微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。

基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。

二、教学重点方法的灵活应用。

三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种:(1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。

(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）（1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。

分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。

例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）不等式法例2、 设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是解：124PF PF +=由12PF PF +≥得 44)(22121=+≤•PF PF PF PF即21PF PF •的最大值是4 。

解析几何中的最值和求范围问题解析几何中的最值和求范围问题，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查学生的分析、比较、转化、归纳等综合能力，因而是高考的热点和重点。

充分利用曲线的性质，运用数形结合，注重问题的转化是研究解析几何中最值和求范围问题特有的方法。

一：结合定义利用图形中几何量求解；例1：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值是 。

例2：P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9例3：已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 。

二：利用不等式（组）求解例4：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。

例5：方程14922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦半径c 的取值范围是（ ） （A ）()+∞,5 （B ）{}13 （C ）()13,5 （D ）{}5三：利用二次函数求解例6：已知P 点在圆x 2+(y-2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。

例7：若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为 。

例8：对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］（D ）（0，2）四：利用基本不等式求解。

例9：若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22例10：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞五：构造二次方程，利用判别式∆≥0求解。

2021年高三数学解析几何中的取值范围问题复习教学案教学目标：1.通过复习，掌握解析几何取值范围问题中的方程法、函数法、几何法、轨迹法等常见方法；2.通过复习，掌握一些常见范围问题的模式.教学重难点：1.模式的识别，采用何种方法进行求解；2.函数中分式值域的求法.教学过程：一、课前预习(请同学课前做好)1.椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为椭圆上任一点.(1)则PF 2的取值范围为 ；(2)PF 1·PF 2的最大值为 ；(3)的取值范围为 .2.(1)椭圆的左、右焦点分别 为F 1、F 2，点P 为椭圆上任一点，则∠F 1PF 2取最大值时点P 的位置为.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1、F 若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝9离心率的取值范围是________．二、数学应用题型一 方程有解法、轨迹法求取值范围1. 已知A (－4，0)，B (－1，0)，直线上始终存在两个不同点P 满足PA =2PB .求实数b 的取值范围.题型二 利用目标函数法、几何法求取值范围2.已知椭圆，过点F (1，0)引两条互相垂直的两直线、与椭圆分别交于A 、C 与B 、D 点，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.三、课堂小结通过本节课，你学到了什么？四、巩固练习1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的内接矩形的面积最大值为________． 2.若，则的最大值 .3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．4.若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 长度的最大值是________．5.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．6．如图，A 是半径为1的圆O 上一定点，l 是过点A 的圆O 的切线.设P 是圆O 上不同于A 的一点，PQ ⊥l ，垂足为Q .当点P 在圆O 上运动时，△PAQ 面积的最大值是___ ________.7.设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AP |=|OA |，直线OP 的斜率k 的取值范围为 .8.过B (1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2分别与圆C ：(x －2)2＋(yl 1与圆C 交于F ，G 两点，l 2与圆C 交于P ，Q 两点，求四边形FQGP 面积的最大值.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆经过A （0，2），O A（0，0），D（t,0）（t>0）三点，M是直线AD上的动点，是过点B（1,0）且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点E，交圆于P、Q两点．若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．10.如图，点A（ a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．(1)求椭圆的方程；(2)过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．备课思路本节课的课题是《解析几何中的取值范围》，我的本科主旨是以方法复习为主，通过本节课复习求取值范围的常见方法——方程有解法、轨迹方程法、目标函数法、几何性质法的同时顺带复习长度、角度、离心率、面积等的取值范围.教学设计的各部分目标分别为：【课前预习】部分的设计目标为通过几道基础题渗透求取值范围的常见方法：1(1)是椭圆焦半径的取值范围，复习几何性质法、目标函数法求几何量的取值范围，同时为例2的讲解做好铺垫；1(2)复习用重要不等式求取值范围；1(3)复习目标函数以及合理设椭圆上点的坐标；2(1)是1(2)的延续，同时复习角度最值的求法，此外还涉及目标函数求范围；2(2)是2(1)的延续，复习方程有解法、轨迹方程法求取值范围.此部分内容请学生们课前预习，上课时请学生回答解题思路即可.【数学应用】部分的设计目标为进一步巩固各种常见方法：例1是复习方程有解法和轨迹方程法，本题详细板书两种解法，并归纳小结“给定曲线、特定要求、方程有解或轨迹方程”；例2是复习目标函数法和几何性质法，本题重点分析解题思路，并渗透二次分式函数的常见解法，此外顺带复习几何性质法(利用椭圆的第二定义)，此题的讲解将会是本节课的重点、难点、亮点，并归纳小结“明确目标、确定变量、构造函数、顺利求解”【课堂小结】部分的设计目标为引导学生进行自我总结，解析几何中的解题指导方针：几何与代数并重，计算与技巧同飞.【巩固练习】部分的设计目标为促进学生的自我提升.。

微专题26 解析几何中的最值与范围问题考题导航题组一 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题1. (－∞，－2)∪(2，＋∞)∪{3，－3} 解析：由题意知直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合如图所示的图形，易得k<－2或k>2或k ＝± 3.2. 3 －2－6 7－43 解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，即圆心(2，0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，所以k max ＝3；设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)min ＝－2－6；x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.另解：设x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α，所以y －x ＝3sin α－2－3cos α＝6sin ⎝⎛⎭⎫α－π4－2∈[－6－2，6－2]，x 2＋y 2＝(2＋3cos α)2＋(3sin α)2＝7＋43cos α∈[7－43，7＋43]．1. 43 解析：圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4，0)的距离小于等于2”，则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k 2≤2，解得0≤k ≤43，则k 的最大值为43.题组二 构造函数模型解决点点(点线)距离的最值问题1. 15 解析：设点P(m ，n)，n>0，则AP →＝(m ＋6，n)，FP →＝(m －4，n)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 236＋n 220＝1，（m ＋6）（m －4）＋n 2＝0，消去n 得2m 2＋9m －18＝0，解得m ＝32或m ＝－6，因为n>0，所以m ＝32，所以n ＝532，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，532，直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M(t ，0)，则点M 到直线AP 的距离是|t ＋6|2，于是|t ＋6|2＝|6－t|，又－6≤t ≤6，解得t ＝2，所以M(2，0)．设椭圆上的点(x ，y)到点M 的距离d ，d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.1. 255 解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则PA 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎫x －1252＋45.由|x|≥2，得当x ＝125时，PA 2有最小值为45，即PA 有最小值为255. 题组三 根据条件构造不等关系求离心率的范围问题 1. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 解析：由题意得，向量F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为钝角，F 2B 1→＝(－c ，－b)，B 2A 2→＝(a ，－b)，所以－ac ＋b 2<0，即a 2－ac －c 2<0，即e 2＋e －1>0，解得e>5－12或e<－5＋12.因为0<e<1，所以5－12<e<1.1. ⎣⎡⎦⎤33，22 解析：因为|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，所以|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，当且仅当|PF 1→|＝|PF 2→|＝a 时，等号成立，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以2e 2≤1≤3e 2，所以13≤e 2≤12，即33≤e ≤22. 题组四 构造函数模型解决与线段的定比分点及面积相关的范围或最值问题1. 解析：方法一：因为PF 2⊥x 轴，且点P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0，点Q(x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即点P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1→＝λF 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝λ（x 1＋c ），－b 2a ＝λy 1，解得⎩⎨⎧x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋1λ2－1λ2e 2＝1， 即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0. 因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c)．联立⎩⎨⎧y ＝b 22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0. 因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 设点Q(x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.1. 解析：把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.①(1) Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 即4k 2－m 2＋1>0.②因为直线l 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，所以|m －2|k 2＋1＝1，所以k 2＝m 2－4m ＋3.③把③代入②得3m 2－16m ＋13>0， 解得m>133或m<1.(2) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意得点P(0，m)，因为PB →＝2AP →，所以2x 1＋x 2＝0. 由①式得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，所以x 1＝－(x 1＋x 2)＝8km4k 2＋1. 又因为x 1是方程①的根，所以(4k 2＋1)64k 2m 2（4k 2＋1）2＋64k 2m 24k 2＋1＋4m 2－4＝0， 所以m 2＝4k 2＋136k 2＋1.依题意得k ≠0，显然满足Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)·(4m 2－4)>0.因为|x 1－x 2|＝|3x 1|＝|24km|4k 2＋1，所以S △AOB ＝12|x 1－x 2||m|＝12m 2|k|4k 2＋1＝12|k|36k 2＋1＝39|k|＋14|k|≤1，当且仅当9|k|＝14|k|，即k ＝±16(符合题意)时，等号成立， 所以当k ＝±16时，△AOB 的面积取最大值为1.冲刺强化训练(26)1. (－12，0) 解析：因为双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，所以1<4－k 2<2，解得－12<k<0.2. ⎣⎡⎭⎫22，1 解析：因为椭圆上总存在点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，所以以原点为圆心、半焦距c 为半径的圆与椭圆总有交点，所以c ≥b ，得c 2≥a 2－c 2，所以a 2≤2c 2，即e ≥22，又e<1，故22≤e<1. 3. －74 解析：设M(3cos α，sin α)，所以P(32cos α，12sin α)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以PF 1→＝(－2－32cos α，－12sin α)，PF 2→＝(2－32cos α，－12sin α)，所以PF 1→·PF 2→＝(－2－32cos α，－12sin α)·(2－32cos α，－12sin α)＝－2＋34cos 2α＋14sin 2α＝12cos 2α－74≥－74，故PF 1→·PF 2→的最小值为－74.4. 62 解析：设椭圆上的点Q(x ，y)．由圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为(0，6)，半径为2，得椭圆上的点Q(x ，y)到圆心(0，6)的距离为x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝－9⎝⎛⎭⎫y ＋232＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离是52＋2＝6 2. 5. (2－1，1) 解析：设P(x ，y)，因为PQ ⊥l ，四边形PQFA 为平行四边形，所以PQ ＝x ＋a 2c ＝FA ＝a ＋c ，可得x ＝a ＋c －a 2c ，椭圆上点P 的横坐标满足x ∈[－a ，a]，且P 、Q 、F 、A 不在一条直线上，所以－a<a ＋c －a 2c <a ，即2a ＋c －a 2c >0且c －a 2c <0，化简得2＋e －1e >0，即e 2＋2e －1>0，解得e<－1－2或e>2－1，因为椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1，1)．6. 95 解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋r.因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以r 的最小值是95. 7. (1，3] 解析：由于左右是对称的，不妨设P 在右支上(即x>0)，根据双曲线的焦半径公式，有PF 1＝2PF 2等价于ex ＋a ＝2(ex －a)，得到ex ＝3a ，从而e ＝3ax ，又因为x ≥a ，故e ≤3，所以1<e ≤3.8. 6 解析：由x 24＋y 23＝1可得F(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 9. －3 解析：设Q 的坐标为(x 0，y 0)，由OP →＝3OQ →得P(3x 0，3y 0)，所以3y 0＝k(3x 0－33)，即y 0＝k(x 0－3)，所以点Q 在直线y ＝k(x －3)上，又因为点Q 在x 2＋(y －1)2＝1上，所以直线y ＝k(x －3)与圆x 2＋(y －1)2＝1相交或相切，所以0≤|1＋3k|k 2＋1≤1，解得－3≤k ≤0，所以k 的最小值为－ 3.10. ⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 解析：如图所示，很明显椭圆上短轴上两个顶点符合题意；根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一个点P 满足△F 1F 2P 为等腰三角形即可，则PF 1＝F 1F 2＝2c ，或PF 2＝F 1F 2＝2c.当F 1P ＝2c 时，则有PF 1>MF 1(M 是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则MF 1＝a ，所以2c>a ，所以e ＝c a >12，所以12<e<1；当PF 2＝2c 时，则有⎩⎪⎨⎪⎧PF 2>F 2Q ，PF 1>MF 1，(Q 是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即⎩⎪⎨⎪⎧2c>a －c ，e<12，所以⎩⎨⎧e>13，e<12，所以13<e<12.综上所得，椭圆C的离心率的取值范围是(13，12)∪⎝⎛⎭⎫12，1.11. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.由题意得直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），x 2＋2y 2＝4，得3x 2＋4x －4＝0，解得x A ＝－2，x P ＝23，所以点P ⎝⎛⎭⎫23，43， 所以AP ＝⎝⎛⎭⎫23＋22＋⎝⎛⎭⎫432＝453，又因为原点O 到直线l 的距离d ＝25， 所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56.(2) 若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP －1，设直线l ：y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k （x ＋2），得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 所以－2＋x P ＝－8k 22k 2＋1，x P ＝2－4k 22k 2＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1， 所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2（2k 2＋1）2， 即AP ＝4k 2＋12k 2＋1，同理可得AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知k 2>0，所以0<λ<1.12. 解析：(1) 连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a, 又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°， 所以∠POA 2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x.(2) 由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，直线A 1P 的方程为y ＝33(x ＋a), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －a ），y ＝33（x ＋a ）， 解得x P ＝a 2. 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2， 故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1.联立⎩⎨⎧y ＝33（x ＋a ），x 2a 2＋4y2a 2＝1，解得x Q＝－a7或x Q＝－a(舍去)，所以PQ QA 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫－a 7－a 7－（－a ）＝34.(3) 不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋4y 2a 2＝1，解得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k 2，ak 1＋4k 2，所以OB ＝a1＋k 21＋4k 2. 用－1k 代替上面的k ，得OC ＝a1＋k 24＋k 2. 同理可得，OM ＝2a 1＋k 2，ON ＝2ak1＋k 2.所以S 1·S 2＝14·OB·OC·OM·ON ＝a 4·k（1＋4k 2）（4＋k 2）.因为k（1＋4k 2）（4＋k 2）＝14⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋17≤15，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 45.。

第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第四课时　最值、范围问题内容索引分层精练巩固提升题型一　最值问题角度1　基本不等式法求最值[思路分析]　由定义求方程→设直线方程→联立椭圆与直线方程→由条件写出面积的表达方式→通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值．→在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解．又因为b2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x＝my＋2（m≠0）.→在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为x＝my＋n(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AM⊥x轴，BN⊥x轴，所以M(x1，0)，N(x2，0)．[满分规则]❶得步骤分：由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；❷得关键分：由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；❸得计算分：由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．解　当l⊥x轴时不合题意；设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.Δ＝16(4k2－3)>0，角度2　函数法求最值解　由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．解　∵点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．训练2(2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．解　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，题型二　范围问题得其右焦点为(1，0)，因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，故抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．解　设直线BD的方程为y＝kx＋m，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，设BD中点为M(x0，y0)，由△PBD是以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，整理得km＝2－2k2.由km＜1，则2－2k2＜1，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，∴(m2＋1)b4＝4a2c2，∴c4＋a4－6a2c2≤0，∴e4－6e2＋1≤0，∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.分层精练 巩固提升FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG【A级 基础巩固】解　由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，由于－6≤x≤6，(2)过点(0，2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O 为坐标原点.求△MON的面积的最大值.解　因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，设l的方程为y＝kx＋2，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，解　因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2.(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.解　由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2).Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，故k>1或k<－1.即|k|≤3，解得－3≤k≤3.综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].4.(2022·全国甲卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；【B级 能力提升】(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.解　根据(1)知F(1，0)，D(2，0).当MN的斜率存在时,设M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(x3,y3) ,B(x4,y4) ,即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，同理，可得直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意.本课结束INNOVATIVEDESIGN。

高三一轮复习：解三角形中的最值,范围问题一、教材分析：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。

而三角形中的最值问题又是一个重点。

处理这个最值问题解决方法主要有两种，分别是建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。

这两种方法对学生的思维训练而言是很有价值的。

二、学情分析：授课对象为高三文科平行班学生。

本课之前，学生已经学习了三角函数和正弦余弦定理有关内容，但是本课综合性强，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习方面比较困难。

因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。

我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即互动式的教学与多变式教学相结合的方法，带领学生主动参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。

三、教学重难点：重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用。

难点：掌握解三角形中处理不等关系的两种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值四、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理：，其中为外接圆的半径2.余弦定理：3.面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB2sin sin sin a b c R A B C===R ABC V 2222cos a b c bc A =+-（二）例题精讲已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）求sinB+sinC 的取值范围；[设计意图]： 本题将引导学生利用三角恒等变换和三角函数图像解决取值范围问题。

是对三角函数知识的一个巩固。

试题分析：（1）由，得，题目中边角共存，利用正弦定理化为纯角问题可得(2) 介绍求解三角形取值范围的第一种解法，用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，把角的变量个数减少，这种思路也是多元取值范围问题的常用方法。

初中几何最值教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法和技巧；3. 能够独立解决简单的几何最值问题。

教学内容：1. 几何最值问题的定义和分类；2. 解决几何最值问题的基本方法；3. 典型几何最值问题的解析。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概念：最值问题是指在一定的条件下，寻找某个几何量的最大值或最小值的问题。

2. 举例说明：如在平面直角坐标系中，求直线与圆的交点中，距离某一点最近的交点。

二、基本概念和性质（15分钟）1. 介绍几何最值问题的分类：长度最值、面积最值、角度最值等；2. 讲解几何最值问题的基本性质：最优解的存在性、唯一性、可达到性等；3. 通过实例讲解几何最值问题的解题思路。

三、解决几何最值问题的方法（20分钟）1. 解析法：通过解析几何知识，建立方程，求解最值；2. 构造法：通过构造辅助线，转化问题，求解最值；3. 代数法：通过代数运算，求解最值；4. 几何法：利用几何性质，直接求解最值。

四、典型问题解析（20分钟）1. 例1：求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1的交点中，距离点A(x0,y0)最近的交点；2. 例2：在三角形ABC中，求边长BC上的线段DE的长度，使得∠AED为直角；3. 例3：已知矩形的长和宽，求矩形内切圆的半径。

五、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立解决几个典型的几何最值问题；2. 学生之间互相讨论，交流解题思路和方法；3. 教师进行解答和讲解，分析学生的解题错误和不足。

六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结几何最值问题的解题方法和技巧；2. 学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 教师给予鼓励和指导，提出更高的要求。

教学评价：1. 课后作业：布置几个典型的几何最值问题，要求学生在规定时间内完成；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神；3. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，包括掌握知识的情况、解题能力等。

解析几何中的范围、最值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，往往处在倒数第二题位置，起到拉开距离，选拔优生的目的.一般以椭圆或抛物线为背景，考查范围、最值和探索性问题，试题难度较大．解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值． 【类型一】解析几何中的范围问题【概要】圆锥曲线中参数的范围问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 【题型示例】例1【2018届重庆市高三上学期期末】已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>与圆222x y c +=的一个公共点， ()()12,0,,0F c F c -分别为双曲线Γ的左右焦点，设12PF k PF =，若(]1,2k ∈，则双曲线Γ的离心率的取值范围是___________。

【答案】)+∞而()222221122111212112k k k k k k k k k k++==+=+-+-+-+-，又(]12k ∈，， 1522k k ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，， 故()[)22151k k +∈+∞-，，)e ∴∈+∞.例2【2018届天津市部分区高三上学期期末】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，离心率为12， 1F 为圆22:2150M x y x ++-=的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣过2F 且与l 垂直的直线()11:1l y x k =--，则圆心到1l，所以CD ==故四边形ACBD 面积：12S AB CD ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值范围为(12, ).综上，四边形ACBD面积的取值范围为12⎡⎣． 【类型二】解析几何中的最值问题【概要】圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题，这些问题形式多变.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义和性质,而且要善于综合应用代数、平面几何、三角函数等相关知识.圆锥曲线最值问题常见的有两类：一类是有关长度、面积的最值问题；另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.圆锥曲线中最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值问题的基本思想是借助几何知识，建立目标函数和建立不等关系，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 【题型示例】例3【2018届四川省南充高级中学高三1月检测】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________． 【答案】3π（或60）例4【2018届河北省邢台市高三上学期期末】已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于,M N 两点． （1）求W 的方程；（2）求MON ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143y x +=（2【解析】试题分析：（1）由题意可得2224{1a ab =-=，即可得方程；试题解析：（1）由题意可得2224{ 1a a b =-=，∴ 224{ 3a b ==，故W 的方程为22143y x +=. （2）联立2222143{ 14y x x y +=+=，得223613{ 413x y ==，∴ 221x 9y =，又A 在第一象限，∴13OA y k x ==.故可设l 的方程为3y x m =-+.联立223{ 143y x my x =-++=，得2231183120x mx m -+-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则121831m x x +=， 21231231m x x -=，∴MN =31=，又O 到直线l的距离为d =MON ∆的面积12S d MN ==，∴)2231S m m =≤+-=当且仅当231m m =-，即2312m =，满足0∆>，故MON ∆的面积的最大值为【类型三】解析几何中的探索性问题【概要】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题.相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐.解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素. 探索性问题常见的命题是存在性问题，所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由． 【题型示例】例5【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =()在椭圆D 上.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）过椭圆内一点()0,P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ， ON （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【答案】(Ⅰ) 22142x y +=；(Ⅱ) 2λ≥. 【解析】试题分析：（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx t =+.由221{ 42x y y kx t+==+，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ， ()22,N x y ，则122421ktx x k -+=+， 21222421t x x k -=+，而12112121y y kx tk k x x x ++=+= ()1222212422t x x kx t k k x x x t ++-+=+=-，由12k k k λ+=，得242k k t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-. 由题意得点()0,P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥.例6【2018届广西南宁市第二中学高三上学期期末】如图，曲线22:1(0,0)x y E m n m n +=>>与正方形L ： |x||y|4+=的边界相切.（1）求m n +的值；（2）设直线:l y x b =+交曲线E 于,A B ，交L 于,C D ，是否存在这样的曲线E ，使得CA ， AB ， |BD|成等差数列？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 16m n += (2) 33b -≤≤【名师点睛】1.圆锥曲线中的最值与范围问题，解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.；2.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法；3.探索性问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值，探索定点、定值的存在性等．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．。

微专题26 解析几何中的最值与范围问题1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题．2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．考题导航利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则yx 的最大值为________；y －x 的最小值为________；x 2＋y 2的最小值为________．1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________．1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)，则PA 的最小值为________．1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．1. 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______．1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．1. 如图，已知动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点．(1) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 又与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，求实数m 的取值范围； (2) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，且满足PB →＝2AP →，O 为坐标原点．求△AOB 面积的最大值，并指出此时k 的值．冲刺强化训练(26)1. 已知双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.3. 如图，M 为椭圆x 23＋y 2＝1上任意一点，P 为线段OM 的中点，则PF 1→·PF 2→的最小值为________．4. 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P是椭圆上的一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r 为半径的圆C 有公共点，则r 的最小值是________．7. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上的一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．8. 若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →，则实数k 的最小值为________.10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.(1) 若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2) 若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1) 求直线OP 的方程；(2) 求PQ QA 1的值；(3) 设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于B ，C 两点，分别交圆A 2于M ，N 两点，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值．。

专题03 解析几何中的范围问题一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若A 点坐标为()1,1，1F 是椭圆225945y x +=的下焦点，点P 是该椭圆上的动点，则1PA PF +的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=__________． 【答案】22【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线222:41(0)x C y a a-=>的右顶32:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为__________．【答案】2类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】【2017届云南省云南师范大附属中适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．&【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【河南省漯河市高级中2018届上期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）【答案】即答案为.&类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ． 2 C ． 22 D ． 4【答案】B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,A B 的横坐标间的关系，便于确定直线AB 在y 轴上的解截距．【举一反三】【2016-2017年江苏泰州中月考】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率132e ⎡∈⎢⎣，则a 的最大值为___________．10类型四 利用基本不等式求范围【例4】【江西省南昌市第二中2017-2018期中考试】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-． 由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+． 同理12D CD x =+．& ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-， 由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=， ∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴55134424222A D A D AB CD x x x x +=++≥+=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ．& 【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【吉林省普通中2018届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =u u u v u u u v（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ） A ．732 B ． 6 C ． 132D ． 43 【答案】B设点A 在x 轴的上方，则10y >， ∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号∴124S S +的最小值是6，故选B. & 类型五 求解函数值域得范围【例5】【云南省师范大附属中2018届12月适应性月考】已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F的两条互相垂直的直线1l ，2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ． 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ． 弦长AB 不存在最小值 【答案】D()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时，247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k +==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k=+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（ ）A ． ()0,2B ． [)2,+∞C ． (]0,2D ． ()2,+∞ 【答案】D类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，与圆()2225(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ． ()1,3B ． ()1,4C ． ()2,3D ． ()2,4 【答案】D【举一反三】【2017-2018年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____． 【答案】15⎫-+⎪⎪⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（22a b -）可得∠B 1PA 等于向量2B A u u u u v 与21F B u u u u v的夹角，∵A （a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0）∴2B A u u u u v =（a ，﹣b ），21F B u u u u v =（﹣c ，﹣b ）， ∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A u u u u v 与21F B u u u u v 的夹角大于2π，由此可得2B A u u u u v •21F B u u u u v＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e＜152--或e＞152-+，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得152-+＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（152-+，1）．故答案为（152-+，1）．。

§5.9 最值、范围问题【学习目标】1、能利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决圆锥曲线中的最值、范围问题；【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：求圆锥曲线方程。

【高考方向】1.利用圆锥曲线的定义解决线段的和与差的最值；2.把圆锥曲线中的最值问题转化为函数最值。

【课前预习】：一、知识网络构建解决函数最值的基本方法？二、高考真题再现(13年新课标2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：22221x ya b+=(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2(Ι)求M的方程（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值三、基本概念检测1、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．【课中研讨】：例1、如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．例2、已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，离心率5e =，顶点到渐近线的距离为25。

解析几何最值问题的赏析教案
《解析几何最值问题的赏析教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
作业内容
解析几何最值问题的赏析
问题提出：
已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

问题分析：
图形的处理：
不规则图形转化为规则图形(割补法)
变量的选择：
设点：设点则，可得到二元表达式;
设动直线的斜率(可设AF,BF,EF,AE,BE中任意一条直线的斜率)，可得一元表达式。

3，最值的处理方法：
一元表达式可用基本不等式或函数法处理;
二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。

问题解决：
解法一：
由基本不等式得
解法二：
解法三：
因为，所以设切线方程为：
由得
再由得
切线的方程为：，点到直线的最大距离
变式与推广
①已知圆方程：，A，B分别为圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和圆交于E、F两点，则四边形AEBF面积的最大值为;
②已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。

过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，则有如下结论：
(1)四边形AEBF面积的最大值;
(2)AB的斜率与EF的斜率互为相反数;
(3)EF过线段AB的中点;
③若条件中点E、F变成椭圆上且位于AB两侧任意的两点，则E、F关于原点对称时，四边形面积取得最大，上述②的结论不变。

解析几何最值问题的赏析教案这篇文章共1626字。

第2课时 范围、最值问题【例1】 最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] (1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝13＋k 2. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |，解得k 4≥13， 即k ≥413或k ≤－413.(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．[解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54， 当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1.►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] ►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题【例4】 (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎛⎭⎫－1，1上单调递增，⎛⎫1，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.(2019·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. 故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则t 2∈⎝⎛⎭⎫032.则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32.故△AOB 面积的最大值为22.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎨⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.课后限时集训(五十) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．[解] (1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2，∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．[解] (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.B 组 能力提升 1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2， 点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2， 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0<202＋k2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2， 综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8,2]．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a ＝2，B (2,0)，设Q (x 0，y 0)，由PQ →＝32QB →，则⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 由直线l 与E 有两个不同的交点，则Δ＞0，即(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外， 则OM →·ON →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k ×(x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)121＋4k 2－2k ×16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4， 综上可知：34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，∴直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k.∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)， 又|AB |＝22＋12＝5，∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋44k ＋1k ≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立． 故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.第2课时范围、最值问题【例1】(C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题【例4】 (·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．(2019·邢台模拟)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．(全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．课后限时集训(五十)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．B 组 能力提升 1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．。