东莞市南开实验学校高一2023春季插班生考试数学模拟试卷及答案

广东省东莞市南开实验学校2014-2015学年高一下学期期初数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．在0到2π范围内，与角终边相同的角是( )A．B．C．D．考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果．解答：解：与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C．点评：本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键2．若sin x•tan x＜0，则角x的终边位于( )A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：根据sinx•tanx＜0判断出sinx与tanx的符号，再由三角函数值的符号判断出角x 的终边所在的象限．解答：解：∵sinx•tanx＜0，∴或，∴角x的终边位于第二、三象限，故选：B．点评：本题考查三角函数值的符号，牢记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键．3．在单位圆上，点P从（0，1）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q 点的坐标为( )A．（﹣，）B．（，﹣）C．（，﹣）D．（﹣，﹣）考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出Q点的坐标．解答：解：在单位圆上，点P从（0，1）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点与x轴正方向的夹角为：=．Q点的坐标为（cos（﹣），sin（﹣）），即（，﹣）．故选：B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．4．已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于( )A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．解答：解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．已知tanθ+=2，则sinθ+cosθ等于( )A．2 B．C．﹣D．±考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先求出tanθ，再求出sinθ=cosθ=±，即可得出结论．解答：解：∵tanθ+=2，∴tanθ=1，∴sinθ=cosθ=±，∴sinθ+cosθ=．故选：D．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，比较基础．6．sin 20°sin 50°+cos 20°sin 40°的值等于( )A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简所给的式子为sin60°，从而求得结果．解答：解：sin 20°sin 50°+cos 20°sin 40°=sin 20°cos40°+cos 20°sin40°=sin=sin60°=，故选：B．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．7．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式( )A．y=﹣4sin（x﹣） B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的解析式可得A=4，==6+2，可得ω=．再根据sin[（﹣2）×+φ]=0，可得（﹣2）×+φ=kπ，k∈z，再结合|φ|＜，∴φ=，∴y=﹣4sin（x+），故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．8．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是( )A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间．解答：解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D．点评：本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z．9．将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A．4 B．6 C．8 D．12考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由题意将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出ω与k，的关系，然后判断选项．解答：解：因为将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k•=（k∈Z），解得ω=4k（k∈Z），A，C，D正确．故选B．点评：本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键．10．设函数，对任意x∈R都有=，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值为( )A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意知，x=为f（x）=cos（ωx+φ）的一条对称轴，从而得ω+φ=kπ（k∈Z），从而可求得g（）．解答：解：∵f（x）=cos（ωx+φ），对任意x∈R都有f（﹣x）=f（+x），∴x=是f（x）=cos（ωx+φ）的一条对称轴，∴ω+φ=kπ（k∈Z），∴g（）=3sin（×ω+φ）﹣2=3sinkπ﹣2=﹣2．故选：C．点评：本题考查余弦函数的对称性，求得ω+φ=kπ（k∈Z）是关键，考查推理、运算能力，属于中档题．二、填空题11．sin2010°的值是．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先利用诱导公式把sin2010°整理成sin（360°×6﹣150°），进而利用150°的正弦求得答案．解答：解：sin2010°=sin（360°×6﹣150°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣故答案为﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值．属基础题．12．的值是1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把45°拆成60°﹣15°，然后利用两角差的正切求得答案．解答：解：∵tan45°=tan（60°﹣15°）=．∴=．故答案为：1．点评：本题考查两角差的正切，考查数学转化思想方法，是基础题．13．函数在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是8．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据函数的解析式求得函数的最小正周期，进而依据题意可推断出在区间上至少有个周期．进而求得n≥6×，求得n的最小值．解答：解：周期T==6在区间[0，n]上至少取得2个最大值，说明在区间上至少有个周期．6×=所以，n≥∴正整数n的最小值是8故答案为8点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了考生对三角函数周期性的理解和灵活利用．14．设ω＞0，若函数f（x）=2sinωx在[﹣]上单调递增，则ω的取值范围是．考点：正弦函数的单调性．专题：数形结合．分析：由三角函数的图象：知在[﹣，0]上是单调增函数，结合题意得，从而求出ω的取值范围．解答：解：由三角函数f（x）=2sinωx的图象：知在[﹣，0]上是单调增函数，结合题意得，从而，即为ω的取值范围．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的单调性，本题巧妙地运用了正弦函数的单调性，给出了简捷的计算，解题时应注意把数形结合思想的灵活应用．三．解答题15．已知tan α=2，求下列代数式的值．（1）；（2）sin2α+sin αcos α+cos2α．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．（2）把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切tanα的式子，从而求得它的值．解答：解：（1）==．（2）sin2α+sin αcosα+cos2α===．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．16．已知，（1）化简f（α）；（2）若，且，求cosα﹣sinα的值（3）若，求f（α）的值．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）f（α）利用诱导公式化简，计算即可得到结果；（2）根据f（α）=求出sin2α的值，由α的范围，确定出cosα﹣sinα大于0，所求式子平方后利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，把sin2α的值代入开方即可求出值；（3）将α的度数代入f（α）中计算即可求出值．解答：解：（1）f（α）==sinαcosα=sin2α；（2）∵f（α）=sinαcosα=sin2α=，∴sin2α=，∵＜α＜，∴cosα﹣sinα＜0，∴（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，则cosα﹣sinα=﹣；（3）∵α=﹣，∴f（﹣）=sin（﹣）=sin（﹣20π﹣）=﹣sin=﹣．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．17．已知0＜α＜＜β＜π，tan=，cos（β﹣α）=．（1）求sinα的值；（2）求β的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）由二倍角的正切可得tanα===，再由即可求得sinα的值；（2）由（1）知cosα==，又0＜α＜＜β＜π，β﹣α∈（0，π），而cos（β﹣α）=，可求得sin（β﹣α）的值，利用两角和的正弦sinβ=sin[α+（β﹣α）]即可求得答案．解答：解：（1）∵tan=，∴tanα===，由解得sinα=（sinα=﹣舍去）；（2）由（1）知cosα==，又0＜α＜＜β＜π，∴β﹣α∈（0，π），而cos（β﹣α）=，∴sin（β﹣α）===，于是sinβ=sin[α+（β﹣α）]=sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）=×+×=．又β∈（，π），∴β=．点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力．（2）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到y=Asin（ωx+φ）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx，∴f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+由于ω＞0，依题意得，所以ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=f（2x）=sin（4x+）+∵0≤x≤时，≤4x+≤，∴≤sin（4x+）≤1，∴1≤g（x）≤，g（x）在此区间内的最小值为1．点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出．19．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；整体思想．分析：（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；（II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．解答：解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（+2x）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）+1．∴周期T=π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，所以f（x）的值域为[2，3]，而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]点评：本题主要考查三角函数中恒等变换应用以及整体代入思想的应用．在求三角函数的单调性时，一般都用整体代入思想，比如本题中令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ．20．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）当﹣4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积；（3）写出（﹣∞，+∞）内函数f（x）的单调区间．考点：奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用f（x+2）=﹣f（x）得f（x）是以4为周期的周期函数，从而可求f（π）的值；（2）当﹣4≤x≤4时，确定函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，可得f（x）的图象，从而可求图象与x轴所围成图形的面积；（3）根据周期性，结合函数的通项，即可得到函数f（x）的单调区间．解答：解：（1）由f（x+2）=﹣f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，∴f（π）=f（﹣1×4+π）=f（π﹣4）=﹣f（4﹣π）=﹣（4﹣π）=π﹣4．（2）由f（x）是奇函数与f（x+2）=﹣f（x），得：f[（x﹣1）+2]=﹣f（x﹣1）=f[﹣（x ﹣1）]，即f（1+x）=f（1﹣x）．故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．又0≤x≤1时，f（x）=x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．当﹣4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=4S△OAB=4×=4．（3）函数f（x）的单调递增区间为[4k﹣1，4k+1]（k∈Z），单调递减区间[4k+1，4k+3]（k∈Z）点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

广东省东莞市南开实验学校2012-2013学年高一数学上学期期初试题新人教A 版考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）1.已知集合U ＝{1,3, 5,7,9},A={1,5,7},则U C A ＝ ( ） A ．{1,3} B ．{3, 7, 9} C ．{3, 5,9} D ．{3,9}2．已知{(,)|1},{(,)|1}M x y y x N x y y x ==+==-+，则集合M N I 为（ ）A ．0,1x y ==B ．(0,1)C ．{}0,1D ．{}(0,1)3.如果集合{|3}A x x =≤，31a =-，那么A ．a A ∉B ．{}a AC ．{}a A ∈D ． a A ⊆4．若 g (x)＝, x 21- )x ( xx )]x (g [f 0122≠-=, 则)(f 21的值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 15 D. 30 5．式子 3344)2()2(-+- 的值等于A. 0B. -4C. 2D. 4 6．函数xxx x f +-+=1)1()(0的定义域为 ( ) A.{}1|-≤x x B.{}1|-≥x x C. {}0,1|≠-≥x x x 且 D.{}0,1|≠->x x x 且7.已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x的解析式是（ ）（A ）()(2)f x x x =-+ （B ）()(2)f x x x =- （C ）()(2)f x x x =-- （D ）()(2)f x x x =+8. 下面的图象表示函数y=f(x)的只可能是y y y yo x o x o x o xA. B. C. D. 9. 定义运算()()a ab a b b b a ≤⎧*=⎨<⎩，如121*=，则函数()22x xf x -=*的值域A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．[1,)+∞D ．(0,1]10.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+->)1(2)24()1(x x ax a x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A.),1(+∞ B.[4,8） C.（4,8） D.(1,8) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11．{}{B A x x B x x A ⋂>=<<=则,1},20=12．比较大小（填写“＞”或“＜”）：1.70.30.83.513.已知奇函数()y f x =在定义域[]2,2-上是减函数，且(1)(12)0f a f a -+-<，则 a 的取值范围是14．若R x x ∈21,，21x x ≠，则下列性质对函数xx f 2)(=成立的是 （把满足条件的序号全部写在横线上）①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③ 0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ； ④)2(2)()(2121x x f x f x f +>+． 三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 15．（本题13分）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ，求实数a 的值16.（本题13分） 已知11224aa-+=，其中a ＞0.（1） 求 1a a -+的值；（2）1a a -+的值恰是关于x 的方程290x x m -+= 的两根之积，求函数f (x )=29x x m -+的最小值。

广东省东莞市南开实验学校2014-2015学年高一下学期期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．计算：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．3．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为（）A．2kπ+β （k∈Z）B．2kπ﹣β （k∈Z）C．kπ+β （k∈Z）D．kπ﹣β （k∈Z）4．下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（）A．（0，π）B．（﹣，0）C．（，2π）D．（﹣π，﹣）5．下列关系式中正确的是（）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°6．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣7．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z9．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在处取得最小值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称10．化简：sin（π﹣α）+cos（π﹣α）（n∈Z）值（）A．2sinаB．2cosаC．0 D．﹣2sinа二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知扇形的半径为为1cm，对应的弧长为2cm，则扇形的圆心角的弧度数是．12．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是．①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为π的偶函数；③最小正周期为的奇函数；④最小正周期为的偶函数．13．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=．14．函数的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15．已知α是第一象限的角，且，求的值．16．已知角α终边上一点P（﹣，y）且sinα=y，求cosα，tanα的值．17．已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β﹣）=，sin（α+β）=．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．18．已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．设函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）在区间上的单调递增区间；（2）求在[0，10π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．广东省东莞市南开实验学校2014-2015学年高一下学期期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．计算：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角差的正弦公式，把要求的式子化为sin（43°﹣13°）=sin30°，从而求得结果．解答：解：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，故选D．点评：本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．3．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为（）A．2kπ+β （k∈Z）B．2kπ﹣β （k∈Z）C．kπ+β （k∈Z）D．kπ﹣β （k∈Z）考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两个角的终边关于x轴对称的性质可得α+β=2kπ，k∈Z，由此得出结论．解答：解：若角α和角β的终边关于x轴对称，则α+β=2kπ，k∈Z，即α=2kπ﹣β （k∈Z），故选：B．点评：本题主要考查两个角的终边关于x轴对称的性质，属于基础题．4．下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（）A．（0，π）B．（﹣，0）C．（，2π）D．（﹣π，﹣）考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间．解答：解：结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间为（kπ，kπ+），k∈z．结合所给的选项，故选：D．点评：本题主要考查余弦函数的图象特征，属于基础题．5．下列关系式中正确的是（）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据诱导公式得到s in168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．解答：解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．故选：C．点评：本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．6．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果解答：解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选 C点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题7．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．8．已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．分析：先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．解答：解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．点评：本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．9．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在处取得最小值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先对函数f（x）运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期，根据正弦函数的最值和取得最值时的x的值可求出函数的解析式，进而得到答案．解答：解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R），∴的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．点评：本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性．对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本．10．化简：sin（π﹣α）+cos（π﹣α）（n∈Z）值（）A．2sinаB．2cosаC．0 D．﹣2sinа考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简三角函数式，分类讨论求得它的结果．解答：解：sin（π﹣α）+cos（π﹣α）=sin（nπ﹣﹣α）+cos（nπ+﹣α），当n为偶数时，sin（nπ﹣﹣α）+cos（nπ+﹣α）=sin（﹣﹣α）+cos（﹣α）=﹣sin（+α）+cos（﹣α）=0，当n为奇数时，sin（nπ﹣﹣α）+cos（nπ+﹣α）=sin（+α）﹣cos（﹣α）=0，故选：C．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知扇形的半径为为1cm，对应的弧长为2cm，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：利用弧长公式即可得出．解答：解：由弧长公式可得α===2，故答案为：2．点评：本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．12．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是①．①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为π的偶函数；③最小正周期为的奇函数；④最小正周期为的偶函数．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性得出结论．解答：解：函数y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，故函数是最小正周期为π的奇函数，故答案为：①．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．13．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合．分析：根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．解答：解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．14．函数的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．解答：解：=cosxcos（﹣x）=sin（+2x）+≤故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练记忆．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15．已知α是第一象限的角，且，求的值．考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；综合题．分析：利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sinα，代入求值即可．解答：解：=由已知可得sin，∴原式=．点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题．16．已知角α终边上一点P（﹣，y）且sinα=y，求cosα，tanα的值．考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：求出|OP|利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，结合已知条件求出y的值，然后求出cosα，tanα．解答：解：|OP|==…∴sinα==y…∴y=0或y=±…①y=0时，cosα=﹣1，tanα=0…②y=时，cosα=﹣，tanα=﹣…．③y=﹣时，cosα=﹣，tanα=…．点评：本题是中档题，考查任意角的三角函数的定义，待定系数法的应用，分类讨论思想的应用，常考题型．17．已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β﹣）=，sin（α+β）=．（1）求sin2β的值；（2）求cos（α+）的值．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）法一：直接利用两角差的余弦函数展开，再用方程两边平方，求sin2β的值；法二：利用sin2β=cos（﹣2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；（2）通过题意求出sin（β﹣）=，cos（α+β）=﹣，根据cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]，展开代入数据，即可求cos（α+）的值．解答：解：（1）法一：∵cos（β﹣）=cos cosβ+sin sinβ=cosβ+sinβ=．∴cosβ+sinβ=．∴1+sin2β=，∴sin2β=﹣．法二：sin2β=cos（﹣2β）=2cos2（β﹣）﹣1=﹣．（2）∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β﹣＜，＜α+β＜．∴sin（β﹣）＞0，cos（α+β）＜0．∵cos（β﹣）=，sin（α+β）=，∴sin（β﹣）=，cos（α+β）=﹣．∴cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）=﹣×+×=．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，角的变换技巧在三角函数化简求值中应用比较普遍，不仅体现一个人的解题能力，同时体现数学素养的高低，可以说是智慧与能力的展现题目．18．已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：（1）分别令取0，，π，，2π，并求出对应的（x，d（x））点，描点后即可得到函数在一个周期内的图象（2）根据函数的解析式中A=3，ω=，φ=，然后根据正弦型函数的性质，即可求出f（x）的周期、振幅、初相、对称轴；（3）根据正弦型函数的平移变换，周期变换及振幅变换的法则，根据函数的解析式，易得到函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到的．解答：解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0 π2π0 0 0画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．点评：本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中正弦型函数的图象的画法，性质是三角函数的重点内容之一，一定要熟练掌握．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．20．设函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）在区间上的单调递增区间；（2）求在[0，10π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象和性质即可求在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．解答：解：（1）∵f（x）=cos2x+sinxcosx﹣=（1+cos2x）+sin2x﹣=sin （2x+）．∴最小正周期T=，∴由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z可解得单调递增区间为：[k，kπ]，k∈Z（2）（2）f（x）=1即sin（2x+）=1，则2x+=2kπ+于是x=kπ+（k∈Z）∵0≤x＜10π，∴k=0，1，2， (9)∴在[0，10π）内使f（x）取到最大值的所有x的和为45π+．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练三角函数的单调性，周期，以及最值的应用，属于中档题．。

广东省东莞市南开实验学校2024届高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,D 的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法正确的是A ．A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B+C 与D 不是互斥事件，但是对立事件C ．A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．B+C+D 与A 是互斥事件，也是对立事件2．已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A ．1B ．5C ．7D ．253．已知,0c d a b <>>，下列不等式中必成立的一个是( ) A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ad bc <D ．a b c d> 4．下列关于函数()sin 1f x x =+（[0,2]x π）的叙述，正确的是（ ） A ．在[0,]π上单调递增，在[,2]ππ上单调递减 B ．值域为[2,2]-C ．图像关于点(,0)()k k Z π∈中心对称D ．不等式3()2f x >的解集为15|66x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()2ee cos ()xx x f x x--=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（ ）A ．中位数为14B ．众数为13C ．平均数为15D ．方差为197．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．148．函数()cos()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),Z 44k k k ππ-+∈ B ．13(2,2),Z 44k k k ππ-+∈C ．13(,),Z 44k k k -+∈D ．13(2,2),Z 44k k k -+∈9．如图，ABC 中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =（ ）A ．1122AB AC + B ．1233AB AC + C ．1133AB AC +D ．2133AB AC +10．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

广东省东莞中学2023-2024学年高一上学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．函数()r f p=的图象如图所示（图中曲线l与直线m无限接近，但永不相交），则下列选项正确的有（）(1)求证：A BÍ；(2)设()2=++，若{}f x x ax bA=-，求集合B．1,3若{}0,1,2A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,共4个结果；若{}1,2,3A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,0,1,2,4,1,2,0,4,共4个结果；若{}1,2,4A =,此时集合B 可以为{}{}{}{}1,2,1,2,0,1,2,3,1,2,0,3,共4个结果；若{}0,1,2,3A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,4,共2个结果；若{}0,1,2,4A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,3,共2个结果；若{}1,2,3,4A =,此时集合B 可以为{}{}1,2,1,2,0,共2个结果；若{}0,1,2,3,4A =,此时集合B 可以为{}1,2共1个结果；所以共有8444222127+++++++=个结果，故选:C.9．AC【分析】利用函数图象求值域求解选项A ；利用函数图象与定义域的关系求解选项B ；根据图象，数形结合求解选项C ；利用函数图象以及数形结合思想求解选项D.【详解】对A ，由图象可知，函数()r f p =的值域为[)0,¥+，A 正确；对B ，由图象可知，函数()r f p =的定义域为[][)5,02,6-È，B 错误；对C ，由图象可知，对[]2,5r "Î，都有两个不同的p 值与之对应，C 正确；对D ，由图象可知，当函数y k =（k 为常数）与函数()r f p =的图象只有一个交点时，k 的取值范围为[)()0,25,È+¥，D 错误；故选:AC.10．BD【分析】利用函数的定义判断.。

2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A ＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（ ） A ．{0}∈AB ．0∉AC ．{0，﹣1，1，2}⊆AD ．∅⊆A2．命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0 B ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0 C ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0D ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥03．已知x ∈R ，则“x ＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =lg(2−x)1x+1的定义域为（ ） A ．（﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2） D ．[﹣1，2）5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．126．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．下列可能是函数y =x 2−1e|x|的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥1010．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ） A ．−1a＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为012．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．不等式﹣x 2+2x +8＞0的解集是 ．14．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜﹣2或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 ． 16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b）．①若f（x）＝x2﹣2x+2，则d（1，2）＝；②若f(x)=x+mx，且d（1，2）≠|f（2）﹣f（1）|，则实数m的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log12(x+4)+m．（1）求m的值并求出f（x）在R上的解析式；（2）若f（a）＞1，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a2+6a+9）x+a+1．（1）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜n}，求1m +1n的最小值；（2）设关于x的不等式f（x）＜0在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？22．（12分）已知函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f（x）＜m2﹣2am+2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（）A．{0}∈A B．0∉AC．{0，﹣1，1，2}⊆A D．∅⊆A解：{0}⊂A而不是{0}∈A，故A不正确；由0∈A，可知B不正确；集合{0，﹣1，1，2}中含有元素﹣1，它不在A中，故{0，﹣1，1，2}⊈A，C不正确；空集是任何集合的子集，故∅⊆A，D正确．故选：D．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0，故选：B．3．已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．函数y=lg(2−x)1√x+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）解：由{2−x＞0x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．∴函数y=lg(2−x)+1x+1的定义域为（﹣1，2）．故选：C．5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．12解：∵函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，∴f （9）＝f （0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B ．6．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：∵b =(13)−0.8=30.8＞30.7＞30＝1， ∴b ＞a ＞1，∵log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：D ． 7．下列可能是函数y =x 2−1e |x|的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数定义域为R ，排除选项AB ，当x ＞1时，y ＞0，排除选项D ， 故选：C ． 8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）解：因为函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则函数f （x ）在R 上是单调递减函数，则一定有{1−3a ＜00＜a ＜1(1−3a)×2+a +1≥2a 2，解得{a ＞130＜a ＜1−3≤a ≤12，即13＜a ≤12，所以实数a 的范围为（13，12]， 故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥10解：不等式a +b ≥2√ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式a +1a ≤2成立，故B 正确； 若a ，b ∈（0，+∞），则ba+a b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 正确；由于2x+1y=(2x+1y)(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时取等号，故D 不正确． 故选：BC ．10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ）A ．−1a ＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc解：在a ＞b 两边同除以负数﹣ab 得−1b＜−1a，即−1a＞−1b，与A 项矛盾． 由c ＜d ＜0，c 2﹣cd ＝c （c ﹣d ）＞0，得c 2＞cd ，与B 项矛盾． 由a +c ﹣（b +d ）＝（a ﹣b ）+（c ﹣d ），a ﹣b ＞0，c ﹣d ＜0， 故（a ﹣b ）+（c ﹣d ）不一定小于0，故C 不正确．由c ＜d ＜0得﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得﹣ac ＞﹣bd ， 两边同除以负数﹣cd ，可得ad＜bc ，故D 正确．故选：ABC ．11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为0解：令g （x ）＞f （x ），即（x +1）2＞（x +1），解得x ＜﹣1或x ＞0， 所以可知M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={(x +1)2，x ＜−1或x ＞0x +1，−1≤x ≤0，作出M （x ）的图象，如图所示：所以M （2）＝（2+1）2＝9，故A 错误；当∀x ≥1时，M （x ）＝（x +1）2≥（1+1）2＝4，故B 正确；由M （x ）＝（x +1）2（x ＜﹣1或x ＞0）可知，函数无最大值，故C 错误； 当x ＜﹣1或x ＞0时，M （x ）＞0，当﹣1≤x ≤0时，1≥M （x ）≥0， 所以M （x ）最小值为0，故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0解：当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，且f （x ）在[2，3]递减，由偶函数的图象关于y 轴对称，可得f （x ）在（﹣3，﹣2）单调递增，选项A 错误； 函数f （x ）是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），所以f（﹣x）＝﹣f（x+2），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由f（﹣4+x）＝f（x），可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，选项C正确；当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣|x﹣2|＝3﹣x，由f（x）为偶函数．可得x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝x+3，x∈[1，2]时，x﹣4∈（﹣3，﹣2），则f（x﹣4）＝x﹣1，所以x∈[1，2]时，f（x）＝x﹣1；由于f（x）的图象关于（1，0），可得f（1）＝0，f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，所以x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣1；由f（x）的图象关于y轴对称，可得x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x﹣1．则f（x）在一个周期内的最小值为﹣1，最大值为1，选项B正确；所以当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）＝f（x+4）＝x+3∈（﹣1，0），选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式﹣x2+2x+8＞0的解集是{x|﹣2＜x＜4}解：不等式﹣x2+2x+8＞0等价于x2﹣2x﹣8＜0由于方程x2﹣2x﹣8＝0的解为：x＝﹣2或x＝4所以﹣2＜x＜4故答案为：{x|﹣2＜x＜4}14．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁U M），因为M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则N∩（∁U M）＝{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 （0，12） ．解：根据题意，奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0，则f （1﹣x ）＜﹣f （1﹣3x ），变形可得f （1﹣x ）＜f （3x ﹣1）． 又函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，所以{−1＜1−x ＜1−1＜3x −1＜11−x ＞3x −1，解得0＜x ＜12，故所求不等式的解集为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b ）．①若f （x ）＝x 2﹣2x +2，则d （1，2）＝ 1 ；②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，则实数m 的取值范围是 （1，4） ． 解：①f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴为x ＝1， 可得f （x ）在[1，2]递增， 可得f （x ）的最大值为f （2）＝2， 最小值为f （1）＝1， 可得d （1，2）＝2﹣1＝1； ②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|， 可得f （x ）不为单调函数，若m ＝0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＜0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＞0时，由于f （x ）在x =√m 处取得极值， 则1＜√m ＜2，可得1＜m ＜4， 即m 的范围是（1，4）． 故答案为：1，（1，4）．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}．（1）若m ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∵m ＝2，∴B ＝{x |1＜x ＜5}，可得A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅，即m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时满足题意；当B ≠∅，即m ＞﹣2时，{m −1≥−32m +1≤2，即−2＜m ≤12． 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤12}=（﹣∞，12]． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1为偶函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增． 解：（1）由已知可得m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝1或2，又函数为偶函数，则m ＝1，则f （x ）＝x 2；（2）g （x ）=f(x)+1x =x +1x， 证明：设任意1＜x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2）， 因为1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞1，所以1−1x 1x 2＞0， 则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 12(x +4)+m ．（1）求m 的值并求出f （x ）在R 上的解析式；（2）若f （a ）＞1，求a 的取值范围．解：（1）由题可知f （0）＝﹣2+m ＝0，即m ＝2，即有当x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，经检验符合题意，则x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝lo g 12（﹣x +4）+2，又f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣lo g 12（﹣x +4）﹣2，x ＜0，故f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={log 12(x +4)+2，x ≥0−log 12(−x +4)−2，x ＜0． （2）由函数性质可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则f （x ）在R 上单调递减，又因为f(−4)=−log 128−2=1，所以f （a ）＞1，即f （a ）＞f （﹣4），所以当a ＜﹣4时，f （a ）＞1，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1．（1）若a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，求1m +1n 的最小值； （2）设关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，求a 的取值范围．解：（1）因为a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，所以x ＝m 和x ＝n 是方程x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1＝0的两根，所以m +n ＝a 2+6a +9，mn ＝a +1．所以1m +1n =m+n mn =a 2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a +1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a ＝1时等号成立，所以1m +1n 的最小值为8． （2）因为关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)＜0f(1)＜0，所以{a +1＜01−(a 2+6a +9)+a +1＜0，解得a ＜﹣1， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为y x=x 2+3200x +40，x ∈[70，100]， 又x 2+3200x+40≥2√x 2⋅3200x +40=120， 当且仅当x 2=3200x ，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为120＞110，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，则y 1=110x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+70x −900=−12(x −70)2+1550，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为1550元；若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，则y 2=110x +30x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+100x −3200=−12(x −100)2+1800，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝100吨时，企业获得最大利润，为1800元；综上：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润1550元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，可以获得最大利润1800元；所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．22．（12分）已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣2．（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：由题意函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），令y ＝x ＝0，可得f （0）＝0，领y ﹣x ，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．（2）由f （x ）＝f [（x ﹣y ）+y ]＝f （x ﹣y ）+f （y ），∴f （x ）﹣f （y ）＝f （x ﹣y ），设x ＞y ，那么x ﹣y ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x ﹣y ）＜0，即f （x ）﹣f （y ）＜0，∴f （x ）＜f （y ），可得f （x ）是单调递减函数；可得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）；∵f （1）＝﹣2，∴f （﹣1）＝2，那么f （﹣3）＝f （﹣2﹣1）＝f （﹣2）+f （﹣1）＝3f （﹣1）＝6，故得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）＝6；（3）根据（2）可得f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （﹣1）＝2；那么f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，即m 2﹣2am +2＞2 可得m 2﹣2am ＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，令g （a ）＝﹣2am +m 2＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，可得{g(−1)＞0g(1)＞0，解得m ＞2或m ＜﹣2， 故得实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。

广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题一．选择题（每小题5分，共10小题，共50分）1.已知集合}4,3,2,1{=M ，={-2,2}N ，下列结论成立的是（ ）A ．M N⊆ B ．M N M =Y C ．N N M =I D ．}2{=N MI2.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A.4B.14C. - 4 D -143.在下列区间中，函数()2x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A （-2,-1）B （-1,0）C （0,1）D （1,2） 4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A.3 B. 23 C. 33 D. 435. 已知a ∥平面α，b ⊂α，那么a ，b 的位置关系是（ ）A a ∥bB a ，b 异面C a ∥b 或a ，b 异面D a ∥b 或a ⊥b6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）A ．32B ．16+162C ．48D ．16+3227.函数13y x=的图像是 （ ）8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A(3)(2)(1)f f f <-< B (1)(2)(3)f f f <-<C(2)(1)(3)f f f -<< D (3)(1)(2)f f f <<-9.设131log 2a=，13log 2b =，1312c -=（）则,,a b c 的大小关系是A ．ab c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<10.若一个圆柱及一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（ ）A.3：2：1；B.2：3：1；C. 3：1：2；D.不能确定。

第 1 页 共 10 页 东莞市南开实验学校高一2021春季插班生考试数学模拟试卷解析版一．单项选择题（共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．已知集合A ＝{（x ，y ）|2x ﹣y ＝0}，B ＝{（x ，y ）|3x +y ＝0}，则集合A ∩B 的子集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4解：∵集合A ＝{（x ，y ）|2x ﹣y ＝0}，B ＝{（x ，y ）|3x +y ＝0}，∴集合A ∩B ＝{（x ，y ）|{2x −y =03x +y =0}＝{（0，0）}． ∴集合A ∩B 的子集个数为2．故选：C ．2．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，则下列结论正确的是（ ） A ．y ＝f （x ）的定义域为[0，+∞）B ．y ＝f （x ）在其定义域上为减函数C ．y ＝f （x ）是偶函数D ．y ＝f （x ）是奇函数解：设幂函数f （x ）＝x α，∵幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，∴2α=√22，α=−12，∴f(x)=x −12=1√x ， ∴y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A 错误，选项B 正确，∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C ，D 错误， 故选：B ．3．命题p ：三角形是等边三角形；命题q ：三角形是等腰三角形．则p 是q （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．。

2023-2024学年广东省东莞市高一下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{|122,R}x A x x =-<<∈，集合2{|1log 2,R}B x x x =-<<∈，则集合A B = （）A ．{|01}x x <<B ．{|1}<x xC ．1{|1}2x x <<D ．{|4}x x <【正确答案】C【分析】化简集合，再利用交集的定义运算即可.【详解】因为{|122,R}{|1}x A x x x x =-<<∈=<，21{|1log 2,R}{|4}2B x x x x x =-<<∈=<<，所以A B = 1{|1}2x x <<.故选：C.2．设21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）A ．122e e - 和2124e e - B ．122e e - 和1e C ．12e e + 和122e e -D ．12e e + 和212e e + 【正确答案】A【分析】能作为平面的一个基底的两个向量必不共线，因此只需要判断选项中向量是否共线即可.【详解】对于A ，因为()21122422e e e e -=-- ，所以122e e - 和2124e e - 共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A 正确；对于B ，假设122e e - 和1e共线，则()1212R e e e μμ-=∈ ，故()1212e e μ-= ，所以21,e e共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则122e e - 和1e能作为平面内的一组基底，故B 错误；对于C ，假设12e e + 和122e e -共线，则()()12121222R e e e e e e λλλλ+=-=-∈ ，即()()21121e e λλ+=- ，由于12λ+与1λ-不能同时为0，所以21,e e共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则12e e + 和122e e -能作为平面内的一组基底，故C 错误；对于D ，假设12e e + 和212e e +共线，则()()222111R 2e e e k k e e ke k +==++∈ ，即()()1221k e k e -=- ，由于2k -与1k -不能同时为0，所以21,e e共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则12e e + 和212e e +能作为平面内的一组基底，故D 错误.故选：A.3．设命题121,: 1.x p x >⎧⎨>⎩命题12122,: 1.x x q x x +>⎧⎨>⎩则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】判断p ，q 间关系可得答案.【详解】当1211x x >⎧⎨>⎩，则121221x x x x +>⎧⎨>⎩，故p 是q 的充分条件；当121221x x x x +>⎧⎨>⎩，则可令1250.3x x =⎧⎨=⎩，不能得到1211x x >⎧⎨>⎩，则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选：A4．已知角α终边在第四象限,且2sin 21cos 2αα+=,则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭α（）A ．13-B ．12-C ．3D ．2【正确答案】C【分析】根据角α终边在第四象限,判断sin ,cos αα的正负,根据2sin 21cos 2αα+=化简,求出tan α的值,将πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭展开,代入即可.【详解】解:由题知,角α终边在第四象限,所以sin 0,cos 0αα<>,因为2sin 21cos 2αα+=,即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-,化简可得:22sin cos sin 0ααα+=,即tan 2α=-,所以πtan 1tan 341tan ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭.故选:C5．△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1a =，12b =，cos 2A =，则sin C =（）A ．14B ．8C ．34D ．8【正确答案】D【分析】先由正弦定理求得sin B ，进而求得cos B ，再由()sin sin C A B =+结合和角公式求解即可.【详解】由cos A =()0,A π∈知6A π=，1sin 2A =，由正弦定理得sin sin a b A B =，解得1sin 4B =，又b a <，则0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 4B =，则()()8s in sin sin C A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦.故选：D.6．函数()()33cos()x xf x x -=--在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由于()()()33cos()33cos x x x xf x x x --=--=-，x ∈R ,则()()()33cos 33cos()()x x x xf x x x f x ---=-=---=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，而A,B 中图象不是关于原点对称，故A,B 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，33,cos()cos 0x x x x ->-=>，∴()0f x >，则当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，故C 错误，只有D 中图象符合题意，故选：D ．7．已知5log 2a =，sin 55b =︒，0.60.5c =，则（）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c>>【正确答案】C【分析】根据对数函数的性质、指数函数及正弦函数的性质比较即可.【详解】5510log 2log 2a <=<=，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 45sin 551b =︒<=︒<，即,12b ⎫∈⎪⎪⎝⎭，110.620.611110.522222c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即122c ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故b c a >>.故选:C.8．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，对任意的实数x 都有()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且()11f -=，()02f =-，则()()()()1232024f f f f ++++ 的值为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】先利用题给条件求得函数()y f x =的周期，进而化简()()()()1232024f f f f ++++ 为()()()()()67412312f f f f f ++++⎡⎤⎣⎦，再分别求得()()()1,2,3f f f 的值即可求得该式的值.【详解】对函数()y f x =任意的实数x 都有()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()()3333222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则函数()y f x =的周期为3，则()()()()()()()()()123202467412312f f f f f f f f f ++++=++++⎡⎤⎣⎦ 定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则()32f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又()11f -=，()02f =-，则()()()22311f f f =-=-=，()()()33302f f f =-==-，()()()()3111311322122222f f f f ff f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-=--+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦则()()12112f f +=+=，()()()1231120f f f ++=+-=则()()()()()67412312674022f f f f f ++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦则()()()()12320242f f f f ++++= 故选：A 二、多选题9．对于ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形D ．若8a =，10c =，60B =︒，则符合条件的ABC 有两个【正确答案】AC【分析】对于A ，利用三角形中大边对大角及正弦定理即可判断；对于B ，由sin 2sin 2A B =，得到22A B =或22A B π=-，进而得解；对于C ，利用正弦定理和余弦定理即可判断；对于D ，利用余弦定理，即可得解.【详解】对于A ，若A B >，则a b >，由正弦定理2sin sin a bR A B==，得2sin a R A =，2sin b R B =，所以2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π=-，若22A B =，则ABC 为等腰三角形；若22A B π=-，则2A B π+=，则ABC 为直角三角形，故B 不正确；对于C ，由222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理可得222a b c +<，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故C 正确；对于D ，8a =，10c =，60B =︒，222cos 2a c b B ac+-=，即222810cos 602810b +-︒=⨯⨯，解得b =，只有一个解，故D 不正确.故选：AC.本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用及三角形形状的判断，考查学生的运算求解能力，属于中档题.10．记函数()()sin 2f x x ϕ=+，x ∈R ，其中π2ϕ≤．若π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数【正确答案】BD【分析】由对称性得到π2x =为对称轴，故π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解析式得到π2ϕ=-或π2，求出函数解析式()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分两种情况计算出3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，及判断π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.【详解】A 选项，因为π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ5662πx =+=为()f x 的对称轴，故ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 选项，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z 2k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ≤，所以ππππ222k -≤-+≤，解得：01k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =或1，当0k =时，π2ϕ=-，当1k =时，π2ϕ=，故()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛，此时不满足1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭，不满足1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，C 错误；D 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x -=-，为奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x --=，即()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，D 正确.故选：BD11．若3333log log x yx y ---<-，则（）A ．x y<B ．e 1x y ->C ．()ln 10x y -+>D ．11y yx x+<+【正确答案】BC【分析】构造函数33log ()xx f x --=，由其单调性得出0x y >>，可判断A ，进而由指数和对数函数的单调性判断B 、C ，再结合不等式性质判断选项D.【详解】不等式3333log log x yx y ---<-可化为333log 3log x y x y ---<-，构造函数33log ()xx f x --=，由函数单调性法则易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减.由()()f x f y <可知，0x y >>，故选项A 错误；因为0x y ->，所以0e e 1x y ->=，()ln 1ln10x y -+>=，故选项B 、C 正确；11(1)y y x y x x x x +--=++，因为0x y >>，所以0(1)x y x x ->+，所以11y yx x+>+，故选项D 错误.故选：BC12．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ斜坐标系，若12OM xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OM 的斜坐标，记为(),OM x y = .在π4θ=的斜坐标系中，122a ⎛= ⎝⎭，)1b =- .则下列结论中，错误．．的是（）A．1122a b ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1a =C ．a b⊥D ．b 在a上的投影向量为3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对于A项，根据题意写出1212a e =，12b e =- 然后根据向量的减法运算即可；对于B项，根据a == C项，验证)121212a b e e ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭是否为零；对于D 项，b 在a上的投影向量为2a b a a⋅⋅求解.【详解】由题意得：1212a e =，12b e - ，对于A项，)12121211122a b e e e e ⎫⎛-=--=+⎪ ⎪⎝⎝⎭，由题意得：112a b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ，故A 正确；对于B项，1212a e =，1a ∴=====≠ ，故B 不正确；对于C项，)2212121122131πcos 022********a b e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+-⋅-=+-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 项不正确；对于D 项，b 在a 上的投影向量为：2a b a a b a aa a⋅⋅⋅=⋅，又214a a ==+，2a b ⋅=，212a b a a a ⋅∴⋅===⎝⎭⎝⎭，故D 不正确.故选：BCD 三、填空题13．已知A ，B ，C 三点共线，若23DA DB CB λ=+，则λ=______．【正确答案】12##0.5【分析】由CB DB DC =-及,,A B C 三点共线的等价条件，即可列出方程，求得答案.【详解】因为CB DB DC =-，所以2323()(23)3DA DB CB DB DB DC DB DC λλλ=+=+-=+- ，又,,A B C 三点共线，所以2331λ+-=，得12λ=.故1214．已知函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，且点P 在角α的终边上，则sin cos αα=________．【正确答案】25-【分析】先由指数型函数过定点的性质求得P 的坐标，再利用三角函数的定义即可求得sin ,cos αα，从而得解.【详解】因为函数11x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点P ，令10x +=，则1,2x y =-=，所以()1,2P -，于是sin α===，cos 5α=-，所以2sin cos 5αα⎛=- ⎝⎭．故答案为.25-15．第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为573001()2n k n k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0k 为树木最初生长时的碳－14含量，n 为树龄（单位：年），通过测定发现某古树样品中碳－14含量为00.6k ，则该古树的树龄约为________万年．（精确到0.01）（附：lg 30.48,lg 50.70≈≈）．【正确答案】0.42【分析】根据题意结合对数的定义及运算求解.【详解】由题意可得：57300010.62n k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，整理得123lglg 0.6lg 3lg 5557300.65730573057304202.0015lg 51l lo 21g g lg 0n =-=⨯=⨯=⨯≈-.所以该古树的树龄约为0.42万年.故答案为.0.42四、双空题16．已知函数()22log ,041234,4x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，（1）当方程()f x t =有三个不同的实根，t =______，.（2）当方程()f x t =有四个不同的实根，且1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则3412x x x x +⋅的值是______.【正确答案】0或2##2或012【分析】（1）画出函数图像直接得到答案；（2）从图像观察出12,x x 分别是函数()()21log 01f x x x=<<和()()2log 14f x x x =≤<自变量，34,x x 是函数()()212344f x x x x =-+≥的两个自变量，代入化简求解.【详解】当04x <≤时，()22222log ,14log ,14log 1log ,01log ,01x x x x f x x x x x x ≤≤⎧≤≤⎧⎪===⎨⎨-<<<<⎩⎪⎩画图为观察图像发现当2t =或0=t 时，有三个不同的实根；观察图像发现当()0,2t ∈时，有4个不同的实根，1234,,,x x x x ，并且1234x x x x <<<12,x x 分别是函数()()21log 01f x x x=<<和()()2log 14f x x x =≤<自变量，所以()()1222211log log f x x f x x ===所以212111x x x x =∴=；34,x x 是函数()()212344f x x x x =-+≥的两个自变量，又因为()()34f x f x =所以342612x x +=⨯=故341212x x x x +=⋅故0或2；12五、解答题17．已知向量()()1,0,,1a b m == ，且a 与b 的夹角为π4．(1)求2a b - ；(2)若a b λ+ 与b 垂直，求实数λ的值．【正确答案】(2)12-.【分析】（1）根据向量夹角的坐标运算，结合已知条件，列出方程即可求得参数；再结合平面向量的运算求模长即可；（2）根据（1）中所求，结合向量垂直的坐标运算，即可求得参数λ.【详解】（1）因为()()1,0,,1a b m == ，且a 与b 的夹角为π4，所以,1,a b m a b ⋅=== 因为cos ,a b a b a b ⋅=πcos 4=，解得1m =或1m =-（舍）．所以()21,2a b -=-- ，则2a b -（2）因为()1,a b λλλ+=+ ， a b λ+ 与b 垂直，所以()0a b b λ+⋅= ，即120λ+=，解得12λ=-．18．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c()sin cos B C a B c ++=.(1)求角A 的大小；(2)若6,6a b c =+=+ABC 的面积.【正确答案】(1)π6A =(2)【分析】（1）利用余弦定理化角为边得到222sin a b c A =+-cos A A =，由此可得角A 的值；（2）利用余弦定理及配方法可得bc =.【详解】（1）因为()()sin sin πsin B C A A +=-=，()sin cos B C a B c ++=222sin 2a c b A a c ac +-+⋅=，则2222sin 2A a c b c ++-=，即222sin a b c A =+-，又2222cos a b c bc A =+-cos A A =，则tan A =又()0,πA ∈，故π6A =.（2）因为π,6,66A a b c ==+=+所以(2222()2a b c b c bc =+=+-，所以(36361082bc =++-，解得bc =所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =--+，其中0a >.且1a ≠.(1)求函数()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)若325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求使()0f x >成立的x 的集合.【正确答案】(1)()1,1-(2)奇函数，理由见解析(3)()0,1【分析】（1）根据对数函数的定义求函数的定义域；（2）由奇偶性性定义判断；（3）由函数值求得a 值，然后根据对数函数的性质解不等式．【详解】（1）要使函数有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-；（2）()()()log 1log 1a a f x x x -=+-- ()()()log 1log 1a a x x f x ⎡⎤=---+=-⎣⎦，()f x \是奇函数.（3）若325f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，331log 1log 1log 2,554a a a ⎛⎫⎛⎫∴--+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：12a =，()()()1122log 1log 1,f x x x ∴=--+若()0f x >，则()()1122log 1log 1x x ->+，110x x ∴+>->，解得01x <<，故不等式的解集为()0,1.20．已知函数()225f x x ax =-+，[]1,2x ∈-．(1)当4a =时，求()f x 的最值；(2)若()f x 的最小值为5-，求实数a 的值．【正确答案】(1)()max 11f x =，()min 3=f x ；(2)9a =或12a =-.【分析】（1）把4a =代入后结合二次函数在区间[]1,2-上的单调性即可求解最值；（2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可.【详解】（1）4a =时，()2245f x x x =-+，[]1,2x ∈-()()()22225213f x x x x ∴=-+=-+()f x \关于1x =对称，当()1,1x ∈-时，()f x 单调递减，当()1,2x ∈时，()f x 单调递增．()()21211311f -=⋅--+=，()()2222135f =⋅-+=，()()min 1 3.f x f ==∴()()max 111f x f =-=．()()min 1 3.f x f ==（2）()222252548a a f x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-对称轴为4a x =，函数图象开口向上，①当14a <-时，()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()1417+5a f a ⎧<-⎪⎨⎪-==-⎩，即412a a <-⎧⎨=-⎩，∴12a =-；②当124a -≤≤时，()f x 在1,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,24a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以21245548a a a f ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即248558a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩，无解；③当24a >时，()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()2421325a f a ⎧>⎪⎨⎪=-=-⎩，即89a a >⎧⎨=⎩，∴9a =，综上，当()min 5f x =-时，9a =或12a =-．21．在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②2S BA CA =⋅ ；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________(1)求A 的大小；(2)设ABC的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【正确答案】(1)π3A =(2)3【分析】（1）分别选取三个条件，运用正余弦定理和三角恒等变换化简求值.（2）借助向量的运算求AD 的最小值.【详解】（1）选①，由πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得πsin sin sin sin 3A B B A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC 中sin 0B ≠，∴πsin sin 3A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,πA ∈ ，则sin 0A >，1sin sin 2A A A +=，可得sin 0A A =>，则tan A =因此，π3A =；选②，1co s si 2n 22S bc A bc A BA CA ⋅=== ，()0,πA ∈ ，则sin 0A >，∴tan A =π3A =；选③，tan (2)tan c A b c C =-，由正弦定理和切化弦得sin sin sin (2sin sin )cos cos A C C B C A C=-，ABC 中sin 0C ≠，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B=+=+=ABC 中sin 0B ≠，()0,πA ∈ ，∴1cos 2A =，得π3A =（2）由1sin 2ABC S bc A ==△，有8bc =，由23AD AB BC =+ ，有1233AD AB AC =+ ，∴222221441416169999999AD AB AB AC c b =+⋅+=++≥ 41648999bc =+=，等号成立时28c b bc =⎧⎨=⎩即24c b =⎧⎨=⎩，∴AD 的最小值为3.22．本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形ABCD ，它的宽AD 为2.4米，车厢的左侧直线CD 与中间车道的分界线相交于E 、F ，记DAE θ∠=．(1)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好6πθ=，且A 、B 也都在中间车道的直线上，直线CD 也恰好过路口边界O ，求此大卡车的车长．(2)若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值．(3)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km ），统计如下：时间7:007:157:307:458:00里侧车道通行密度110120110100110外侧车道通行密度110117.5125117.5110现给出两种函数模型：①()()sin 0,0f x A x B A ωω=+>>②()g x a x b c =-+，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度（单位：辆/km ）与时间x （单位：分）的关系（其中x 为7:00后所经过的时间，例如7:30即30x =分），并根据表中数据求出相应函数的解析式．【正确答案】(1)83815(2)24825(3)()10sin 11030f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()1301252g x x =--+【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出,,,OE OF ED CF ，即可求得本题答案；（2）用θ表示AB ，利用换元法并结合函数的单调性，求出AB 的最小值，即可得到大卡车车长的最大值；（3）先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可.【详解】（1）作EM OM ⊥，垂足为M ，作FN ON ⊥，垂足为N ，因为π6DAE ∠=，所以π6MEO NOF BFO ∠=∠=∠=，在Rt ADE 中，π432.4tan 65ED =⨯=，在Rt BCF △中， 2.4123π5tan 6CF ==，在Rt OME 中，483π3cos 6OE ==，在Rt ONF △中，48πsin 6OF ==，所以8343123838835515CD OE OF ED CF =+--=+--=-（2）因为DAE θ∠=，所以4cos OE θ=，4sin OF θ=， 2.4tan ED θ=， 2.4tan CF θ=，所以44 2.42.4tan cos sin tan AB CD OE OF ED CF θθθθ==+--=+--224sin 4cos 2.4sin 2.4cos 4(sin cos ) 2.4π,0sin cos sin cos 2θθθθθθθθθθθ+--+-⎛⎫==<< ⎪⎝⎭令sin cos t θθ+=，则π2)4t θ=+，πππ3π0,,2444θθ⎛⎫<<∴+∈ ⎪⎝⎭ 所以12t <≤21sin cos 2t θθ-=，所以(22384 2.45,12112t t AB t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==<≤--，设35k t =-23255k ⎛⎫<≤ ⎝⎭，则35t k =+，所以2883166()15255k AB k k k ==+--+，易知166()255g k k k =-+在23(2]55单调递增，且()0g k >，所以2883166()15255k AB k k k ==+--+在23(2]55-单调递减，所以，当325k =，即2t 时，AB 取最小值24825，所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为24825.（3）由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型()()sin 0,0f x A x B A ωω=+>>，易得60T =，所以2ππ30T ω==，又-2A =120100=10,1201001102B +==，所以π()10sin()11030x f x =+；而外侧车道通行密度关于30x =对称，左侧递增，右侧递减，适用模型()g x a x b c =-+，易知30b =，代入(0,110),(30,125)，得1125,2c a ==-，所以1()301252g x x =--+.方法点睛：对于含有sin cos αα+和sin cos αα的三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的函数，如二次函数，分式函数来解答.。

【绝密★启用前 A 】广东省东莞市南开实验学校2012-2013学年高一数学下学期期初考试试题 文 新人教A 版考试时间： 120分钟 命题人：刘兴 满分：150分说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、考号、座位号等填写在答题卡的侧面相应的空格内。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

答案必须写在答题卷上，收卷时只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的） 1、sin(1560)-o的值为（ ）A 12- B 12 C 2- D 2 2、点M （3，－6）在圆：16)2()3(22=++-y x 的（ ）A 、圆上B 、圆外C 、圆内D 、以上都不是3、已知角α的终边经过点P 12⎛ ⎝⎭，则cos α的值是 （ ） A 、23 B 、21C 、1D 、33 4、 函数2cos()35y x π=-的最小正周期是 （ ） A 5π B 52π C 2π D 5π5、两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为 （ ） A ．x +y +3=0B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=06、若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为 （ ）A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17、已知函数)sin(φω+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（ ）A ．x y 23sin2= B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21= 8、函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=x D ．45π=x9、直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π10、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是（ ） A ．22B ．10C ．36D ．26第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分， 共20分） 11.函数tan()3y x π=+的定义域为 ___________12.圆222a y x =+（0>a ）与圆0248622=++++y x y x 相内切 ，则a 的值为___________13 已知ααcos tan =，那么=αsin 14. 已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5[,3]2x ππ∈时， ()f x =三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15、（12分）求圆心在x 轴上，半径长是5，且与直线x-6=0相切的圆的标准方程16、（12分）17、（14分）已知函数)321sin(2)(π+=x x f(1)写出此函数f(x)的周期和值域; (2)求f(x)的单调递增区间；(3) 函数f(x)的图像如何由函数x y sin =的图像变换得到18. （14分）若θsin =54，且π29<θ< 5π， 求： （1）求tanθ的值；（2）若直线l 的倾斜角为πθ4-，并被圆5)1()1(22=++-y x 截得弦长为4，求这条直线的方程19、若,4,3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 求函数1tan 2cos 1)(2++=x x x f 的最小值及取得最小值时的x 的值。