湘教版八年级数学上 4.2 不等式的基本性质 能力培优训练(含答案)

初中数学湘教版八年级上册4.2不等式的基本性质同步练习一、单选题1.已知m＜n，下列不等式一定成立的是（）A.3m＜3nB.m﹣6＞n﹣6C.﹣2m＜﹣2nD.m2>n22.下列不等式变形正确的是（）A.由4x﹣1＞0得：4x＞1B.由5x＞3得：x＞3C.由y2＞0得：y＜0D.由﹣2x＜4得：x＜﹣23.若x>y，则下列式子中正确的是（）．A.x−3>y−3B.x+4<y+4C.−5x>−5yD.x2<y24.已知a、b、c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（）A. a＋c＞b＋cB. c－a＜c－bC. ac2>bc2D. a2＞ab＞b25.下列不等式变形正确的是（）A. 由a>b，得a−2<b−2B. 由a>b，得−2a<−2bC. 由a>b，得|a|>|b|D. 由a>b，得a2>b26.若x+2021>y+2021，则( )A. x+2<y+2B. x－2<y－2C. 2x<2yD. －2x<－2y7.若x<y，则mx>my成立的条件是（）A. m≥0B. m≤0C. m>0D. m<08.若m>n，则不论a取何实数，下列不等式都成立的是( )A. m+a>nB. ma>naC. a-m<a-nD. ma2>na29.下列叙述①若a>b，则ac²>bc²；②若a<b，则a-c<b-c；③若-3a>2a，则a<0④若ab>c，则b> ca。

其中正确的是（）A. ③④B. ①③C. ①②D. ②③10.下列不等式变形中，一定正确的是（）A. 若ac＞bc，则a＞bB. 若a＞b，则am2＞bm2C. 若ac2＞bc2，则a＞bD. 若m＞n，则﹣m2>−n2二、填空题11.已知a＞b，则15a+c________15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）.12.若a＞b，要使ac＜bc，则c________0．13.若a<b<0，则ab________ a2．14.根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞2m”，则m的取值范围是________.15.如果0<a<1，那么a，1和1a的大小关系（用“<”连接）是________．三、计算题16.利用不等式的基本性质，将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）3x>−5；（2）23x>6−13x.17.若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．四、解答题18.某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。

初中数学湘教版八年级上册第四章不等式的基本性质练习题一、选择题1.下列变形中，不正确的是()A. 若a>b，则a+3>b+3B. 若a>b，则13a>13bC. 若a<b，则−a<−bD. 若a<b，则−2a>−2b2.如果a<b，那么下列不等式中，成立的是()A. a+5>b+5B. −2a<−2bC. b−a<0D. 1−a>1−b3.如果a<b，那么下列不等式成立的是()A. −3a>−3bB. a−3>b−3C. 13a>13b D. a−b>04.下列不等式一定成立的是()A. 2x<5B. −x>0C. |x|+1>0D. x2>05.不等式6(x−1)<5x−4的正整数解的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 36.已知0≤a−b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是()A. 1≤a≤2B. 2≤a≤3C. 12≤a≤52D. 32≤a≤527.若m>n，则下列不等式不成立的是()A. m−2>n−2B. 3−m>3−nC. m+3a>n+3aD. −m3<−n38.以下说法中正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>|b|，则a2>b2C. 若a>b，则1a <1bD. 若a>b，c>d，则a−c>b−d9.若a>b，则()A. a−1≥bB. b+1≥aC. a+1>b−1D. a−1>b+110.已知m<n，则下列不等式中错误的是()A. 2m<2nB. m+2<n+2C. m−n>0D. −2m>−2n二、填空题11.若a>b，则2a+1______2b+1(填“>”或“<”)．12.如果2x−3<2y−3，那么x与y的大小关系是x______y.(填“<”或“>”符号)．13.已知不等式x+1<2a的解集是x<5，则不等式ax>6的解集是______．14.根据不等式的基本性质，将“mx<3”变形为“x>3”，则m的取值范围是m______．15.若a<b<0，把2，2−a，2−b这三个数按由小到大的顺序用“<”连接起来：______．三、解答题16.为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生测温和教室消毒工作．(1)若原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的原价．(2)由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买10支测温枪和110瓶消毒剂，套餐二：一次性购买20支测温枪和100瓶消毒剂．设优惠后每支测温枪a元，每瓶消毒剂b元，已知a>b>0，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．17.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3x−10．(1)已知AC>2，求x的取值范围；(2)若AB=x+2，且x为整数，在(1)的条件下，求BC的长．18.指出下列变形分别依据了不等式的哪条基本性质；(1)由a−8<7，得a<15；b>a，得2b>5a；(2)25(3)由5x>3x−2，得2x>−2；x<−3，得x>15．(4)由−15答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、若a>b，则a+3>b+3，正确；B、若a>b，则13a>13b，正确；C、若a<b，则−a>−b，错误；D、若a<b，则−2a>−2b，正确；故选：C．根据不等式的性质进行判断．考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．2.【答案】D【解析】解：A、不等式a<b两边都加上5可得a+5<b+5，故本选项不合题意；B、不等式a<b两边都乘以−2可得−2a>−2b，故本选项不合题意；C、不等式a<b两边都减去b可得a−b<0，不等式a−b<0都乘以−1可得b−a>0，故本选项不合题意；D、不等式a<b两边都都乘以−1可得−a>−b，不等式−a>−b两边都加上1可得1−a>1−b，故本选项符合题意．故选：D．根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3.【答案】A【解析】解：A、两边都乘以−3，不等号的方向改变，故A符合题意；B、两边都减3，不等号的方向不变，故B不符合题意；C、两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意；D、两边都减b，不等号的方向不变，故D不符合题意；故选：A．根据不等式的性质，可得答案．本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、2x不一定小于5，不符合题意；B、−x不一定大于0，不符合题意；C、|x|+1≥1>0，符合题意；D、x2≥0，不符合题意，故选：C．利用不等式的基本性质判断即可．此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】此题考查了不等式的基本性质和不等式的解集，求出不等式的解集是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出正整数解即可．【解答】解：不等式6(x−1)<5x−4，整理得：6x−6<5x−4，根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上(6−5x)，得：x<2，则不等式的正整数解为1，共1个，故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力．根据不等式的性质，将两个不等式相加，即可得出a的取值范围．【解答】解：0≤a−b≤1①，1≤a+b≤4②，①+②得1≤2a≤5，0.5≤a≤2.5，故选：C．7.【答案】B【解析】解：A、不等式两边同时减去2，不等号的方向不变，故本选项成立；B、不等式两边都乘以−1，不等号的方向改变，故本选项不成立；C、不等式两边都加上3a，不等号的方向不变，故本选项成立；D、不等式两边都除以−3，不等号的方向改变，故本选项成立；故选：B．不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变．本题考查了不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．8.【答案】B【解析】解：A.若a>b，c=0，则ac2=bc2，即A项不合题意，B.|b|≥0，a>|b|，则a>0，即a2>b2，即B项符合题意，C.若a>b，a>0，b<0，则1a >1b，即C项不合题意，D.若a>b，c>d，则−c<−d，则a−c和b−d大小无法判断，即D项不合题意，故选：B．根据不等式的性质和绝对值的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．本题考查了不等式的性质，绝对值，正确掌握不等式的性质和绝对值的定义是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：A、a=0.5，b=0.4，a>b，但是a−1<b，不符合题意；B、a=3，b=1，a>b，但是b+1<a，不符合题意；C、∵a>b，∴a+1>b+1，∵b+1>b−1，∴a+1>b−1，符合题意；D、a=0.5，b=0.4，a>b，但是a−1<b+1，不符合题意．故选：C．举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的性质2、不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3、不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵m<n，∴2m<2n，故本选项不符合题意；B、∵m<n，∴m+2<n+2，故本选项不符合题意；C、∵m<n，∴m−n<0，故本选项符合题意；D、∵m<n，∴−2m>−2n，故本选项不符合题意；故选：C．11.【答案】>【解析】解：∵a>b，∴2a>2b，∴2a+1>2b+1，故答案为：>．根据不等式的性质得出即可．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．12.【答案】<【解析】解：∵2x−3<2y−3，∴2x<2y，∴x<y．故答案为<．利用不等式的性质进行判断．本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．13.【答案】x>2【解析】解：解不等式x+1<2a，得x<2a−1．∵不等式x+1<2a的解集是x<5，∴2a−1=5．∴a=3．∴3x>6．解得x>2．故答案是：x>2．通过不等式x+1<2a的解集是x<5求得a的值；然后解ax>6即可．本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键．14.【答案】m<0”，【解析】解：∵将“mx<3”变形为“x>3m∴m的取值范围是m<0．故答案为：m<0．不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，根据将“mx<3”变”，可得m的取值范围是m<0，据此解答即可．形为“x>3m此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．15.【答案】2<2−b <2−a【解析】解：根据不等式性质3，不等式a <b <0各部分都乘以−1得−a >−b >0； 根据不等式性质1，不等式−a >−b >0各部分都加上2得2−a >2−b >2，即2<2−b <2−a ．故答案为：2<2−b <2−a ．根据不等式基本性质解答即可．本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．16.【答案】解：(1)设每瓶消毒剂的原价为x 元，每支测温枪的原价为y 元，依题意，得：{x +y =400y −6x =15， 解得：{x =55y =345． 答：每瓶消毒剂的原价为55元，每支测温枪的原价为345元．(2)套餐A 的总价为(10a +110b)元；套餐B 的总价为(20a +100b)元，(20a +100b)−(10a +110b)=10a −10b =10(a −b)，又∵a >b >0，∴a −b >0，∴10(a −b)>0，∴(20a +100b)−(10a +110b)>0，∴套餐A 的总价更低．【解析】(1)设每瓶消毒剂的原价为x 元，每支测温枪的原价为y 元，根据“原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解之即可得出结论；(2)利用总价=单价×数量，可分别用含a ，b 的代数式表示出A ，B 两优惠套餐的总价，做差后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及不等式的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，分别用含a ，b 的代数式表示出A ，B 两优惠套餐的总价．17.【答案】解：(1)∵AC >2，∴3x −10>2，解得x >4．故x 的取值范围是x >4；(2)∵∠C =90°，∴AB >AC ，即x +2>3x −10，解得x <6，∵x >4且x 为整数，∴x =5，∴AC =3x −10=15−10=5，AB =x +2=5+2=7，∴BC =√AB 2−AC 2=2√6．【解析】(1)根据AC >2，得到不等式，解不等式即可求得x 的取值范围；(2)根据三角形三边关系和整数的定义求得x ，再根据勾股定理可求BC 的长．考查了勾股定理，三角形三边关系，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．18.【答案】解：(1)利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加8，由a −8<7，得a <15；(2)根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以5，由25b >a ，得2b >5a ；(3)利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加−3x ，由5x >3x −2，得2x >−2；(4)利用不等式的性质3，在不等式的两边同时除以−15，由−15x <−3，得x >15．【解析】根据不等式的基本性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变作答．主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．第7页，共11页。

4.2不等式的基本性质基础导练1.下列说法不正确的是( )A.若a>b,则ac 2 >bc2 (cHO)B.若a>b,则bvaC.若a>b,则一a>~bD.若a>b, b>c,则a>c2.已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )c b 0 aA- bc>abB・ ac>abC.bc<abD.c+b>a+b3.要使不等it..<a7<a5<a3<a<a2<a4<a6<..j^,有理数a的取值范围是（）A.0<a<lB.a<—1C.—1<a<0D.a>l能力提升I2x+y=k+l5.若方程组ix+2y=・l的解为x, y,且3<k<6,则x+y的取值范围是__________6.根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：1—x(I) 2 >-3； (2) —2x<6.参考答案1.C2.A3.B4.负5.1<x+y<2 点拨：两方程两边相加得3 (x+y) =k. *.* 3<k<6,即3v3 (x+y) <6,6.解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

以前练习写字，大多是在印有田字格或米字格的练习本上进行。

教材中田字格或米字格里的范字我都认真仿写，其难度较大。

我写起来标准难以掌握，不是靠上了，就是靠下了；不是偏左，就是偏右。

后来在老师的指导下，我练习写字时，一开始观察字的笔画偏旁在格子中的位置，做到心中有数，然后才进行仿写，并要求把字尽量写大，要写满格子。

4.2不等式的基本性质同步测试一、选择题1.若b＞a＞0，则下列式子正确的是（）A. B. C. D. ﹣b＞﹣a2.如果a+b＞0，ab＞0，那么（）A. a＞0，b＞0B. a＜0，b＜0C. a＞0，b＜0D. a＜0，b＞03.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A. P＞R＞S＞QB. Q＞S＞P＞RC. S＞P＞Q＞RD. S＞P＞R＞Q4.对于命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；②a、b是有理数，若a＞b，且a＋b＞0，则a2＞b2；③a、b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2；④a、b是有理数，若a＜b且a＋b＜0，则a2＞b2.其中，真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若x＞y，则下列式子中错误的是（）A. x+ ＞y+B. ﹣3＞y﹣3C. ＞D. ﹣3x＞﹣3y6.已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A. a+5＞b+5B. ﹣2a＜﹣2bC. a> bD. 7a﹣7b＜07.如果a＞b，那么不等式变形正确的是（）A. a﹣2＜b﹣2B. 0.5a＜0.5bC. ﹣2a＜﹣2bD. ﹣a＞﹣b8.已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A. a﹣5＜b﹣5B. 2+a＜2+bC.D. 3a＞3b9.已知a＞b，则下列各式的判断中一定正确的是（）A. 3a＞3bB. 3﹣a＞3﹣bC. ﹣3a＞﹣3bD. 3÷a＞3÷b10.如果，则下列不等式中一定能成立的是______A. B. C. D.二、填空题11.如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x________﹣y（填“＜、＞、或=”）12.若2x＞3y，则﹣2x ________﹣3y．13.式子a2x＞x（a2+1）成立，则x满足的条件是________14.若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，则a的取值范围是________．15.已知x＜y，试比较大小：﹣2x________﹣2y．16.若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”号填空：ac________bc．17.若x＞y且（3﹣a）x＜（3﹣a）y，则a的取值范围是________18.若a＞b，且c为有理数，则ac2________ bc2．三、解答题19.证明：若a＞b＞0，则an＞bn（n∈N，n≥1）．20.能不能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．21.把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．22.若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．23.已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.D5.D6.D7.C8.D9.A 10.C二、填空题11.＞ 12.＜ 13.x＜0 14.a＜1 15.＞ 16.＜ 17.a＞3 18.≥三、解答题19.证明：∵a＞b＞0，n≥1，∴an＞bn．20.解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2，∴1﹣a＜0，=2，解得：a=，经检验a=是方程=2的解，即能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．21.解：（1）移项，得2x＞3﹣5，合并同类项，得2x＞﹣2，系数化为1，得x＞﹣1；（2）去括号，得，﹣6x+6＜0，移项，得﹣6x＜﹣6，系数化为1，得x＞1．22.解：a＞b，当c＞0时，ac＞bc，当c=0时，ac=bc，当c＜0时，ac＜bc．23.证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|∴a2≥（b+c）2， b2≥（c+a）2， c2≥（a+b）2∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0∴a+b+c=0．。

第1课时不等式的基本性质1基础题知识点1 不等式基本性质11．若a＞b，则下列不等式不成立的是( )A．2＋a＞2＋b B．a－3＜b－3C．a＋b＞2b D．a＞b－12．若－a＞－b，则－2－a______－2－b(填“＞”或“＜”)．3．已知a，b，c在数轴上如图所示，请填空．(1)a______b；(2)a______c；(3)b______c；(4)a＋c______b＋c；(5)a－c______b－c.4．按下列条件，写出不等式．(1)－1＜3，两边都加上1；(2)2＜8，两边都减去－5；(3)5x＜6＋3x，两边都加上－3x.5．利用不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：(1)x＋3＜5; (2)x＋5>－2；(3)x－1<0; (4)x－2＜3.知识点2 移项6．不等式3x＜x－2移项正确的是( )A．3x＞－2＋x B．3x＋x＞－2C．3x－x＞－2 D．3x－x＜－27．由不等式x＋2＞5可以得到( )A．x＞1 B．x＞2C．x＞3 D．x＜38．如果x－y<0，那么x与y的大小关系是________．9．若a＋3b＞4b＋2，则a______b(填“＞”“＝”或“＜”)．10．应用移项把不等式4x＋9＞3x－1转化成“x>a”或“x<a”的形式．知识点3 三角形的三边关系11．已知a，b，c是△ABC的三边长，则下列不等式中错误的是( )A．a＋b>c B．b－c<aC．a－c>b D．b－a<c12．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是( )A．5 mB．15 mC．20 mD．28 m13．若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是________．中档题14．将不等式1>2－x化成x>a或x<a的形式是( )A．x>1 B．x>－1C．x<1 D．x<－115．在下列各不等式中，错误的是( )A．若a＋b>b＋c，则a>cB．若a>b，则a－c>b－cC．若a>c，则a＋b＜c＋bD．若a>b，则2c＋a>2c＋b16．下列各数能满足不等式2x＜x＋2的值为( )A．4 B．3 C．2 D．117．给出下列命题：①若a＞b，则a＋2＞b＋2；②若2a＜3，则2a＋3＜0；③3a＞2a，则a＜0；④若a＜b，则a －c＜b－c.其中正确命题的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．用“＞”“＝”或“＜”填空：(1)若a>b，则a－m______b－m；(2)若－a＜－b，则2－a______2－b；(3)若a＋b＞2b＋1，则a______b＋1；(4)若a－3＞b，则3－a______－b；(5)若a－3<9，则a______12；(6)若3x－9＞4x，则x______－9.19．(淮安中考)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为________．(只需填一个整数)20．将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：(1)5x≤4x＋7；(2)13x ＞－23x －2；(3)3x ＋2≥2x ＋3.21．(1)用“＞”“＝”或“＜”填空：①如果a －b ＜0，那么a______b ；②如果a －b ＝0，那么a______b ；③如果a －b ＞0，那么a______b ；(2)用(1)的方法你能否比较9x 2－2x ＋3与8x 2－2x ＋3的大小？如果能，请写出比较过程．综合题22．为迎接校园文化节，某班准备添置一些工艺画挂在教室．若到超市批量购买，每幅画需要5元；若组织一些学生自己制作，每幅画的成本是4元，不过，购买制作工具还需花费20元，试问用哪种方式添置工艺画比较合算？参考答案1.B2.＞3.(1)＜ (2)＜ (3)< (4)＜ (5)＜4.(1)0＜4.(2)7＜13.(3)2x ＜6.5.(1)根据不等式的基本性质1，原不等式两边同时减去3，得x ＜2.(2)根据不等式的基本性质1，原不等式两边同时减去5，得x ＞－7.(3)根据不等式的基本性质1，原不等式两边同时加上1，得x ＜1.(4)根据不等式基本性质1，原不等式两边同时加上2，得x ＜5.6.D7.C8.x<y9.＞10.移项，得4x －3x ＞－1－9，即x ＞－10.11.C 12.D 13.1＜a ＜13 14.A 15.C 16.D 17.B 18.(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜ (6)＜ 19.4(答案不唯一)20.(1)根据不等式的基本性质1，原不等式两边同时减去4x ，得x ≤7.(2)根据不等式基本性质1，原不等式两边同时加上23x ，得x ＞－2. (3)根据不等式基本性质1，原不等式两边同时减去2x ，得x ＋2≥3.再根据不等式基本性质1，不等式的两边同时减去2，得x ≥1.21.(1)＜ ＝ ＞(2)能．(9x 2－2x ＋3)－(8x 2－2x ＋3)＝x 2≥0，∴9x 2－2x ＋3≥8x 2－2x ＋3.22.设需要添置工艺画x 幅，则批量购买需要5x 元，自制需要(4x ＋20)元，要分三种情况来说明：①当5x ＜4x ＋20时，得x ＜20，即当添置工艺画小于20幅时，批量购买比较合算；②当5x ＞4x ＋20时，得x ＞20，即当添置工艺画大于20幅时，自己制作比较合算；③当5x ＝4x ＋20时，得x ＝20，即当添置工艺画等于20幅时，两种方式花费一样多．。

4.2 不等式的基本性质★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b，那么a+c____b+c，a－c____b－c．不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc．不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc．2．设a<b，用“<”或“>”填空．（1）a－1____b－1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b；（4）－2a_____－2b；（5）－a2_____－b2；（6）a2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a－1>b－1，则a____b；（2）若a+3>b+3，则a____b；（3）若2a>2b，则a____b；（4）若－2a>－2b，则a___b．4．若a>b，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m；（2）a+n___b+n；（3）m－a___m－b；（4）an____bn；（5）am____bm；（6）an_____bn；5．下列说法不正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2（c 0）B．若a>b，则b<aC．若a>b，则－a>－bD．若a>b，b>c，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式：（1）x－3>1；（2）－23x>－1；（3）3x<1+2x；（4）2x>4．［学科综合］7．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（）A．bc>abB．ac>abC．bc<abD．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3aB．a+2b<p<2a+bC．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0B．a<0C．a=0D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1B．由5x>3，得x>3 5C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9B．－m>－nC．11 > n mD．m n>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>bB．ab>0C．a b>0D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1B．a<－1C．－1<a<0D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A8．负9．D10．B11．B12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。

4.2 第1课时 不等式的基本性质1知识点 1 不等式的基本性质1 1．下列变形正确的是( ) A ．由x >y ，得x ＋a >y ＋b B ．由x >y ，得x －3>y ＋3 C ．由x >y ，得x －a >y －b D ．由x >y ，得x －2019>y －20192．如果t ＞0，那么t ＋a 与a 的大小关系是( ) A ．t ＋a ＞a B ．t ＋a ＜a C ．t ＋a ≥a D ．不能确定 3．设a ＞b ，用“＞”号或“＜”号填空： (1)a －1________b －1；(2)a ＋18________b ＋18；(3)a ＋m________b ＋m ；(4)a －c________b －c. 4. 若a －8＞－8＋b ，则a________b. 知识点 2 用不等式的基本性质1解不等式 5．由不等式x －1＞2可以得到( )A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＞3D ．x ＜3 6．下列可以使不等式x ＋2＜7成立的x 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．在不等式3x－1≤2x的两边加上________，得到不等式x≤1.8．把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：(1)x＋5＞4；(2)4x＜3x＋2.9．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图4－2－1所示，则下列式子中正确的是()图4－2－1A．a－c>b－c B．a＋c<b＋cC．a－b>c－b D．a＋b>c＋b10．小王从水果批发市场购进梨和苹果各a千克，几天后，卖出梨100千克，卖出苹果120千克，则剩余的梨x(千克)和剩余的苹果y(千克)的大小关系是()A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x≥y11．下列不等式变形正确的是()A．由a＞b，得a－3>b－1B．由a＞b，得a2＞b2C．由a＞b，得|a|＞|b|D．由a＞b，得a－2＞b－212．若关于x的方程x－a＝3的解为负数，则a的取值范围是________．13．把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：(1)3x－6＜2x＋1；(2)6－x＞8－2x；(3)－8＋3x＞2x; (4)x＋b＞b＋1.14．设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图4－2－2所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是()图4－2－2 A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c教师详解详析1．D[解析] 选项A，C中，不等式两边加上或减去的不是同一个数；选项B中不等式两边不是同时加或同时减，故错误；选项D中，不等式两边同时减去2019，不等号的方向不变，故正确．故选D.2．A[解析] ∵t＞0，∴根据不等式的基本性质1可得a＋t与a的大小关系是a＋t＞a.故选A.3．(1)＞(2)＞(3)＞(4)＞ 4. ＞5．C[解析] 由不等式的基本性质1可得x－1＋1>2＋1，即x>3.故选C.6．A7．1－2x8．(1)x>－1(2)x<29．B10.A11.D12．a＜－3[解析] 由题意得x＝a＋3＜0，解得a＜－3.13．(1)x<7(2)x>2(3)x>8(4)x＞114．A[解析] 由题图①得b＋c＝3c，∴b＞c.由题图②得a＞b，∴a＞b＞c.故选A.。

湘教版八年级上册数学不等式的基本性质练习题（含答案）一、单选题1．已知a<b，下列不等式中，变形正确的是()A．a−3>b−3B．3a−1>3b−1C．−3a>−3b D．a3>b 32．如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c>b B．a+c>b-cC．ac-1>bc-1D．a(c-1)<b(c-1)3．下列变形错误的是（）A．由a>b得a+1>b+1B．由a>b得a−2>b−2 C．由−3x>3得x>−1D．由4x>−4得x>−1 4．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（）A．a＋1＜b＋1B．－a＋3＜－b＋3C．－a＞－b D．a2<b 25．已知a>b，下列不等式中，不成立的是()A．a+4>b+4B．a-8 >b-8C．5a>5b D．1-a>1-b 6．已知a<b，下列不等式成立的是（）A．a+2<b+1B．−3a<−2b C．m−a>m−b D．am2<bm2 7．若x－3＜0，则（）A．2x－4＜0B．2x＋4＜0C．2x＞7D．18－3x＞0 8．已知x<y，则下列结论不成立的是（）A．x−2<y−2B．−2x<−2y C．3x+1<3y+1D．x2<y29．若4≤x≤6，则()A．2x－1>8B．2x+1≥9C．x+5≤9D．3－x>－2 10．如果a＞b，那么下列式子一定正确的是（）A．a2＞b2B．﹣3a＜﹣3b C．a5>b10D．a﹣2＞b＋211．如果a>b，下列各式中不正确的是（）A．a−4>b−4B．−a3<−b 3C．−2a<−2b D．−5+a<−5+b12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（）A．a+1＞b+1B．﹣a3＜﹣b3C．3a﹣1＞3b﹣1D．1﹣a＞1﹣b二、填空题13．定义：用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[1.5]=1，[0.25]=0，[π]=3.按此定义，计算[8−√19]=.14．当a满足条件时，由ax＞8可得x＜8a．15．如果关于x 的不等式(a+2021)x>a+2021的解集为x<1，那么a 的取值范围是.16．已知x 满足不等式|ax-1|＞ax-1（其中a≠0），那么x 的取值范围是.17．已知数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，则a﹣3b﹣3．18．若b<0，则b3b.（填“＞”“＜”或“＝”）19．已知a，b是两个连续整数，且a<√22−1<b，则a+b=.20．指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）（1）由a+3>0，得a>−3；根据不等式的基本性质；（2）由−2a<1，得a>−12；根据不等式得基本性质；三、计算题21．利用不等式性质将不等式化成“x>a”或“x<a”形式：（1）6x-4≥2 （2）1-2x>922．已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜21−a，试化简：|a﹣1|+|a+2|.四、解答题23．已知关于x的不等式(a−1)x>5，两边同除以a−1，得x<5a−1，试化简：|a−1|−|2−a|．24．现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；（2）利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)．25．将1，2，3，…，16这16个数分成8组(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a8，b8)，若|a1−b1|+ |a1−b1|+⋯+|a1−b1|=62.求(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(a8−b8)2的最小值.必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设x1≤x2≤⋯≤x n，y1≤y2≤⋯≤y n为两组实数，z1≤z2≤⋯≤z n是y1≤y2≤⋯≤y n的任一排列，则x1y n+x2y n−1+⋯x n y≤x1z1+x2z2+⋯x n z n≤x1y1+x2y2+⋯x n yn.答案1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D13．3 14．a＜0. 15．a<−2021 16．当a＞0时，x＜1a；当a＜0时，x＞1a17．< 18．> 19．7 20．（1）1 （2）321．（1）解：6x-4≥2不等式两边同时加上4，得6x-4+4≥2+4 即6x≥6不等式两边同时除以6，得x≥1（2）解：1-2x>9 不等式两边同时减去1，得1-2x-1>9-1 即-2x>8 不等式两边同时除以-2，得x<-422．解：∵由（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜21−a，∴1﹣a＜0，∴a＞1，∴|a﹣1|+|a+2| =（a﹣1）+（a+2）=2a+1.23．解：因为(a−1)x>5，两边同除以a−1，得x<5a−1，所以a−1<0，a<1，所以2−a>0，所以|a−1|−|2−a|=(1−a)−(2−a)=1−a−2+a=−124．（1）若a>0,则a+a>0+a.即2a＞a. 若a<0,则a+a<0+a.即2a<a.（2）若a>0,由2＞1得2·a＞1·a，即2a＞a. 若a<0,由2＞1得2·a<1·a，即2a<a.25．解：由对称性，不妨设a i<b i，i=1，2，…，8，且a1<a2<⋅⋅⋅<a8，则62=|a1−b1|+|a2−b2|+⋅⋅⋅+|a8−b8|=(b1−a1)+(b2−a2)+⋅⋅⋅+(b8−a8)=(a1+a2+⋅⋅⋅+a8+b1+b2+⋅⋅⋅+b8)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=(1+2+⋅⋅⋅+16)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=136−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)，∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8=37，∵a1≥1，a2≥2，…，a8≥8，∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8≥1+2+⋅⋅⋅+8=36，若a7≥8，则a1+a2+⋅⋅⋅+a7+a8≥1+2+⋅⋅⋅+6+8+9=38>37，不符合要求，∴a7≤7，于是a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，a7=7，a8=9，b1，b2，…，b8是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且b8>9，∵S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=(a12+a22+⋅⋅⋅+a82)+(b12+b22+⋅⋅⋅+b82)−2(a1b1+ a2b2+⋅⋅⋅+a8b8)=(12+22+⋅⋅⋅+162)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8).根据排序不等式，当b1，b2，…，b8从小到大排列时，a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8的值最大，S的值最小.∵当b1，b2，…，b8从小到大排列时，S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=(1−8)2+(2−10)2+(3−11)2+(4−12)2+(5−13)2+(6−14)2+(7−15)2+(9−16)2= 482，∴(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2的最小值为482.或：∵12+22+⋅⋅⋅+162=16×(16+1)×(2×16+1)6=1496，当b1，b2，…，b8从小到大排列时，a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8=1×8+2×10+3×11+4×12+5×13+6×14+7×15+9×16= 507，S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=1496−2×507=482.∴(a2−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2的最小值为482.。

4．1 不等式专题 列不等式1. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P ，Q ，R ，S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）A ．P ＞R ＞S ＞QB ．Q ＞S ＞P ＞RC ．S ＞P ＞Q ＞RD ．S ＞P ＞R ＞Q2.下列关于 a a +用不等式表示正确的是 （ ）A . 0a a +>B . 0a a +<C . 0a a +≤D . 0a a +≥3. 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长xcm 应满足的不等式是： __________________.4.状元笔记 【知识要点】不等式：用不等号“＞”.“＜”.“≥”.“≤”.“≠”连接而成的式子叫作不等式． 【温馨提示】注意“不大于”.“不小于”.“不超过”等字表示不等时要带上“=”号．【方法技巧】1．仔细审题，抓住题中的关键字“小于”.“大于”.“不大于”.“不小于”.“不超过”列不等式． 2．列不等式时还应掌握常见的数量关系式，如：速度×时间=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量等． 参考答案：1. D 解析：观察前两幅图易发现S ＞P ＞R ，再观察第一幅和第三幅图可以发现R ＞Q ．2. D 解析：分两类讨论：0a ≥时，2a a a +=，显然0a a +≥；当0a <时，0a a a a +=-+=，故0a a +≥.3. 54001.1x⨯> 4. 解：（1）32(10)26x x +-≥； （2）59(10)126x x +-≥.4．2 不等式的基本性质专题一 不等式的基本性质1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．a m b m +>+B ．22(1)(1)a m b m +>+C ．22a b-<-D ．22a b >2．如图， A .B 两点在数轴上表示的数分别为a .b ，下列式子成立的是（ ）图3baB A－11A ．ab ＞0B ．a b +＜0C ．(1)(1)b a -+＞0D ．(1)(1)b a --＞03.已知a . b . c .d 都是正实数，且d c b a <.给出下列四个不等式： ①dc cb a a +<+； ②b a a dc c +<+； ③b a bd c d +<+； ④dc db a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4.5.状元笔记 【知识要点】1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负．2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案：1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2，b 2的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2＜b 2，故选项D 不正确．故应选D ．2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ．3. ①③ 解析：因为d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+abc d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d bc d a b〈++，故填①③. 4.5.4．3 一元一次不等式的解法专题一 一元一次不等式的解集1．关于x 的方程mx －1=2x 的解为正实数，则m 的取值范围是（ ）A .m ≥2B .m ≤2C .m ＞2D .m ＜22．已知a .b 为常数，若0ax b +>的解集为13x <，则0bx a -<的解集是（ ） A .3x >- B . 3x <-C . 3x >D . 3x <3. 已知0a <且a x a ≤，则262x x ---的最小值是 ．4. 关于x 的不等式210ax x a --+>的解为 ． 5. 解不等式：（1）0.4150.030.020.520.03x x x----≤; （2）201312233420132014x x x x+++⋅⋅⋅+>-⨯⨯⨯⨯.专题二 一元一次不等式的特殊解6. 不等式()()53224->-x x 的非负整数解的个数为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 07. 已知关于x的方程2233x m xx---=的解是非负数，则正整数m的值是______．8. 若关于x，y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y+＜，则整数a的最大值为______．9. 已知│3a+5│+（a－2b+52）2=0，求关于x的不等式)()(241213--<+-xbxax的最小非负整数解．状元笔记【知识要点】1．一元一次不等式：含有一个未知数，且含有未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式．2．解不等式：求一个不等式的解集的过程称为解不等式．3．一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来．4. 解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.【温馨提示】1．一个一元一次不等式的解可能有许多个.2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向.3. 在数轴上表示不等式的解集，要注意用实心圆点或空心圆圈．【方法技巧】1．去分母，若两边同乘以一个负数，不等式必须改变方向．2．系数化1时，若不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等式必须改变方向.3．在数轴上表示不等式的解集，小于方向向左边，大于方向向右边，有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈．4．不等式的特殊解一般是指整数解.非负整数解.正整数解等，常常借助数轴进行解决，带等号时要包括这个数.参考答案：1. C 解析：由mx －1=2x ，（m －2）x =1，得：x =12m -．∵方程mx －1=2x 的解为正实数，∴12m -＞0，解得m ＞2．故选C ． 2. B 解析：由0ax b +>得ax b >-，又因为它的解集为13x <，所以0,ba x a<<-，所以13b a -=，得3,0-=>bab ，3x <-，故选B . 3. 5 解析：由0a <且a x a ≤得1x ≤-，所以2626224x x x x x ---=-+-=-， 所以最小值为4(1)5--=.4. 1x a <+.无解或1x a >+ 解析：整理得：(1)(1)(1)a x a a ->+-，当1a <时，1x a <+；当1a =时，无解；当1a >时，1x a >+.5. 解：（1）原不等式可以变形为323255104xx x -≤---， 去分母，去括号，得24x －60－75+15x ≤30－20x ，解之得：x ≤59165. （2）1111()201312233420132014x +++⋅⋅⋅+>-⨯⨯⨯⨯，20132014120131413131-2121-1->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++x ，∴2013201411->⎪⎭⎫⎝⎛-x ， 解得：2014x >-.6. A 解析：解得x ＜1，只有0. ７．1.2 解析：解2233x m x x ---=得：x =22m -，又x 是非负数，所以22m-≥0，解得m ≤2，所以正整数m =1.2. 8. 3 解析：由3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩①②中①+②得44a x y ++=，又2x y +＜，所以424a+<，解得4a <，所以整数a 的最大值为3.9. 解：由│3a +5│+（a －2b +52）2=0得，3a +5=0，a －2b +52=0，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.125,35b a 代入不等式得－5x－12(x+1)＜－5(2)3x-，解得x＞－1，所以x的最小非负整数解是0.4．4 一元一次不等式的应用专题一元一次不等式的应用1．九年级的几位同学拍了一张合影留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片.所有同学共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（）A. 至多6人B. 至少6人C. 至多5人D. 至少5人2．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20－x．根据题意得（）A．10x－5（20－x）≥120 B．10x－5（20－x）≤120C．10x－5（20－x）＞120 D．10x－5（20－x）＜1203. 海口市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破100亿，2005年该家纺城的羽绒被和羊毛被两种产品的销售价如下：现在买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元，问最多可购买羽绒被________条.4. 甲.乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．5. 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A.B两种型号的设备，其中每台的价格.月处理污水量及年消耗费如下表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）状元笔记【知识要点】列不等式解应用题的一般步骤：①审清题意；②设未知数；③找不等关系；④列不等式；⑤解不等式；⑥检验解的合理性；⑦作答.【温馨提示】1．要检查解的合理性．2．要注意有“不超过”.“不大于”.“不小于”等关键字的列不等式时要写上“=”号．3．方案问题注意不要漏解．【方法技巧】1．找到题目中的关键语句列出不等关系是解不等式应用题的关键.2．一般根据关键字“不足”.“不超过”.“不低于”.“至少”.“最多”等判断是列不等式还是方程．3．方案问题转化为数学问题时，“即为一种数量为多少，另一种数量为多少”，常设其中一种的数量为x，另一种用关于x的代数式表示.参考答案：1. B2. C解析：10x－5（20－x）＞120．3. 30 解析：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被（80－x）条．则415x+150（80－x）≤20000．解之得x≤103053，∴x的最大整数值为30．4. 解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x－300）=（0.8x+60）元，在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x－200）=（0.85x+30）元.（2）①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；②当0.8x+60＞0.85x+30时，解得x＜600，而x＞300，∴300＜x＜600．即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．5. 解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．12x+10（10－x）≤105，解得x≤2.5．∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．有三种购买方案：购A型0台.B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台．（2）240x+200（10－x）≥2040，解得x≥1，所以x为1或2．当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元），所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+10×10=202（万元），若将污水排到污水厂处理：2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．节约资金：244.8－202=42.8（万元）．4．5 一元一次不等式组专题一 求一元一次不等式组中未知系数 1．（2013·孝感）若关于x 的一元一次不等式组-01-2-2x a x x >⎧⎨>⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a >1C. a ≤—1D. a <－1 2. 已知a ，b 为实数，则解可以为－2＜x ＜2的不等式组是（ ） A.B.C .D.3.（2012·鄂州）若关于x 的不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>+022234a x x x 的解集为x <2，则a 的取值范围是 .4.(2013·黄石)若关于x 的不等式组有实数解，则a 的取值范围是 . 专题二 一元一次不等式组的特殊解5.已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩的解集是35x ≤<，则ba 的值是（ ）A ．－2B ．12-C ．－4D ．14-6. 按如下程序进行运算：并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x 的个数是 ．7. 已知关于x 的不等式组521x x a -≥-⎧⎨->⎩的整数解3个，则a 的取值范围是 ．8. 对于整数a .b .c .d ，对于符号a b d c表示运算ac bd -，已知1134b d <<，则b d + 的值是 ．9. 已知a a -=-33，当a 为何整数时，方程组⎩⎨⎧=-=-ay x y x 115163的解都是负数？3x －a ＞5 2x ＞3x －3专题三 一元一次不等式组的应用10．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中.小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．不同的组建方案有（ ）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种11. 一辆公共汽车上有（5a －4）名乘客，到某一车站有（9－2a ）名乘客下车，车上原来有 _________名乘客.12．已知0x >，符号[]x 表示大于或者等于．．．．．．x 的最小正整数．．．．．．，如[]0.31=；[]3.24=；[]55=⋅⋅⋅.（1）填空：1711⎡⎤⎢⎥⎣⎦=_____________，若[]6x =，则x 的取值范围是____________； （2）某市出租车收费标准规定如下：3千米以内（包括3千米）收费6元；超过3千米的，每超过1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计算）.用x 表示所行的千米数，y 表示应付车费，则乘车费可按如下公式计算：当03x <≤（单位：千米）时，6y =（元）；当3x >（单位：千米）时，[]6 1.23y x =+-（元）.某乘客乘车付费18元，则该乘客所行的路程x （千米）的取值范围为__________.13. 在我市开展城乡综合治理的活动中，需要将A .B .C 三地的垃圾50立方米.40立方米.50立方米全部运往垃圾处理场D .E 两地进行处理．已知运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A 地运往D 地a 立方米（a 为整数），B 地运往D 地30立方米，C 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2倍．其余全部运往E 地，且C 地运往E 地不超过12立方米，则A .C 两地运往D .E 两地有哪几种方案？（3）已知从A .B .C 三地把垃圾运往D .E 两地处理所需费用如下表：在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？状元笔记【知识要点】1．一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做它们的解集. 2．一元一次不等式组的解集规律：①同大取大，同小取小；②大小小大取中间，大大小小是空集．3．解一元一次不等式组的应用题的步骤：①审清题意；②设未知数；③找不等关系组；④列不等式组；⑤解不等式组；⑥检验解的合理性；⑦作答.【温馨提示】1．解集的规律要记准确，异号不等式要特别注意．2．求不等式组中未知系数的值时要注意是否带上“=”号.3. 注意求整数解时不要漏解和多解．4．在数轴上表示不等式组的解集同样要注意有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈.5. 解应用题时要注意解要符合实际．【方法技巧】1．求不等式组中某个字母的值时：①一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，再根据题意求出式子中某一系数的取值；②不等式组无解即没有公共部分，常采用逆向思维，写出有解的取值范围，然后进行思考；③不等式组有几个整数解，常借助数轴对照进行解决.2．根据题中最关键的语句（“超过”.“不大于”.“不小于”.“最多”.“不足”等字眼），写出不等关系组是解不等式组应用题的关键.3．方案问题通常设一元不等式（组），先将其转化为数学问题，即求一种的数量和另一种的数量，然后设一种的数量为x，则另一种数量用关于x的代数式表示，再根据题意构建不等式组模型，求整数解，有多少个整数解，就能求出多少种方案.参考答案：1. A 解析：若不等式组有解集，则解集为a <x <1，则a <1.所以不等式组无解时，a ≥1.2. D 解析：A 选项，所给不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，那么a ，b 为一正一负，设a ＞0，则b ＜0，解得x ＞，x ＜，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意；B 选项，所给不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，那么a ，b 同号，设a ＞0，则b ＞0，解得x ＞，x ＜，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错误，不符合题意；C 选项，理由同上，故错误，不符合题意；D 选项，所给不等式组的解集为－2＜x ＜2，那么a ，b 为一正一负，设a ＞0，则b ＜0，解得x ＜，x ＞，∴原不等式组有解，可能为－2＜x ＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意；故选D ．3. a ≤－2 解析：先解不等式组得，，因为解集为x ＜2，根据同小取小的原则可知，2≤－a ，则a ≤－2．4. a ＜4 解析：解不等式2x ＞3x －3，得x ＜3．解不等式3x －a ＞5，得x ＞5＋a 3．这两个不等式解集的公共部分是5＋a 3＜x ＜3．即a ＜4．故答案为a ＜4． 5. A 解析：由题意得：212a b a b x +++≤<，所以32152a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得36a b =-⎧⎨=⎩，所以2b a=-. 6. 3 解析：根据题意得：()[]{}()[]⎩⎨⎧<--->----651112226511112222x x 解得：5＜x ＜9．则x 的整数值是： 6，7，8．共有3个．故答案是： 3．7. 10<≤a 解析：解不等式组，得⎩⎨⎧>≤a x x 3，因为不等式组的整数解有3个，所以10<≤a . 8. ±3 解析：由1134bd <<得143bd <-<，所以13bd <<，所以2bd =，所以b d +=±3.9. 解：解方程组⎩⎨⎧=-=-a y x y x 115163，得1163533a x ay -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 因为方程组⎩⎨⎧=-=-a y x y x 115163的解都是负数，所以00x y <⎧⎨<⎩， 即：116035303a a -⎧<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得116a >. 又因为a a -=-33，所以30a -≥，所以3a ≤. 所以1136a <≤，所以整数2a =或3. 10. B 解析：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30－x ）个．由题意，得⎩⎨⎧≤-+≤-+,1620)30(6050,1900)30(3080x x x x 解这个不等式组，得18≤x ≤20．∴x 的取值是18，19，20．所12. 解：（1） 8 56x <≤（2）因为[]186 1.23x =+⨯-，所以[]310x -=，即9310x <-≤，所以1213x <≤.13. 解：（1）设运往E 地x 立方米，由题意得，x +2x ﹣10=140，解得：x =50，∴2x ﹣10=90，答：共运往D 地90立方米，运往E 地50立方米.（2）由题意可得，[]⎩⎨⎧≤+--<+-12)30(90502)30(90a a a ， 解得：20＜a ≤22，∵a 是整数，∴a =21或22，∴有如下两种方案：第一种：A 地运往D 地21立方米，运往E 地29立方米； C 地运往D 地39立方米，运往E 地11立方米；第二种：A 地运往D 地22立方米，运往E 地28立方米； C 地运往D 地38立方米，运往E 地12立方米.（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21+30×20+10×22=2873（元）， 第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21+30×20+10×22=2876（元）， 所以，第一种方案的总费用最少．。