解析几何中的最值问题教案

线 PA、PB，（1）求切线长 PA 的最小值； （2）在（1）的条件下，求四边形 PACB 的面积 S。
(2)：S=PA×AC
P
= 17
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
思考：在本题中向量的
数量积用定义式运算还
P
是用坐标运算？
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
解： 设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC d, d 3 2 设APC＝，则APB＝2
sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2
解： 设PC d, 设APC＝，则APB＝2
P点2 评： sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2 在M本例的解决dP过A程PB中，PA关 P键B是co将s2目标d 2 量值P表。示这P为种1 利PC用长函度(d数d2的的1函) 思数(1想，d研22求)究函d解2数析的d2几2 最 3 何是最如值何A问选题择C在变B解量题。在是PPAA中本什4 P经P题么BBd的的常中？最最6遇d大小的到值值取为为，：值： 51关50825范键围
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
解 析 几 何 中 的 最 值 问 题

专题提升课四与圆有关的最值问题方法一利用距离的定义求最值【典例】圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线3x-4y+19=0的最大距离为() A.10B.11C.12D.13【解析】选B.由题意,x2+y2-2x+4y-20=0的圆心为(1,-2),半径为5,圆心到直线的距离d所以圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线l的最大距离是5+6=11.【思维提升】利用距离的定义求最值的方法关键是确定距离最大、最小时点的位置.一般通过圆心和点的连线和直线的垂线与圆的交点确定点的位置,再利用距离公式求最值.【即学即练】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.【解析】圆x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为(2,2),半径r=32.圆心(2,2)到直线x+y-14=0=52>32,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=62.答案:62方法二利用几何意义求最值【典例】已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求2m+n的最大值;(2)求(m+2)2+(n-3)2的最小值;(3)求r1的范围.【解析】由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.(1)设2x+y=b,即2x+y-b=0,作出圆(x-2)2+(y-7)2=8与一组平行线2x+y-b=0,当直线2x+y-b=0与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d4+1=22,解得b=11+210或b=11-210,所以2m+n的最大值为11+210.(2)(m+2)2+(n-3)2表示点M(m,n)与点Q(-2,3)的距离的平方,又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42.所以|MQ|min=42-22=22,即(m+2)2+(n-3)2的最小值为8.(3)r1=-0-(-1)表示点过M(m,n)与点P(-1,0)的直线的斜率,令r1=k,则n=k(m+1),即km-n+k=0.当直线MP与圆相切时,斜率取到最大值、最小值.2+1=22,解得k=1或41,所以r1的范围是1,41.【思维提升】常见的三种几何意义的应用(1)形如t=--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题,即转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.【即学即练】已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,求的最大值和最小值.【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆,设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,=3,解得k=±3.故的最大值为3,最小值为-3.方法三距离转化法求最值【典例】若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,求由点(a,b)向圆C 所作的切线长的最小值.【解析】因为圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即a-b=3.又圆的半径为2,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为(+1)2+(-2)2=2(-2)2+18≥32,所以切线长的最小值为(32)2-(2)2=4.【思维提升】关于距离转化法求最值(1)利用勾股定理等方法,将切线长表示出来,分析决定切线长大小的要素,利用该要素的最值求切线长的最值;(2)常见的转化依据:直线外一点与直线上的点的距离的最小值是该点到这条直线的距离.【即学即练】直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,求△ABP 面积的取值范围.【解析】设圆心到直线AB的距离d =22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,所以S△ABP=12·|AB|·d'=2d',所以2≤S△ABP≤6.方法四利用对称转化求最值【典例】已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点A出发经x轴反射到圆C上的最短路程.【解析】点A关于x轴的对称点为A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.所以所求最短路程为10-2=8.【思维提升】利用对称转化求最值涉及光线反射可以利用对称性,将折线转化为直线解题,根据题意可以选择点对称,也可以选择圆对称.【即学即练】(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时()A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1)B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0C.光线的最短路程为4D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为14,0【解析】选ABC.圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A'C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A'C|-r,即[2-(-1)]2+[3-(-1)]2-1=4,此时,反射光线为直线A'C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A'C与x轴的交点,其坐标为-14,0.。

微设计《破解中考数学压轴题（一）0107几何最值问题》学习目标：1、学会怎样通过平行线和直角三角形构造相似三角形.2、理解并会运用二次函数的性质解决几何最值问题.3、学会通过求2x的最值来求x的最值的方法.4、体会数形结合在解决压轴题中的重要作用.学习重点：1、做辅助线构造相似的过程.2、借助变量表示线段长度,建立等量关系的过程.3、运用二次函数求2x的最小值的过程.学习难点：先求2x的最小值，再求x的最小值的过程.学习过程：一、问题背景几何中最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度，角度大小，图形面积）等的最大值或最小值。

几何最值问题近年来广泛出现在中考中，这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确）。

解题时，需要运用动态思维，数形结合，特殊与一般相结合，逻辑推理与合情想象相结合等思想。

二、例题解析16．（5分）如图1，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．图11. 思路探究问题一：题中所给的已知条件有哪些呢？这些条件可以分为几大类呢？（设计意图：分析题目之前，首先让学生自主理清题目条件，并归类.）问题二：由l 1∥l 2∥l 3 ，你能想到什么？结合∠ABC ＝90° ，你会做怎样的构造？（设计意图：让学生自主通过角相等联想到三角形相似，自主想到添加辅助线的办法.） 问题三：对于条件4=n m 通常情况下怎么处理？ （设计意图：引导学生常用结论的固定处理方式．让学生联想已有结论表示出线段的长度．） 问题四：在⊿AEB ∽⊿BFC 中，能否尽可能多的表示出线段长？（引导学生二次设元，在相似三角形中表示出更多的线段．）问题五：如何能将BD=4这一条件运用到解题中？你能表示出更多的线段吗？（设计意图：引导学生作出另外两条辅助线，构造出另一组相似三角形⊿AGD ∽⊿CHD ，表示出相应的线段长．从而得到关于两个未知数的等式．） 问题六：结合原题所问，你认为怎样处理236442=--yx y 这一条件会更好？ （设计意图：引导学生分离变量，为后面求x 的最小值做好铺垫．）问题七：观察等式91022y y x -=的左边和右边，你认为怎样与求x 的最小值联系起来？ （设计意图：引导学生尝试先求2x 的最小值，再求x 的最小值.）２.解法展示解：如图2，EABCBF ABE EAB CBF ABE ABC BFC AEB Fl E l EF B ∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴︒=∠︒=∠=∠⊥则又则于点，交于点作过点9090909031 E G HDB A 1l 2l 3l 图2∵m+n=5x ∴当x 最大时，m+n 最大 .由二次函数的性质可知：当y=5时，2x 有最大值为925，则x 的最大值为 35，m+n 的最大值为325 . 3.方法小结 本题最主要的解题模型是添加了3条辅助线，构造两组三角形相似，这两个相似三角形是常见的“三垂相似型”，“8字相似型”，课件灵活运用基本图形在解决综合题中的起到关键的作用。

课题：几何图形中的最值问题授课教师：教学目标：1.了解解决几何最值问题的基本原理和方法。

2.初步掌握利用平面几何知识及几何图形等知识解决几何最值问题，培养学生几何探究、推理的能力。

3.进一步体验对称变换、旋转变换等的思想方法。

教学重点：几何最值问题原理的运用；教学难点：寻求几何最值问题解决的有效途径及方法。

教学过程：一、引入：中考中的最值问题往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度．通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；2.几何最值问题的基本原理：①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值④三角形三边的关系二例题：例1：在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．请直接写出△PDE周长的最小值：．例2如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13 时，求正方形的边长.ADB C三、变式练习阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，连接A ′A ，当点A 落在A ′C 上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4，P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是四、小结 ：1、“对称、平移、旋转” 是三种保形变换．通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．2、求解时，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长．3、科学选择．捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路4、几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值．五、巩固练习1．（2012四川攀枝花）如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ． 2．（2012湖北鄂州）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。

解析几何最值问题的赏析教案
《解析几何最值问题的赏析教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
作业内容
解析几何最值问题的赏析
问题提出：
已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

问题分析：
图形的处理：
不规则图形转化为规则图形(割补法)
变量的选择：
设点：设点则，可得到二元表达式;
设动直线的斜率(可设AF,BF,EF,AE,BE中任意一条直线的斜率)，可得一元表达式。

3，最值的处理方法：
一元表达式可用基本不等式或函数法处理;
二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。

问题解决：
解法一：
由基本不等式得
解法二：
解法三：
因为，所以设切线方程为：
由得
再由得
切线的方程为：，点到直线的最大距离
变式与推广
①已知圆方程：，A，B分别为圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和圆交于E、F两点，则四边形AEBF面积的最大值为;
②已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，则有如下结论：
(1)四边形AEBF面积的最大值;
(2)AB的斜率与EF的斜率互为相反数;
(3)EF过线段AB的中点;
③若条件中点E、F变成椭圆上且位于AB两侧任意的两点，则E、F关于原点对称时，四边形面积取得最大，上述②的结论不变。

解析几何最值问题的赏析教案这篇文章共1626字。

微专题26 解析几何中的最值与范围问题1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题．2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．考题导航利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则yx 的最大值为________；y －x 的最小值为________；x 2＋y 2的最小值为________．1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________．1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)，则PA 的最小值为________．1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．1. 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______．1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．1. 如图，已知动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点．(1) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 又与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，求实数m 的取值范围； (2) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，且满足PB →＝2AP →，O 为坐标原点．求△AOB 面积的最大值，并指出此时k 的值．冲刺强化训练(26)1. 已知双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.3. 如图，M 为椭圆x 23＋y 2＝1上任意一点，P 为线段OM 的中点，则PF 1→·PF 2→的最小值为________．4. 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P是椭圆上的一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r 为半径的圆C 有公共点，则r 的最小值是________．7. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上的一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．8. 若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →，则实数k 的最小值为________.10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.(1) 若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2) 若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1) 求直线OP 的方程；(2) 求PQ QA 1的值；(3) 设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于B ，C 两点，分别交圆A 2于M ，N 两点，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值．。

解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。

基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。

二、教学重点方法的灵活应用。

三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种:(1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。

(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）（1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。

分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。

例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）不等式法例2、 设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是解：124PF PF +=由12PF PF +≥得 44)(22121=+≤•PF PF PF PF即21PF PF •的最大值是4 。

解析几何中的最值问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.学习目标：1.能够根据变化中的几何量的关系建立目标函数，求出最值；2.能够熟练应用圆锥的定义和几何性质，运用几何法求出最值；学习重点与难点：1.根据关系建立目标函数或不等式；2.根据问题的几何意义，应用数形结合的思想解决问题一、基础训练：1. 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．2. 已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的动点，12,F F 是焦点，则12||||PF PF ⋅的取值范围是 ．3. 若C(－3，0)，D(3，0)，M 是椭圆x24＋y2＝1上的动点，则1|MC|＋1|MD|的最小值为________．4. 已知点A(–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ．5. 已知(,)P x y 是椭圆221169x y +=的点，则x y +的最大值是 ． 二、合作探究：例1 已知点(4,0),(0,4)A B ,动点(,)P x y 在线段AB 上，求：（1）x y +的最小值；（2）22x y +的最小值；（3的最小值；的最小值．例2 已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． （1）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （2）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．例3 已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅，求||||1PQ TF 的最小值．三、课堂练习：1、设连接双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(b>0，a>0)的四个顶点的四边形面积为S1，连接四个焦点的四边形面积为S2，则S1S2的最大值是 ．2、设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．3、如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 ．四、归纳小结：。

BA OMlAB中考复习------几何中的最值问题学习目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见导学案中的标题），明确解决最值问题的思考方向，掌握数学建模的核心素养。

学习重点：①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短.简称垂线段最短。

例1： 如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8,M 为弦AB 上的一个动点， 求OM 最小值为2.知识点 轴对称-最短路径（1） 在直线l 同侧有A 、B 两点，请在直线l 在找一点P 使得PA+PB 最小，最小值等于线段课后思考：在直线l 异侧有A 、B 两点，请在直线l 在找一点P 使得PB 与PA差最大，最小值等于线段例2：如图所示，正方形ABCD 中AB=5cm,BE=1cm ，P 为对角线AC 上一动点，求PE+PB 的最小值3知识点 立体图形-最短路径例3：如图所示，有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高5m ，一只老鼠A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？解：由题知：AC=5m ，BC=12m 勾股定理得222AB AC BC =+AB=13(m) .变式训练：如图是一块长，宽，高分别是5cm ，3cm 和4cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和AAACBA OBC EPDABEF 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是规律总结：*选讲 动点问题中的最值例4：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，求B ′D 最小值？5.课堂反思：6.课后作业面积的最小值？求三角形，上面两动点，且满足与为，，边长为菱形AEF EAF CD BC F E B cm ABCD ︒=∠︒=∠60,604.12.图C 为⊙O 的上一点，点AB 为直径，且AB=4cm ，∠BAC ＝20°,P是OB 上一动点，求PA ＋PC 的最小值是 ．1题 2题 3题3.如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是4.木杆AB 斜靠在墙壁上，木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端也随之沿射线OM 方向滑动，图中虚线画出木杆的中点P 随之下落的路径，其中正确的是（ ）。

7.如果x,y满足等式4x2+9y2=36,那么|2x－3y－12|的最大值是.
8.求以直线l：x＝－1为准线，离心率e＝2且恒过定点M(1,0)的双曲线实轴长的最大值，并求实轴最长时的双曲线方程.
9.动点P在曲线x2+y2= 4(y≥0)上，定点为A(4,0),在AP边的上方作正三角形PMA,使四边形OPMA的面积最大，求点P的坐标.
二、知能达标
1.AB为过椭圆 中心的弦，F(c,0)是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）
A.bcB.acC.abD.b2
2. .已知椭圆长轴、短轴、焦距之和为8，则长半轴的最小值是（）
A.4 B.4 C.4( -1) D.2( -1)
3.动点P在椭圆x2＋a (y-1)2= a(0<a<1)上运动，线段OP长度的最大值是（）
已知曲线y2=2x, (1)求曲线上距点A( ,0)最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）设B(a，0)，a∈R,求曲线上的点到点B距离的最小值.
A.1 B.2 C.2 D.
4.椭圆 与x轴、y轴正方向相交于A、B两点，在劣弧AB上取一点C，使四边形OABC的面积最大，那么最大的面积是（）
A. B. C. D.ab
5.AB为抛物线y=x2的一条弦，且|AB|＝4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为.
6.若椭圆2x2+y2=a2(a>0)与连结A(1,2),B(2,3)的线段没有公共点，则a的取值范围是.
班级
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学号Βιβλιοθήκη 时间课题解析几何中的最值问题
设计
一、方法点击
1.请记住：最值问题通常都是函数问题，即能根据变化中的量的关系，建立目标函数，然后利用求函数最值的方法（如利用一次函数或二次函数的单调性、三角函数的值域、基本不等式、判别式等）求出最值；

几何最值问题专题复习教案魏岗学校黄小柱一、教学目标：1.知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决最值问题的思考方向。

2.让学生掌握常见几何最值问题的解决方法，体会知识之间的内在联系和知识间的相互转化，提高学生分析问题解决问题的能力。

二、教学重难点：重点：掌握常见几何最值问题的解决方法。

难点：知识的综合运用和知识间的相互转化。

三、教学过程（一）导入：近年来几何最值问题在各地的中考试题中频繁出现，安徽省也不例外，2016年和2017年都出现了几何最值问题，在以往的中考试题中也曾多次出现过几何最值问题.所谓几何最值问题就是：在平面几何问题中，某几何元素在给定的条件变动时，求某几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数等）的最大值和最小值。

同学们请回忆一下我们以往所学的知识中有哪些涉及到最大或者最小值的？（二）新课讲解1运用二次函数的知识求几何最值例题：分析：我们移动E 点的位置可以发现，CF 的长度和BE 的长度有很密切的联系，大家想一想，我们常见的要求线段的长度一般有几种方法？这里有三角形相似吗？如果我们设BE=x ，CF=y ，我们能求出y 关于x 的函数吗？能利用这个函数关系求出CF 的最大值吗？归纳：一般在运用勾股定理或者相似形求线段的长度，以及求图形面积的时候可以尝试用二次函数求最值。

2. 利用垂线段最短求最值例题：分析：我们可以看出PQ 在RT ⊿OPQ 中，而且这个三角形的斜边是定值，那么要PQ 最大，只要OP 的长度最小就可以了，O 为定点，P 在直线BC 上，那么什么时候OP 的值最小？如图，在正方形ABCD 中，AB=6,BC=8E 为BC 上一动点,连接AE,EF ⊥AE 交CD 与F,求CF 长度的最大值。

A（2015中，直径AB=6是弦，∠ABC=30°,点P 在BC 上，点Q 在上，且OP ⊥PQ 。

（2）当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值A归纳：一般涉及到定点到定直线的距离，通常可以用垂线段最短的知识去求最值。

初中几何最值问题教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法；3. 能够应用所学的知识解决实际问题。

教学重点：1. 几何最值问题的定义和意义；2. 解决几何最值问题的基本方法。

教学难点：1. 理解和掌握特殊位置及极端位置法；2. 理解和掌握几何定理（公理）法；3. 理解和掌握数形结合法。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：最值问题在实际生活中的应用，如购物时如何选择最优惠的商品等；2. 引导学生思考：如何数学化地表示最值问题；3. 引导学生思考：解决最值问题的基本思路。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解几何最值问题的定义和意义；2. 讲解解决几何最值问题的基本方法：a) 特殊位置及极端位置法；b) 几何定理（公理）法；c) 数形结合法。

3. 通过示例题目，讲解特殊位置及极端位置法的应用；4. 通过示例题目，讲解几何定理（公理）法的应用；5. 通过示例题目，讲解数形结合法的应用。

三、练习与讨论（15分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 学生之间进行讨论，共同解决问题；3. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

四、总结与反思（5分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点；2. 引导学生思考如何应用所学的知识解决实际问题；3. 教师进行课堂反思，总结教学效果。

教学延伸：1. 引导学生进一步学习其他解决几何问题的方法；2. 引导学生参加数学竞赛或研究项目，提高解决几何问题的能力。

教学反思：本节课通过讲解几何最值问题的定义和意义，以及解决几何最值问题的基本方法，使学生了解了最值问题的实质，并能够应用所学的知识解决实际问题。

在教学过程中，通过示例题目和练习题，让学生充分理解和掌握特殊位置及极端位置法、几何定理（公理）法和数形结合法。

同时，通过学生之间的讨论和教师的讲解，提高了学生的解题能力和合作能力。

然而，在教学过程中也存在一些不足之处。

解析几何中最值问题的解题策略圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。

其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。

下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。

例题1.已知(0,2)A ，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，右焦点F ，直线AF的斜率为3-，O 是坐标原点。

（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

解：（1）22:14x E y += （2）由题意直线l 的斜率存在，设:2l y kx =+联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(41)16120k x kx +++=，22316(43)0,4k k ∆=->>得122|||41PQ x x k -==+ 原点O 到直线PQ的距离所以221443||1241OPQk S PQ d k ∆+-=⋅==≤=+当227344k =>时，取等号，此时:2l y x =+ 先来解析这道题，应用了两个公式： 一.弦长公式212|||,PQ x x a x a-=是的系数 二.,0,0,=2a ba b a b +≤>>=当时，不等式式取“”号 我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论例题2.已知2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设过点(0,)A m 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

解：由题意直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+联立22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222222222()20a k b x a b kmx a m a b +++-=，22222222224(),m b a b a k b m k a -∆=+->222||PQ a k b=+原点O 到直线PQ的距离所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅== 22222222()2()2m a k b m abab a k b ++-≤=+ 当2222222222a k b m m a k b m +-=+=，即时，取等号。

初中几何最值教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法和技巧；3. 能够独立解决简单的几何最值问题。

教学内容：1. 几何最值问题的定义和分类；2. 解决几何最值问题的基本方法；3. 典型几何最值问题的解析。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概念：最值问题是指在一定的条件下，寻找某个几何量的最大值或最小值的问题。

2. 举例说明：如在平面直角坐标系中，求直线与圆的交点中，距离某一点最近的交点。

二、基本概念和性质（15分钟）1. 介绍几何最值问题的分类：长度最值、面积最值、角度最值等；2. 讲解几何最值问题的基本性质：最优解的存在性、唯一性、可达到性等；3. 通过实例讲解几何最值问题的解题思路。

三、解决几何最值问题的方法（20分钟）1. 解析法：通过解析几何知识，建立方程，求解最值；2. 构造法：通过构造辅助线，转化问题，求解最值；3. 代数法：通过代数运算，求解最值；4. 几何法：利用几何性质，直接求解最值。

四、典型问题解析（20分钟）1. 例1：求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1的交点中，距离点A(x0,y0)最近的交点；2. 例2：在三角形ABC中，求边长BC上的线段DE的长度，使得∠AED为直角；3. 例3：已知矩形的长和宽，求矩形内切圆的半径。

五、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立解决几个典型的几何最值问题；2. 学生之间互相讨论，交流解题思路和方法；3. 教师进行解答和讲解，分析学生的解题错误和不足。

六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结几何最值问题的解题方法和技巧；2. 学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 教师给予鼓励和指导，提出更高的要求。

教学评价：1. 课后作业：布置几个典型的几何最值问题，要求学生在规定时间内完成；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神；3. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，包括掌握知识的情况、解题能力等。

几何最值问题一、内容和内容解析1.内容几何最值问题2.内容解析近年来，中考中出现了几何最值问题，这类试题综合性强、能力要求高，能较全面地考查学生的实践操作能力、空间想像能力以及分析问题和解决问题的能力。

基于以上的内容解析，本节课将通过例题和变式题的形式解决几种最值问题，并尝试揭示出几种最值问题的解题策略。

二、教学目标（1）了解解决几何最值问题的原理和方法；（2）掌握利用平面几何知识及几何的图形性质解决几何最值问题；（3）培养学生几何探究、推理能力，体会化归思想；三、教学重点及难点重点：几何最值问题原理的运用难点：寻求解决几何最值问题的有效途径和方法四、教学用具多媒体五、教学过程一．课前预热1．如图，在直线l 上找一点P ，使 AP+BP 最小.lBA2．如图，在直线l 上找一点P ，使 AP+BP 最小.意图：回顾旧知识，这两个图形可以作为求一类几何最值的几何模型，体会“转化”思想在解决数学问题中的重要作用，同时为后面例题分析中找出几何模型作铺垫。

二、例题分析例 如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 的值最小？EAB意图：在几何图形中抽取出几何模型，提高解题速度。

同时进一步强化转化思想在解决问题中的重要作用。

变式一、lA上找一点P ，使PE+PB 的值最小？FEAB意图：当点由定点变成动点时，解决问题的本质发生变化，最值原理由两点之间线段最短变为垂线段最短。

提醒学生审题一定要仔细，细心。

同样强调转化思想在解决数学问题中的作用。

例：如图，点P 是⊙O 上的一个动点，点A 在⊙O 外，当P 在何处时PA 最长，在何处时PA 最短.意图：从这个例题中得出求几何最值的另外一种原理三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即三角形的三边关系。

同时为后面两个变式题的解决作铺垫。

变式二、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，点E 是AB 中点，点P 为对角线AC 的中点，把正方形ABCD 绕顶点B 顺时针旋转得到正方形A′BC′D ′,点P 的对应点是点P ′，连接EP ′，则在旋转过程中线段EP ′的最大值是 ，最小值是 。

空间图形的体积最值
对于旋转体等特殊图形，可利用相应公式和不等式求解； 对于一般图形，可通过变量替换和不等式等方法转化为更 易处理的问题。
条件面积（体积）最值
在给定条件下求平面图形或空间图形的面积（体积）最值， 常结合不等式和等式约束条件进行求解。
05
典型案例分析
平面曲线最值问题案例
案例一
01
求点到直线的最短距离
案例二
02
求两圆之间的最短距离
案例三
03
求椭圆上一点到直线的最大距离
空间曲线最值问题案例
案例一
求空间一点到直线的最短距离
案例二
求空间一点到平面的最短距离
案例三
求空间两异面直线之间的最短距离
曲面最值问题案例
案例一
求曲面上一点到平面的最短距离
案例二
求曲面上两点之间的最短距离
案例三
求曲面上的最值点坐标
06
总结与展望
研究成果总结
解析几何最值问题的基本理论和 方法的梳理和归纳，包括最值问 题的定义、性质、求解方法等。
针对不同类型的解析几何最值问 题，提出了相应的求解策略和方 法，如线性规划、二次规划、动
态规划等。
通过实例分析和数值计算，验证 了所提方法的有效性和实用性， 为解决实际问题提供了有力支持。
THANKS
感谢观看
04
解析几何在最值问题中的应用
曲线与曲面的最值问题
曲线上的最值点
通过求导找到曲线的极值点，比 较各极值点和端点的函数值来确
定最值。
曲面的最值点
对于二元函数表示的曲面，分别 求偏导数并令其为零，解方程组 得到可能的极值点，进一步判断
最值。
条件极值
在给定条件下求曲线或曲面的最 值，常用拉格朗日乘数法。