高等数学方明亮版课件2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合

( x 1)( x 2) (3 x)(5 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
上页 目录 下页
求一般幂指函数 y u( x)v( x) (u( x) 0) 的导数时，同样可以用 上述 “对数求导法”．但注意到y e v( x)lnu( x) ，也可以利用复 合函数求导法则求导．如
y
sin y (1 cos y)3
.
下面又应 怎么办？
上页 目录 下页
您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
上页 目录 下页
例7 求由参数方程
x 2(cos sin ),
y
3(sin
cos
),
所确定的函数 y y的( x微) 商 . dy
dx
解
(a 0,b 0)
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
(t
)
1 dx
(t) dt
d dt
(t)
(t
)
1 (t
)
(t
)
(t)
t
.
上页 目录 下页
由于
(
(t (t
) )
)
(
t
)
(t) (t [ (t)]2
)
(t
)
,
因此
d 2 y (t ) (t) (t) (t)

dt dx

b a
csc2
t

1 dx
dt
b csc2 t 1 b
a
asint a2 sin3 t
(t 0,π,2π).
13.06.2019
14
例6 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
9
若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2

d (dy) dx dx
d (dy) dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)

2 (t)
(t)

dy dx
15y421x26
因x=0时y=0, 故
13.06.2019
3
例2 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89

y
x2
y

3 2
3

9 16
x y
x2
y

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
1 cos t tπ
2
于是所求切线方程为
ya1xaπ21
即
y x a(2 π).
2
13.06.2019
13
例5
由椭圆的参数方程

x y

a b
cos t, sin t,

例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
y t2
( x)2 2
x2 4
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x), y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
当2<x<3时, y
( x 1)(x 2) (3 x)(4 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
13
例8 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解： 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
25
布置作业
P111 习题2-4 1（3）, 3（2）; 4（3），6.
26
解出 y
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
将y回代
11
例7 求
y ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
23
解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500 上式两边对t求导得
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
500米 h
500米
tan 1, 1 tan2 sec2 .