北师大九年级数学教案-角平分线

课题：第一章第四节角平分线（第二课时）课型：新授课教学目标：1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．（重点）2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．（重难点）3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教法与学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.教学过程：一、感悟导入问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．二、探究新知1.三角形角平分线性质定理的证明[师生共析]已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？[生]有一处．在三条公路的交点A 、B 、C 组成的△ABC 三条角平分线的交点处． [师]你如何发现的？[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．(同学们很吃惊) [师]你是如何找到的？[生]除了刚才同学找到的三角形ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB 、∠ABC 外角的平分线交于点P 1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P 1在∠CAB 的角平分线上，且到l 1、l 2、l 3的距离相等．同理还有∠BAC 、∠BCA 的外角的角平分线的交点P 2；∠BAC 、∠CBA 的外角的角平分线的交点P 3．因此满足条件的点共4个，分别是P 、P 1、P 2、P 3．三、合作竞学 多媒体演示[例1]如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD ＝4cm ，求AC 的长； (2)求证：AB ＝AC ＋CD ．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC ＝CD ＋DB ，CD ＝4cm ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE ＝CD ＝4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB ＝AC ＋CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB ＝AE ＋BE ，所以需证AC ＝AE ，CD ＝BE ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C ＝90°，DE ⊥AB ．∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)． ∵∠C ＝90°， ∴∠B ＝21×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°． ∴BE ＝DE (等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)， ∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC＝AE．∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．[例2]已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：(1)OC＝OD；(2)OP是CD的垂直平分线．证明：(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP＝OP，PC＝PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．(2)又OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？四、课堂小结1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理．生2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题.生3：我进一步熟练了尺规作角的平分线．生4：我学会了类比的思想方法.生5：通过课本p39,第2题和助学p24第7题我学会了归纳总结思想. 五、达标检测1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ；③AD 上的点到B 、C两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有：( )A.1个B.2个C.3个D.4个〖答案〗D2. 已知：如下图，在△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢?〖答案〗证明：过点F 作FG ⊥BC ,FM ⊥AE ,FN ⊥AD 垂足分别为G 、M 、N . ∵FB 、FC 分别为∠CBD 、∠BCE 的角平分线 ∴FG = FN , FG =FM ∴FN =FM∴点F 在∠DAE 的平分线上.六、布置作业1．习题1．9第1，2，3题．2．完成助学p26第1，2题．选作第5题F E DACBM NG F AD EB C七、板书设计§1．4．2 角平分线(二)1．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：(略)解：(略)八、教学反思教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果.1、这节课主要是用类比的教学方法——将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。

角平分线一、内容与分析本节课学习的主要内容是角平分线的性质和判定定理，指的是在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论，其核心是探索证明这两个定理的方法。

在以前学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质。

角平分线定理是几何证明的一个重要定理，其画法也是尺规作图的基础。

教学重点是角平分线性质和判定定理的证明，解决的关键是利用好直角三角形全等的判定方法。

二、目标与分析教学目标：1、理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明。

2、会用尺规作已知角的角平分线。

目标分析：理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明是指在探索的基础上，会使用以前学过的定理找到证明角平分线上点到角两边距离相等的方法，达到复习巩固的作用；会用尺规作出角平分线是尺规作图的基本要求，要求会作出任一个已知角的平分线。

三、问题诊断分析本节课学生可能遇到的主要问题是学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识。

学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。

四、教学过程分析问题1：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?师生活动：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．21EDCPOBA(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．问题2：我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题，你能写出这个定理的逆命题吗?师生活动：我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上。

第3课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解．解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ，∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，那么AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F .∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合如以下列图，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .试说明：CE ＝CF .解析：由△DEC ≌△DFC 得出CD 平分∠EDF ，根据角平分线的性质，得出CE ＝CF .解：∵CD 是∠ACG 的平分线，∴∠ECD ＝∠FCD .在△DEC 和△DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠DFC ＝90°，∠ECD ＝∠FCD ，DC ＝DC ，∴△DEC ≌△DFC (AAS)，∠EDC ＝∠FDC .又∵DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴CE ＝CF .方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：此题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE ≌△DBE ，即AB＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE ⊥AB ，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ；(2)AD 与BE 垂直．理由如下：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE .又∵∠BAE＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE ；(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠DBE ，∵DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴∠BAE ＝∠BDE .在△ABE 和△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (AAS)，∴AB ＝BD ，AE ＝DE .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ＝AE ，即AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.探究点二：角平分线的画法如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .假设∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°.再根据尺规作图得出AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°.又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°.由尺规作图知AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°. 方法总结：通过此题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的作法本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，到达了教学的目的．缺乏之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强稳固和训练第2课时 三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )解析：三角形根据边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形三边相等的三角形〔等边三角形〕应选D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键．探究点二：三角形中三边之间的关系【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，10cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11B ．4＜x ＜7C．－3＜x＜11 D．x＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【类型三】三角形三边关系与绝对值的综合假设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计1．三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。

角平分線
教學目標：
1、進一步發展學生的推理證明意識和能力；
2、能夠證明角平分線的性質定理、判定定理及相關結論
3、能夠利用尺規作已知角的平分線。

教學過程：
定理：角平分線上的點到這個角兩邊
的距離相等。

證明：如圖OC是∠AOB的平分線，
點P在OC上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，
∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）
其逆命題也是真命題。

引導學生自己證明。

定理：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

做一做：用尺規作角的平分線。

已知：∠AOB
求作：射線OC ，使∠AOC=∠BOC
作法：1、在OA 和OB 上分別截取OD 、OE ，使OD=OE
2、分別以D 、E 為圓心，以大於12
DE 的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB 內交於點C 。

3、作射線OC
OC 就是∠AOB 的平分線。

讀一讀：尺規作圖不能問題：
三等分一個任意角，倍立
方——求作一個立方體，使該
立方體的體積等於給定立方體
的兩倍。

化圓為方——求作一個正方形，使其與給定圓的面積相等。

課堂練習：P32，1、2題
作業：P34，1、2、3題。

教學後記：。

北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1章“几何图形变换”中的一个知识点。

本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。

教材通过引入角平分线来让学生进一步理解角的性质，培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，并了解了垂线的性质。

在此基础上，学生需要进一步理解角平分线的概念，并能够运用角平分线解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的概念、性质和运用。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质和运用。

2.难点：角平分线的证明和运用。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现角平分线的性质。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题。

3.实践操作法：学生动手操作，加深对角平分线性质的理解。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.学具：学生每人一份三角板、直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示三角板，引导学生观察角平分线的定义，并用几何画板软件动态展示角平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用三角板、直尺、圆规等工具，自行探索角平分线的性质。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）教师选取几组学生得出的结论，让学生进行分析、判断、验证。

学生通过互相交流，巩固对角平分线性质的理解。

5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。

例如：在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点的距离相等？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固角平分线的性质及运用。

教师： 科目： 学生：上课时间： 授课内容：线段的垂直平分线与角平分线专题知识要点详解：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等。

（2）线段关于它的垂直平分线对称。

（折叠问题）2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部。

反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

（北师大版）初中数学《用尺规作角》说课设计
《尺规作图》说课稿
一、教学内容与地位
所讲的内容是《尺规作图》第二课时，它与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。

二、教学目标
1. 学会用尺规作图作已知角的角平分线和经过一已知点作已知直线的垂线
2. 能用全等方法和类比思想探究画图过程
3.培养作图能力，语言表达能力和逻辑思维能力
三、过程与方法
1.教学过程：先利用三角形的全等引入，然后学生自主探究，教师加
以引导，再进行讲练结合加以巩固，并加以拓展延伸，最后作方法小结。

2.教学方法：引导—探究—类比—归纳
四、教学重点和难点
１．重点：作已知角的角平分线，经过一已知点作已知直线的垂线
２．难点：将几何作图与几何设计综合在一起，解决实际问题的动手作图能力。

五、教学准备
教师准备
预先准备教材、教参
学生准备
教材、同步练习册、作业本、草稿纸、作图工具等
六、教学步骤
教学流程设计
教师指导学生活动
1.引入进入新课. 1.进入学习探究状态.
2.进行引导教学归纳总结. 2.自主练习.
3.总结和指导学生练习. 3.记录相关内容,加强巩固.
教学过程设计
1、复习引入
2、探究新知
3、课时训练
4、小结
5、作业
七、课后反思
本节课基本上能够突出重点、弱化难点，在时间上也能掌控得比较合理，学生也比较积极投入学习中，但是学生好像并不是掌握得很好，在今后的教学中应该再加强关于这方面的学习。