于3(1)28x ++的值. 【解析】依据题意列出不等式方程，再利用不等式的性质变形，即可求解．解： 13(1)3248x x -+-≥+ 242(1)163(1)x x --≥++518x +≤75x ≤2．解一元一次不等式【例2】某长方体性质的容器长5cm ，宽3cm ，高10cm.容器内原有水的高度为3cm ，现准备向它继续注水.用V （单位：cm 3）表示新注入水的体积，写出V 的取值范围．【解析】根据原有体积加新注入体积之和不超过容器的容积，列出不等式求解.解：新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即 3533510V +⨯⨯≤⨯⨯105V ≤又由于新注入水的体积V 不能是负数，因此，V 的取值范围是0V ≥且105V ≤在数轴上表示V 的取值范围：总结：在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包括这两个数.练4.求不等式361336x x --->-的非负整数解. 【解析】利用不等式的性质，变形后，结合非负整数即可求解.解：266118x x --+>-413x ->-134x < ∵x 为非负整数，即x 的值为0，1，2，3.练5.（2014春•大兴区一模）求不等式2(43)5(512)36x x-+<的所有负整数解.【解析】利用不等式的性质，变形后，结合负整数解即可求解.解：2(43)5(512) 36x x-+<4(43)5(512) x x-<+8x>-∵x为负整数，即x的值为-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1.【例3】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？【解析】我们已知“三角形两边之和大于第三边”，利用不等式可以表示这种关系，然后再使不等式变形，得出三角形两边之差与第三边的关系．解：设,,a b c为任意一个三角形的三条边的边长，则,,.a b c b c a c a b+>+>+>由式子a b c+>移项可得,.a cb bc a >->-类似地，由式子b c a+>及c a b+>移项可得,c a b b a c>->-及,c b a a b c>->-这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.练6.三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）.A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm【解析】根据三角形三边的关系即可求解.解：9-4<第三边<9+4即5<第三边<13：故选B.练7.已知关于x的方程2233x m xx---=的解是非负数，m是正整数，求m的值.【解析】先解关于x的方程，并用含有m的代数式表示x的解，再依据为x非负数即0x≥，将含有m的代数式代入不等式方程，即可求解.解:2233x m x x---=322x x m x-+=-22m x -= 202m -≥ 2m ≤∵m 是正整数∴m 的值为1或2.练8. （2015春•南京市期中）当102(3)3k k --<时，求关于x 的不等式(5)4k x x k ->-的解集.【解析】先计解出k 的解集，再解出x 的解集，结合k 的解集即可求解．解： 102(3)3kk --<61810k k -<-4k <(5)4k x x k ->-(4)k x k ->∵4k < ∴4k x k <- 3．实际问题与一元一次不等式【例3】2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？【解析】依据题意列出不等式方程，变形后即可求解．解：设2008年空气良好的天数比2002年增加x 天，即3650.5570%366x +⨯> 200.75256.2x +>55.45x >由x 为正整数，得56x ≥答：2008年空气良好的天数比2002年增加56天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.总结：解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为的x a =形式；而解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为的x a <（或x a >）形式. 练9．商场进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15%，则售价应不低于（ ）A.900元 B ．920元 C ．960元 D ．980元【解析】依据题意列出不等式，变形后计算可得．解：设售价不低于x 元，即80015%800x -≥ 920x ≥故选B ．练10．（2015春•青岛市校级月考）某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车？【解析】根据改进前后比较结果，列出不等式方程，变形后，即可求解.解：设原来每天最多能生产x 辆汽车 ，即15(6)20x x +>490x <22.5x < 因汽车数量为整数，即最大值为22.答：原来每天最多能生产22辆汽车.练11．某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润率不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【解析】根据利润率=（销售价-进价）/进价，列出不等式方程，变形后，即可求解．解：设商店最多降价x 元出售商品，即22515010%150x --≥ 22515015x --≥60x ≤.答：商店最多降价60元出售商品.【例4】某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？【解析】根据题意列出不等式计算即得．解：设小明答对x 道题，即105(20)90x x -->2123x > 因x 应是正整数且不能超过20，故小明至少要答对12道题．练12．某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？【解析】按照题意评分办法列出不等式，变形后，即可求解．解：设这个学生答对x 道题，即62(15)60x x -⋅->908x >因为x 应是正整数且不能超过15，故至少要答对12道题．练13．（2014•重庆市联考）某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？【解析】依据工程问题中的工作效率=1/工作时间，列出不等式，变形后，即可求解．解：设后面的时间每小时他至少要加工x 个零件，即3002503004025060x -⨯≤-- 2(62)3001003x --≥- 60x ≥答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件.1．如果,a b 表示两个负数，且a b <，则（ ）.A ．1a b >B ．1a b< C ．11a b < D ．1ab <2．若不等式30x a -≤只有三个正整数解，求a 的取值范围.3．解不等式21532x x -+>-．4．已知关于的方程组321431x y p x y p +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y >，求p 的取值范围5.若5m >，使m 用表示出不等式(5)1m x m ->-的解集________________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.解不等式：111326y y y +---≥2.解不等式：112[(1)](1)223x x x x ---<-3．已知方程组21321x y m x y m+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，求m 的取值范围.4．已知22232,245A x x B x x =++=--，试比较A 与B 的大小.5． 某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。