最新解析几何范围最值问题(教师)

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．母题呈现考法1利用不等关系求最值（范围）【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练】（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x ).(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，()M，)N，求PM PN →→⋅的取值范围.考法2利用基本不等式求最值【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【例3】（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。

高三数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号课型专题课题解析几何最值及参数范围问题教学目标1.能够比较熟练地应用数形结合的方法，结合曲线的定义和几何性质，以及参数或其它代换的方法解决解析几何的最值和参数范围问题；2.能够根据变化中的几何量的关系，通过联立韦达定理，建立目标函数，然后利用求函数的方法解决解析几何中的最值和参数范围问题；教学重点1．灵活运用联立韦达定理解决解析几何的最值和参数范围问题；2．巧妙应用特殊方法解决解析几何最值和参数范围问题.教学安排版块时长1知识梳理202例题解析503巩固训练304师生总结205课后练习30PCDBAOXYP'圆锥曲线中的最值和参数取值范围问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。

但其解法仍然有章可循，有法可依。

常见的解法主要是联立利用韦达定理，当然也有一些特殊的方法，如几何法，点差法以及代换等方法。

一、特殊法求解最值及参数取值范围【例1】已知点()()4,1,0,4A B ，在直线:31l y x =-上找一点P ，求使PA PB -最大时P 的坐标． 【难度】★★ 【答案】()2,5【解析】如图，设点(),C x y 是点B 关于直线l 的对称点，则由3=l k ，得：31-=BC k ，∴直线BC 的方程为：431+-=x y ，将其与直线31y x =-联立，解得37,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，其中D 为BC 中点，利用中点坐标公式，得()3,3C ．显然，PA PB PA PC AC -=-≤，当且仅当A 、C 、P 三点共线时，PA PB -最大．可求得，直线AC 方程为092=-+y x ，与l 方程联立解得P 的坐标为()2,5．知识梳理解析几何最值及参数范围问题例题解析【例2】求椭圆2212x y +=上的点到直线32+=x y 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标． 【难度】★★36，此时点坐标为2336233( 【解析】设椭圆的切线方程为y x b =+，代入椭圆方程，得0224322=-++b bx x 由0)22(34)4(22=-⨯⨯-=∆b b ，得3±=b ．当3b =直线3y x =+3y x =+离261=d ，将3b =0224322=-++b bx x ，解得23x =，此时3y =，即椭圆上的点33(33-到直线3y x =+的距离最小，最小值是62．当3b =-时，直线3y x =到直线3y x =+2362d =，将3b =0224322=-++b bx x ，解得23x =3y =，即椭圆上的点233(到直线23y x =+36．【例3】已知正OAB ∆的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB ∆的内接圆（点C 为圆心）． （1）求圆C 的方程；（2）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE CF ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值．【难度】★★【答案】（1）22(4)16x y -+=；（2）最大值为169-，最小值为8- 【解析】（1）设B A ,两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由题设知22221122x y x y +=+． 又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故,A B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(,0)r ，则A 点坐标为33()2r ，于是有233)22r r =⨯，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=．（2）设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα⋅=⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r ．在Rt PCE ∆中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC ≤+=18+=，||||1716PC MC ≥-=-=，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF -≤⋅≤-u u u r u u u r ．则CE CF ⋅u u u r u u u r 的最大值为169-，最小值为8-．【例4】已知以4=t 为周期的函数()(](]21,1,112,1,3x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0>m ．若方程3()f x x =恰有5个实数解， 则m 的取值范围为（ ）．A ．15833⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1573⎛ ⎝C ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．473⎛ ⎝ 【难度】★★★ 【答案】B【解析】因为当(]1,1x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=≠，实质上为一个半椭圆， 同时在坐标系中作出当(]1,3x ∈的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，如图所示．由图易知直线3x y =（1）与第2个椭圆()22241(0)y x y m -+=≠（2），O 1357124689相交，而与第3个半椭圆()22281(0)y x y m-+=≠（3），无公共点时，方程恰有5个实数解，将（1）代入（2）得()222291721350m x m x m +-+= 令29t m =()0t >，则()218150t x tx t +-+=．由()2(8)41510t t t ∆=-⨯+>，得15t >．由2915m >，且0m >，得153m >．同样将（1）代入（3），由0∆<得7m < 综上知157m ∈⎝．故选B ．【例5】某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？ 【难度】★★【答案】（1）y x 42=；（2）4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8；【解析】（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ，所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m 解得αα2sin )1(cos 2+=AF 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ，αα2cos )sin 1(2+=DF αα2sin )cos 1(2-=CF “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ，则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8．【例6】已知点()12,0F -、)22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程． 【难度】★★★【答案】（1）22142x y +=；（2）[]24,0；（3）略 【解析】(1)依据题意，动点(,)P x y 2222(2)(2)4x y x y -+++=. 又12||224F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且24,2222a b c =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()() =()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤． 2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0． ∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．(另解21||25MN ≤≤u u u u r：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明：因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可．设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-．利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d 23．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=．【例7】给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴的一个端点到点F 3 （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AD AB ⋅的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）2213x y +=；224x y +=（2）直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+， 或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+；（3）[0,743)+【解析】（1）由题意知2c =223a b c =+=1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=．（2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+，将其代入椭圆方程可得223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，C由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±，所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+， 或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+．（3）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(33)m -<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r 2244343()332m m m =-+=-,又33m -<，故243()[0,743)32m -∈+， 所以AB AD ⋅u u u r u u u r 的取值范围是[0,743)+．【例8】已知圆C 过定点)1,0(A ，圆心C 在抛物线y x 22=上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点． （1）当圆心C 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （2）当圆心C 在抛物线上运动时，MN 是否为一定值？请证明你的结论． （3）当圆心C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求mnn m +的最大值，并求出此时圆C 的方程． 【难度】★★★【答案】（13（2）2MN =是定值；（3）mnn m +取得最大值22，此时圆C 的方程为2)1()2(22=-+±y x【解析】（1）抛物线y x 22=的顶点为)0,0(，准线方程为21-=y ，圆的半径等于1，圆C 的方程为122=+y x ．弦长3232)21(122=⨯=- （2）设圆心)21,(2a a C ，则圆C 的半径222)121(-+=a a r ， 圆C 的方程是为：222222)121()21()(-+=-+-a a a y a x 令0=y ，得01222=-+-a ax x ，得11-=a x ，12+=a x ，∴212=-=x x MN 是定值．（3）由（2）知，不妨设)0,1(-a M ，)0,1(+a N ，a a a x m 221)1(12221-+=+-=+=，a a a x m 221)1(12222++=++=+=．4412442424222++=++=+=+a a a a mn n m m n n m ． 当0=a 时，2=+mnn m ． 当0≠a 时，224412441244222424222≤++=++=++=+=+aa a a a a mn n m m n n m ．当且仅当2±=a 时，等号成立 所以当2±=a 时，mnn m +取得最大值22，此时圆C 的方程为2)1()2(22=-+±y x ．【巩固训练】1．椭圆1422=+y x 上一动点P ，则P 到直线04:=-+y x l 的距离最小值为 ．【难度】★★ 【答案】210-242．已知点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为________．【难度】★★ 【答案】9【解析】设1F 是双曲线的右焦点，根据双曲线定义41=-PF PF ，即14PF PF -= 又115PA PF AF +≥=，将14PF PF -=代入，得45PA PF +-≥，即9PA PF +≥，等号当且仅当1,,F P A 三点共线，故PA PF +的最小值为9.故填9.3．已知P 是抛物线x y 22=上的一个动点，F 为焦点．（1）求点P 到点)2,0(的距离与P 到抛物线准线的距离之和的最小值． （2）点)2,3(A ，求PF PA +得最小值．【难度】★★【答案】（1）217；（2）274．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．9【难度】★★ 【答案】D【解析】由已知双曲线的左右焦点12,F F 即为两圆的圆心，先将P 点看成定点，M 、N 看成动点，则111222max min 2,1PM PF r PF PN PF r PF =+=+=-=-．()()()()1212max 2139PM PN PF PF PF PF ⇒-=+--=-+=．5．如图，在直线:90l x y -+=上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 【难度】★★【答案】M 点坐标)45(，-，此时长轴最短为56 【解析】椭圆的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，作1F 关于直线l 的对称点'1F ，则直线'11F F 的方程为3x y +=- 由方程组39x y x y +=-⎧⎨-=-⎩ 得P 的坐标)3,6(-，由中点坐标公式得的'1F 坐标)6,9(-,所以直线'21F F 的方程23x y +=． 解方程组239x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 得M 点坐标)45(，-，此时长轴最短为'12180265F F a ===．6．已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为1F 、2F ，点()00,P x y 满足2200012x y <+<，则PM yOlF 1 F 2x'1F N12||||PF PF +的取值范围为 ．【难度】★★ 【答案】2,22⎡⎣7．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F 构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值与最小值；【难度】★★【答案】（1）13422=+y x ；（2）12MF MF ⋅u u u u r u u u u r 的最大值为3，最小值为2 【解析】（1）已知，1=c ，22==c a ， 所以3222=-=c a b ，所以椭圆的标准方程为13422=+y x ． （2）)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设),(y x M ，则1(1,)MF x y =---u u u u r ，2(1,)MF x y =--u u u u r，22121MF MF x y ⋅=+-u u u u r u u u u r（22≤≤-x ）， 因为13422=+y x ，所以，222221211311244x MF MF x y x x ⎛⎫⋅=+-=+--=+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ， 由402≤≤x ，得12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为3，最小值为2．8．点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【难度】★★ 【答案】（1）35(3)22；（215. 【解析】（1）由已知可得点()()6,0,4,0A F -．设点P 的坐标是(,)x y ，则()()6,,4,AP x y FP x y =+=-u u u r u u u r ．由已知得22213620(6)(4)0⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩x y x x y ，则2329180,2x x x +-==或6x =-．由于0y >，只能3,2x =，于是532y =点P 的坐标是35(3)22． （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是(),0m ，则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是|6||6|2m m +=-，又66m -≤≤，解得2m =，椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 满足 ,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于66,x -≤≤∴当92x =时，d 15.二、联立韦达定理求解最值及参数范围【例9】已知圆⊙8)1(:22=++y x C ，)0,1(-C 动圆与⊙C 相切且过定点)0,1(B ； （1）求动圆圆心的轨迹E 方程；（2）过点),0(t D ，11<<-t 倾斜角为ο45的直线l 与轨迹E 交于N M ,两点，求N M C B ,,,四点围成的四边形面积的最大值。

专题24 解三角形中的最值、范围问题【热点聚焦与扩展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3）2、余弦定理：变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为22,,a c ac a c ++2sin sin sin a b cR A B C===R ABC 222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=22sin sin sin bc B Ca A=2222cos a b c bc A =+-()()2221cos a b c bc A =+-+,a A b c +bc sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<cos cos A B A B >⇔<sin sin A B A B >⇔>求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．4β+4cos β B．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为=4β+S △POB + S △POA =4β+|OP ||OB |sin （π−β）+|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. APB ∠ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形1212例2.【2018年江苏卷】在?ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，，?ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________． 【答案】9 【解析】 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则4a +c 的最小值为9.例3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=． （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值． 【答案】（1）23π；（2）323+ 【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果．【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭， 解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为323+【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．例4．【2020年高考浙江卷18】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦【思路导引】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围． 【解析】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=，△ABC 为锐角三角形，故3B π=．（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-++11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，13sin 232A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．例5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=． （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）23π；（2）3+ 【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果．【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．例6．（2020·广西高三三模）在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+. (1)求角C ;(2)若ABC 的面积为S =,求ab 的最小值.【答案】(1)2π3；(2) 12. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角(2)11sin ,.222S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥， 12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立.故ab 的最小值为12.例7．（2020·岳麓·湖南师大附中高三三模）在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，c =_____.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，3C π=；（2）最大值为【解析】（1）选①，把22()3a b c ab +=+，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为(0,)C π∈，所以3C π=.选②，因为sin cos a A a C =-，由正弦定理，可得sin sin sin cos A C A A C =-，因为(0,)A π∈，则sin 0A ≠cos 1C C -=， 可得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，所以5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=. 选③，因为(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=.（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以223()()334a b a b ab ++-=≤，当且仅当a b =时取等号，所以a b +≤a b c ++≤即ABC 周长的最大值为例8．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且21cos 2cos 20B C +-=．（1）求sin :sin B C 的值；（2）若a =，且ABC 为锐角三角形，求c 的取值范围．【答案】（1）sin :sin 2B C =；（2c <<【解析】（1）因为21cos 2cos 20B C +-=， 则22cos 4sin 10B C +-=，即224sin sin C B =，因为sin 0B >，sin 0C >，则sin 2sin B C =，sin :sin 2B C =．（2）因为a =，2b c =，且ABC 为锐角三角形，则角C 一定为锐角，因为cos 0A >，所以2220b c a +->，即2515c >，c >又cos 0B >，所以2220a c b +->，2315c <，即c <综上所述，c c <<．【精选精练】1．（2020·安徽庐江·高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．2B C ．12D ．12-【答案】C【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C∴的最小值为12，选C. 2．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中高三三模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C【解析】在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<cos A <<因为2a =，2B A =， 所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b bA B A A==，得4cos b A =，cos A <<，所以4cos A <<所以b <<所以b的取值范围为.故选：C.3．（2020·江苏海陵·泰州中学高三三模）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是（ ）A． B．3)2C．( D．3(2【答案】B【解析】依题意2sin a b A =，由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6B π=.由23202A B A A ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22A A A A A =++=3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336A πππ<+<，所以1sin 32A π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3322A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B4．（2020·河南高三三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知a =sin sin sin sin b B c C a A c B +=+，则ABC 的周长的最大值是（ ）A．B．3C． D．4+【答案】A 【解析】sin sin sin sin b B c C a A c B +=+，∴由正弦定理得222b c a bc +=+，所以()()()222223324b c b c a b c bc b c ++⎛⎫=+-≥+-=⎪⎝⎭，又a =b c +≤，当且仅当b c ==所以ABC 的周长的最大值是故选：A5．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为4，cos C 是方程22530x x +-=的一个根，则2c 的最小值为（ ）A ．BC ．3D 【答案】D【解析】因为22530x x +-=，所以12x =或3x =-.因为()cos 1,1C ∈-，所以1cos 2C =，所以sin C =. 因为ABC 的面积为4，所以sin 8ab C =，所以8sin ab C =，所以3ab =， 由余弦定理得222c a b ab ab =+-≥（当且仅当a b =时，等号成立）.所以2c 的最小值为3.故选：D 6．（2020·福建莆田一中高三三模）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A B C ．2D ．32【答案】B【解析】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=， 即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯，当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B .7．（2020·重庆高三三模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ）A． B ．C D ．【答案】A【解析】设AC 中点为D ，则()BO AC BD DO AC ⋅=+⋅ BD AC =⋅ ()()12BC BA BC BA =+⋅- 221122BC BA =-，22111522a c ∴-=，即c = 由c a <知角C 为锐角，故222cos 2a b cC ab+-=2301301212b b b b +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 130302126b ⨯=，当且仅当30b b =，即b =cos C 最小，又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，故C 最大.此时，恰有222a b c =+，即ABC 为直角三角形，ABC12Sbc ==，故选A . 8．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ）A B C ．3 D ．2【答案】A【解析】由()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理，得()()2a c a cb ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，222cos 122a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=. 由于2AD DB =，∴()2212++++3333CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB ====+，两边平方，得 ()()2222222214414212112cos 2299999999992b a CD b a ab C b a ab b a ab b a +⎛⎫=++=++=+-≥+- ⎪⎝⎭，当且仅当22b a ==时取等号，即()22142123CD b a ≥+=，∴线段CD . 故选：A.9．（2020·河南商丘·高三三模）在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.【答案】（1）23π；（2.【解析】（1cos sin sin A B C C B =-，结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B =由()0,πB ∈，得2π3B =.（2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++，因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =.在ACD △中，由余弦定理得222π2cos 1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭.即AD =10．（2020·渝中·重庆巴蜀中学三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且21cos 2cos 20B C +-=．（1）求sin :sin B C 的值；（2）若a =，且ABC 为锐角三角形，求c 的取值范围．【答案】（1）sin :sin 2B C =；（2c <<【解析】（1）因为21cos 2cos 20B C +-=， 则22cos 4sin 10B C +-=，即224sin sin C B =，因为sin 0B >，sin 0C >，则sin 2sin B C =，sin :sin 2B C =．（2）因为a =，2b c =，且ABC 为锐角三角形，则角C 一定为锐角，因为cos 0A >，所以2220b c a +->，即2515c >，c >又cos 0B >，所以2220a c b +->，2315c <，即c <综上所述，c c <<．11．（2020·浙江高三三模）已知()sin (sin )f x x x x =-，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()32f A =，2a =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2[,]63k k ππππ++，k Z ∈；（2）(4,23+【解析】（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增，∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈（2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=，而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以0b c <+≤b c =时等号成立，而在ABC 中2b c +>， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴42l <≤+12．（2020·辽河油田第二高级中学高三三模）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sinsin()2A Ca b B C +=+. (1) 求B ；(2) 若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求ABC ∆面积的取值范围。

第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103.(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*)设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．过抛物线：＝4的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)． 定值问题【例2】 已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2， 即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内， 所以OH →·OG →＜0， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2. 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx＋4m 2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2.又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ， B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2， 因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x ＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上递增，⎝⎛⎭⎪⎫12，1上递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2， 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

专题05 解析几何中的最值问题常见考点考点一 面积最值问题典例1．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点P32），O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OM =AOB 面积的最大值.【答案】(1)221123x y +=(2)3 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过点P32），得到223914a b+=，再利用点差法，根据直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，得到 2214b a -=-求解；（2）当AB x ⊥轴时，易得12AOBSOM AB =⋅AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，联立221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，根据OM =k ，t 的关系，再求得AB 和点O 到直线AB 的距离为d ，由12AOB S AB d =⋅⋅求解.(1)解：因为椭圆经过点P32）， 所以223914a b +=， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以 2214b a -=-，解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=；(2)当AB x ⊥轴时，点M 在x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =3AB =，所以12AOBSOM AB =⋅ 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，由221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2221484120k x ktx t +++-=， 则21212228412,1414kt t x x x x k k -+=-⋅=++，224,1414kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由OM =()2222314116k t k +=+，因为AB =点O 到直线AB 的距离为d =所以12AOBSAB d =⋅⋅=3≤=，当且仅当221214k k =+，即218k =时，等号成立，综上 AOB 面积的最大值是3.变式1-1．已知椭圆221221x y C a b+=：的焦距为2，且过点(P ．若直线AB 为椭圆1C 与抛物线2C ：22(0)y px p =>的公切线．其中点,A B 分别为1C ，2C 上的切点．(1)求椭圆1C 的标准方程：(2)求OAB 面积的最小值．【答案】(1)2212x y +=；(2)2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于22,a b 的方程，求解作答.（2）设出直线AB 的方程，分别与抛物线2C ，椭圆1C 的方程联立，求出切点纵坐标，再求出面积的函数关系，借助均值不等式计算作答. (1)椭圆半焦距c ，依题意，1c =，221112a b+=，又2221a b c -==，解得22a =，21b =， 所以椭圆1C 的标准方程为：2212x y +=. (2)显然直线AB 不垂直于坐标轴，设直线AB 的方程为(0)x my t m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y px x my t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得：2220y pmy pt --=， 则22480p m pt ∆=+=，即22t p m =-，22ty pm m==-， 由2222x y x my t⎧+=⎨=+⎩ 消去x 并整理得：()2222220m y mty t +++-=， 则()()222244220m t m t '∆=-+-=，即222t m =+，1222mt mt my m t t --===-+，点O 到直线AB 的距离为d =∴1211222OABm tS AB d y y t t m =⋅=-=⋅-+221212414(||)2222||t m m m m m m m +=-+=-+=+≥=， 当且仅当4||||m m =，即2m =±时取“=”， 所以OAB 面积的最小值为2.变式1-2．已知曲线C 上任一点到点()3,0F 的距离等于该点到直线3x =-的距离．经过点()3,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 在点A 、B 处的切线交于点P ，求PAB △面积的最小值． 【答案】(1)212y x = (2)36 【解析】 【分析】（1）分析可知曲线C 是以点()3,0F 为焦点，以直线3x =-为准线的抛物线，由此可求得曲线C 的方程；（2）先证明结论：抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+，设直线l 的方程为3x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，写出抛物线C 在A 、B 两点处的切线方程，求出点P 的坐标，进而求出点P 到直线l 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质可求得PAB △面积的最小值． (1)解：由题意可知，曲线C 是以点()3,0F 为焦点，以直线3x =-为准线的抛物线，设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，则32p ，可得6p ，因此，曲线C 的方程为212y x =. (2)解：先证明结论：抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+， 由题意可得20012y x =，联立()002612y y x x y x⎧=+⎨=⎩，可得()200x x -=，解得0x x =，因此，抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+. 若直线l 与x 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为3x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2312x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得212360y ty --=，21441440t ∆=+>，由韦达定理可得1212y y t +=，1236y y =-，()2121AB t ==+，抛物线212y x =在点A 处的切线方程为()2111662y y y x x x =+=+，同理可知抛物线212y x =在点A 处的切线方程为22262y y y x =+，联立2112226262y y y x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121231262y y x y y y t ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即点()3,6P t -， 点P 到直线l 的距离为261t d +==所以，()3221361362PABS AB d t =⋅=+≥△，当且仅当0=t 时，等号成立. 因此，PAB △面积的最小值为36. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式1-3．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点⎛- ⎝⎭． (1)求E 的方程；(2)若()3,0M ，O 为坐标原点，点P 是E 上位于第一象限的一点，线段PM 的垂直平分线交y 轴于点N ，求四边形OPMN 面积的最小值．【答案】(1)22162x y +=(2)【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的点，列出方程组，解得a.b ,可得答案.（2）设P 点坐标，表示出直线PM 的斜率，进而可得其中垂线方程，求得N 点坐标，从而表示出四边形OPMN 的面积，结合基本不等式，即可求得答案. (1)设E 的焦距为2c，则()222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪-⎪⎝⎭+=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩,解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以E 的方程是22162x y +=．(2)由题意，设()(000,0P x y y <，线段MP 的中点为A ，则点A 的坐标为003,22x y+⎛⎫⎪⎝⎭，且直线MP 的斜率003PM y k x =-，故直线AN 的斜率为0031AN PM x k k y -=-=， 从而直线AN 的方程为00003322y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又2200162x y +=，则220063x y =-， 令0x =，得2200092x y y y +-=，化简得200230,2y N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以四边形OPMN 的面积2000231133222OPMN OMNOPMy S SSy y --=+=⨯⨯+⨯⨯200023322y y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭003332222y y ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭当且仅当0y =所以四边形OPMN面积的最小值为考点二 其他最值问题典例2．如图，已知椭圆C ：22212x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，离心率e =M 为椭圆C 上动点，直线1A M 交y 轴正半轴于点A ，直线2A M 交y 轴正半轴于点B （当M 为椭圆短轴上端点时，A ，B ，M 重合）.(1)求椭圆C 的方程；(2)若3OA OB =，求直线MA 的方程；(3)设直线2MA 、2AA 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的最大值.【答案】(1)22142x y +=(2)y =(3)【解析】 【分析】（1）根据离心率可求a ，从而可得椭圆方程.（2）设()00,M x y ，则可以用M 的坐标表示,A B ，再根据3OA OB =可求0x ，从而可求M 的坐标，故可求直线MA 的方程.（3）结合（2）可得12k k +，利用M 在椭圆上可化简前者，利用其纵坐标的范围可求最大值. (1)因为椭圆的离心率为e =c a =即22212a a -=，故24a =，所以椭圆的方程为：22142x y +=.设()00,M x y ，因为直线1A M 交y 轴正半轴于点A ，则02x ≠±，00y >，又()00:22y AM y x x =++，故0020,2y A x ⎛⎫⎪+⎝⎭，()00:22y MM y x x =--，故0020,2y B x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 因为3OA OB =，故000022322yyx x =-⨯+-，所以01x =-，所以0y =故()2:212AM y x x =+=-+y =. (3)由（2）可得0102y k x =-，而0020202022y x y k x -+==--+， 故00002200000124422242y y y y k y k x x x y =-==-=--+-+，因为00y <2y -≤12k k +的最大值为 变式2-1．已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】(1)2212y x -=(2)8 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；（2）可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，求得2OP ，同理求得2OQ ，从而可求得2211||||OP OQ +的值，再结合基本不等式即可得出答案. (1)解：设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；(2)解：由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++，()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.变式2-2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)P，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为2(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过点P 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 斜率之和为1-，求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】(1)2214x y +=(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得21b =且2a c -=a ,b ,c 之间的关系，解得a ，c ，b ，即可得出答案． （2）当直线l 垂直于y 轴时，直线PA 与直线PB 的斜率和为0，不符合题意，设直线l 的方程为x my n =+，则111PA y k x -=，221PB y k x -=，联立直线l 与椭圆C 的方程，可得244181()10n m y y m n x m n x---+⋅+=++，PA k ，PB k 是该二次方程的两根，利用韦达定理结合条件可得到21PA PB k k n m+=-=--，即可得出答案． (1)因为椭圆过点(0,1)P，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为2， 所以21b =且2a c -= 又22221a b c c =+=+， 解得2a =，c =所以椭圆的方程为2214x y +=．(2)当直线l 垂直于y 轴时，直线PA 与直线PB 的斜率和为0，不符合题意， 故设直线l 的方程为x my n =+， 由于直线l 不过点(0,1)P ，故0m n +≠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，10x ≠，20x ≠， 则111PA y k x -=，221PB y k x -=， 直线l 的方程可改写为(1)1x m y m n m n--=++， 椭圆C 的方程可改写为224(1)8(1)0x y y +-+-=， 两者联立，可得22(1)4(1)8(1)[]0x m y x y y m n m n-+-+-⋅-=++， 0x ≠时，整理可得244181()10n m y y m n x m n x---+⋅+=++①， 若n m =，则直线l 与椭圆C 的一个交点为(0,1)-， 此时直线PA 的斜率不存在，不符合题意， 故n m ≠，且PA k ，PB k 是以上二次方程①的两根， 由韦达定理有21PA PB k k n m+=-=--，于是2n m =+，直线l 的方程为2x my m =++，所以直线l 经过定点(2,1)-，则当点P 与该定点的连线与l 垂直时，点P 到直线l 距离的最大，最大值.. 【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解答时要注意便是德技巧，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．变式2-3．已知点()0,2R -，()0,2Q ，双曲线C 上除顶点外任一点(),M x y 满足直线RM 与QM 的斜率之积为4. (1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 上的一点P ，且与C 的渐近线相交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于第一、第二象限，2AP PB =，求AP PB ⋅的最小值.【答案】(1)2214y x -=(2)1 【解析】 【分析】 （1）由题意得224+-⋅=y y x x，化简可得答案， （2）求出渐近线方程，设点()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，1>0x ，20x <，由2AP PB =可得12023x x x +=，120243-=x x y 代入双曲线方程化简可得1298⋅=-x x ，然后表示AP PB ，的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案 (1)由题意得224+-⋅=y y x x ，即2244-=y x， 整理得2214y x -=，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C 的方程为2214y x -=.(2)由（1）可知，曲线C 的渐近线方程为2y x =±， 设点()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，1>0x ，20x <， 由2AP PB =，得()()01012020,22,2--=---x x y x x x x y ， 整理得12023x x x +=，120243-=x x y ①，把①代入220014y x -=，整理得1298⋅=-x x ②， 因为()121201012244,2,33-+--⎛⎫=--=⎪⎝⎭x x x x AP x x y x ， ()2121202022,2,33---⎛⎫=---= ⎪⎝⎭x x x x PB x x x y ， 所以()22121211010129⋅=++⋅AP PB x x x x .由1298=-x x ，得1298=-x x ， 则()22221212221199192710101210101210219988982⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅=++⋅=-+-⨯≥⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦AP PB x x x x x x ，当且仅当24x =-时等号成立，所以AP PB ⋅的最小值是1.巩固练习练习一 面积最值问题1．点P 与定点()1,0F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为1:2． (1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为曲线C ，直线l 与x 轴的交点M ，直线PF 与曲线C 的另一个交点为Q ．求四边形OPMQ 面积的最大值．（O 为坐标原点）【答案】(1)22143x y +=(2)6 【解析】 【分析】（1）设出点(),P x y ，直接法求出轨迹方程；（2）求出4OM =，设出直线方程，表达出四边形OPMQ 面积，使用换元及基本不等式求出面积最大值. (1)设点(),P x y ，则PF =P 到直线:4l x =的距离为4x -，12=，解得：22143x y +=.(2)由题意得：()4,0M ，则4OM =，设当直线l 斜率为0时，即0y =，此时四边形OPMQ 不存在，故舍去；设直线l 为1x ky =+，与22143x y +=联立得：()2234690k y ky ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则由韦达定理得：122634k y y k -+=+，122934y y k-=+，则12y y -==， 四边形OPMQ面积1211422S OM y y =⋅-=⨯=，t =()1t ≥，则221k t =-，224241313t S t t t==++，其中13y t t =+在[)1,t ∈+∞上单调递增，故当1t =时，13y t t=+取得最小值为4，此时面积S 取得最大值6 【点睛】求解轨迹方程通常方法有：直接法，定义法，相关点法，交轨法，本题中使用的是直接法.2．设椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，点A ，B ，P 在椭圆E 上，点M 是线段AB 的中点，点F是线段MP 中点(1)若M 为坐标原点，且△ABP 的面积为3，求直线AB 的方程； (2)求△ABP 面积的最大值. 【答案】(1)32y x =或32y x =- (2)【解析】 【分析】(1)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；(2)分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M 坐标，再由中点坐标公式得P 点坐标，代入椭圆方程可得k 和b 的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积（注意2ABPABFS S=），然后用导数求最值.(1)在椭圆22143x y +=中，2,1a b c ===，此时点P 坐标为(2,0)，当直线AB的斜率不存在时，易知AB =122ABPS=⨯=，不满足题意.故设直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22234120x k x +-=，即22(43)120k x +-=，由弦长公式得AB =P 到直线AB 的距3=，解得32k =±，所以直线AB 的方程为32y x =或32y x =-.(2)由（1）知，当直线过原点且斜率存在时，ABPS==故此时面积最大值为ABP S =△当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为y kx m =+，代入椭圆方程整理可得()2224384120k x kmx m +++-=…①，记112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，002243,4343km mx y k k =-=++，00(2,)P x y -- 则22003(2)412x y -+=，将002243,4343km m x y k k =-=++代入上式得222243324124343km m k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得4m k =-，代入①得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，又点F 到直线AB，则ABPSAB k ===+ABPS=2t k =，2(14)()(43)t t g t t -=+，则()()332843t g t t -=+'，易知当3028t <<时，()0g t '>，函数单调递增，当328t >时，()0g t '<，函数单调递减，故当328t =时，max 31()()28192g t g ==，所以ABPS≤=又直线与椭圆有两个交点，所以422644(43)(6412)0k k k ∆=-+⨯->，解得214k <，故当2328k =，即k =ABP综上，△ABP 面积的最大值为【点睛】设而不求是圆锥曲线中最常用的方法之一，本题通过各点之间的关系，结合韦达定理表示出M 坐标，进而得到点P 坐标，借助P 点在椭圆上作为突破口进行求解，考察学生的转化能力和运算能力，属难题.3．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，点1F ，2F 为E 的左、右焦点，椭圆的离心率12e =，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)M 是直线4x =上任意一点，过M 作椭圆E 的两条切线MA ，MB ，（A ，B 为切点）． ①求证：2⊥MF AB ； ②求MAB △面积的最小值．【答案】(1)22143x y +=；(2)①证明见解析；②92. 【解析】【分析】（1）由题得222222123121c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，即得；（2）由题可得在点(),A A A x y ，(),B B B x y 处的切线方程，进而可得直线AB 方程，再利用斜率关系即证，联立直线AB 方程，与椭圆方程，利用韦达定理可得(222291212MAB t S AB MF t +=⋅⋅=+△，再通过换元，利用函数的性质可求. (1)由题可得，222222123121c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得224,3,a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=．(2)①先求在椭圆上一点的切线方程，设椭圆上一点为()x y x y ≠≠0000,,0,0，切线方程为()00y y k x x -=-，联立方程组()0022143y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()()()22200003484120k x k y kx x y kx ++-+--=，∴()()()222000084344120k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦，∴()()22200004230x k kx y y -++-=，即2220000432034y x k kx y ++=，∴034x k y =-， 故切线方程为()000034x y y x x y -=--，即00143x x y y +=， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，()4,M t ． 椭圆E 在点(),A A A x y 的切线AM 的方程为：143A A x x y y+=， 在点(),B B B x y 处的切线BM 方程为：143B B x x y y +=． 又直线AM ，BM 过点()4,M t ，即41434143A A B B x ty x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即3333A A B B x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，故点(),A A A x y ，(),B B B x y ，在直线33x ty +=上，故直线AB 方程为：33x ty +=， 当0=t ，即()4,0M 时，直线AB 方程为：1x =，则2⊥MF AB ． 当0t ≠时，直线AB 方程为：33y x t t=-+．右焦点()21,0F ，则23MF t k =，所以2313MF AB t k k t ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即2⊥MF AB ．②直线AB 方程为：33x ty +=与椭圆E 联立得；()22126270t y ty +--=，2612A B t y y t +=+，22712A By y t -=+，(222291212MABt S AB MF t +=⋅⋅==+△令m =3m ≥，则(23223292213123MABt m S t m m m +===+++△在[)3,m ∈+∞上单调递增，所以当3m =时，MAB S 取最小值92．4．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点. (1)证明：以AB 为直径的圆与直线1x =-相切；(2)设（1）中的切点为,P O 为坐标原点，直线OP 与C 的另一个交点为E ，求ABE △面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径来证明；（2）先设直线AB 的方程为1x my =+，以m 为参数表示出点P 以及点E 的坐标，进而求出E 点到直线的距离，即为ABE △的高，最后把ABE △的面积表示成m 的函数，求其最值. (1)证明：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-. 设()()()()()11221212,,,,112A x y B x y AB AF BF x x x x =+=+++=++， 弦AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则M 到准线1x =-的距离为()121211222AB x x x x++--=+=， 所以以AB 为直径的圆与直线1x =-相切. (2)解：由题可知直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+，由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩整理得2440y my --=， 又()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,4y y m y y +==-，所以2AB =()()21212444x x m y y m ++=++=+.点P 的坐标为()1,2m -，于是直线OP 的方程为2y mx =-， 代入24y x =，整理得0x =或21x m =， 从而212,E mm ⎛⎫-⎪⎝⎭ 则点E 到直线AB211+=故()()32221442ABESm m =+=.[),1,t t ∈+∞，()()()()223222232,11t t t f t f t t t -=--'= 则()f t在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增，故min ()f t f ==练习二 其他最值问题5．已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(1)24x y = (2)32 【解析】 【分析】（1）设()04,Q y ，列方程组000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，求出2p =，即可得到抛物线E 的方程；（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，表示出()()32211k x k k --+，用坐标表示出AB AC =()()32221611k k k ++利用基本不等式求出AB AC 的最小值.(1)设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =. 因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =. (2)设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-. 因为AB BC =，则212232111x x k x x k -+=-+，得()2312x x k x x -=-，① 因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k=--③将②③代入①，得()2242420x k k x k +--=，即()()322212120k k x k k k-+---=，则()()32211k x k k -=+， 所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+ ()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k ++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121k k k +≥+，当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.6．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为()1,0A -，()10B ,，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若点P 为右准线上一点，直线P A 与C 交于A ，M ，直线PB 与C 交于B ，N ，求点B 到直线MN 的距离的最大值．【答案】(1)2213y x -=(2)1【解析】【分析】（1）求得双曲线C 的的,a b ，即可求得双曲线C 的标准方程；（2）以设而不求的方法先判定直线MN 过定点，再去求点B 到直线MN 的距离的最大值．(1)由题意得1a =．设双曲线C 的焦距为2c ，则221a c⨯=，所以2c =．所以b所以双曲线C 的标准方程2213y x -=． (2) 设1,2P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线P A 的方程为：()213t y x =+． 由()2213213y x t y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得()222242784270t x t x t -+++=．因为直线P A 与C 交于A ，M ，所以24270t -≠，所以t ≠． 因为22427427A M M t x x x t +=-=-，所以22427427M t x t +=--， ()22222427361133427427M M t t t t y x t t ⎛⎫+-=+=-+= ⎪--⎝⎭， 所以22242736,427427t t M t t ⎛⎫+-- ⎪--⎝⎭． 因为直线PB 的方程为()21y t x =--，由()221321y x y t x ⎧-=⎪⎨⎪=--⎩，得()2222438430t x t x t --++=．因为直线PB 与C 交于B ，N ，所以2430t -≠，所以t ≠ 因为224343B N N t x x x t +==-，所以224343N t x t +=-， ()222431*********N N t t y t x t t t ⎛⎫+-=--=--= ⎪--⎝⎭，所以2224312,4343t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭． 所以当32t ≠±时，直线MN 的方程为222222222123612434342743427434343427t t t t t t y x t t t t t t -+⎛⎫+--+=- ⎪++--⎝⎭+--． 令0y =，得()()22422222222221243649610821236434274443431327438843427t t t t x t t t t t t t t t t t t ++-=⨯+==--+++--+-+---． 所以直线MN 过定点()2,0D ． 当32t =±时，222242743242743t t t t ++-==--，所以直线MN 过定点()2,0D ． 所以当BD MN ⊥时，点B 到直线MN 的距离取得最大值为1．7．如图，已知点()2,2P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =<上一点，A ，B 是抛物线C 上异于P 的两点，且直线P A ，PB 的倾斜角互补，若直线P A 的斜率为()1k k <.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB 的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F 到直线AB 的距离d ，求d d FA FB -的最大值.【答案】(1)22y x =(2)证明见解析，12-【解析】【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A 点纵坐标，同理得到B 点纵坐标，从而求出直线AB 的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出2454516k d d k FA FB k k --=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，换元后使用基本不等式求出最大值.(1)将点()2,2P 代入抛物线方程可得：1p =，抛物线2:2C y x =(2)设()():221-=->PA y k x k ，与抛物线方程联立可得：22440-+-=ky y k ，∴4422--=⇒=A P A k k y y y k k ，用k -代k 可得：22+=-B k y k因此，2221222A B A B AB A B A B A B y y y y k y y x x y y --===--+-=，即12AB k =-. (3) 由（1）可知，12AB k =-，()222122,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭k k A k k ，()222122,⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭k k B k k 因此()22222122122:202⎛⎫----=--⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭k k k AB y x x y k k k 1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线AB的距离2==d . 11d d d FA FB FA FB ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵()342113211112524162422B A B A A B A B A B FB FA x x x x k FA FB FA FB k k x x x x x x ----====⋅-+⎛⎫⎛⎫++++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()22342425432252416252416k k d d k FA FB k k k k --==-+-+22244551642524516--==⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭k k k k k k k k ，令45=-t k k，由1k >得1t >∴211616d d tFA FB t tt-=≤=++当且仅当4454=⇒-=⇒=t k kk.d dFA FB-【点睛】求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.8．已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，3cos5OFA∠=-．(1)求抛物线C的方程；(2)以AB为直径的圆经过点()1,2P，点A，B都不与点P重合，求AF BF+的最小值．【答案】(1)24y x=；(2)11.【解析】【分析】（1）作出辅助线，利用焦半径与余弦值求出p的值，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据PA PB⊥得到等量关系，求出25n m=+，从而表达出212124112AF BF x x m⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，求出最小值.(1)设()04,A y，因为3cos05OFA∠=-<，所以42p>，42pAF=+，过点A作AD⊥x轴于点D，则42pDF=-，432cos542pDFDFApAF-∠===+，解得：2p=，所以抛物线方程为24y x=.(2)设直线AB 为x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ，由方程x my n =+与24y x =联立得：2440y my n --=，所以()24160m n ∆=-+>，即20m n +>，且124y y m +=，124y y n =-，所以()21212242x x m y y n m n +=++=+，222121216y y x x n ⋅==，因为以AB 为直径的圆经过点()1,2P ，所以PA PB ⊥，即()()11221,21,20PA PB x y x y ⋅=--⋅--=，即()()12121212250x x x x y y y y -++-++=，所以()22424850n m n n m -+--+=，所以()()22322n m -=+，所以25n m =+或21n m =-+， 当21n m =-+时，直线AB 为12x my m =+-过点P ，此时与题干条件A ，B 都不与点P 重合矛盾，不合题意，舍去；当25n m =+时，直线AB 为25x my m =++，满足要求，所以2212424410x x m n m m +=+=++，则22121244124112AF BF x x m m m ⎛⎫+=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以当12m =-时，AF BF +最小，且最小值为11.。

高中专题-解析几何中的最值与范围问题解析几何中的定点、定值问题例1设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点)3545,,55M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.【解】（1）2214x y -=；（2）最大值为2，6525,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭例2设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->.（1）设E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，求使得12EF EF +取最小值时椭圆的方程；（2）已知(0,1)N -，设斜率为(0)k k ≠的直线l 与条件（1）下的椭圆交于不同的两点,A B ,点Q 满足AQ QB = ,且0NQ AB ⋅= ,求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解】（1）最小值2213x y +=；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例3（1）椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点，则a 的取值范围是.（2）椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（）.A.11B.C.D.9【解】（1）171,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）A例4在直角坐标系中，O 是原点，,A B 是第一象限内的点，并且A 在直线(tan )y x θ=上，其中42OA ππθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，，B 是双曲线22=1x y -上使OAB 面积最小的点，求：当θ在42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中取什么值时，OAB 的面积最大，最大值是多少？【解】2arccos 4θ=,最大值为66专题-解析几何中的定点、定值问题例1已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【解】（1）22143x y +=；（2）2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭例2已知点(1,1)A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆的两焦点，且满足124AF AF +=.（1）求椭圆的两焦点坐标；（2）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证：,A B 两点关于原点O 不对称；（3）设点,C D 是椭圆上两点，直线,AC AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由.【解】（1）2626,0,,033⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明略；（3）13例3如图1所示，在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0,)C p 作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于,A B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（2）是否垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【解】（1）2；（2）2py =例4已知椭圆方程为221169x y +=，过长轴顶点(40)A -，的两条斜率乘积为916-的直线交椭圆于另两点,B C ，问直线BC 是否过定点D ,若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.【解】直线12:98()0BC x k k y ++=过原点(0,0)例5如图3所示，设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(01)E ，,且与椭圆相交于,C D 两点.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE = ,求k 得值；（3）设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率，证明：对任意k ，恒有=-2AC AD k k ⋅【解】（1）22164x y+=；（2）63k=±；（3）证明略。

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

微专题26 解析几何中的最值与范围问题考题导航题组一 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题1. (－∞，－2)∪(2，＋∞)∪{3，－3} 解析：由题意知直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合如图所示的图形，易得k<－2或k>2或k ＝± 3.2. 3 －2－6 7－43 解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，即圆心(2，0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，所以k max ＝3；设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)min ＝－2－6；x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.另解：设x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α，所以y －x ＝3sin α－2－3cos α＝6sin ⎝⎛⎭⎫α－π4－2∈[－6－2，6－2]，x 2＋y 2＝(2＋3cos α)2＋(3sin α)2＝7＋43cos α∈[7－43，7＋43]．1. 43 解析：圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4，0)的距离小于等于2”，则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k 2≤2，解得0≤k ≤43，则k 的最大值为43.题组二 构造函数模型解决点点(点线)距离的最值问题1. 15 解析：设点P(m ，n)，n>0，则AP →＝(m ＋6，n)，FP →＝(m －4，n)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 236＋n 220＝1，（m ＋6）（m －4）＋n 2＝0，消去n 得2m 2＋9m －18＝0，解得m ＝32或m ＝－6，因为n>0，所以m ＝32，所以n ＝532，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，532，直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M(t ，0)，则点M 到直线AP 的距离是|t ＋6|2，于是|t ＋6|2＝|6－t|，又－6≤t ≤6，解得t ＝2，所以M(2，0)．设椭圆上的点(x ，y)到点M 的距离d ，d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.1. 255 解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则PA 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎫x －1252＋45.由|x|≥2，得当x ＝125时，PA 2有最小值为45，即PA 有最小值为255. 题组三 根据条件构造不等关系求离心率的范围问题 1. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 解析：由题意得，向量F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为钝角，F 2B 1→＝(－c ，－b)，B 2A 2→＝(a ，－b)，所以－ac ＋b 2<0，即a 2－ac －c 2<0，即e 2＋e －1>0，解得e>5－12或e<－5＋12.因为0<e<1，所以5－12<e<1.1. ⎣⎡⎦⎤33，22 解析：因为|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，所以|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，当且仅当|PF 1→|＝|PF 2→|＝a 时，等号成立，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以2e 2≤1≤3e 2，所以13≤e 2≤12，即33≤e ≤22. 题组四 构造函数模型解决与线段的定比分点及面积相关的范围或最值问题1. 解析：方法一：因为PF 2⊥x 轴，且点P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0，点Q(x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即点P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1→＝λF 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝λ（x 1＋c ），－b 2a ＝λy 1，解得⎩⎨⎧x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋1λ2－1λ2e 2＝1， 即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0. 因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c)．联立⎩⎨⎧y ＝b 22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0. 因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 设点Q(x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.1. 解析：把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.①(1) Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 即4k 2－m 2＋1>0.②因为直线l 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，所以|m －2|k 2＋1＝1，所以k 2＝m 2－4m ＋3.③把③代入②得3m 2－16m ＋13>0， 解得m>133或m<1.(2) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意得点P(0，m)，因为PB →＝2AP →，所以2x 1＋x 2＝0. 由①式得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，所以x 1＝－(x 1＋x 2)＝8km4k 2＋1. 又因为x 1是方程①的根，所以(4k 2＋1)64k 2m 2（4k 2＋1）2＋64k 2m 24k 2＋1＋4m 2－4＝0， 所以m 2＝4k 2＋136k 2＋1.依题意得k ≠0，显然满足Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)·(4m 2－4)>0.因为|x 1－x 2|＝|3x 1|＝|24km|4k 2＋1，所以S △AOB ＝12|x 1－x 2||m|＝12m 2|k|4k 2＋1＝12|k|36k 2＋1＝39|k|＋14|k|≤1，当且仅当9|k|＝14|k|，即k ＝±16(符合题意)时，等号成立， 所以当k ＝±16时，△AOB 的面积取最大值为1.冲刺强化训练(26)1. (－12，0) 解析：因为双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，所以1<4－k 2<2，解得－12<k<0.2. ⎣⎡⎭⎫22，1 解析：因为椭圆上总存在点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，所以以原点为圆心、半焦距c 为半径的圆与椭圆总有交点，所以c ≥b ，得c 2≥a 2－c 2，所以a 2≤2c 2，即e ≥22，又e<1，故22≤e<1. 3. －74 解析：设M(3cos α，sin α)，所以P(32cos α，12sin α)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以PF 1→＝(－2－32cos α，－12sin α)，PF 2→＝(2－32cos α，－12sin α)，所以PF 1→·PF 2→＝(－2－32cos α，－12sin α)·(2－32cos α，－12sin α)＝－2＋34cos 2α＋14sin 2α＝12cos 2α－74≥－74，故PF 1→·PF 2→的最小值为－74.4. 62 解析：设椭圆上的点Q(x ，y)．由圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为(0，6)，半径为2，得椭圆上的点Q(x ，y)到圆心(0，6)的距离为x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝－9⎝⎛⎭⎫y ＋232＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离是52＋2＝6 2. 5. (2－1，1) 解析：设P(x ，y)，因为PQ ⊥l ，四边形PQFA 为平行四边形，所以PQ ＝x ＋a 2c ＝FA ＝a ＋c ，可得x ＝a ＋c －a 2c ，椭圆上点P 的横坐标满足x ∈[－a ，a]，且P 、Q 、F 、A 不在一条直线上，所以－a<a ＋c －a 2c <a ，即2a ＋c －a 2c >0且c －a 2c <0，化简得2＋e －1e >0，即e 2＋2e －1>0，解得e<－1－2或e>2－1，因为椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1，1)．6. 95 解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋r.因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以r 的最小值是95. 7. (1，3] 解析：由于左右是对称的，不妨设P 在右支上(即x>0)，根据双曲线的焦半径公式，有PF 1＝2PF 2等价于ex ＋a ＝2(ex －a)，得到ex ＝3a ，从而e ＝3ax ，又因为x ≥a ，故e ≤3，所以1<e ≤3.8. 6 解析：由x 24＋y 23＝1可得F(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 9. －3 解析：设Q 的坐标为(x 0，y 0)，由OP →＝3OQ →得P(3x 0，3y 0)，所以3y 0＝k(3x 0－33)，即y 0＝k(x 0－3)，所以点Q 在直线y ＝k(x －3)上，又因为点Q 在x 2＋(y －1)2＝1上，所以直线y ＝k(x －3)与圆x 2＋(y －1)2＝1相交或相切，所以0≤|1＋3k|k 2＋1≤1，解得－3≤k ≤0，所以k 的最小值为－ 3.10. ⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 解析：如图所示，很明显椭圆上短轴上两个顶点符合题意；根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一个点P 满足△F 1F 2P 为等腰三角形即可，则PF 1＝F 1F 2＝2c ，或PF 2＝F 1F 2＝2c.当F 1P ＝2c 时，则有PF 1>MF 1(M 是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则MF 1＝a ，所以2c>a ，所以e ＝c a >12，所以12<e<1；当PF 2＝2c 时，则有⎩⎪⎨⎪⎧PF 2>F 2Q ，PF 1>MF 1，(Q 是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即⎩⎪⎨⎪⎧2c>a －c ，e<12，所以⎩⎨⎧e>13，e<12，所以13<e<12.综上所得，椭圆C的离心率的取值范围是(13，12)∪⎝⎛⎭⎫12，1.11. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.由题意得直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），x 2＋2y 2＝4，得3x 2＋4x －4＝0，解得x A ＝－2，x P ＝23，所以点P ⎝⎛⎭⎫23，43， 所以AP ＝⎝⎛⎭⎫23＋22＋⎝⎛⎭⎫432＝453，又因为原点O 到直线l 的距离d ＝25， 所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56.(2) 若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP －1，设直线l ：y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k （x ＋2），得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 所以－2＋x P ＝－8k 22k 2＋1，x P ＝2－4k 22k 2＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1， 所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2（2k 2＋1）2， 即AP ＝4k 2＋12k 2＋1，同理可得AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知k 2>0，所以0<λ<1.12. 解析：(1) 连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a, 又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°， 所以∠POA 2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x.(2) 由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，直线A 1P 的方程为y ＝33(x ＋a), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －a ），y ＝33（x ＋a ）， 解得x P ＝a 2. 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2， 故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1.联立⎩⎨⎧y ＝33（x ＋a ），x 2a 2＋4y2a 2＝1，解得x Q＝－a7或x Q＝－a(舍去)，所以PQ QA 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫－a 7－a 7－（－a ）＝34.(3) 不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋4y 2a 2＝1，解得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k 2，ak 1＋4k 2，所以OB ＝a1＋k 21＋4k 2. 用－1k 代替上面的k ，得OC ＝a1＋k 24＋k 2. 同理可得，OM ＝2a 1＋k 2，ON ＝2ak1＋k 2.所以S 1·S 2＝14·OB·OC·OM·ON ＝a 4·k（1＋4k 2）（4＋k 2）.因为k（1＋4k 2）（4＋k 2）＝14⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋17≤15，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 45.。

第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第四课时　最值、范围问题内容索引分层精练巩固提升题型一　最值问题角度1　基本不等式法求最值[思路分析]　由定义求方程→设直线方程→联立椭圆与直线方程→由条件写出面积的表达方式→通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值．→在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解．又因为b2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x＝my＋2（m≠0）.→在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为x＝my＋n(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AM⊥x轴，BN⊥x轴，所以M(x1，0)，N(x2，0)．[满分规则]❶得步骤分：由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；❷得关键分：由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；❸得计算分：由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．解　当l⊥x轴时不合题意；设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.Δ＝16(4k2－3)>0，角度2　函数法求最值解　由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．解　∵点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．训练2(2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．解　设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，题型二　范围问题得其右焦点为(1，0)，因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，故抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．解　设直线BD的方程为y＝kx＋m，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，设BD中点为M(x0，y0)，由△PBD是以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，整理得km＝2－2k2.由km＜1，则2－2k2＜1，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，∴(m2＋1)b4＝4a2c2，∴c4＋a4－6a2c2≤0，∴e4－6e2＋1≤0，∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.分层精练 巩固提升FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG【A级 基础巩固】解　由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，由于－6≤x≤6，(2)过点(0，2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O 为坐标原点.求△MON的面积的最大值.解　因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，设l的方程为y＝kx＋2，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，解　因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2.(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.解　由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2).Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，故k>1或k<－1.即|k|≤3，解得－3≤k≤3.综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].4.(2022·全国甲卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；【B级 能力提升】(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.解　根据(1)知F(1，0)，D(2，0).当MN的斜率存在时,设M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(x3,y3) ,B(x4,y4) ,即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，同理，可得直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意.本课结束INNOVATIVEDESIGN。

第十一讲 解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．[满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以＋＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝4 55. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，|AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2.二、函数法求最值【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．(1)由e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝ 23，得a ＝3b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝ x 2＋(y －2)2＝ －2(y ＋1)2＋3b 2＋6， －b ≤y ≤b .若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝ －2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)， 若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝ －2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)法一 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12， 当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22， 则1m 2＋n 2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)法二 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m3＋2m 2，x 1x 2＝m23＋2m 2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2， ∴x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0， 把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，∴m ＝±62，n ＝± 1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值12.老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．三.定义法求最值在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。

专题20解析几何解题技巧—最值范围，手段多样一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c 6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=>(5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =.三．【题型归纳】（一）向量的数量积的范围问题 （二）离心率的范围 （三）线段比值范围 （四）线段长的最值 （五）面积的最值问题 （六）最值问题综合 四．【题型方法】（一）向量的数量积的范围问题例1．若点O （0，0）和点)F分别是双曲线22x a-y 2=1（a ＞0）的中心和右焦点，A 为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则OM AM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[)1,∞-+ B ．()0,∞+ C ．[)2,∞-+ D ．[)0,∞+ 【答案】D【解析】设M （m ，n ），A （a ，0），则OM AM ⋅u u u u r u u u u r=（m ，n ）•（m-a ，n ）=m 2-am+n 2．由F 0）是双曲线22x a -y 2=1（a ＞0）的右焦点，可得a 2+1=3，即, 则双曲线方程为2x 2-y 2=1, 由点M 为双曲线右支上的任意一点，可得2m 2-n 2=1（m≥）即有n 2=2m 2-1, 则OM AM ⋅u u u u r u u u u r =m 2m+n 2=m 22m 2-1=23m 2m-1可得函数在,+∞）上单调递增，即有m 2 m+n 2≥2-2+1-1=0.故选D.（二）离心率的范围例2．已知F 是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(2,1+C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1∞+【答案】A【解析】根据双曲线的对称性，得△ABE 中，|AE|=|BE|，△ABE 是锐角三角形，即∠AEB 为锐角，由此可得Rt △AFE 中，∠AEF ＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|=222b c a a a -=，|EF|=a+c ，∴22c a a-＜a+c ，即2a 2+ac-c 2＞0，两边都除以a 2，得e 2-e-2＜0，解之得-1＜e ＜2，∵双曲线的离心率e ＞1，∴该双曲线的离心率e 的取值范围是（1，2）. 故选A ．练习1.．已知椭圆22221x y a b+=(00)>>a b ，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A．2⎣⎦B．2⎣⎦C．12⎡⎢⎣⎦D．3⎣⎦【答案】A【解析】由题意椭圆22221x y a b+=(00)>>a b ，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形． 根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c ＝＋αα，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎫+⎪⎭，∵,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴342πππα+剟，1234πα⎫+⎪⎭剟，即椭圆离心率e的取值范围是23⎣⎦，故选A. 练习2.．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，两条渐近线分别为1l 、2l ，过F 作平行于1l 的直线依次交双曲线C 和直线2l 于点A 、B ，若FB FA λ=u u u r u u u r，()2,3λ∈，则双曲线离心率的取值范围是( )A．2⎛ ⎝ B．(C．D．2⎛ ⎝ 【答案】A【解析】由题意得l 1：y=-b x a ,l 2：y=-bx a（c), 由l 交双曲线C 于A ，令()()22222222,221b y x c b a c a c aA c ac x y a b ⎧=-⎛⎫⎪-+⎪ ⎪∴⎨ ⎪⎪⎝⎭-=⎪⎩ 故有FA u u u r =()2222-,22b a c a cc ac⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由l 交l 1于B ，令(),22b y x c c bc aB b a y xa ⎧=-⎪⎪⎛⎫∴-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩故有FB u u u r =-,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由FB FA λ=u u u v u u u v 得-,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=λ()2222-,22b a c a c c ac ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22-22c a c c λ-∴=， 又e c a =解得21e 111λλλ==+-- 因为()2,3λ∈，所以23,22e e ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭⎝. 故选A.（三）线段比值范围例3．物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=o ，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则ABCDu u u r u u u r 的最小值为( ) AB ．1CD ．2【答案】B【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |在梯形ABPQ 中，∴2|CD |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，又∵ab ≤（ 2a b+） 2， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2 得到|AB |12≥（a +b ）＝|CD |．∴AB CD u u u r u u ur ≥1，即AB CDu u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．练习1.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 （ ）A.12B.1C.22D.32【答案】B【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ，配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，又∵ab 2()2a b +≤， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2得到|AB |12≥（a +b ）．∴MN AB ≤1，即MN AB 的最大值为1． 故选：B ．（四）线段长的最值例4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y +=上一点，则2||||MN MF +的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】由题意可得2a ＝6，即a ＝3，渐近线方程为y ＝±13x ，即有13b a =，即b ＝1，可得双曲线方程为29x -y 2＝1，焦点为F 1（10-，0），F 2，（10，0），由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a +|MF 1|＝6+|MF 1|， 由圆E ：x 2+（y 6+）2＝1可得E （0，6-），半径r ＝1，|MN |+|MF 2|＝6+|MN |+|MF 1|， 连接EF 1，交双曲线于M ，交圆于N ，可得|MN |+|MF 1|取得最小值，且为|EF 1|610=+=4，则则|MN |+|MF 2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B ．练习1.已知椭圆()22210416x y m m+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22BF AF +的最大值为10，则m 的值是（ ） A.2 B.22 C.3 D.23【答案】D【解析】由椭圆的方程可知4a =，由椭圆的定义可知，22416AF BF AB a ++==，所以()22166AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知过椭圆的弦中，通经最短，则226b a=.所以212b =，即23b =m 的值是3故答案为：D.练习2．已知椭圆号2221y x a +=(1)a >的离心率25e =，P 为椭圆上的一个动点，则P 与定点(1,0)B -连线距离的最大值为（ ）A.32B.2C.52D.3【答案】C【解析】椭圆()22211y x a a +=>的离心率25e =，可得2125a -=，解得5a =， 椭圆方程为2215y x +=，设()cos ,5sin P θα，则P 与定点()1,0B -连线距离为()2222cos 15sin 4sin 2cos 262cos 4cos θθθθθθ++=++=+-，225154cos 442θ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当1cos 4θ=时，取得最大值52，故选C. 练习4．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，焦点为F ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PF +的最小值是（ ） A.112B.4C.92D.5【答案】D【解析】由题意可得F （12，0 ），∵点A （742，）在抛物线外， ∴根据抛物线的定义可得|P A |+|PF |的最小值为|AF |2271()(40)522=-+-= 故选：D练习5.．已知F 为抛物线212y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且||6AF =，则||||PA PO +的最小值为( )A.6B.C.D.【答案】D【解析】抛物线212y x =的焦点为()3,0F ，准线为3x =-.∵|AF |＝6，由抛物线的定义得点A 到准线的距离为6，即A 点的横坐标为3， 又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标为（3，6）. 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （﹣6，0），则|P A |+|PO |的最小值为AB = 故选：D ．（五）面积的最值问题例5．已知()()123,0,3,0F F -是椭圆221x y m n +=的两个焦点，点P 在椭圆上，12F PF α∠=,当23πα=时，12F PF ∆的面积最大，则m n +的值是（ ）A ．41B ．15C ．9D ．1【答案】B【解析】∵12F PF α∠=．当α23π=时，△F 1PF 2面积最大， ∴此时点P 为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F 1PO 3π=．∴12b =a ，又c ＝3，a 2＝b 2+c 2，联立解得b 2＝3，a 2＝12．∴m +n ＝a 2+b 2＝15． 故选：B ．练习1．已知抛物线C ：24y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q ，则PQF ∆外接圆面积的最小值为（ ）A ．2π B ．2CD ．2π【答案】A【解析】将直线l 与抛物线联立2410y x x y ⎧=⎨-+=⎩，得()210x -=，即直线l 与抛物线相切且切点为（1,2），又P 是l 上一点，当点P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)，此时PQF ∆为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为π； 当点P 不为切点时，设点()00,1P x x +,切线斜率为k,则切线方程为()()001y x k x x -+=-，即0010kx y kx x --++=，将切线方程与抛物线方程联立200410y xkx y kx x ⎧=⎨--++=⎩得200104ky y kx x --++=，其中()()0110k kx =--=V ，则01PQ k x =，此时切线方程化简得001y x x x =+，此时点Q ()00,x ,可得0FQ k x =-,即PQF ∆为直角三角形，PF 中点M 0011,22x x ++⎛⎫⎪⎝⎭即为外接圆的圆心，则22222000111||222x x x r MQ +-+⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,面积为22012x r ππ+=，当00x =时面积取到最小值为2π， 综上，面积最小值为2π， 故选：A.练习2.如图，过抛物线22y px =（0p >）上一点()1,1P ，作两条直线分别交抛物线于点A ，B ，若PA与PB 的斜率满足0PA PB k k +=.（1）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距[]0,1b ∈，求PAB A 面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析，12AB k =-；（2163. 【解析】（1）由抛物线22y px =（0p >）过点()1,1P ，得21p =，即2y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，因为0PA PB k k +=，所以121211011y y x x --+=--. 因为211y x =，222y x =，代入上式得到1211011y y +=++， 通分整理得122y y +=-，设直线AB 的斜率为AB k ，由211y x =，222y x =，两式相减可化为2121121y y x x y y -=-+得2121AB y y k x x -=-（12x x ≠）=121y y +. 由于122y y +=-，将其代入上式得12112AB k y y ==-+.（2）设直线AB 的方程为12y x b =-+， 由212y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩， 得()221104x b x b -++=， 因为[]0,1b ∈，所以()2210b b ∆=+->，且()1241x x b +=+，2124x x b =，所以AB ==又点P 到直线AB的距离为d =，所以1322ABP S AB d b ∆=⋅=-. 令()()()21232f x x x =+-，其中[]0,1x ∈，则由()()()()()()()2'23212232223216f x x x x x x =-++⨯-⨯-=--，当1,16x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0f x <，所以()f x 单调递减；当10,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'0f x >，所以()f x 单调递增，故()f x 的最大值为1256627f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ABP ∆的面积ABP S ∆=. 练习3.．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，且椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线5()25f x -≤-≤，2l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设5()25f x -≤-≤，2l 分别与椭圆交于点,A B 和,C D .①求AB CD +的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=；（2）①8. 【解析】（1） 由题设知：222222b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）①设AB 的直线方程为()1y k x =-，联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消元y 并整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，于是212212AB x k+=-==+，同理22121122k CD k ⎫-⎪⎝⎭==⎛⎫+- ⎪⎝⎭于是22221212AB CD k k+=+=++②由①知22212M k x k=+，212M k y k -=+，2112N x k =+，212N k y k =+， 所以2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，221,1212k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 所以MN 的中点为1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是22112111212412212282OMN M N k k S OT y y k k k k∆=-==⨯=⨯≤+++，当且仅当12k k =，即2k =±时取等号，所以OMN ∆面积的最大值为2.（六）最值问题综合例6．已知点P 为抛物线22y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,A 点坐标为7,42⎛⎫⎪⎝⎭,则PA PM +的最小值是( ) A ．112B ．4C ．92D ．5【答案】C 【解析】如图12PM PF =-,故12PA PM PF PM +=+-,故最短距离为12AF -, 71,4,,022A F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22714916522AF ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭,所以 19522PA PM +=-=,故选C. 练习1．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ） A ．9,12 B ．8,11 C ．10,12 D ．8,12 【答案】D【解析】∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8． （|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12． 故选：D ．练习2．已知M 为圆O ：221x y +=上的动点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，连接BA延长至点P ，使得2AP BA =u u u r u u u r，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线1l ：y kx m =+与圆O 相切，直线2l ：y kx n =+与曲线C 相切，求22mn的取值范围.【答案】（1） 22194x y +=；（2）11,94⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)A x ，0(0,)B y ，且22001x y +=，因为2AP BA =u u u r u u u r ，即000(,)2(,)x x y x y -=-，∴0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入22001x y +=，得22194x y +=，故曲线C 的方程为22194x y +=.(2)∵1l 与圆O 相切，∴圆心O 到1l的距离11d ==，得221m k =+，①联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(49)189360k x knx n +++-=，由0∆=，得2294n k =+，②由①②得222221151949994m k n k k +==+⋅++，22119440944k k +≥⇒<≤+，故2211(,]94m n ∈.。

解析几何最值问题的解法上海市松江一中 陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。

由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、化为一元二次方程，利用△；3、利用不等式；4、利用函数的单调性和有界性；5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。

同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。

例题1：如图已知P 点在圆22(4)1x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动，求||PQ 的最大值。

[分析：如图先让Q 点在椭圆上固定，显然PQ 通过圆心1O 时||PQ 最大，因此要||PQ 的最大值，只要求1||OQ 的最大值。

]解：设Q 点坐标(,)x y ，则2221||(4)OQ x y =+- ①，因Q 点在椭圆上，故2219x y += ②把②代入①得222211||9(1)(4)8()272O Q y y y =-+-=-++Q 点在椭圆上移动，11y ∴-≤≤ 12y ∴=-时，1min ||OQ =min ||1PQ ∴=说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。

但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。

例题2：如图，定长为3的线段AB 的两端在抛物线2y x =上移动，且线段中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

[分析：点M 到y 轴的最短距离，即求点M 横坐标的最小值。

] 解法一：化为一元二次方程，利用△设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 则121221122222121222()()9x x x y y y y x y x x x y y ⎧+=⎪+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪-+-=⎩ ③④代入⑤，整理得221212()()19y y y y ⎡⎤-++=⎣⎦，即222121212(2)()19y y y y y y ⎡⎤+-++=⎣⎦ ⑥由①③④得2212122y y x x x +=+= ⑦21212()22y y y y x +-=②代入上式得212242y y y x =- ⑧②⑦⑧代入⑥并整理得4216(416)940y x y x +-+-= ⑨y R ∈ ，∴△2(416)64(94)0x x =---≥，即(45)(47)0x x -+≥① ② ③ ④ ⑤5470,4x x +>∴≥ ，将54x =代入⑨得2y =±所以AB 中点M 到y 轴的最短距离是54，相应的点M 的坐标为5(,42或5(,)42- 说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。

解析几何范围最值、定点定值问题一、范围最值问题：1、已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程．(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线21l l 、，设l 1与轨迹C 交于A 、B 两点，l 2 与轨迹C 交于D 、E 两点，求||||||||FD FC FB FA ⋅+⋅的最小值．2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P 为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。

(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。

3、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a y x C 的离心率为23，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线02=+-y x 相切．(I)求椭圆C 的方程；(II)设P(4，0)，M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；4、一动圆与圆1)1(:221=+-y x O 外切，与圆9)1(:222=++y x O 内切． (I)求动圆圆心M 的轨迹L 的方程．(Ⅱ)设过圆心O 1的直线1:+=my x l 与轨迹L 相交于A 、B 两点，请问2ABO ∆（O 2为圆O 2 的圆心）的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若 不存在，请说明理由．二、定点定值问题：1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,2(-F ，离心率22=e ，M 、N 是椭圆上的的动点。

(I)求椭圆标准方程；(II)设动点P 满足：ON 2+=，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，问：是否存在定点F 1，F 2，使得||||21PF PF +为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标，若不存在，说明理由。

第2课时 范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23， 所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3． 综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2． 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． 综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22． 考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |， 所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3， 又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0． 又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3， 当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0． 设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8， 所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4． 因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )， 整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示 转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2， 求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1． 由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ， 即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1． 又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k． 于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564， 当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1． 将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2． 又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4． 将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1． 由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1， 所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1． 令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1． 设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。