解析几何中的切线问题

解析几何中的切线问题解析几何中的切线问题解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程，再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。

最后通过其他条件达到解题的目的。

对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。

对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。

本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。

首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。

【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DN ON==，3MN=．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20l x y-=和2:20l x y+=或4x =-，都有14482OPQS∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164mk =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k-++.由原点O到直线PQ的距离为21d k =+和2||1|P Q PQ k x x +-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.②将①代入②得，222241281441OPQk m Sk k ∆+==--. 当214k>时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQk S k k ∆+==-+--.因2104k≤<，则20141k<-≤，22214k≥-，所以228(1)814OPQSk ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQS ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题.84040),(.1621281621).0,16(.2416241622.164:),,(00002021000020010000取得最小值时，或所以当在椭圆上，所以由于点的面积为则△轴的交点为与切线和交点的纵坐标分别为和与切线则椭圆的切线系方程为设切点为S x x y x x y y x S OPQ x x l x y y x y y y x y x l y y x x l y x =≤≤-=-⨯⨯=-=+=-===+此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线l 斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。

像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：.),(21.35),0,5()0(1:202014002222的轨迹方程求点的两条切线相互垂直，到椭圆为椭圆外一点，且点）若动点（的标准方程；）求椭圆（离心率为的一个焦点为】已知椭圆广东，理【P C P y x P C b a by a x C >>=+ 149.2,3,35,5122=+=====yx b a a c e c 则椭圆的标准方程为所以）由题意可知【解析】（13P )2,3(),2,3(,13194,1,042)9(0)49](4)[(36)()18(00]4)[(9)(18)49()(23234P 220202020202021200022022002002200002200=+±±-=+-=---==-+--=+----=∆=--+-++-=-±±-y x y x x y k k y k y x k x k kx y kx y k kx y x kx y k x k x x k y y y x 的轨迹方程为所以点这四点也满足上述方程显然所以即所以因为两切线相互垂直，即，依题意，代入椭圆方程得：轴，设切线方程为若两切线不垂直于坐标），），（，（个，它们的坐标分别为有轴，则这样的点轴，则另一切线垂直于）若一切线垂直于（下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第（2）题13,194,168194)9(16,94)4(81036324162)9481(03614432)4916(36943694,36943694,3694),(),,(),,(202022021212202021202020212020022020202002202000020201012211221100=+-=---=+-=+-==-+-+=-+-+=+=+=+=+=+y x x y y y x x y x x y y y x y x x x x y y x y y x y x x y x AB y y x x AB y y x x y y x x P y y x x y y x x y x B y x A y x P 即所以由题意得：：方程代入椭圆的方程得将的方程为所以直线以满足上述两个方程，所点则两条切线分别为：设两切点的坐标分别为设此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。

ba l P l l O P kb a k l P P l b a by a x C ->>=+的距离最大值为到直线垂直，证明：点与的直线若过原点的坐标；表示点用的斜率为已知直线在第一象限且点，与椭圆只有一个公共点动直线】设椭圆浙江卷，理【112222)2(,,,)1(.)0(1:212014),(P P ),(,00,02)(:1),0()1(222222222222222222222222222222222ka b b ka b k a P k a b m b k a b km a P P k a m b P C l k a m a kmx a x k a b y b y ax mkx y k m kx y l ++-++-=+-=∆=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=<+=的坐标为在第一象限，故点又因为点点的坐标为解得，即故只有一个公共点与椭圆由于直线得消去由的方程为方法一：设直线【解析】 ),('''),(',,1,1,'''),1,11('1'11'1''''),0(''''')'(':')0)(()','('),(1'':')0(1C ,''22222222222222'''2220202200000000222222bk a b b k a k a P b y y ax x bk a bb k a ak P akbm b ak m k k l P O mmm P m m y m x y x mx y m mx y P O C x ax k y by l k x x k y y l y x P y x P y x C b a b y a x y by x axl P O ++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++--=-=⋅-=⋅⊥++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=+=>=-=-<-=-=+>>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==代入即得：利用逆变换代入得即得所以由于即解得由的方程为中设直线在圆变为：，切线变为点切点变为圆：则椭圆方法二：作变换..2,21,0O )2(12222222222222222222222222222222222111b a l P abk ba aba b ba kb k a a b b a d ab k b k a k b k a a b b a d kk a b k b ka b k a d l P ky x l l l -=-=++-≤+++-=≥++++-=++++-==+的距离的最大值为到直线所以点时等号成立当且仅当所以因为整理得：的距离到直线所以点的方程为垂直，故直线且与直线过原点由于直线下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.),(,,1,,,1),0,0)(,()1(2222222222220222202202222002200020220200000b k a b b k a k a P b k a b y b k a k a x b y a x b k a y x P b k a y x y a x b k y b y x a x l y x y x P ++-+=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-==+>>所以解得：在椭圆上，所以联立因为点即则的方程为则切线的坐标为设点 .2110:)2(12222222222222222222222011b a l P ba b a ab b a b a k b k a b a d k b k a k b bk a k a kky x d l P ky x l --=++-≤+++-=++++-=++==+的最大距离为到直线所以点整理得：的距离到直线点设直线.11,0,,,,)2()3(),0,(,)2()1(.123,,)0(1:22201321212121211212222值为定值，并求出这个定试证明若的斜率分别为设直线有且只有一个公共点。

与椭圆使得的直线作斜率为的条件下，过点在的取值范围；求的长轴于点交的角平分线。

设点，连接上除长轴端点外的任一是椭圆点的方程；求椭圆截得的线段长为轴的直线被椭圆且垂直于过，离心率为的左、右焦点分别是】椭圆山东卷，理【kk kk k k k PF PF C l l k P m m M C PM PF F PF PF C P C C x F F F b a b y ax C +≠∠>>=+.2323.43.23232233,22,33)223(3)223(3,14,)3(3)3(3.03)3(:,03)3(:,).0,3(),0,3().0)(,()2(14.1,2,23.2,12,,1,)1(000020202020202000202000000000212100022222222222221<<-=--=++<<-<<---=++=+-+-=+++=---=++--≠=+======±==+-=-=m x m x m x m x m x m x m y x P x y y my x y y my y y x x y l y y x x y l PF PF F F y y x P y x C b a a c e b a a b ab y b y a xc x b a c PF PF 因此所以可得因为所以在椭圆上，所以由于点由题意知的方程分别为：所以直线又解法一：设的方程为椭圆所以又即由题意知得代入椭圆方程将由于【解析】.434333,)43()43()3()3(,3,314,1111)3()3(,1313),3(),3(,0.433),21,3(.433,33,373.0334),21,3().21,3()21,3(320),,(002020*********0202221222222211121210120000-+=-+-+=-+-=+==+++=-+++=++-=+=≠=-=<<--=+=+--=<≤x x m m x x m m x y k x y k y x k k m m k k mk k k mk x k y x k y PF PF x m P m m m m y x PF P P PF x x y x P 即所以并且因为所以由题意知的方程分别为时，设直线②当同理可得若所以因为由题意得的方程为则直线若或的斜率不存在，易知时，直线①当时，当解法二：设 ).23,23(.02302.230.433230,43.343433320,3300000-<<-<<-<≤≠<≤=-+=-+≠<≤<<-的取值范围是综上所述，时，同理可得当综合①②可得：且故整理得：所以且因为m m x m m m x m x x m m x x m.811.82)4()11(111,23311,3,3)2(4,0816,14012)4(00)12(4)(8)41()(14),(),0)(,()3(2100002121000002100200100200022020202000220202002002022002200000-+-=⨯-=+=+=-++=+-=+=-==++=+=-++-=∆=-+-+-++⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-≠为定值，这个定值为因此则所以可知由故所以又因为，即由题意联立的方程为则直线设kk kk y x x y k k k kk kk y x y x y x k k x y k x y k y x k x k y x k y y x y k y x k x x k y kx y x x k ky x k x x k y y y x x x k y y l y y x P在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第（2）题的方法。