高考数学二轮复习 专题七 解析几何 7.3.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题优质课件 文

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．母题呈现考法1利用不等关系求最值（范围）【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练】（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x ).(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，()M，)N，求PM PN →→⋅的取值范围.考法2利用基本不等式求最值【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【例3】（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。

专题对点练23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q 两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C 于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解 (1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解 (1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解 (1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解 (1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为, 则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1-(2018全国I,文20)设抛物线C\y=2x y点水2, 0), 〃(-2, 0),过点A的直线1与Q交于必/V两占(1)当/与x轴垂直时，求直线洌/的方程；⑵证明:6BA仁GBN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为J(-2, 0), 〃(2, 0),焦点在x轴上,离心率为(1)求椭圆C的方程；⑵点〃为*轴上一点,过〃作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M, N、过〃作仙的垂线交列于占E求证:△〃处与△血V的面积Z比为4 Z5.3-已知抛物线/龙刃S>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q且^QFl=/PQl. (1)求抛物线的方程；⑵如图所不,过尸的直线1与抛物线相交于A,〃两点，与圆x+{y~\)2=\相交于B, Q两点(凡3两点相邻)，过A 〃两点分別作抛物线的切线，两条切线相交于点必求△初M与△CZW的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:市+ ¥=1(QQO)的左、右交点分别为凡怠且lF、Fg收是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值；⑵若7为椭圆Q上异于顶点的任意一点，戒川分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线加与F轴交于点P、直线刖与％轴交于点Q,求证：/W・/Q济为定值.5.己知圆0\x ^y=r f直线x也亚y也£与圆。

相切，且直线7:y二kx+m与椭圆C:~2^y=l相交于P, Q 两点，0为坐标原点.(1)若直线/过椭圆C的左焦点,且与圆。

交于两点，且ZAOB®°，求直线/的方程；如图,若的重心恰好在圆上，求6.己知椭圆C与双曲线/-/-I有共同焦点，且离心率为亍.(1)求椭圆C的标准方程；⑵若A为椭圆C的下顶点,M, N为椭圆C上异于A的两点，直线仙与创的斜率之积为1.(W证:直线测恒过空些出该定点坐标；(W。

为坐标原点，求而•而的取值范围.7.已知抛物线ay=^px{p^)的焦点为人/!为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线1交C 于另一点B,交/轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且尸为等边三角形时，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D5 0) (X° -1) ,记点〃关于x轴的对称点为E,力应交X轴于点P,且AP1BP,求证:点P的坐标为(-亦0),并求点P到直线初的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.⑴解当/与x轴垂直时，/的方程为尸2,可得〃的坐标为(2, 2)或(2, -2). 所以直线別/的方程为y=xA或y=-x-\.(2)证明当1与訂由垂直时，肋为测的垂直平分线，所以ZABMSBN.当/与x轴不垂直时，设1的方程为y=&(才-2) (&H0),丿心1, yj, Ng yz)，则%i>0, x2X). [y = k(炉2)：由b2 = 2% 得ky^-2y~4k=Q,可知口+y污口刃=~4.刃 + y2 一^zyi+xiy2+2(yi+y2)直线bM, EV的斜率Z和为滋址处云迈莎C Q+2)(X2+2)—.①yi yi将x何+2, X2=k +2及71 yiy-2.的表达式代入(2M分子，可得2畑2+4心1卄2)_ -8+8A2/1 七¥1 乃+2 (/]也)二k — k弐)・所以也+际円,可知测的倾斜角互补，所以ZAB：lf=ZABN. 综上，ZABM二ZABN.y22.⑴解设椭圆C的方程为?+右=1340).a = 2,• c、'可由题意得匕=1■懈得C.所以lj=a-c=l.*2所以椭圆c的方程为(2)证明设M5, n),则〃(/〃, 0), Ng -/7).由题设知刃工±2,且/?H0.n直线川”的斜率Aj(r=m+2,TH+2故直线的斜率TH+2n所以直线处的方程为y=~(x-ni)，直线EV的方程为y云;匕-2).(y =・呼"Om)：联立卜=Egrt(4-m2)解得点〃的纵坐标y^-JwT+n2. 由点〃在椭圆Q上，得4韦所以yE=~n.又S^Bm-：=iBD/ * /%/=/血/ •/;?/, Sw、=[BD[ • Ini, 所以△跑/与的面积Z比为4 Z5.3.解⑴由题意可知P(4,0), 曲, 3[云 + 2 S.p=5 8由I QF UI PQ],则P 2 一4 P,解得p之,•:抛物线的方程为x=^y.⑵设l\y=kx+\i A(x h yj, Dg乃)，|y = kx 4-1,联立= 4y, 整理得#_4滋~44),则庖曲=4, 由尸#,求导y'=,弐=直线MA\ yb — ~ (x-xi),£1 X1即y=2x^I,X2城同理求得MD\ y=2x^X,— 2k，解得& = ■〔则 M(2k,7,2^+2 ・：M 到7的距离肩齐辽总宀山,・・・/\AB 対与的面积Z 积S* • S^=lABl/CDl=(M/-1) (M/-1) •&1 x^2亍Ki 比16・/=1朋21, 当且仅当 □ 时取等号，当k=0时,与的面积之积取最小值1.4. ⑴解 由已知得 c^V3, F X (-2V3, o), F 2(2A 0), /.2a=/AE/^/AF 2/ 」(V5+ 2®+ (・乎)[J(G2苗严+ (.孚)\•:日=1, •:F =a-c =1, e=a ~ 2.x 2 ?・：椭圆C 的标准方程为/ + %=1, e(2)证明 Tg yo) UbHO,必工0), 则沁.yo-2 .1/(4, 0), MO, 2),・：直线刑的方程为y-2右禺令尸0,得M)直线協的方程为y 话匕⑷， 令叙),得X°sS). wij/w/J 4+SI = ljQM/ ■ lPN]\ 血伽书 ・：〃W/・为定值16. 2xo+4yo-8JO-2 4{XO +2JD -4)2I _ ，则/16{r{mh"4y0+8) |*0»汰{)*4珂+8 1-16,2+纠=岸+4y°$5. 解⑴：•直线x 吃豆y 也为与圆O\x+y=f 相切，10+0+2) _ 2・ r Jl 2+<2v ，2)23• • 1 —19/.x+y =:•左焦点坐标为H-1, 0),设直线1的方程为y 二k(x+l), 由ZAOB=60° ,得圆心0到直线1的距离d 有.兰 Jfcl _ 1又 芜舷7i, Zv'V+1 —也， 解得k=*,近二直线/的方程为尸土331).(2)设戶％ yi), Qg 72), y+y 2 =1,由(y= kx + m 得(1吃#) 2何曲卅2龙-2 -0.由力X)，得2比+\＞仁(却x l x X 1 ~2 —T,04km且孟々2二一1+2以./勺+怒yi+y2\4由厶恰好在圆x+y^上,得(上伐)行(口化)=, 即(简+x)2+[£(%】+x\十2刃]2=4,即(1 +於)(xi +x$1也km(x\ +x$ -fAm =4.l^l+fc2)^2 _ 16^2• : (1+2巧一1+2^ 如电(1+2/r2)2(l+2fc2)24k4化简得m = 4^+1 ,代入(却得WHO.又m - 4^+1 -1亠4以+1二11 4 1由^0,得左为，•:盘十込。