不等式培优专题

初中数学培优：不等式（组）1．若实数a＞1，则实数M＝a，N=r23，P=2r13的大小关系是（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N 【解答】解：∵a＞1∴M﹣P＝a−2r13=K13＞0，P﹣N=2r13−r23=K13＞0∴M＞P，P＞N∴M＞P＞N故选：D．2．若不等式组+8＜4−1＞的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＞3D．m＝3【解答】解：由x+8＜4x﹣1得，x﹣4x＜﹣1﹣8，﹣x＜﹣9，x＞3，∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选：A．3．设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜＜0.91，则b2﹣a2等于（）A．171B．177C．180D．182【解答】解：∵0.9＜＜0.91，∴0.9b＜a＜0.91b，即0.9b+b＜a+b＜0.91b+b；又∵56≤a+b≤59∴0.9b+b＜59，b＜31.05；0.91b+b＞56，b＞29.3，即29.3＜b＜31.05；由题设a、b是正整数得，b＝30或31；①当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得：27＜a＜28，这样的正整数a不存在．②当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28，所以b2﹣a2＝312﹣282＝177．故选：B．4．一共有（）个整数x适合不等式|x﹣2000|+|x|≤9999．A．10000B．20000C．9999D．80000【解答】解：（1）当x＝2000时，原式可化为2000≤9999，故x＝2000；其整数解有1个；（2）当x＞2000时，原式可化为x﹣2000+x≤9999，解得2000＜x≤5999.5，其整数解有3999个；（3）当0≤x＜2000时，原式可化为2000﹣x+x≤9999，即2000≤9999；其整数解有2000个；（4）当x＜0时，原式可化为2000﹣x﹣x≤9999，解得﹣3999.5≤x＜0；其整数解有3999个；由上可得其整数解有9999个．故选：C．5．如果关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0的解集为＜107，那么关于x的不等式mx＞n（m≠0）的解集为x＜1345．【解答】解：（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0解集为x＜107，∴（2m﹣n）x＞m+5n，∴x＞r52K或x＜r52K，∴x＜r52K，则2m﹣n＜0，由不等式的解集x＜107，则r52K=107，即10（2m﹣n）＝7（m+5n）得：13m＝45n，即：=1345，因为2m﹣n＜0，则：2m−1345m＜0，得：m＜0，∵mx＞n，∴x＜=1345．故答案为x＜1345．6．关于x的不等式：|2x﹣1|＜6的所有非负整数解的和为6．【解答】解：根据题意得：﹣6＜2x﹣1＜6，即﹣5＜2x＜7∴−52＜x＜72则不等式的非负整数解是：0，1，2，3．则所有非负整数解的和为6．故答案是：6．7．要使方程组3+2=2+3=2的解是一对异号的数，则a的取值范围是＜43或＞3．【解答】解：方程组3+2=2+3=2，整理得，6+4=2Ξ①6+9=6⋯②，由②得，6x＝6﹣9y…③，把③代入①整理得，y=−2K65．（1）当x＞0，y＜0时，∴6﹣9y＞0，即y＜69，∴−2K65＜0，解得，a＞3；（2）当x＜0，y＞0时，∴6﹣9y＜0，即y＞69，∴−2K65＞69，解得，a＜43；综上，a的取值范围是a＜43或a＞3．故答案为a＜43或a＞3．8．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）设甲种机器有x台，试写出x应满足的不等式；（2）按照公司要求可以有几种购买方案？（3）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解答】解：（1）∵该公司共购进6台机器用于生产某种活塞，且购进甲种机器x台，∴购进乙种机器（6﹣x）台．依题意得：7x+5（6﹣x）≤34．（2）∵7x+5（6﹣x）≤34，∴x≤2，又∵x为自然数，∴x可以为0，1，2，∴可以有3种购买方案．（3）依题意得：100x+60（6﹣x）≥380，解得：x≥12，又∵x≤2，且x为自然数，∴x可以为1，2，∴共有2种购买方案，方案1：购进1台A种机器，5台B种机器，所需总资金为7×1+5×5＝32（万元）；方案2：购进2台B种机器，4台B种机器，所需总资金为7×2+5×4＝34（万元）．∵32＜34，∴为了节约资金应选择购买方案1，即购进1台A种机器，5台B种机器．9．试确定实数a+r13＞0+5r43＞43(+1)+恰有两个整数解．【解答】解：由2+r13＞0，两边同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞−25，由x+5r43＞43（x+1）+a，两边同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，∴原不等式组的解集为−25＜x＜2a．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x＝0，1；则2a的值在1（不含1）到2（含2）之间，∴1＜2a≤2，∴0.5＜a≤1．10．已知关于x、y的方程组2+3=3+7−=4+1的解x和y都是正数．求m的取值范围后再化简|−1|+|+ 23|．【解答】解：先解二元一次方程组2+3=3+7−=4+1得：=3+2=−+1；又由于x、y为正数，则x＞0，y＞0；故3+2＞0−+1＞0，解得：−23＜m＜1；则|−1|+|+23|=1﹣m+m+23=53．11．小丽拟将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当她认为输完时，电脑上只显示输入（n﹣1）个数，且平均值为3557，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的一个数是多少？【解答】解：1+2+…+n ﹣1≤2507（n ﹣1）≤2+3+…+n ，∴2≤2507≤r22．∴6937≤n ≤7137，∴n ＝70，71，∵2507（n ﹣1）是整数，∴n ＝71．∴设被漏输入的数为m ，则m =1+712×71﹣70×2507=2556﹣2500＝56．12．为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数．【解答】解：设这所学校派出x 名学生，参加y 处公共场所的义务劳动，依题意得：10+15=o1)10≤−14(−1)＜14(2)，解得：334＜y ≤434．∵y 为整数，∴y ＝4．∴当y ＝4时，x ＝10×4+15＝55．答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动．13．已知甲、乙、丙3种食物的维生素含量和成本如下表：甲种食物乙种食物丙种食物维生素A （单位/kg ）300600300维生素B （单位/kg ）700100300成本（元/kg ）643某食品公司欲用这3种食物研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含有36000单位的维生素A 和40000单位的维生素B ．（1）研制100千克食品，甲种食物至少要用多少千克？丙种食物至多能用多少千克？（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S 的取值范围是多少？【解答】解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x 千克，y 千克和z 千克，由题意，得++=100300+600+300≥36000700+100+300≥40000，即++=100①+2+≥120②7++3≥400③，由①z＝100﹣x﹣y，代入②③，得≥202−≥50，∴2x≥y+50≥70，x≥35，将①变形为y＝100﹣x﹣z，代入②，得z≤80﹣x≤80﹣35＝45，答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克．（2）研制100千克食品的总成本S＝6x+4y+3z，将z＝100﹣x﹣y代入，得S＝3x+y+300．当x＝50时，S＝y+450，20≤y≤50．∴470≤S≤500．答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．初中数学培优：不等式（组）1．已知a1，a2，…，a2004都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2003）（a2+a3+…+a2004），N＝（a1+a2+…+a2004）（a2+a3+…+a2003），那么M、N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不确定的【解答】解：设S＝a2+a3+…+a2003，则M＝（a1+S）（S+a2004）＝a1S+S a2004+S2+a1a2004，N＝（a1+S+a2004）S＝a1S+S a2004+S2，∴M﹣N＝a1•a2004＞0（a1，a2，…，a2004都是正数），∴M＞N．故选：A．2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为25，220，2ℎ，则25＞220．+2ℎ＞25+25＞2ℎ，解得4＜ℎ＜203．所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选：B．3．若方程组3−=+1+=3的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜3B．0＜x﹣y＜1C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜1【解答】解：两个方程相减，得：2x﹣2y＝k﹣2，∴x﹣y=K22，∵2＜k＜4，∴0＜k﹣2＜2，则0＜K22＜1，即0＜x﹣y＜1，故选：B．4．已知方程组−2=2+3=+1的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是m≥−43．【解答】解：2−=−①3+2=+1②，①×2+②得：7x＝﹣m+1，即x=−r17，将x=−r17代入①得：y=5r27，根据题意得：2x+y=−2r27+5r27≥0，解得：m≥−43．故答案为：m≥−435．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有12件．【解答】解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x﹣a）件，根据题意得：8（2x﹣a）+9a＝172，解得a＝172﹣16x，∵依题意2x≥a，且a＝172﹣16x≥0，x为大于0的自然数，∴可得9.6≤x≤10.75，∴x＝10，则a＝12．所以9元的商品12件，故答案为：12．6．满足不等式|5﹣x|+|x﹣1|＜37的整数解共有7个．【解答】解：①当x＜1时，不等式变形为5﹣x+1﹣x＜37，解得：xx＜1，整数解是0；②当1≤x＜5时，不等式变形为：5﹣x+x﹣1＜37即4＜37，此时的整数解是：1，2，3，4有三个．③当x≥5时，不等式转化为x﹣5+x﹣1＜37，则2x＜6+37，则x＜3+则整数解是：5，6．则原不等式的整数解是：0，1，2，3，4，5，6，共7个．故答案为：7．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；由已知得：27−26≤48781−80＞487，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤4879x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．8．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]＝2x−12的所有根的和是﹣2．【解答】解：设x＝n+a（n为整数，0≤a＜1），代入原方程得：[3n+3a+1]＝2n+2a−12，即3n+1+[3a]＝2n+2a−12，∴n+1+[3a]＝2a−12①，则n+[3a]＝2a−32于是2a−32是整数，又∵0≤a＜1，∴−32≤2−32＜12，∴2a−32=0或﹣1，当2a−32=0时，解得a=34，把a=34代入①式，n+[94]＝0，∴n＝﹣2．于是得1=−2+34；当2a−32=−1时，a=14代入①式，n+[14]＝﹣1，∴n＝﹣1．于是得2=−1+14，则1+2=(−2+34)+(−1+14)=−2，故所有根的和是﹣2．故答案为：﹣2．9．已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5−4=74+5=有整数解．问：这样的整数k有多少个？【解答】解：解方程组可得解：=35+441=5K2841．设当35+4=4128−5=41（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．消去上面方程中的k，得到5m+4n＝7．（2）∵m=7−45=1﹣n+2+5且m和n是整数，∴只要满足2+5=l（l是整数）即可，即n＝5l﹣2，代入（2）式得m＝3﹣4l，∴从（2）解得=3−4=5−2（其中l是整数）．（3）将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k＝123﹣164l，解得k＝22﹣41l．∵k是满足1910＜k＜2010的整数，∴1910＜22﹣41l＜2010，解不等式得−198841＜l＜−189041，即﹣482041＜l＜﹣46441，因此共有2个k值使原方程有整数解．答：这样的整数k有2个．10．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号A B成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m 万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案①A型38台，B型62台；②A型39台，B型61台；③A型40台，B型60台．答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，＝5620（万元），∴当x＝38时，W最大答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．11．一般地，对任意的实数x，可记x＝[x]+{x}．其中：符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]＝3，[3.14]＝3，[﹣3.14]＝﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}＝0.14，{3.86}＝0.86）．试求出所有的x，使得13x+5[x]＝100【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得13x+5n＝100，即x=100−513，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤100−513＜n+1．整理得13n≤100﹣5n＜13n+13，即296＜n≤509，∴n＝5．代入原方程得13x+5×5＝100，解得：x=7513．经检验，x=7513是原方程的解．12．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？【解答】解：依题意有三种购买方案方案一：只买大包装，则需买包数为48050=485由于不折包装，所以只需买10包，所付费用为30×10＝300元．方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为16×20＝320元．方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，所需费用为w元，根据题意得50+30≥480=30+20，所以w=−103x+320因为0＜50x＜480，且x为正整数所以0＜x＜9.6．所以x＝9时，w＝290（元）最小即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元．13．某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？【解答】解：（1）根据题意得：20+50×3≥220020+50×3≤2500解得60≤x≤68211．∵x为正整数∴x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68∵13也必需是整数∴13可取20，21，22．∴有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个；方案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个．（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：60×20+20×50＝2200．答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元．（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，20×90%（60+3y）+50×80%（20+y）≤2200，解得：y≤31947，∵y为正整数，∴满足y≤31947的最大正整数为3∴多买的跳绳为：3y＝9（根）．答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球．14．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．由题意，得+=280=2−20解得=180=100答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（2）由题意，得120−＜2−20≤25解得＞40≤45即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x＝41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w＝60390（元）．。

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

专题二：含参一元不等式（组）一、不等式的基本性质：（１）如果 a>b, 那么 a+c > b+c.（２）如果 a>b, 并且 c>0, 那么 ac > bc.（３）如果 a>b, 并且 c<0, 那么 ac < bc.例1、已知关于x 不等式,2)1>-x a （,（1）当它的解集为ax ->12，则a 的取值范围是____________ （2）当它的解集为ax -<12，则a 的取值范围是____________ 变式：如果关于x 的不等式，的解集相同，的解集和（1215)2<+<-x a x a 则a 的值_______二、一元一次不等式的解集口诀同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解例2、关于x 的不等式组2x x a>⎧⎨>⎩ （1）若它的解集是x > a,则a 的取值范围是 .（2）若它的解集是x >2,则a 的取值范围是变式 一：关于x 的不等式组2x x m≤⎧⎨<⎩（1）若它的解集为x <m ， 则m 的取值范围是 .（2）若它的解集为2≤x ， 则m 的取值范围是变式二：已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤变式三：关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) 0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 变式四：若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是变式五：若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。

高考数学培优微专题《给参数范围证明不等式》【考点辨析】给参数范围证明不等式与给不等式求参数范围是不同的考法，后者主要采元分离构造或分类构造来处理，而前者主要是依次处理两个变量的恒成立。

在处理时关键认清不等式中参数与变量的地位构造适当的函数求最值，在求最值的过程中要厘清参数是对函数的影响，在指对共存的条件下要适当结合放缩，同构，虚设等做法，【知识储备】①∀x∈D,∀a∈E,都有f(x,a)>g(a)恒成立⇔先证明∀x∈D,f(x,a)≥f(x0,a)再证明∀a∈E, f(x0,a)>g(a)②∀x∈D,∀a∈E,都有f(x,a)>g(x)恒成立⇔先证明理∀a∈E,f(x,a)≥f(x,a0),再证明理∀x∈D,f(x,a0)>g(x)【例题讲解】类型一：证明f(x,a)>g(a)型时先处理∀x∈D,f(x,a)≥f(x0,a)再处理∀a∈E,f(x0,a)>g(a) 1.已知函数f x =a e x+a-x．(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：当a>0时，f x >2ln a+32．2.已知函数f x =ln x+a2x2a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)当a>1时，证明：f x >3a-12a+2．类型二：证明f(x,a)>g(x)型时先证明∀a∈E,f(x,a)≥f(x,a0),再证明∀x∈D,f(x,a0)>g(x) 3.函数f x =1+x⋅e x-k e x-1.当x>0，k≤2时，证明：f x >0.4.已知函数f x =tx-t-1ln x-t；(3)证明：当t≤0，且x>1时，f x <e x-1-1．【解题策略】___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________【教考衔接】1.已知函数f x =2ax-e x．(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：当a>0时，f x ≤4a2-4a．2.已知函数f x =12ax2+2+ax+2ln x，(2)若a<0，证明：f x ≤-6a-4．3.已知函数f x =e x-x-1.(1)证明：f x ≥0；(2)当m≤1时，证明不等式e x-mx+cos x-2≥0，在x∈0,+∞上恒成立.4.已知函数f x =e x-ln x a.(2)若0<a<1，求证：f x ≥2+ln aa.。

浙教版八年级上册第三章一元一次不等式培优一、选择题1．若a>b，则下列各式一定成立的是（ ）A．a+1<b+1B．―a>―b C．a―2<b―2D．a3>b32．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，物体A的质量为m(g)，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）A．B．C．D．3．不等式组x+1>02x≤2的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）A．B．C．D．4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A．a>c>b B．c―a>b―a C．a c2<b c2D．a+b>05．在数学活动课中，小俞同学将某商场促销活动的信息列出不等式为0.7×(2x―100)<1000（其中x为某一商品的定价，单位：元），那么该商场促销活动的信息是（ ）A．买两件该商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买两件该商品可打3折，再减100元，最后不到1000元C．买两件该商品可减100元，再打7折，最后不到1000元D．买两件该商品可打7折，再减100元，最后不到1000元6．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否>79”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）A．x>9B．x≤19C．9<x≤19D．9≤x≤197．若关于x 的不等式组4―(x ―2)≥33x ―a >2x有且只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．―1≤a <0B ．―1<a ≤0C ．0<a ≤1D ．0≤a <18．若x 为实数，则[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1,6]=1,[π]=3,[―2,82]=―3等．[x ]+1是大于x 的最小整数，则方程6x ―3[x ]+9=0的解是（ ）A ．x =―83B ．x =―196C ．x =―72或x =―3D ．x =―83或x =―1969．已知三个实数a ，b ，c 满足a ―2b ―c =0，a +2b ―c <0，则（ ）A ．b <0，b 2+ac ≤0B ．b <0，b 2+ac ≥0C ．b >0，b 2+ac ≤0D ．b >0，b 2+ac ≥010． 已知关于x 的分式方程mx(x ―2)(x ―6)+2x ―2=3x ―6无解，且关于y 的不等式组m ―y >4y ―4≤3(y +4)有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题11．若(m ―1)x >(m ―1)的解集是x <1，则m 的取值范围是　　；12．一罐饮料净重300g ，罐上标注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量至少为 g ．13．若关于x 的不等式组x <1x ≤a 的解集是x <1，则a 的值可以是　　（写出一个即可）．14．关于x 的方程k ―2x =3(k ―2)的解为非负数，且关于x 的不等式x ―2(x ―1)≤32k +x 3≥x 有解，求符合条件的所有整数k 的值的积为 ．15．若关于x 的不等式组―6<x <2x ―m <m无解，那么m 的取值范围是　16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如n ﹣12≤x ＜n+12，则＜x ＞＝n ．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x ＞＝97x ，则x ＝　　．三、解答题17．课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题．接力游戏老师：3x +12―1>5x ―43甲同学：3(3x +1)―6>2(5x ―4)乙同学：9x+3―6>10x―8丙同学：9x―10x>―8―3+6丁同学：―x>―5戊同学：x>5任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据______进行变形的．A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．乘法对加法的分配律②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，这一步错误的原因是______．任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是______．任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．18．解不等式1―x3―x<3―x+24．并把解集表示在数轴上．19．解不等式组：5x―6≤2(x+2) x4―1<x―3320．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是―4，点B对应的数字是m．（1）若AB=2，求m的值；（2）将AB线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是a1，a2，若a2>0，求m的取值范围．21．如图所示的是某大院窗格的一部分，其中“O”代表窗格上所贴的剪纸，设第x个窗格上所贴“O”的个数为y．（1）填写下表．x12345xy581117（用含x的式子表示）（2）若第x个窗格上所贴的“O”的个数大于50，求x的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,a)，B(b,3)，E(3―a,0)，其中a，b满足|a―5|+b―4=0．平移线AB段得到线段CD，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上．（1）①点A的坐标是____________；点B的坐标是____________；②求三角形OCD的面积．（2）将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接FC，FD，Q(m,0)是x轴负半轴上一点．若三角形QCD 的面积不小于三角形FCD的面积，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(0,b)，C(2,4)，且2a+b+10+|3a―2b+8|=0．（1）求a，b的值；，求t的取值范围；（2）点D(t,0)为x轴上一点，且S三角形ABD≤13S三角形ABC（3）平移三角形ABC到三角形EFG（其中点A，B，C的对应点分别为点E，F，G），设E(m,n)，F (p,q)，且满足5m―n=43p―q=4，请直接写出点G的坐标．答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】m <112．【答案】1.513．【答案】2（答案不唯一）14．【答案】015．【答案】m ≤―316．【答案】0或79或149．17．【答案】任务一：①C ；②戊；不等式的两边同时乘以―1，不等号的方向没有改变任务二：x <5任务三：去括号时，括号前面是“―”，去括号后，括号的每一项都要变号，或移项要变号18．【答案】x >―219．【答案】0<x ≤10320．【答案】（1）―2（2）m >221．【答案】（1）14，3x +2（2）x >16．22．【答案】（1）①A (1,5)，B (4,3)，②3（2）m ≤―7223．【答案】（1）a 的值为―4，b 的值为―2（2）―10≤t ≤2（3）G(8，10)。

专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围.【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系.【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值.解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形.解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是（河南省中考试题） 5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+k y x y x 3962有正整数解？ （天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 .(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ）A 、70B 、72C 、77D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ）A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x（山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.。

八年级不等式培优提高练习1.若关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是什么？2.设a，b是常数，不等式bx-a<0的解集为x<1，则关于x 的不等式bx-a<0的解集是什么？3.若不等式(ax-1)(x+2)>0的解集是-3<x<-2，那么a等于多少？4.不等式的解集为x>2，则m的值为多少？6.已知a>b，c≠0，则下列关系一定成立的是什么？7.下列命题中，正确的命题个数是多少？8.若x是方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的取值范围是什么？10.若x为任意实数时，二次三项式x^2-6x+c的值都不小于0，则常数c满足的条件是什么？11.关于x的方程mx-1=2x的解为正实数，则m的取值范围是什么？13.已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是什么？14.已知实数x、y同时满足三个条件：3x-2y=4-p，4x-3y=2+p，x>y，则实数p的取值范围是什么？15.关于x的不等式组的解集是x>-1，则m=？16.若不等式组解集为x<1，则m=？例题】解一元二次不等式：x^2-2x-8>0.解：对x^2-2x-8分解因式，得x^2-2x-8=(x-4)(x+2)。

x-4)(x+2)>0.由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得①或②解①得x>4；解②得x<-2.故x^2-2x-8>0的解集是x4.1）直接写出x^2-9>0的解是x3；2）仿照例题的解法解不等式：x^2+4x-21<0；3）求分式不等式：(x-2)/(x+1)≤0的解集为x∈[-1,2]。

第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。

专题03 用不等式（组）解决问题（提优）1．已知关于x 、y 的方程组{x +2y =1x −2y =m的解都小于1，关于x 的不等式组{15x +2≥12n −x ≥1没有实数解．（1）分别求出m 与n 的取值范围； （2）化简：|m +3|+√(1−m)2+|n +2|．2．疫情期间，各年级陆续开学，五十五中教育集团计划购进红外线测温仪，需购进A ，B 两种测温仪．已知购买1台A 种测温仪和2台B 种测温仪需要3.5万元；购买2台A 种测温仪和1台B 种测温仪需要2.5万元． （1）求每台A 种、B 种测温仪的价格；（2）根据教育集团实际需求，需购进A 种和B 种测温仪共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A 种测温仪多少台．3．已知代数式mn +2m ﹣2＝0（n ≠﹣2）． （1）①用含n 的代数式表示m ； ②若m 、n 均取整数，求m 、n 的值．（2）当n 取a 、b 时，m 对应的值为c 、d ．当﹣2＜b ＜a 时，试比较c 、d 的大小．4．一工厂以90元/每箱的价格购进100箱原材料，准备由甲、乙两个车间全部用于生产某种产品，甲车间用每箱原材料可生产出该产品12千克，乙车间用每箱原材料可生产出的该产品比甲车间少2千克，已知该产品的售价为40元/千克，生产的产品全部售出，那么原材料最少分配给甲车间多少箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元？5．某公司有甲、乙两个口罩生产车间，甲车间每天生产普通口罩6万个，N95口罩2.2万个．乙车间每天生产普通口罩和N95口罩共10万个，且每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个．（1）求乙车间每天生产普通口罩和N95口罩各多少万个？（2）现接到市防疫指挥部要求：需要该公司提供至少156万个普通口罩和尽可能多的N95口罩．因受原料和生产设备的影响，两个车间不能同时生产，且当天只能确保一个车间的生产．已知该公司恰好用20天完成防疫指挥部下达的任务．问：①该公司至少安排乙车间生产多少天？②该公司最多能提供多少个N95口罩？6．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共个．（不写过程，直接写出答案）7．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题：（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案；（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．8．某手机旗舰店销售A，B两种型号的手机，售出1台A型号和3台B型号所得利润为500元，售出2台A型号和5台B型号所得利润为900元．（1）求A，B两种型号手机每台的利润分别为多少元？（2）由于手机销量很好旗舰店决定再一次购进A，B两种型号的手机共35台，为了售出后利润不少于5000元，则需购进A型号手机不少于多少台？9．养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛，其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如表：大牛（头）小牛（头）总价（元）第一次439900第二次269000第三次678550（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第次；（2）每头大牛和小牛的原价分别为多少元？（3）如果李大叔第四次购买大牛和小牛共10头（其中小牛至少一头），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且总价不低于8100元，那么他共有哪几种购买方案？10．2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B 型风扇进价共62元．（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？11．受新冠疫情扩散的影响，市场上防护口罩出现热销，某药店购进一批A、B两种不同型号的口罩进行销售．如表是甲、乙两人购买A．B两种型号口罩的情况：A型口罩数量（个）B型口罩数量（个）总售价（元）甲1326乙3229（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？（2）某同学准备用不超过300元的资金购买两种型号的口罩，其中A型口罩数比B型口罩的3倍还要多5个，则A型口罩最多购买多少个？12．“直播带货，助农增收”．前不久，一场由央视携手部分直播平台，以“秦晋之‘好’，晋陕尽美”为主题的合作直播，将我市的部分农产品推向网络，助农增收．已知购买2袋大同黄花、3袋阳高杏脯，共需130元；购买1袋大同黄花、2袋阳高杏脯，共需80元．（1）求每袋大同黄花和每袋阳高杏脯各多少元；（2）某公司根据实际情况，决定购买大同黄花和阳高杏脯共400袋，要求购买总费用不超过10000元，那么至少购买多少袋大同黄花？13．某物流公司安排A、B两种型号的卡车向灾区运送抗灾物资，装运情况如下：装运批次卡车数量装运物资重量A种型号B种型号第一批2辆4辆56吨第二批4辆6辆96吨（1）求A、B两种型号的卡车平均每辆装运物资多少吨；（2）该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资，那么至少要安排多少辆A种型号的卡车？14．某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？（3）对（2）中的几种建造方案中，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x ﹣（3x +1）＝﹣5；②2x3+1＝0；③3x ﹣1＝0中，不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2的关联方程是 （填序号）． （2）若不等式组{x −2＜11+x ＞−x +2的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即可）（3）若方程12−12x =12x ，3+x ＝2（x +12）都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程，直接写出m 的取值范围．16．某商场欲购进甲乙两种商品，若购进甲2件，乙3件，则共需成本1700元； 若购进甲3件，乙1件，则共需成本1500元．（1）求甲乙两种商品成本分别为多少元？（2）该商场决定在成本不超过3万元的前提下购进甲、乙两种商品，若购进乙种商品的数量是甲种商品的3倍多10件，求最多购进甲种商品多少件？17．已知关于x 、y 的方程组{x +y =−m −7x −y =3m +1的解满足x ≤0，y ＜0．（1）用含m 的代数式分别表示x 和y ； （2）求m 的取值范围；（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜2m +1的解为x ＞1？18．学校购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？19．某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．（2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来．（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明）20．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？21．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案．（3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？22．每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．23．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．我市腾飞商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共100台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是250元/台，购进两种型号的家用净水器共用去19000元．（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这100台家用净水器的毛利润不低于5600元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润＝售价﹣进价）24．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？25．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台18000元第二周4台10台31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。

基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。

2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。

3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。

4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。

5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。

6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。

7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。

2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。