考题探源

xxx x高考数学试题探源高考除了要考查学生的基础知识和常用的数学思想方法外，还要考查学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力以及创新意识，特别是高考命题将“知识立意”变为“能力立意”以来，注重在知识的交汇处设计试题，这就要求高三数学老师不但认真研究“两纲”（即为中学数学教学大纲和《考试说明》）和教材外，还要求深入钻研历年来（特别是近几年来）的高考试题，这样才能有利于高三数学教学。

本人基于这一点，通过对历年高考数学试题的深入研究，发现高考数学试题主要来源于以下五个方面：即将课本中的例题与习题、历年的高考试题、历年的初高中数学竞赛试题、高等数学试题进行加工、改造、演变成为高考试题，还有个别的创新试题。

下面通过例题予以说明。

例1（1）（《全日制高中数学课本第二册(上)》 P123 T6 ）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证直线PQ 平行于抛物线的对称轴。

（2）（2001年全国高考试题）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。

证明直线AC 经过原点O 。

例2（1）（《全日制高中数学课本第三册(选修I)》 P44 例2、或(选修II) P132 例2 ）用铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问水箱的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？（2）（2005年全国高考试题（全国卷III ））用铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大，最大容积是多少？说明：例1中的课本习题与高考试题显然互为逆命题；例2中的高考题是将习题中的“边长为60cm 的正方形”改为“长为90cm 、宽为48cm 的长方形”，其他条件不变，其解题的思路与方法完全类似。

漫思索据，高考题探源作者：冯亮来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第05期[摘要] 高考题一般源于这几个方面：依托于教材作业、翻新于历年真题等. 高考命题强调“能力立意”，以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，不断研究高考题，把握高考试题发展方向，使课堂教学有的放矢.[关键词] 高考;命题;追根探源;母题纵横比较近几年数学高考题，发现试题呈现如下特点：以稳定为主线，稳中渐变，重视“三基”，联系实际，兼顾创新，因此试卷内容年年岁岁神相似，岁岁年年形不同. 那么每年凝聚了众多命题专家心血和智慧的好题是如何“创造”出来的呢？显然“巧妇难为无米之炊”，高考题的成形本身也应该有它的“源头活水”，经分析归纳后，一般的高考题来源于如下几方面.依托于教材作业许多高考题，甚至“压轴题”索其本源，竟可以在教材课本中直接发现它的倩影.考题再现：（2010年重庆理科第21题）在数列{a }中，a =1，a =ca +cn+1（2n+1），n∈N*，其中c≠0，（1）求{a }的通项公式;（2）若对一切k∈N*，有a >a ，求实数c的取值范围.解析：（1）由题意得： = +（2n+1），所以 - =2n-1， - =2n-3，…， - =2+1. 以上n-1个式子累加得： - =（2n-1）+（2n-3）+…+3=n2-1，故a =（n2-1）cn+cn-1. （本题也可用迭代法解决）（2）略.此题题根见于教材必修五第33页习题A组第4题.原题表述如下：写出下面数列{a }的前五项.（1）a = ，a =4a +1（n>1）;（2）a =- ，a =1- （n>1）.将（1）中常数“1”改为cn+1（2n+1），系数4改成c即推陈出新为一道优秀的考题，充分体现高考题源于教材，略高于教材的原则.复习启示：既然高考题依托于教材改编而得，那么要求教师在平时的教学过程中注重课本例题的选用，特别对其内涵进行深层次的挖掘，采用多变式集训的办法，努力达到能对这类典题知一求三，触类旁通的境界.翻新自历年真题有些题似曾相识，曾经出现在往届高考题或模拟卷中，由出题专家妙手剪裁、提炼、汇聚，又鲜活出现于考生面前.考题再现：（2010年浙江理科第21题）已知m>1，直线x-my- =0，椭圆C： +y2=1，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦点.（1）当直线l过右焦点F 时，求直线l的方程;（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF F ，△BF F 的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.解析：（1）略. （2）“点O在以线段GH为直径的圆内” · <0，故设A（x ，y ），B（x ，y ），则G ，，H ，，由x=my+ ， +y2=1，联立，消去x得：2y2+my+ -1=0. 由Δ=m2-8 -1=-m2+8>0，得m2<8. （1）由 · <0得x x +y y =my + ·my + +y y =（m2+1）（ - ）<0，故有 - <0，即m2<4. （2）由（1）（2）得：m2<4，又m>1，故m∈（1，2）.这是一道集知识、能力、方法等考点全面的试题，它的出现并非空穴来风，此题与2006年湖北理科20题有割不断的渊源，此题为：设A，B分别为椭圆 + =1（a>b>0）的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且x=4为它的右准线.（1）求椭圆的方程;（2）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于異于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内.问题（2）的解决只证明 · <0即可，余下的请读者自行解决.复习启示：高考题一般都是优中择优的精品题，某些典题的知识结构、思想方法、解题技巧并不会因为年代的远去而黯然失色，相反其中精华部分会被专家们继续借鉴、消化，从而推陈出新.这就给老师们重要启发：能否把若干年来的各省市高考题分门别类，重新整合，作为学生复习的必选题进行练习，总结解题规律，提炼思想方法. 也许，若干年以后大同小异的姊妹题又不期而至.接轨于高等数学知识从命题专家组的成员组成上看，高校教师是重要组成部分. 试题命题受出卷者自身学术背景影响不可避免;再从高中数学和高等数学知识衔接上看，在试题中适当渗透高等数学知识也是顺理成章的事情，故高考题中常常有伴随高等数学知识背景的所谓“高知题”.考题再现：（2009年浙江理科第10题）对于正实数α，记M 为满足下述条件的函数f （x）构成的集合，？坌x ，x ∈R，且x >x ，有-α（x -x ）<f（x ）-f（x ）<α（x -x ），下列结论正确的是（）A. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，则f（x）·g（x）∈MB. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，且g（x）≠0，则∈MC. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，则f（x）+g（x）∈MD. 若f（x）∈M ，g（x）∈M 且α >α ，则f（x）-g（x）∈M题源探究：若函数f（x）在区间I上，存在常数L>0，使得不等式f（x ）-f（x ）≤L（x -x ），对于所有x ，x ∈I都成立，则称f（x）在区间I上满足李普希茨（Lipschitz下同）条件，其中L称为李普希茨常数.解析：由-α（x -x ）<f（x ）-f（x ）<α（x -x ），因为x >x ，所以-α< <α. 令 =k，则有-α<k<α，不妨设f（x）∈M ，g（x）∈M ，即有-α <k <α ，-α <k <α ，即有f（x）+g（x）∈M ，故选C.该试题既有高等数学的深刻背景，又有数学分析的方法要求，以抽象函数为载体，涉及的数学思想方法有分析法、特值法、反证法，需要考生具备很强的分析能力，故被众多出题专家追捧.2006年的北京卷和广东卷也曾出现过以李普希茨条件为背景的试题.复习启示：高等数学某些内容与中学数学联系紧密，这些试题既能考查学生能力，又利于中等数学与高等数学知识的衔接.它既符合课程标准，又能突出数学思想本质，是高考命题的风向标.笔者认为在高考复习中可把高等代数中的“群、环、域、矩阵”，数学分析中的洛比达法则、切比雪夫不等式等知识点以适当形式稀释在平时的复习中.借鉴于竞赛数学如今高考命题呈现三大趋势，容易题会考化，中档题平民化，压轴题竞赛化.既然如此，高考试题包含竞赛题思想方法和技巧就不足为奇了.考题再现：（2008年辽寧文科第12题）在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别为棱AA ，CC 的中点，则在空间中与三条直线A D ，EF，CD都相交的直线有（）A. 0条B. 1条C. 多于1的有限条D. 无数条解析：过A D 的平面中只要与EF和CD都相交时，两交点连线即与A D 相交，这样的直线有无数条，故选D.无独有偶，如果熟悉1997年全国数学联赛，曾经出现过这样一道试题：如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有（）A. 0条B. 1条C. 多于1的有限条D. 无数条两者题干，选择解题用的思想方法和技巧有惊人的相似之处.复习启示：近几年事实证明好多竞赛题被“移植”于高考试题里，一般的解题窍门和手法也能照搬到高考题的解法中. 因此，让一些学有余力的学生在高一、高二时适当参加省市各类各级数学竞赛大有益处，也只有这样，才能使更多的考生在“六月的洗礼”中做到处变不惊，游刃有余.脱胎于国外历史名题有一类高考题，本源出自国外历史名题，可以说系出名门，两者题目和解题所用思想方法“血缘”关系相近，某些百年名题经专家妙手增删，又闪亮登场.考题再现：（2008年山东理科第22题）如图3，抛物线x2=2py（p>0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的两条切线，切点分别为A，B两点，求证：A，M，B三点横坐标成等差数列.解析：由题意设M（x ，-2p），Ax ，，Bx ，，且x <x . 因为x2=2py，所以y′= ，k = . 故MA方程：y+2p= （x-x ），将x2=2py代入得 +2p= （x -x ），化简4p2=x -2x x . （1）同理可得：4p2=x -2x x . （2）由（1）（2）可得2x =x +x ，所以A，M，B三点横坐标成等差数列.题源探究：如图3，过点M引抛物线x2=2py（p >0）的两条切线，切点分别为A，B，那么由A，B，M三点构成的三角形称为阿基米德三角形. 这是一道历史悠久的经典名题. 该三角形有众多有趣性质，其中一条就是△ABM的AB边上中线平行抛物线的对称轴（证明同上），当年的山东高考压轴题与之相比简直就是如出一辙. 多年来，以阿基米德三角形为背景的高考题不时出现在各省市中，2011年安徽理科第21题又以阿基米德三角形为母题，经过命题专家乔装改扮，又活跃在考生面前.复习启示：也许有老师感慨高考复习题尤其是第二轮复习典题难找，不妨去寻觅一些国外历史名题，对其中一些性质进行研究，把条件适当放宽或限制，把结论加强或弱化……尝试对问题进行探索、猜想，对学生进行变式训练，笔者认为这肯定能收到意想不到的效果.高考命题强调“能力立意”，“在知识网络的交汇点处设计问题”，以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考查学生进一步学习的潜质，不断研究高考题，把握高考试题发展方向，使课堂教学有的放矢.也只有这样，才能提高学习效率，提高教学水平.。

2022年高考题的高数探源李鸿昌（北京师范大学贵阳附属中学）题1:（2022年甲卷理科12题）已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则()A.c b a>> B.b a c >> C.a b c >> D.a c b >>解法1：利用结论sin tan (0)2x x x x π<<<<，则114tan 4144c b =>⨯=，所以c b >.2231111cos 1cos 32443211112sin 2()0832832a b -=-=--=-<⨯-=，所以b a >.综上所述，c b a >>，选A.结论是利用三角函数线知识即可得到，需要熟悉.解法2：构造函数先证：当02x π<<时，tan x x >.设()tan (0)2f x x x x π=-<<，则21'()10cos f x x =->，所以函数()f x 在(0,)2π上单调递增，得()(0)0f x f >=，故tan x x >.由tan x x >知4sin 4cos x x x >，所以114sin cos 44>，即c b >.再证：2cos 1(0)2x x x >-≠.设2()cos 12x f x x =-+，则'()sin f x x x =-，''()1cos 0f x x =-≥，所以'()f x 在R 上单调递增，又'(0)0f =，所以当(,0)x ∈-∞时'()0f x <，()f x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时'()0f x >，()f x 单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos 12x x >-.所以211131cos1()42432>-⨯=，即b a >.综上所述，c b a >>，选A.试题推广由解法2可知，当02x π<<时tan x x >，即sin cos x x x >，从而*sin cos (2,)n x nx x n n N >≥∈且，令1x n =，可得11sin cos n n n >.再由2cos 12x x >-，可得211cos 12n n >-.这样，本题可以推广如下：设2n ≥且n ∈N *，则2111sincos 12n n n n >>-.高数探源本题考查的主要是两个不等式：tan (0)2x x x π><<和2cos 1(0)2x x x >-≠.而这两个不等式的高等数学背景就是泰勒公式.然后泰勒公式离我们并不遥远，它就出现在我们的教材里.2019年人教A 版《数学必修第一册》第256页习题26如下：英国数学家泰勒发现了如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ ，其中!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯ .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精准性.比如，用前三项计算cos 0.3，就得到240.30.3cos 0.310.95533752!4!≈-+=.试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较.我们再补充一下正弦函数的：352tan 315x x x x =+++ .我们把上述的三个公式称为泰勒公式，由泰勒公式，我们可以得到如下的不等式：3sin (0)6x x x x >->，2cos 1(0)2x x x >-≠，tan (0)2x x x π><<.还有很多的高考题是以泰勒公式为背景的，详细请参考《高考题的高数探究与初等解法》第4节30页.题2（2022年新高考全国I 卷21题）已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0.（1）求l 的斜率；（2）若tan 22PAQ ∠=，求PAQ △的面积.解：（1）因为点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a -=>-上，所以()2241111a a a -=>-，所以22a =，故22:12x C y -=.显然AP 的斜率存在且不为22±，故可设()2:212l y k x k ⎛⎫=-+≠± ⎪ ⎪⎝⎭，代入2212x y -=，消去y ，整理得()()222124420x k x k k ⎡⎤--+-+=⎣⎦，所以2244221P k k x k -+=-，从而()222244224121212121P p k k k k y k x k k k ⎛⎫-+-+-=-+=-+= ⎪--⎝⎭，因为直线,AP AQ 的斜率之和为0，所以把上式中的k 用k -替换可得2244221Q k k x k ++=-，2224121Q k k y k ---=-所以l 的斜率为818p QPQ p Q y y k k x x k-===---.（2）不失一般性，不妨设设直线AP 的倾斜角为,0,2θθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222PAQ θθπ⎛⎫∠=-=π- ⎪⎝⎭，因为tan PAQ ∠=，所以()22tan tan 21tan θθθπ-=-=-，所以tan k θ==（取正值），故P ⎝⎭，Q ⎝⎭从而5:3l y x =-+，即5:03l x y +-=，所以点()2,1A 到l的距离为d =，又因为1633PQ ==,所以PAQ △的面积为18239PQ d ==.高数探源本题的第（1）问的背景就是圆锥曲线中的四点公园问题的一个极限状态。