八年级上期末总复习《第12章全等三角形》专项练习(含答案)
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人教版八年级上册第12章《全等三角形》综合专项基础与提高练习姓名学号(含答案)基础型(一):1.如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.(1)求证:△ACB≌△BDA;(2)若∠ABC=28°,求∠CAO的度数.2.如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E.F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.(1)求证:OC是∠AOB的平分线.(2)若PF∥OB,且PF=8,∠AOB=30°,求PE的长.3.如图(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变,当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x的值.4.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P放在射线OM上,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.(1)证明:PC=PD.(2)若OP=4,求OC+OD的长度.5.已知:如图,∠ACB=∠DCE,AC=BC,CD=CE,AD交BC于点F,连结BE.(1)求证:△ACD≌△BCE.(2)延长AD交BE于点H,若∠ACB=30°,求∠BHF的度数.6.在△ABC中,AD为△ABC的角平分线.(1)如图1,∠C=90°,∠B=45°,点E在边AB上,AE=AC,请直接写出图中所有与BE相等的线段.(2)如图2,∠C≠90°,如果∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.(1)求证:△AEF≌△CEB.(2)猜想:AF与CD之间存在怎样的数量关系?请说明理由.8.如图,在△ABC与△ABD中,AC=BD,∠C=∠D=90°,AD与BC交于点E.(1)求证:BC=AD.(2)若AC=6,BC=8,求△ACE的周长.9.如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t秒,且t≤5.(1)PC=cm(用含t的代数式表示).(2)如图2,当点P从点B开始运动的同时,点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD 向点D运动,是否存在这样的v值,使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.10.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AC与DE交于点G,∠A=∠D=90°,AC=DF,BE =CF.(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)若∠F=30°,GE=2,求CE.提高型(一):1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证:△DAE≌△CFE;(2)若BE⊥AF,求证:AB=BC+AD.2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE.(1)求证:△BCE≌△AHE.(2)求证:AH=2CD.3.如图,在△ACD中,E为边CD上一点,F为AD的中点,过点A作AB∥CD,交EF的延长线于点B.(1)求证:BF=EF;(2)若AB=6,DE=3CE,求CD的长.4.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F,连接DE.(1)若AC=BC=6,求DE的长;(2)求证:BE+CD=BC.5.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE(对应顶点字母顺序相同),∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE交于F.(1)不添加辅助线,直接找出图中其他的全等三角形;(2)求证:CF=EF.6.如图,AB∥CD,AB=CD,点E和点F在线段BC上,∠A=∠D.(1)求证:AE=DF.(2)若BC=16,EF=6,求BE的长.7.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,点E在BC上,AB,DE相交于点F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求证:∠BEF=∠CAE.8.如图,D、C、F、B四点在一条直线上,AB=DE,AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为点C、点F,CD=BF.(1)求证:△ABC≌△EDF.(2)连结AD、BE,求证:AD=EB.9.如图,△ABC的高为AD.△A'B'C'的高为A'D',且A'D'=AD.现有①②③三个条件:①∠B=∠B',∠C=∠C';②∠B=∠B',AB=A'B';③BC=B'C',AB=A'B'.分别添加以上三个条件中的一个,如果能判定△ABC≌△A'B'C',写出序号,并画图证明;如果不能判定△ABC≌△A'B'C',写出序号,并画出相应的反例图形.10.阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,AD为△ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AE=EF.求证:AC=BF.经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图①,添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以进一步证得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,从而证明结论.思路二如图②,添加辅助线后并利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB,从而证明结论.完成下面问题:(1)①思路一的辅助线的作法是:;②思路二的辅助线的作法是:.(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证明过程).参考答案基础型:1.证明:(1)∵∠C=∠D=90°,∴△ACB和△BDA都是直角三角形,在Rt△ACB和Rt△BDA中,AD=BC,AB=BA,∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL);(2)在Rt△ACB中,∵∠ABC=28°,∴∠CAB=90°﹣28°=62°,由(1)可知△ACB≌△BDA,∴∠BAD=∠ABC=28°,∴∠CAO=∠CAB﹣∠BAD=62°﹣28°=34°.2.解:(1)证明:在Rt△PFD和Rt△PGE中,,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE,∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.(2)∵PF∥OB,∠AOB=30°,∴∠PFD=∠AOB=30°,在Rt△PDF中,.3.解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∵AP=BQ=2,∴BP=5,∴BP=AC,在△ACP和△BPQ中,∴△ACP≌△BPQ(SAS);∴∠C=∠BPQ,∵∠C+∠APC=90°,∴∠APC+∠BPQ=90°,∴∠CPQ=90°,∴PC⊥PQ;(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得:5=7﹣2t,2t=xt解得:x=2,t=1;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得:5=xt,2t=7﹣2t解得:x=,t=.综上所述,当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或.4.证明:(1)如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,∴∠PEC=∠PFD=90°.∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF,∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴∠PCE+∠PDO=360°﹣90°﹣90°=180°.而∠PDO+∠PDF=180°,∴∠PCE=∠PDF在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF(AAS)∴PC=PD;(2)∵∠AOB=90°,OM平分∠AOB,∴△POE与△POF为等腰直角三角形,∴OE=PE=PF=OF,∵OP=4,∴OE=2,由(1)知△PCE≌△PDF∴CE=DF∴OC+OD=OE+OF=2OE=4.5.证明:(1)∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB,即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS);(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠A=∠B,∵∠BFH=∠AFC,∴∠BHF=∠ACB,∵∠ACB=30°,∴∠BHF=30°.6.解:(1)与BE相等的线段是DE和DC,理由:∵AD为△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD(SAS),∴DE=DC,∠DEA=∠C=90°,∴∠DEB=90°,∵∠B=45°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴BE=DE=DC,即与BE相等的线段是DE和DC;(2)在AB上截取AE=AC,连接DE,∵AD为△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD(SAS),∴∠C=∠AED,CD=ED,∵∠C=2∠B,∴∠AED=2∠B,∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴ED=EB,∴EB=CD,∵AB=AE+EB,∴AB=AC+CD.7.(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEF=∠BEC=∠ADB=90°,∴∠EAF+∠B=∠B+∠BCE=90°,即∠EAF=∠BCE.在△AEF和△CEB中,,∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)解:AF=2CD.理由:由(1)得AF=BC.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD,∴AF=2CD.8.(1)证明:∵∠C=∠D=90°,∴△ABC与△ABD都是直角三角形,在Rt△ABC和Rt△BAD中,,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD;(2)解:由(1)知Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠ABC=∠BAD,∴AE=BE,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=6+8=14.9.解:(1)BP=2t,则PC=10﹣2t;故答案为(10﹣2t);(2)存在.分两种情况讨论:①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ.因为AB=6,所以PC=6.所以BP﹣10﹣6=4,即2t=4.解得t=2.因为CQ=BP=4,v×2=4,所以v=2.②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.因为PB=PC,所以BP=PC=BC=5,即2t=5.解得t=2.5.因为CQ=BA=6,即v×2.5=6,解得v=2.4.综上所述,当v=2.4或2时,△ABP与△PQC全等.10.(1)∵BE=BF∴BE+CE=CF+CE即BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)(2)∵Rt△ABC≌Rt△DEF∴∠ACE=∠F∵∠F=30°∴∠ACE=30°∴AC∥DF∴∠CGE=∠D∵∠D=90°∴∠CGE=90°∵在Rt△CGE中,∠ACB=30°,GE=2∴CE=2GE=4提高型:1.解:(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF,∠DAE=∠F,∵点E为CD的中点,∴ED=EC,∴△DAE≌△CFE(AAS);(2)∵△DAE≌△CFE,∴AE=EF,AD=CF,∵BE⊥AF,∴AB=BF,∵BF=BC+CF,CF=AD,∴AB=BC+AD.2.证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD,∠1+∠C=90°,∵BE⊥AC,∴∠2+∠C=90°,∴∠1=∠2,在△AEH和△BEC中,,∴△AEH≌△BEC(ASA),(2)∵△AEH≌△BEC∴AH=BC,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴AH=2BD.3.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABF=∠DEF,∠BAF=∠D,∵∴△AFB≌△DFE(AAS),∴BF=EF;(2)解:∵△AFB≌△DFE,∴AB=DE=6,∵DE=3CE,∴CE=2.∴CD=CE+DE=2+6=8.4.解:(1)∵AC=BC,∠A=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB,又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∴D、E分别是AC、AB的中点,∴AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴DE=AE=3;(2)证明:在BC上截取BH=BE,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵BF=BF∴△EBF≌△HBF(SAS),∴∠EFB=∠HFB=60°.∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE,∴∠CBD+∠BCE=60°,∴∠BFE=60°,∴∠CFB=120°,∴∠CFH=60°,∴∠CFH=∠CFD=60°,∵CF=CF,∴△CDF≌△CHF(ASA).∴CD=CH,∵CH+BH=BC,∴BE+CD=BC.5.解:(1)其它的全等三角形有△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.(2)证明:∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,∴∠CAB﹣∠DAB=∠EAD﹣∠DAB,∴∠CAD=∠EAB,∴△ACD≌△AEB,∴CD=EB,∠ADC=∠ABE,又∵∠ADE=∠ABC,∴∠CDF=∠EBF,又∵∠DFC=∠BFE,∴△DCF≌△BEF(AAS),∴CE=EF.6.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(ASA),∴AE=DF.(2)解:∵△ABE≌△DCF,∴BE=CF,BF=CE,∵BF+CE=BC﹣EF=16﹣6=10,∴2BF=10,∴BF=5,∴BE=BF+EF=5+6=11.7.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC,在△ABC和△ADE中,,∴△ABC≌△ADE(SAS);(2)∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠D,∵∠BFE=∠DFA,∴∠BEF=∠BAD,∴∠BEF=∠CAE.8.证明:(1)∵AC⊥BD,EF⊥BD∴△ABC和△DEF是直角三角形又∵CD=BF∴CD+CF=BF+CF,即DF=BC,在Rt△DEF和Rt△BAC中∴Rt△ABC≌Rt△EDF.(2)∵△ABC≌△EDF,∴AC=EF∵AC⊥BD,EF⊥BD∴∠ACD=∠EFB,在△ACD和△EFB中.∴△ACD≌△EFB(SAS)∴AD=BE.9.解:①能判定△ABC≌△A'B'C',证明如下:如图1,∵AD=A'D',∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B',∴△ABD≌△A'B'D'(AAS),∴AB=A'B',又∠B=∠B',∠C=∠C',∴△ABC≌△A'B'C'(AAS);②不能判定△ABC≌△A'B'C',对应的反例如图2所示.(只要C'在射线B'D'上,且B'C'≠BC均可)③不能判定△ABC≌△A'B'C',对应的反例如图3所示.10.解:(1)①延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,如图①,理由如下:∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG,∵AE=EF,∴∠CAD=∠EFA,∵∠BFG=∠G,∠G=∠CAD,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∴AC=BF.故答案为:延长AD至点G,使DG=AD,连接BG;②作BG=BF交AD的延长线于点G,如图②.理由如下:∵BG=BF,∴∠G=∠BFG,∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA,∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠EAF,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB(AAS),∴AC=BG,∴AC=BF;故答案为:作BG=BF交AD的延长线于点G;(2)作BG∥AC交AD的延长线于G,如图③所示:则∠G=∠CAD,∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB(AAS),∴AC=BG,∵AE=EF,∴∠CAD=∠EFA,∵∠BFG=∠EFA,∠G=∠CAD,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∴AC=BF.。
第十二章 全等三角形 期末复习卷一、单选题1.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AC 、AB 上的点,BD 与CE 相交于点O ,给出四个条件:①OB=OC ;②∠EBO=∠DCO ;③∠BEO=∠CDO ;④BE=CD .上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有( )A .2种B .3种C .4种D .6种2.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 分别在边BC ,AC 上,DE ∥AB ,过点E 作EF ⊥DE ,交BC 的延长线于点F ,CD =2,则DF 的长为( )A .2B .3C .4D .53.如图,BE AC ⊥于点D ,且AD CD =,BD ED =.若54ABC ∠=,则E ∠的度数是( )A .25B .27C .30D .454.如图,在等边△ABC 中,点O 在AC 上,且AO =3,CO =6,点P 是AB 上一动点,连接OP ,将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD .要使点D 恰好落在BC 上,则AP 的长是( )A .4B .5C .6D .85.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为点E ,DE =1,BE △ABC 的周长是( )A .B .C .D .6.如图,在△ABC 中,AB =10,AC =8,则BC 边上的中线AD 的取值范围是( )A .8<AD <10B .2<AD <18C .1<AD <9 D .无法确定7.如图所示,在下列条件中,能判断△ABD ≌△BAC 的条件是( )①∠D=∠C,∠BAD=∠ABC;②∠BAD=∠ABC,AD=BC;③BD=AC,∠BAD=∠ABC;④AD=BC,BD=AC .A .4个B .3个C .2个D .1个8.若ABC DEF ∆∆≌,且9AB =,8BC =,6AC =,则DF 的长为( )A .6B .8C .9D .109.如图,点C ,E 分别在BD ,AC 上,AC ⊥BD ,且AB =DE ,AC =CD ,则下列结论错误的是( )A .AE =CEB .∠A =∠DC .∠EBC =45°D .AB ⊥DE10.下列四个结论:①任何一个三角形的三条高都.在三角形的内部;②若多边形的内角和为1080︒,则这个多边形是八边形;③有一个角是60°的三角形是等边三角形;④在一个三角形中,较大的角所对的边也较大.其中正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .1二、填空题11.如图,在ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 平分,BAC ∠且BD AD ⊥于点D ,延长BD 交AC 于点,N 若12,18AB AC ==,则MD =_______________________.12.已知△ABC ≌△DEF ,∠A =40°,∠C =60°,则∠E =_____.13.下列命题:①等边三角形的三个内角都等于60°;②对顶角相等;③同位角相等,两直线平行;④全等三角形的对应角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的是______.(填序号)14.如图,已知BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ,DE AB ⊥,DF AC ⊥,垂足分别为E ,F ,6AB =,3AC =,则BE 的长为__________.三、解答题15.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于点D ,延长AO 交⊙O 于点E ,连接CD 、CE ,若CE 是⊙O 的切线.(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为4,OC =7,求BD 的长.16.如图,C 是线段AB 的中点,且CD ∥BE ,CD =BE .试猜想AD 与CE 平行吗?并说明理由.17.如图,已知∠BDC+∠EFC =180°,∠DEF =∠B .(1)DE 与BC 是否平行,请说明理由;(2)D 、E 、F 分别为AB 、AC 、DC 中点,连接BF ,若S 四边形 ADEF =6,求ABC S ∆.18.如图,在Rt ABC ∆中,,,ACB Rt BAC ABC ∠=∠∠∠的平分线, AE BE 相交于点E ,过点E 作,DE AE ⊥交AC 于点G ,交BC 的延长线于点D(1)求证:;ABE DBE ∆∆≌(2)当32AB AC ==,时,求CD 的长.19.已知,在△ABC 中,以△ABC 的两边BC ,AC 为斜边向外测作Rt △BCD 和Rt △ACE ,使∠CAE =∠CBD ,取△ABC 边AB 的中点M ,连接ME ,MD .特例感知:(1)如图1,若AC =BC ,∠ACB =60°,∠CAE =∠CBD =45°,取AC ,BC 的中点F ,G ,连接MF ,MG ,EF ,DG ,则ME 与MD 的数量关系为______,∠EMD =______;(2)如图2,若∠ACB =90°,∠CAE =∠CBD =60°,取AC ,BC 的中点F ,G ,连接MF ,MG ,EF ,DG ,请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数,并给出证明;类比探究:(3)如图3,当△ABC 是任意三角形,∠CAE =∠CBD =α时,连接DE ,请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系,并说明理由.20.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,点,E F 分别为OB ,OD 的中点,延长AE 至G ,使EG AE =,连接CG .(1)求证:ABE CDF ∆∆≌;(2)当2AC AB =时,四边形EGCF 是什么样的四边形?试说明理由.21.如图,在ABCD □中,BD AD ⊥,45A ∠=︒,点E ,F 分别是AB ,CD 上的点,且BE DF =,连接EF 交BD 于点O .(1)求证:BO DO =.(2)若EF AB ⊥,延长EF 交AD 的延长线于点G ,当1FG =时,求AD 的长.22.根据下列语句作图.(1)作∠AOB =100°;(2)在∠AOB 的内部作射线OC ,使∠BOC =50°;(3)在∠AOB 的外部作射线OD ,使∠DOA =40°;(4)在射线OD 上取点E ,在射线OA 上取点F ,使∠OEF =90°;(5)写出图中的直角.23.如图,ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形,点B 在ED 的延长线上.(1)找出图中一对全等三角形,并证明其全等;(2)求BEC ∠的度数?若2AE =,3CE =,求BE 的长。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形综合压轴题专题训练1、如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上的一点,若DE=13,BD=12,求线段AB的长.2、如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形,求证:△DAB≌△DCE; DA∥EC.3、如图,在△ABC中,AB=CB,∠BAC=∠BCA,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)求证:AE⊥CF;(3)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.4、如图,AC=AB,AE=AD,B、E、D三点共线,∠1=∠2,求证:EA平分∠CED.5、如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为△ABC外一点,且AD⊥BD,BD交AC 于E,G为BC上一点,且∠BCG=∠ACD. 求证:CD=CG.6、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B、C、E在同一条直线上,连结DC.(1)请找出图②中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:DC⊥BE.7、如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于点M,连接CM.求证:BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数;当α=90°时,取AD、BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明.8、如图,∠C=90°,BC=AC,点D、E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点,连接CM,求证:(1)△CEM≌△BDM;(2)△MDE是等腰直角三角形.9、已知,在△ABC中,AB=AC,点P平面内一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,⑴若点P在△ABC内部,求证BQ=CP;⑵若点P在△ABC外部,以上结论还成立吗?10、如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,D为AC的中点,过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F,过点作AE⊥AF于点.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)过点作AH⊥BF于点H,求证:CF=EH.11、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘,则∠BCE= 度;(2)如图2,①说明:△ABD≌△ACE.②说明:CE+DC=BC.③设∠BAC =α,∠BCE =β.当点D 在直线BC 上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.12、如图①,点M为锐角三角形 AB C内任意一点,连接A(1)求证:△AMB ≌△ENB ; (2)若 A M+BM+CM 的值最小,则称点 M 为△ABC 的费尔马点.若点 M 为△ABC 的费尔马点,试求此时∠AMB 、∠BMC 、∠CMA 的度数。
八年级数学上册《第十二章全等三角形》同步练习题及答案(人教版)1、全等三角形的概念:(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(2)把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等;(2)全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定:(1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
一、单选题1.已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=()A.95°B.120°C.55°D.60°2.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,那么添加下列一个条件后,仍无法判断△ABC≌△DEF的是()A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.BF=EC3.如图,已知,要说明,还需从下列条件①,②,③,④中选一个,则正确的选法个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起,若∠AOD=130°,则∠BOC的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°5.如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,则∠BCA的度数为()A.25°B.50°C.65°D.75°6.如图,方格纸中有四个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3为()A.90°B.120°C.135°D.150°7.如图,是的平分线,D,E,F分别是射线、射线、射线上的点,连接.若添加一个条件使,则这个条件可以为()A.B.C.D.8.如图,已知的周长是16,MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,且MD=4,则的面积是()A.64 B.48 C.32 D.42二、填空题9.如图,已知∠ACB=∠DBC,请增加一个条件,使△ABC≌△DCB,你添加的条件为.10.如图,AC=DB,AO=DO,则、两点之间的距离为.11.如图,点在等边三角形内部, AD=AE ,若,则需添加一个条件:.12.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE=FE,AB=5,CF=3,则BD的长是.13.如图,在中,AB=AC,分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、CE,若厘米,厘米,则的长为.三、解答题14.如图,在△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,过A、B两点分别作直线l的垂线AE、BF,垂足分别为E、F,AE=CF,求证:∠ACB=90°15.如图,已知DE⊥AE,DF⊥AF,且DE=DF,B、C分别是AE、AF上的点,AB=AC求证:DB=DC16.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB//ED,AC//FD,交于O,求证:OA=OD.17.如图,在中,点D是线段上一点,以为腰作等腰直角,使于点G,交于点F.求证:.18.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E为对角线BD上一点,∠A=∠BEC,且AD=BE.(1)△ABD和△ECB全等吗?请说明理由;(2)若∠BDC=65°,求∠ADB的度数.参考答案1.B2.B3.C4.C5.D6.C7.A8.C9.AC=BD(答案不唯一)10.5511.或或或等12.213.14厘米14.证明:在Rt△ACE和Rt△CBF中∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL)∴∠EAC=∠BCF∵∠EAC+∠ACE=90°∴∠ACE+∠BCF=90°∴∠ACB=180°-90°=90°.15.解:∵DE⊥AE,DF⊥AF,且DE=DF∴AD平分∠FAE∴∠CAD=∠BAD又AD=AD,AB=AC∴△ACD≌△ABD∴DB=DC.16.证明:∴∵∴∵∴在和中∴∴在和中∴∴.17.证明:∵∴∵,即∴∴∵∴∴∵∴.18.(1)解:△ABD和△ECB全等,理由如下:∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBE在△ADB和△EBC中∴△ADB≌△EBC(ASA);(2)解:∵△ADB≌△EBC ∴BC=BD∴∠BDC=∠BCD=65°∴∠DBC=50°∴∠ADB=50°.。
一、选择题1.如图,△ABC ≌△ADE ,AB =AD ,AC =AE ,∠B =28︒,∠E =95︒,∠EAB =20︒,则∠BAD 等于( )A .75︒B .57︒C .55︒D .77︒2.如图O 是ABC 内的一点,且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE .若70A ∠=︒,则BOC ∠( ).A .125°B .135°C .105°D .100° 3.如图,在ABC 中,AB AC =,点D ,E 在BC 上,连接AD ,AE ,若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠,则添加的条件不能为( )A .BD CE =B .AD AE =C .BE CD = D .DA DE = 4.如图,在△ABC 中,∠B =∠C =50°,BD =CF ,BE =CD ,则∠EDF 的度数是( )A .40°B .50°C .60°D .30°5.如图所示,已知AB ∥CD ,BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ,OE AC ⊥于点E ,且3OE cm =,则点O 到AB ,CD 的距离之和是( )A .3cmB .6cmC .9cmD .12cm 6.如图,ABC 和DEF 中,∠A=∠D ,∠C=∠F ,要使ABC DEF ≅,还需增加的条件是( )A .AB=EFB .AC=DFC .∠B=∠ED .CB=DE 7.下列判断正确的个数是( )①三角形的三条高都在三角形的内部,并且相交于一点;②两边及一角对应相等的两个三角形全等;③两角及一边对应相等的两个三角形全等;④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个;⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等.A .4B .3C .2D .18.下列命题的逆命题是假命题的是( )A .直角三角形两锐角互余B .全等三角形对应角相等C .两直线平行,同位角相等D .角平分线上的点到角两边的距离相等 9.如图所示的正方形ABCD 中,点E 在边CD 上,把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ,20FAB ∠=︒.旋转角的度数是( )A .110°B .90°C .70°D .20° 10.到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( ) A .三条中线的交点B .三条边的垂直平分线的交点C .三条高的交点D .三条角平分线的交点11.如图,已知∠A=∠D , AM=DN ,根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是( )A .BM ∥CNB .∠M=∠NC .BM=CND .AB=CD 12.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC 的是( )A .AB =3,BC =4,∠C =40°B .∠A =60°,∠B =45°,AB =4C .∠C =90°,AB =6D .AB =4,BC =3,∠A =30°13.如图,在ABC 中,B C ∠=∠,E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点,且BE CD =,BD CF =,若 104A ∠=︒,则EDF ∠的度数为( )A .24°B .32°C .38°D .52° 14.如图,C 是∠AOB 的平分线上一点,添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是( )A .OA =OB B .AC =BC C .∠A =∠BD .∠1=∠2 15.根据下列条件,能画出唯一ABC 的是( )A .3AB =,4BC =,7CA =B .4AC =,6BC =,60A ∠=︒ C .45A ∠=︒,60B ∠=︒,75C ∠=︒D .5AB =,4BC =,90C ∠=︒二、填空题16.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,点D 在边AC 上,DE ⊥AB 于点E ,DC =DE ,∠A =32°,则∠BDC 的度数为________.17.如图,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,AD=AE ,请添加一个条件,使得ABE ≌ACD .这个条件可以为_____(只填一个条件即可).18.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的角平分线,若BC =8cm ,BD =5cm ,AB=10cm,则S △ABD =______.19.如图,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,DE BC ⊥于点E ,若2DE =,7BC =,12ABC S =△,则AB 的长为______.20.如图所示,在ABC 中,AB AC =,AD 是ABC 的角平分线,DE AB ⊥,DF AC ⊥,垂足分别是E ,F .则下面结论中(1)DA 平分EDF ∠;(2)AE AF =,DE DF =;(3)AD 上的点到B ,C 两点的距离相等;(4)图中共有3对全等三角形.正确的有________ .21.在ABC 中,48ABC ︒∠=,点D 在BC 边上,且满足18,BAD DC AB ︒∠==,则CAD ∠=________度. 22.如图,在ABC 中,点D 是BC 上的一点,已知30DAC ∠=︒,75DAB ∠=︒,CE平分ACB ∠交AB 于点E ,连接DE ,则DEC ∠=________度.23.如图,点D ,E 分别在线段AB ,AC 上,CD 与BE 相交于点P ,已知AD =AE .若△ABE ≌△ACD ,则可添加的条件为_____.24.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=40cm ,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于E ,AD :DC=5:3,则D 到AB 的距离为__________cm .25.如图,在ABC 中,AD 平分BAC ∠,P 为线段AD 上的一个动点,PE AD ⊥交直线BC 于点E .若35B ∠=︒,85ACB ∠=︒,则E ∠的度数为______.26.如图,已知点(44)A -,,一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转,角的两边分别交x 轴正半轴,y 轴负半轴于E 、F ,连接EF .当△AEF 直角三角形时,点E 的坐标是________.三、解答题27.(1)如图,∠MAB =30°,AB =2cm ,点C 在射线AM 上,画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题,请画出图形,并写出你所选取的BC的长约为 cm (精确到0.lcm ).(2)∠MAB 为锐角,AB =a ,点C 在射线AM 上,点B 到射线AM 的距离为d ,BC =x ,若△ABC 的形状、大小是唯一确定的,则x 的取值范围是 .28.已知:如图,BAD CAE ∠=∠,AB AD =,AC AE =.(1)求证:ABC ADE △≌△.(2)若42,86B C ∠=︒∠=︒,求DAE ∠的度数.29.已知ACE △和DBF 中,AE FD =,//AE FD ,AB DC =,请判断CE 与BF 的位置关系,并说明理由.30.已知:在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,点D 是AB 的中点,点E 是AB 边上一点.(1)直线BF 垂直CE 于点F ,交CD 于点G (如图1),求证:AE =CG ;(2)直线AH 垂直于CE ,垂足为H ,交CD 的延长线于点M (如图2),找出图中与BE 相等的线段,并说明理由.。
期末复习《全等三角形》单元试卷2024-2025学年人教版数学八年级上册一、选择题1. 下列条件不能确定两个三角形全等的是( )A.三条边对应相等B.两条边及其中一边所对的角对应相等C.两边及其夹角对应相等D.两个角及其中一角所对的边对应相等2. 如图,∠C=∠B,能用ASA来判断△ABD≌△ACE,需要添加的条件是( )A.AE=AD B.AB=ACC.CE=BD D.∠ADB=∠AEC3. 如图在△ABC中,∠ACB=90∘,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于( )A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm4. 如图所示,A,B在一水池两侧,若BE=DE,∠B=∠D=90∘,CD=10 m,则水池宽AB=( )m.A.8B.10C.12D.无法确定5. 如图,△ABC≌△BDE,若AB=12,ED=5,则CD的长为( )A.5B.6C.7D.86. 如图所示为打碎的一块三角形玻璃,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去7. 如图,△ABC中,AB=AC,高BD,CE相交于点O,连接AO并延长交BC于点F,则图中全等的直角三角形共有( )A.4对B.5对C.6对D.7对8. 如图,四边形ABDC中,对角线AD平分∠BAC,∠ACD=136∘,∠BCD=44∘,则∠ADB的度数为( )A.54∘B.48∘C.46∘D.50∘二、填空题9. 如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是(只需写一个,不添加辅助线).10. 如图,在Rt△ACB中,∠C=90∘,AB=23,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交边EF的长为半径画弧,两弧相交于点P,AB,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于12作射线BP交AC于点D,若CD=1,则△ABD的面积为.11. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=.12. 在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(4,0),点P与A,B不重合.若以P,O,B三点为顶点的三角形与△ABO全等,则点P的坐标为.13. 如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠B+∠F=.14. 如图,∠C=90∘,AC=20,BC=10,AX⊥AC,点P和点Q同时从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当AP=时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC全等.15. 如图,△ABC中,∠A=60∘,AB>AC,两内角的平分线CD,BE交于点O,OF平分∠BOC交BC于F,(1)∠BOC=120∘;(2)连AO,则AO平分∠BAC;(3)A,O,F三点在同一直线上,(4)OD=OE,(5)BD+CE=BC.其中正确的结论是(填序号).三、解答题16. 如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE,CD相交于点O,∠B=∠C,BD=CE.求证:(1) OD=OE;(2) △ABE≌△ACD.17. 如图,AB=DC,AC=DB.求证:∠1=∠2.18. 如图,已知△CAB≌△EAD,且点C,A,D三点在同一直线上.(1) 写出这两个全等三角形的对应顶点、对应边及对应角(2) 若∠CAB=135∘,求∠EAC的度数.(3) 若CA=3 cm,AB=5 cm,求CD的长.19. 已知在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AE与BD交于点F.(1) 如图①,当α=90∘时,求证:①△ACE≌△BCD;②AE⊥BD.(2) 如图②,当α=60∘时,∠AFB的度数为.(3) 如图③,∠AFD的度数为(用含α的式子表示).20. 在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180∘,点E是线段BC上的点,∠EAF=1∠BAD.2(1) 如图①,当点F在线段CD上时,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系;(2) 如图②,旋转∠EAF到使得点F在CD的延长线上时,(1)中的结论是否依然成立?若成立说明理由;若不成立,试写出相应的结论并给出你的证明.21. 已知AB=12,AC=BD=8.点P在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们的运动时间为t s.(1) 如图①,AC⊥AB,BD⊥AB,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.(2) 如图②,∠CAB=∠DBA=60∘,设点Q的运动速度为每秒x个单位长度,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.答案一、选择题1. B2. B3. C4. B5. C6. C7. C8. C二、填空题9. AB =ED 10. 311. 135∘12. (0,−2),(4,2),(4,−2)13. 9014. 10 或 2015. ①②④⑤三、解答题16.(1) 在 △BOD 和 △COE 中,{∠BOD =∠COE,∠B =∠C,BD =CE,∴△BOD ≌△COE (AAS),∴OD =OE .(2) ∵D ,E 分别是 AB ,AC 的中点,∴AD =BD =12AB ,AE =CE =12AC ,∵BD=CE,∴AD=AE,AB=AC,在△ABE和△ACD中,{AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,∴△ABE≌△ACD(SAS).17. 在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠A=∠D,又∵∠AOB=∠DOC,∴∠1=∠2.18.(1) 对应顶点:点C对应点E,点A对应点A,点B对应点D.对应边:CA对应EA,CB对应ED,AB对应AD.对应角:∠CAB对应∠EAD,∠C对应∠E,∠B对应∠D.(2) ∵△CAB≌△EAD,∴∠CAB=∠EAD=135∘.∵点C,A,D三点在同一直线上,∴∠EAC=180∘−∠EAD=180∘−135∘=45∘.(3) ∵△CAB≌△EAD,∴AB=AD=5 cm,∴CD=CA+AD=3+5=8 cm.19.(1) ①∵∠ACB=∠DCE=90∘,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.②在△ACE和△BCD中,{AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠CAE=∠CBD,∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90∘,∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90∘,∴∠AFB=90∘,∴AE⊥BD.(2) 60∘(3) 180∘−α20.(1) EF=BE+DF.如解图①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.∵∠B+∠ADF=180∘,∠ADF+∠ADG=180∘,∴∠ADG=∠B.∵BE=DG,∠B=∠ADG,AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.∵∠BAD=2∠EAF,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF.∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF.∵FG=DG+DF=BE+DF,即EF=BE+DF.(2) 结论EF=BE+FD不成立,结论:EF=BE−FD.理由如下:如解图②,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.∵∠B+∠ADC=180∘,∠ADF+∠ADC=180∘,∴∠B=∠ADF.∵AB=AD,∠ABG=∠ADF,BG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS).∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.∴∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF.∵∠BAD=2∠EAF,∴∠GAF=2∠EAF,∴∠GAE=∠FAE.∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS).∴EG=EF,∵EG=BE−BG,∴EF=BE−FD.21.(1) △ACP与△BPQ全等.理由如下:当t=2时,AP=BQ=2×2=4,则BP=AB−AP=12−4=8,∴BP=AC.又∵∠A=∠B=90∘,在△ACP和△BPQ中,{AP=BQ,∠A=∠B,CA=PB,∴△ACP≌△BPQ(SAS).此时PC⊥PQ.证明如下:∵△ACP≌△BPQ,∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠AC=90∘.∴∠CPQ=90∘.即线段PC与线段PQ垂直.(2) ①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,∴{8=12−2t,2t=tx,解得{t=2,x=2;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,∴{8=xt,2t=12−2t,解得{t=3,x=83.综上所述,当{t=2,x=2或{t=3,x=83时,△ACP与△BPQ全等.。
一、选择题1.如图,△ABC ≌△ADE ,AB =AD ,AC =AE ,∠B =28︒,∠E =95︒,∠EAB =20︒,则∠BAD 等于( )A .75︒B .57︒C .55︒D .77︒D解析:D【分析】 先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°,再由三角形内角和为180°,求出∠DAE=57°,然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB 即可得出∠BAD 的度数.【详解】解:∵△ABC ≌△ADE ,∴∠B=∠D=28°,又∵∠D+∠E+∠DAE=180°,∠E=95°,∴∠DAE=180°-28°-95°=57°,∵∠EAB=20°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°.故选:D .【点睛】本题考查了全等三角形的性质,三角形内角和定理,比较简单.由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键.2.如图,在ABC 中,8AB AC ==厘米,6BC =厘米,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上,由C 点向A 点运动,为了使BPD CPQ △≌△,点Q 的运动速度应为( )A .1厘米/秒B .2厘米/秒C .3厘米/秒D .4厘米/秒D解析:D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解.【详解】解:设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ,点Q 的运动速度为v ,则由题意得:BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩, 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩, 解之得:14t v =⎧⎨=⎩, ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒,故选D .【点睛】本题考查三角形全等的综合应用,熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键.3.MAB ∠为锐角,AB a ,点C 在射线AM 上,点B 到射线AM 的距离为d ,BC x =,若△ABC 的形状、大小是唯一确定的,则x 的取值范围是( )A .x d =或x a ≥B .x a ≥C .x d =D .x d =或x a > A解析:A【分析】 当x =d 时,BC ⊥AM ,C 点唯一;当x ≥a 时,能构成△ABC 的C 点唯一,可确定取值范围.【详解】解:若△ABC 的形状、大小是唯一确定的,则C 点唯一即可,当x =d 时,BC ⊥AM ,C 点唯一;当x >a 时,以B 为圆心,BC 为半径的作弧,与射线AM 只有一个交点,x =a 时,以B 为圆心,BC 为半径的作弧,与射线AM 只有两个交点,一个与A 重合, 所以,当x ≥a 时,能构成△ABC 的C 点唯一,故选为:A .【点睛】本题考查了三角形的画法,根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键.4.如图,在ABC 和DEF 中,,B DEF AB DE ∠=∠=,添加下列一个条件后,仍然不能证明ABC DEF ≌,这个条件是( )A .A D ∠=∠B .BC EF = C .ACB F ∠=∠D .AC DF = D解析:D【分析】 根据全等三角形的判定,利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案.【详解】解:∵∠B=∠DEF ,AB=DE ,∴添加∠A=∠D ,利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ;添加BC=EF ,利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ;添加∠ACB=∠F ,利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ;添加AC DF =,不符合任何一个全等判定定理,不能证明△ABC ≌△DEF ;故选:D .【点睛】本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法:SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键.5.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,AD 是BC 边上的中线,AD 的取值范围是( )A .1<AD <6B .1<AD <4C .2<AD <8 D .2<AD <4B解析:B【分析】 先延长AD 到E ,且AD DE =,并连接BE ,由于ADC BDE ∠=∠,BD DC =,利用SAS 易证ADC EDB ≌,从而可得AC BE =,在ABE △中,再利用三角形三边的关系,可得28AE <<,从而易求14AD <<.【详解】解:延长AD 到E ,使AD DE =,连接BE ,则AE=2AD ,∵AD DE =,ADC BDE ∠=∠,BD DC =,∴ADC EDB ≌()SAS ,3BE AC ∴==,在AEB △中,AB BE AE AB BE -<<+,即53253AD -<<+,∴14AD <<.故选:B .【点睛】此题主要考查三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 6.如图所示,下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是( )A .甲和乙B .乙和丙C .只有丙D .只有乙B解析:B【分析】 甲只有2个已知条件,缺少判定依据;乙可根据SAS 判定与△ABC 全等;丙可根据AAS 判定与△ABC 全等,可得答案.【详解】解:甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等;乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等,故乙与△ABC 全等;丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角,可根据AAS 判定乙与△ABC 全等;则与△ABC 全等的有乙和丙,故选:B .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理,熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理,注意对应二字的理解很重要.7.如图,AB AC =,AD AE =,55A ︒∠=,35C ︒∠=,则DOE ∠的度数是( )A .105︒B .115︒C .125︒D .130︒C解析:C【分析】 先判定△ABE ≌△ACD ,再根据全等三角形的性质,得出∠B=∠C=35︒,由三角形外角的性质即可得到答案.【详解】在△ABE 和△ACD 中,AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ACD (SAS ),∴∠B=∠C ,∵∠C=35︒,∴∠B=35︒,∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒,∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒,故选:C .【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键.8.如图,AB 与CD 相交于点E ,AD=CB ,要使△ADE ≌△CBE ,需添加一个条件,则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )A .AE=CE ;SASB .DE=BE ;SASC .∠D=∠B ;AASD .∠A=∠C ;ASA C解析:C【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断.【详解】解:A.添加AE=CE 后,根据已知两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等;故不符合题意;B.添加DE=BE 后,根据已知两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等;故不符合题意;C.添加∠D=∠B ,根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ,故此选项符合题意;D.添加∠A=∠C ,根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ,故此选项不符合题意;故选:C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、AAS 、ASA .关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等.9.如图,已知∠A=∠D , AM=DN ,根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是( )A .BM ∥CNB .∠M=∠NC .BM=CND .AB=CD C解析:C【分析】 利用全等三角形的判断方法进行求解即可.【详解】A 、因为 BM ∥CN ,所以∠ABM=∠DCN ,又因为∠A=∠D , AM=DN ,所以△ABN ≅△DCN(AAS),故A 选项不符合题意;B 、因为∠M=∠N ,∠A=∠D , AM=DN ,所以△ABN ≅△DCN(ASA),故B 选项不符合题意;C 、BM=CN ,不能判定△ABN ≅△DCN ,故C 选项符合题意;D 、因为AB=CD ,∠A=∠D , AM=DN ,所以△ABN ≅△DCN(SAS),故D 选项不符合题意.故选:C .【点评】本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.10.如图,在OAB 和OCD 中,OA OB =,OC OD =,OA OC >,40AOB COD ∠=∠=︒,连接AC 、BD 交于点M ,连接OM ,下列结论:①AC BD =;②40AMB ∠=︒;③OM 平分BOC ∠;④MO 平分BMC ∠,其中正确的为( )A .①②③B .①②④C .②③④D .①②③④B解析:B【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠,=AC BD ,①正确;由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠,由三角形的外角性质得:AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠,得出40AOB COD ∠=∠=︒,②正确;作OG MC ⊥于G ,OH MB ⊥于H ,如图所示:则90OGC OHD ∠=∠=,由AAS 证明OCG ODH ≅(AAS ),得出OG=OH ,由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠,④正确;由AOB COD ∠=∠,得出当∠=∠DOM AOM 时,OM 平分BOC ∠,假设∠=∠DOM AOM ,由AOC BOD ≅得出COM BOM ,由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ,推出COM BOM ≅,得出OB=OC ,OA=OB ,所以OA=OC ,而OA OC >,故③错误;即可得出结论.【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒,∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅(SAS )∴OCA ODB ∠=∠,=AC BD ,①正确;∴OAC OBD ∠=∠,由三角形的外角性质得:AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠,∴40AOB COD ∠=∠=︒,②正确;作OG MC ⊥于G ,OH MB ⊥于H ,如图所示:则90OGC OHD ∠=∠=,在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅(AAS ),∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠,④正确;∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时,OM 平分BOC ∠,假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅∴COM BOM ,∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ,在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅(ASA )∴OB=OC ,∵OA=OB ,∴OA=OC ,与OA OC >矛盾,∴③错误;正确的有①②④;故选:B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识;证明三角形全等是解题的关键.二、填空题11.如图,已知//AD BC ,点E 为CD 上一点,AE ,BE 分别平分DAB ∠,CBA ∠.若3cm AE =,4cm BE =,则四边形ABCD 的面积是________.【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解:如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为:【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角 解析:212cm【分析】如图,延长AE ,BC 交于点M ,通过条件证明()ABE MBE AAS ≅,再证明()ADE MCE ASA ≅,可知ADE MCE SS =,=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果.【详解】 解:如图,延长AE ,BC 交于点M ,AE 平分DAB ∠,BAE DAE ∴∠=∠,//AD BC ,//AD BM ∴,BAE DAE CME ∴∠=∠=∠,又 BE 平分CBA ∠,ABE MBE ∴∠=∠,BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠,,BE=BE ,()ABE MBE AAS ∴≅,90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=,,DAE CME AE ME ∠=∠=,,AED MEC ∠=∠,()ADE MCE ASA ∴≅,ADE MCE S S ∴=,3cm AE =,4cm BE =,21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形, 故答案为:212cm .【点睛】本题考查全等三角形的综合问题,需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质,能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键.12.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,以顶点A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC ,AB 于点M ,N ,再分别以点M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点D .若3CD =,10AB =,则ABD △的面积是______.15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解:如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析:15【分析】如图,过点D 作DE ⊥AB 于E .首先证明DE=CD=3,再利用三角形的面积公式计算即可.【详解】解:如图,过点D 作DE ⊥AB 于E .由作图可知,AD 平分∠CAB ,∵CD ⊥AC ,DE ⊥AB ,∴DE=CD=3,∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15, 故答案为15.【点睛】本题考查了作图-基本作图,角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题.13.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D,若∠D=20°,则∠A=_____.40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC=2∠DBC∠ACE=2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D=∠DCE﹣∠DBE∠A=∠ACE﹣∠ABC即得出∠A=2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC解析:40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE.再根据三角形外角的性质可得出∠D=∠DCE﹣∠DBE,∠A=∠ACE﹣∠ABC.即得出∠A=2∠D,即得出答案.【详解】∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D,∴∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE,∵∠DCE是△BCD的外角,∴∠D=∠DCE﹣∠DBE,∵∠ACE是△ABC的外角,∠A=∠ACE﹣∠ABC=2∠DCE﹣2∠DBE=2(∠DCE﹣∠DBE),∴∠A=2∠D=40°.故答案为:40°.【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质,熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键.≅,延长BC,分别交AD,ED于点F,G,若14.如图,ABC ADE∠=________︒.∠=︒,10B∠=︒,30EAB120CAD∠=︒,则CFD95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解:∵∴∴∴∴故答案为:【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定解析:95【分析】根据全等三角形的性质,得∠BAC=∠DAE ,结合三角形外角的性质和三角形内角和定理,即可求解.【详解】解:∵ABC ADE ≅,∴()12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=,∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=,∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=,∴1808595CFD ∠=-=.故答案为:95.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质,三角形外角的性质和三角形内角和定理,熟练掌握上述定理和性质,是解题的关键.15.如图,90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥,垂足分别为,D E ,若9,6AD DE ==,则BE 的长为________________________.3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解:∵∠A解析:3【分析】由AD ⊥CE ,BE ⊥CE ,可以得到∠BEC=∠CDA=90°,再根据∠ACB=90°,可以得到∠BCE=∠CAD ,从而求得△CEB ≌△ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长.【详解】解:∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,∴∠BCE+∠DCA=90°,∠BEC=∠CDA=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠BCE=∠CAD ,在△CEB 和△ADC 中,BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CEB ≌△ADC (AAS );∴BE=CD ,CE=AD=9.∵DC=CE-DE ,DE=6,∴DC=9-6=3,∴BE=3.故答案为:3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.16.如图,在四边形ABCD 中,90A ∠=︒,3AD =,连接BD ,BD CD ⊥,ADB C ∠=∠.若P 是BC 边上一动点,则DP 长的最小值为_______.3【分析】过点D 作于点H 先证明BD 是的角平分线然后根据角平分线的性质得到当点P 运动到点H 的位置时DP 的长最小即DH 的长【详解】解:如图过点D 作于点H ∵∴∵∴∴BD 是的角平分线∵∴∵点D 是直线BC 外一解析:3【分析】过点D 作DH BC ⊥于点H ,先证明BD 是ABC ∠的角平分线,然后根据角平分线的性质得到3AD DH ==,当点P 运动到点H 的位置时,DP 的长最小,即DH 的长.【详解】解:如图,过点D 作DH BC ⊥于点H ,∵BD CD ⊥,∴90BDC ∠=︒,∵180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒,180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒,ADB C ∠=∠,90A ∠=︒,∴ABD CBD ∠=∠,∴BD 是ABC ∠的角平分线,∵AD AB ⊥,DH BC ⊥,∴3AD DH ==,∵点D 是直线BC 外一点,∴当点P 在BC 上运动时,点P 运动到与点H 重合时DP 最短,其长度为DH 长,即DP 长的最小值是3.故答案是:3.【点睛】本题考查角平分线的性质,解题的关键是熟练运用角平分线的性质定理.17.如图,∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADC ,还需添加条件:_____.(填写一个你认为正确的即可)AB =AD (答案不唯一)【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1=∠2AC =AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1=∠2AC =AC ∴若添加条件AB =A解析:AB =AD (答案不唯一)【分析】根据题目中条件和图形,可以得到∠1=∠2,AC =AC ,然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件,本题得以解决.【详解】由已知可得,∠1=∠2,AC =AC ,∴若添加条件AB =AD ,则△ABC ≌△ADC (SAS );若添加条件∠ACB=∠ACD,则△ABC≌△ADC(ASA);若添加条件∠ABC=∠ADC,则△ABC≌△ADC(AAS);故答案为:AB=AD(答案不唯一).【点睛】本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.18.如图,AB=8cm,AC=5cm,∠A=∠B,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动,同时,点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动,则△ACP与△BPQ全等时,x的值为_____________2或【分析】由∠A=∠B可知△ACP与△BPQ全等时CP和PQ是对应边则分AP=BQ和AP=PB两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t秒则AP=2tBP=AB-AP=8-2tBQ=xt∵∠解析:2或5 2【分析】由∠A=∠B,可知△ACP与△BPQ全等时,CP和PQ是对应边,则分AP=BQ和AP=PB两种情况进行讨论即可.【详解】设动点的运动时间为t秒,则AP=2t,BP=AB-AP=8-2t,BQ=xt,∵∠A=∠B,∴CP和PQ是对应边,当△ACP与△BPQ全等时,①AP=BQ,即:2t= xt,解得:x=2,②AP=PB,即:2t=8-2t,解得:t=2,此时,BQ=AC,xt=5,即:2x=5,解得:x=5 2故填:2或52.【点睛】本题考查全等三角形的性质,“分类讨论”的数学思想是关键.19.如图,△ABC的面积为1cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则△PBC的面积为___.cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解:如图延长AP 交BC 于T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌ 解析:12 cm 2 【分析】如图,延长AP 交BC 于T .利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题.【详解】解:如图,延长AP 交BC 于T .∵BP ⊥AT ,∴∠BPA=∠BPT=90°,∵BP=BP ,∠PBA=∠PBT ,∴△BPA ≌△BPT (ASA ),∴PA=PT ,∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==,1122PBC ABC S S ∴==, 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质,三角形的面积,等高模型等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线吗,构造全等三角形解决问题.20.如图,ABC ∆中,90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==,点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动.点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,在某时刻,分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F .则点P 运动时间为_______________时,PEC ∆与QFC ∆全等.或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果;【详解】如图1所示:与全等解得:;如图2所示:点与点重合与全等解得:;故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析:1或7 2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论,通过证明全等即可得到结果;【详解】如图1所示:PEC∆与QFC∆全等,PC QC,683∴-=-t t,解得:1t=;如图2所示:点P与点Q重合,PEC与QFC∆全等,638∴-=-t t,解得:72t=;故答案为:1或72.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,准确分析计算是解题的关键.三、解答题21.(1)如图,∠MAB=30°,AB=2cm,点C在射线AM上,画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题,请画出图形,并写出你所选取的BC 的长约为 cm (精确到0.lcm ).(2)∠MAB 为锐角,AB =a ,点C 在射线AM 上,点B 到射线AM 的距离为d ,BC =x ,若△ABC 的形状、大小是唯一确定的,则x 的取值范围是 .解析:(1)见解析,1.2;(2)x=d 或x≥a【分析】(1)可以取BC =1.2cm (1cm <BC <2cm ),画出图形即可; (2)当x =d 或x≥a 时,三角形是唯一确定的.【详解】(1)如图,选取的BC 的长约为1.2cm ,故答案是:1.2;(2)若△ABC 的形状、大小是唯一确定的,则x 的取值范围是x =d 或x≥a ,故答案为:x=d 或x≥a .【点睛】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是理解题意,掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”,属于中考常考题型.22.如图,点D 在边AC 上,BC 与DE 交于点P ,AB DB =,C E ∠=∠,CDE ABD ∠=∠.(1)求证:ABC DBE ≌;(2)已知162ABE ∠=︒,30DBC ∠=︒,求CDE ∠的度数.解析:(1)见解析;(2)66°【分析】(1)根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ,再证明∠ABC=∠DBE ,根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ;(2)根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数,从而得到∠CDE .【详解】解:(1)∵∠C=∠E ,∠CPD=∠EPB ,∴∠CDE=∠CBE ,∵∠CDE=∠ABD ,∴∠CBE=∠ABD ,∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ,即∠ABC=∠DBE ,又∠C=∠E ,AB=DB ,∴△ABC ≌△DBE (AAS );(2)∵162ABE ∠=︒,30DBC ∠=︒,∴∠ABD=∠CBE=(162°-30°)÷2=66°,∴∠CDE=∠CBE=66°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理的应用,寻找三角形全等的条件是解题的关键.23.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,CD 平分∠ACB ,BE ⊥CD ,垂足E 在CD 的延长线上.求证:CD=2BE .解析:见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ,再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ,利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等,根据全等三角形对应边相等BE=EF ,整理即可得证.【详解】证明:∵BE ⊥CD ,∠BAC=90°,∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°,∠ABF+∠F=180°-90°=90°,∴∠ACD=∠ABF ,在△AFB 和△ADC 中,90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩====, ∴△AFB ≌△ADC (ASA );∴CD=BF ,∵CD 平分∠ACB ,∴∠BCE=∠FCE ,在△BCE 和△FCE 中,90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩====, ∴△BCE ≌△FCE (ASA ),∴BE=EF ,∴BF=2BE∴CD=2BE .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键.24.小敏在学习了几何知识后,对角的知识产生了兴趣,进行了如下探究:(1)如图1,∠AOB =90°,在图中动手画图(不用写画法).在∠AOB 内部任意画一条射线OC ;画∠AOC 的平分线OM ,画∠BOC 的平分线ON ;用量角器量得∠MON =______. (2)如图2,∠AOB =90°,将OC 向下旋转,使∠BOC =30°,仍然分别作∠AOC ,∠BOC 的平分线OM ,ON ,能否求出∠MON 的度数,若能,求出其值,若不能,试说明理由.解析:(1)作图见解析,45;(2)能,45【分析】(1)以点O 为圆心,任意长为半径,画圆弧,并分别交OA 、OC 于点H 、点G ;再分别以点H 、点G 为圆心,以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ,过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线;同理得∠BOC 的平分线ON ;通过量角器测量即可得到∠MON ;(2)根据题意,得114522COM AOC BOC ∠=∠=+∠,12CON BOC ∠=∠,结合MON COM CON ∠=∠-∠,经计算即可得到答案.【详解】(1)作图如下用量角器量得:∠MON =45故答案为:45;(2)∵∠AOC ,∠BOC 的平分线OM ,ON ,且∠AOB =90°∴()11145222COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12CON BOC ∠=∠ ∴11454522MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+∠-∠=. 【点睛】本题考查了角平分线、射线的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质,从而完成求解.25.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,D 是BC 的中点,证明:∠B =∠C .解析:见解析【分析】通过角平分线上点的性质、D 为BC 中点、DE ⊥AB 、DF ⊥AC 证明出BDE CDF ≌,从而证明∠B =∠C .【详解】∵AD 是AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DE =DF ,∵D 是BC 的中点,∴BD =CD∵△BDE 与△CDF 是直角三角形∴BDE CDF ≌∴∠B =∠C .【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质,正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键.26.如图,E 、A 、C 三点共线,//AB CD ,B E ∠=∠,AC CD =.求证:BC ED =.解析:证明见解析【分析】利用AAS 证明△ABC ≌△CED 即可得到结论.【详解】证明:∵//AB CD ,∴BAC ECD ∠=∠,在ABC 和CED 中BAC ECD B EAC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()ABC CED AAS △≌△,∴BC ED =.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质,熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键.27.如图,在平面直角坐标系中,已知点()1,A a a b -+,(),0B a ,且()2320a b a b +-+-=,C 为x 轴上点B 右侧的动点,以AC 为腰作等腰三角形ACD ,使AD AC =,CAD OAB ∠=∠,直线DB 交y 轴于点P .(1)求证:AO AB =;(2)求证:AOC ABD ∆∆≌;(3)当点C 运动时,点P 在y 轴上的位置是否发生改变,为什么?解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不变,理由见解析.【分析】(1)先根据非负数的性质求出a 、b 的值,作AE ⊥OB 于点E ,由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ,根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)先根据∠CAD=∠OAB ,得出∠OAC=∠BAD ,再由SAS 定理即可得出结论; (3)设∠AOB=∠ABO=α,由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α,故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值,再由OB=2,∠POB=90°可知OP 的长度不变,故可得出结论.【详解】(1)证明:∵()2320a b a b +-+-=,∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ,()2,0B .作AE OB ⊥于点E ,∵()1,3A ,()2,0B ,∴1OE =,211BE =-=,在AEO ∆与AEB ∆中,∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌,∴OA AB =.(2)证明:∵CAD OAB ∠=∠,∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠,即OAC BAD ∠=∠.在AOC ∆与ABD ∆中,∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌.(3)解:点P 在y 轴上的位置不发生改变.理由:设AOB α∠=.∵OA AB =,∴AOB ABO α∠=∠=.由(2)知,AOC ABD ∆∆≌,∴ABD AOB α∠=∠=.∵2OB =,1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值,90POB ∠=︒,易知POB ∆形状、大小确定,∴OP 长度不变,∴点P 在y 轴上的位置不发生改变.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的判定定理是解题的关键. 28.已知:如图,AOB ∠.求作: A O B '''∠,使A O B AOB '''∠=∠.作法:①以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA ,OB 于点C ,D ;②画一条射线O A '',以点O '为圆心,OC 长为半径画弧,交O A ''于点C ';③以点C '为圆心,CD 长为半径画弧,与②中所画的弧相交于点D ;④过点D 画射线O B '',则A O B AOB '''∠=∠;A OB '''∠就是所求作的角.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明证明:连接C D ''.由作法可知OC O C ''=,,,∴COD C O D '''≅.( )(填推理依据).∴A O B AOB '''∠=∠.∴A O B '''∠就是所求作的角.解析:(1)补全图形见解析;(2)OD O D ''=,CD C D ''=,SSS .【分析】(1)根据题意要求作图即可;(2)根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可.【详解】(1)作图:(2)连接C D '',∵OC O C ''=,OD O D ''= ,CD C D ''=,∴COD C O D '''≅(SSS ),∴A O B AOB '''∠=∠.∴A O B '''∠就是所求作的角故答案为:OD O D ''=,CD C D ''=,SSS ..【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角,全等三角形的判定及性质,根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键.。
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE∵AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2AD BC证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGDDE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGDEF =CGB ACDF21E∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠CEF =90°∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF∴∠B =∠CFE∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°∴∠D =∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC =∠FAC∵AC =AC∴△ADC ≌△AFC (SAS )∴AD =AF∴AE =AF +FE =AD +BE7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=28.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB9.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,AD 是BAC ∠的角平分线,若3CD =,8AB =,则ABD △的面积是( )A .12B .10C .8D .62.小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中,回顾了作图的过程,他发现OCD 与'''O C D 全等,请你说明小华得到全等的依据是( )A .SSSB .SASC .ASAD .AAS 3.如图,OB 平分∠AOC ,D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点,D 、E 、F 与O 点都不重合,连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个.就能使DOE ≅FOE ,你认为要添加的那个条件是( )A .OD =OEB .OE =OFC .∠ODE =∠OED D .∠ODE =∠OFE 4D E BC,,12110,60AD AE BE CD BAE ==∠=∠∠=︒=︒,则BAC ∠的度数为( )A .90°B .80°C .70°D .60°5.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,按以下步骤作图:①以B 为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA 、BC 于M 、N 两点;②分别以M 、N 为圆心,以大于12MN 的长为半径作弧,两弧相交于点P ;③作射线BP ,交边AC 于D 点,若5,3AB BC ==,则线段CD 的长为( )A .32B .53C .43D .856.在以下三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD 平分BAC ∠的是( )A .图2B .图1与图2C .图1与图3D .图2与图37.如图,在△ABC 中,∠A =90°,BE 是△ABC 的角平分线,ED ⊥BC 于点D ,CD =4,△CDE 周长为12,则AC 的长是( )8.如图,点E 是△ABC 内一点,∠AEB =90°,AE 平分∠BAC ,D 是边AB 的中点,延长线段DE 交边BC 于点F ,若AB =6,EF =1,则线段AC 的长为( )A .7B .8C .9D .109.如图,AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠,ID BC ⊥,ABC 的周长为18,3ID =,则ABC 的面积为( )A .18B .30C .24D .2710.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务,善思小组想到了以下方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD ,BC 的中点O 固定,只要测得C ,D 之间的距离,就可知道内径AB 的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是( )A .边角边B .三角形中位线定理C .边边边D .全等三角形的对应角相等11.如图,△ABC 中,∠ABC 、∠FCA 的角平分线BP 、CP 交于点P ,延长BA 、BC ,PM ⊥BE 于M ,PN ⊥BF 于N ,则下列结论:①AP 平分∠EAC ;②2180ABC APC ∠+∠=︒;③2BAC BPC ∠=∠;④PAC MAP NCP S S S ∆∆∆=+.其中正确结论的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个12.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC .若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ,连接BE ,且BE 边平分∠ABC ,得到如下结论:①∠AEB =90°;②BC +AD =AB ;③BE =12CD ;④BC =CE ;⑤若AB =x ,则BE 的取值范围为0<BE <x ,那么以上结论正确的是( )A .①②③B .②③④C .①④⑤D .①②⑤二、填空题13.如图,ABC DCB △≌△,若AB =4cm ,BC =6cm ,AC =5cm ,则DC =________cm .14.嘉淇为了测量建筑物墙壁AB 的高度,采用了如图所示的方法:①把一根足够长的竹竿AC 的顶端对齐建筑物顶端A ,末端落在地面C 处;②把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ,使DB =_____,此时竹竿末端落在地面E 处;③测得EB 的长度,就是AB 的高度.以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____(用字母表示).15.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 的长是_____.16.如图,任意画一个60BAC ∠=︒的ABC ,再分别作ABC 的两条角平分线BE 和CD ,BE 和CD 交于点P ,连结AP .有以下结论:①AP 平分BAC ∠;②PD PE =;③BD CE BC =+;④PBD PCE PBC S S S +=.其中正确的序号是_____.三、解答题17.如图,点E 、F 在线段BC 上,//AB CD ,A D ∠=∠,BE CF =,证明:AE DF =.18.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,CD =AB ,DE ∥AB ,∠DCE =∠A .求证:DE =BC .19.如图,点E ,F 在线段AD 上,AB ∥CD ,B C ∠=∠,BE CF =.求证:AF DE =.20.如图,ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E ,F 为直线AD 上的点,连接BE ,CF ,且BE CF ∥.(1)求证:BDE △≌CDF ;(2)若15AE =,8AF =,试求DE 的长.21.如图,已知ABC 中,2C B ∠=∠.(1)请用基本尺规作图:作∠BAC 的角平分线交BC 于点D ,在AB 上取一点E ,使AE =AC ,连接DE .(不写作法,不下结论,保留作图痕迹);(2)在(1)所作的图形中,求证:AB AC CD =+.请完成下面的证明过程:证明:∵AD 平分BAC ∠,∴DAC ∠=______,在EAD 与CAD 中AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAD CAD ≌△△,∴______C =∠,DE CD =,AE =AC ,∵AED BDE ∠=∠+______,且2C B ∠=∠,∴B BDE=,∠=∠,∴BE DE∴BE=______,=+.∵AB AE BE=+,∴AB AC CD22.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D,AC和DB相交于点O,OA=OD.(1)AB=DC;(2)△ABC≌△DCB.23.如图,已知△ABC≌△DEF,AF=5cm.(1)求CD的长.(2)AB与DE平行吗?为什么?解:(1)∵△ABC≌△DEF(已知),∴AC=DF(),∴AC﹣FC=DF﹣FC(等式性质)即=∵AF=5cm∴=5cm(2)∵△ABC≌△DEF(已知)∴∠A=()∴AB()24.在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为BC上一点,BF⊥AD于点E,交AC于点F,连接DF.(1)如图①,当AD平分∠BAC时,①AB与AF相等吗?为什么?②判断DF与AC的位置关系,并说明理由;(2)如图②,当点D为BC的中点时,试说明:∠FDC=∠ADB.25.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边AC上,CD⊥DE,且CD =DE,连接BE,取BE的中点F,连接DF.(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系;(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转,①如图2,(1)中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AF,若AC=3,CD=1,求S△ADF的取值范围.参考答案:1.A【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2,然后根据三角形的面积公式求解即可.【详解】解:如图,过点D 作DE ⊥AB 于E ,∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ∠=︒,CD =3,∴DE =CD =3,∵AB =8,∴△ABD 的面积118312.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选A.【点睛】本题主要考查角了平分线的性质,掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.2.A【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解.【详解】解:在OCD ∆和O C D '''∆中, OD O D OC O C DC D C '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩,()OCD O C D SSS '''∴∆≅∆.故选:A .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.3.D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ,又因为OE 是公共边,根据全等三角形的判断即可得出结果.【详解】解:∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时,可得以下结论:OD =OF ,DE =EF ,∠ODE =∠OFE ,∠OED =∠OEF .A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边,A 不正确;B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边,B 不正确;C 答案中,∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角,C 不正确;D 答案中,若∠ODE =∠OFE ,在△DOE 和△FOE 中,DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE (AAS )∴D 答案正确.故选:D .【点睛】本题考查三角形全等的判断,理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键.4.B【分析】先证明BD =CE ,然后证明△ADB ≌△AEC ,∠ADE =∠AED =70°,得到∠BAD =∠CAE ,根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°,从而求出∠BAD 的度数即可得到答案.【详解】解:∵BE =CD ,∴BE -DE =CD -DE ,即BD =CE ,∵∠1=∠2=110°,AD =AE ,∴△ADB ≌△AEC (SAS ),∠ADE =∠AED =70°,∴∠BAD =∠CAE ,∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°,∵∠BAE =60°,∴∠BAD =∠CAE =20°,∴∠BAC =80°,故选B .【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,邻补角互补,三角形内角和定理,熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键.5.A【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC,过D点作DE⊥AB于E,如图,根据角平分线的性质得到则DE=DC,再利用勾股定理计算出AC=4,然后利用面积法得到12•DE×5+12•CD×3=12×3×4,最后解方程即可.【详解】解:由作法得BD平分∠ABC,过D点作DE⊥AB于E,如图,则DE=DC,在Rt△ABC中,AC BC222253=4,∵S△ABD+S△BCD=S△ABC,∴12•DE×5+12•CD×3=12×3×4,即5CD+3CD=12,∴CD=32,故选:A.【点睛】本题考查了基本作图:作解平分线,角平分线的性质,勾股定理,熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线),角平分线的性质是解题的关键.6.C【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断;利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断.【详解】在图1中,利用基本作图可判断AD平分∠BAC;在图2中,利用基本作图得到D点为BC的中点,则AD为BC边上的中线;在图3中,根据作法可知:AE =AF ,AM =AN ,在△AMF 和△ANE 中,AF AE MAF NAE AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AMF ≌△ANE (SAS ),∴∠AMD =∠AND ,∵AE =AF ,AM =AN ,∴ME =NF ,在△MDE 和△NDF 中,MDE NDF AMD AND ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△MDE ≌△NDF (AAS ),MDE NDF S S ∴=△△所以D 点到AM 和AN 的距离相等,∴AD 平分∠BAC .综上,能判断射线AD 平分∠BAC 的是图1和图3.故选:C .【点睛】本题考查了作图-基本作图,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定,解决本题的关键是掌握角平分线的作法.7.B【分析】根据角平分线的性质得到AE =DE ,根据三角形的周长公式计算,得到答案.【详解】解:∵BE 是△ABC 的角平分线,ED ⊥BC ,∠A =90°,∴AE =DE ,∵△CDE 的周长为12,CD =4,∴DE +EC =8,∴AC =AE +EC =8,故选:B .【点睛】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.8.B【分析】延长BE 交AC 于H ,证明HAE BAE ∆≅∆,根据全等三角形的性质求出AH ,根据三角形中位线定理解答即可.【详解】解:延长BE 交AC 于H , AE 平分BAC ∠,HAE BAE ∴∠=∠,在HAE ∆和BAE ∆中,HAE BAE AE AEAEH AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()HAE BAE ASA ∴∆≅∆,6AH AB ∴==,HE BE =,HE BE =,AD DB =,//DF AC ∴,HE BE =,22HC EF ∴==,8AC AH HC ∴=+=,故选:B .【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.9.D【分析】过I 点作IE ⊥AB 于点E ,IF ⊥AC 于点F ,如图,利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3,然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△,据此即可求得.【详解】解:过I 点作IE ⊥AB 于点E ,IF ⊥AC 于点F ,如图,∵AI ,BI ,CI 分别平分∠BAC ,∠ABC ,∠ACB ,∴IE =IF =ID =3,∴ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选:D .【点睛】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形的面积.10.A【分析】根据O 是AD 与BC 的中点,得到OA =OD ,OB =OC ,根据∠AOB =∠DOC ,推出△AOB ≌△DOC ,是SAS .【详解】∵O 是AD 与BC 的中点,∴OA =OD ,OB =OC ,∵∠AOB =∠DOC ,∴△AOB ≌△DOC (SAS).故选A .【点睛】本题考查了测量原理,解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理.11.D【分析】过点P 作PD ⊥AC 于D ,根据角平分线的判定定理和性质定理判断①;证明Rt △P AM ≌Rt △P AD ,根据全等三角形的性质得出∠APM =∠APD ,同理得出∠CPD =∠CPN ,可判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等三角形的性质判断④.【详解】解:①过点P 作PD ⊥AC 于D ,∵PB 平分∠ABC ,PC 平分∠FCA ,PM ⊥BE ,PN ⊥BF ,PD ⊥AC ,∴PM =PN ,PN =PD ,∴PM =PN =PD ,∴AP 平分∠EAC ,故①正确;②∵PM ⊥AB ,PN ⊥BC ,∴∠ABC +90°+∠MPN +90°=360°,∴∠ABC +∠MPN =180°,在Rt △P AM 和Rt △P AD 中,PM PD PA PA=⎧⎨=⎩, ∴Rt △P AM ≌Rt △P AD (HL ),∴∠APM =∠APD ,同理:Rt △PCD ≌Rt △PCN (HL ),∴∠CPD =∠CPN ,∴∠MPN =2∠APC ,∴∠ABC +2∠APC =180°,②正确;③∵PC 平分∠FCA ,BP 平分∠ABC ,∴∠ACF =∠ABC +∠BAC =2∠PCN ,∠PCN =12∠ABC +∠BPC , ∴()1122PCN ABC BPC ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠BAC =2∠BPC ,③正确;④由②可知Rt △P AM ≌Rt △P AD (HL ),Rt △PCD ≌Rt △PCN (HL )∴S △APD =S △APM ,S △CPD =S △CPN ,∴S △APM +S △CPN =S △APC ,故④正确,故选:D【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.12.D【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可得∠ABC +∠BAD =180°,又BE 、AE 都是角平分线,可以推出∠ABE +∠BAE =90°,从而得到∠AEB =90°,然后延长AE 交BC 的延长线于点F ,先证明△ABE 与△FBE 全等,再根据全等三角形对应边相等得到AE =EF ,然后证明△AED 与△FEC 全等,从而可以证明①②⑤正确,AB 与CD 不一定相等,所以③④不正确.【详解】解:∵AD ∥BC ,∴∠ABC +∠BAD =180°,∵AE 、BE 分别是∠BAD 与∠ABC 的平分线,∴∠BAE =12∠BAD ,∠ABE =12∠ABC ,∴∠BAE +∠ABE =12(∠BAD +∠ABC )=90°,∴∠AEB =180°﹣(∠BAE +∠ABE )=180°﹣90°=90°,故①小题正确;如图,延长AE 交BC 延长线于F ,∵∠AEB =90°,∴BE ⊥AF ,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠FBE ,在△ABE 与△FBE 中,90ABE FBE BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩==== , ∴△ABE ≌△FBE (ASA ),∴AB =BF ,AE =FE ,∵AD ∥BC ,∴∠EAD =∠F ,在△ADE 与△FCE 中,EAD F AE FE AED FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== ,∴△ADE ≌△FCE (ASA ),∴AD =CF ,∴AB =BF =BC +CF =BC +AD ,故②小题正确;∵△ADE ≌△FCE ,∴CE =DE ,即点E 为CD 的中点,∵BE 与CE 不一定相等∴BE 与12CD 不一定相等,故③小题错误;若AD =BC ,则CE 是Rt △BEF 斜边上的中线,则BC =CE ,∵AD 与BC 不一定相等,∴BC 与CE 不一定相等,故④小题错误;∵BF =AB =x ,BE ⊥EF ,∴BE 的取值范围为0<BE <x ,故⑤小题正确.综上所述,正确的有①②⑤.故选:D .【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质,平行线的性质,角平分线的定义,证明BE ⊥AF 并作出辅助线是解题的关键,本题难度较大,对同学们的能力要求较高. 13.4【分析】由ABC DCB △≌△,可得AB =DC ,已知AB =4cm ,即可得DC 的长度,做题时要找准对应边.【详解】解:∵ABC DCB △≌△,∴AB =DC =4cm .故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的性质,题中条件虽多但找到相应关系即可得解,不需要用到所有条件,关键是找准对应边.14. CB ##BC HL【分析】根据题意,将AB 的长度转化为EB 的长度,证明Rt Rt ABC EBD ≌即可求解.【详解】解:由③可得将AB 的长度转化为EB 的长度,证明Rt Rt ABC EBD ≌,故把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ,使DB =CB ,证明90,,ABC EBD AC ED DB CB ∠=∠=︒==,∴Rt Rt ABC EBD ≌(HL )故答案为:CB ,HL .【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等,全等三角形的性质,掌握HL 的性质与判定是解题的关键.15.3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【详解】解:过D 作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DE =DF ,∴S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7,解得AC =3.故答案为:3.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键. 16.①②③④【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出PBC PCB ∠+∠的度数,再由三角形内角和定理可求出120BPC ∠=︒可知120DPE ∠=︒,过点P 作PF AB ⊥,PG AC ⊥,PH BC ⊥,由角平分线的性质可知AP 是BAC ∠的平分线,由此判断①;由全等三角形的判定定理可得出PFD PGE ≌,由此判断②;由三角形全等的判定定理可得出BHP BFP ≌,CHP CGP ≌,然后根据全等三角形推出BC BD CE =+,由此判断③,根据全等可得PBD S 、PCE S 和PBC S 的关系,由此判断④,由此即可解答本题.【详解】∵BE ,CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线,60BAC ∠=︒, ∴11(180)(18060)6022BA B C PBC PC ︒-∠=︒+∠-︒=∠=︒, ∴()180********BPC PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒,∴120DPE ∠=︒,过点P 作PF AB ⊥于F 点,PG ⊥AC 于G 点,PH ⊥BC 于H 点,∵BE ,CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线,PF AB ⊥,PG AC ⊥,PH BC ⊥, ∴PF PH PG ==,∴AP 平分BAC ∠,故①正确;由①可知:PF PH PG ==,∵60BAC ∠=︒,90AFP AGP ∠=∠=︒,∴120FPG ∠=︒,∵120DPE ∠=︒,∴DPF DPE EPF FPG EPF EPG ∠=∠-∠=∠-∠=∠,∴PFD PGE ASA ≌(), ∴PD PE =,故②正确;又∵BP BP =,PF PH =,∴()Rt BHP Rt BFP HL ≌,同理:Rt CHP Rt CGP ≌,∴BH BD DF =+,CH CE GE =-,两式相加得:+=++BH CH BD DF CE GE -,∵PFD PGE ASA ≌(), ∴DF GE =,∴BD CE BC =+,故③正确;∵PF PH PG ==,∴PBD △,PCE ,PBC △,的高相等,∵BD CE BC =+,∴PBD PCE PBC S S S +=,故④正确;故答案是:①②③④.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理,角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.17.见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ,即可得到结论.【详解】证明:∵//AB CD ,∴∠B =∠C ,∵A D ∠=∠,BE CF =,∴△ABE ≌△DCF (AAS ),∴AE DF =.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质,熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.18.证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ,即可证明DE =BC .【详解】证明:∵DE ∥AB ,∴∠EDC =∠B .又∵CD =AB ,∠DCE =∠A ,∴△CDE ≌△ABC (ASA).∴DE =BC .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定是本题的关键.19.见详解【分析】由题意易得A D ∠=∠,然后可证ABE DCF △≌△,进而问题可求证.【详解】证明:∵AB ∥CD ,∴A D ∠=∠,∵B C ∠=∠,BE CF =,∴ABE DCF △≌△(AAS ),∴AE DF =,∵,AF AE EF DE DF EF =-=-,∴AF DE =.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.20.(1)见解析; (2)72;【分析】(1)根据两直线平行内错角相等;全等三角形的判定(角角边);即可证明;(2)由(1)结论计算线段差即可解答;(1)证明:∵BE ∥CF ,∴∠BED =∠CFD ,∵∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BDE ≌△CDF (AAS );(2)解:由(1)结论可得DE =DF ,∵EF =AE -AF =15-8=7,∴DE =72; 【点睛】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定(AAS )和性质;掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.21.(1)见详解(2)∠DAE ,∠AED ,∠B ,CD【分析】(1)利用尺规作出角平分线及相等的线段,然后连接即可;(2)先证明()EAD CAD SAS ≌,再结合AED BDE ∠=∠+∠B ,且2C B ∠=∠,即可得到结论.【详解】(1)解:如图所示即为所求;(2)证明:∵AD 平分BAC ∠,∴DAC ∠=∠DAE ,在EAD 与CAD 中,AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD CAD SAS ≌,∴∠AED C =∠,DE CD =,AE =AC ,∵AED BDE ∠=∠+∠B ,且2C B ∠=∠,∴B BDE ∠=∠,∴BE DE =,∴BE =CD ,∵AB AE BE =+,∴AB AC CD =+.故答案是:∠DAE ,∠AED ,∠B ,CD .【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图,全等三角形的判定和性质,三角形外角的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质,是解题的关键.22.(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)证明△ABO ≌△DCO (ASA ),即可得到结论;(2)由△ABO ≌△DCO ,得到OB =OC ,又OA =OD ,得到BD =AC ,又由∠A =∠D ,即可证得结论.【详解】(1)证明:在△ABO 与△DCO 中,A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABO ≌△DCO (ASA )∴AB =DC ;(2)证明:∵△ABO ≌△DCO ,∴OB =OC ,∵OA =OD ,∴OB +OD =OC +OA ,∴BD =AC ,在△ABC 与△DCB 中,AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DCB (SAS ).【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键.23.(1)全等三角形对应边相等,AF ,CD ,CD ;(2)∠D ,全等三角形对应角相等,DE ,内错角相等,两直线平行.【分析】(1)根据△ABC ≌△DEF ,AF =5cm,可以得到CD =AF ,从而可以得到CD 的长;(2)根据△ABC ≌△DEF ,可以得到∠A =∠D ,从而可以得到AB 与DE 平行.【详解】解:(1)∵△ABC ≌△DEF (已知),∴AC =DF (全等三角形对应边相等),∴AC ﹣FC =DF ﹣FC (等式性质)即AF =CD ,∵AF =5cm∴CD =5cm ;(2)∵△ABC ≌△DEF (已知)∴∠A =∠D (全等三角形对应角相等)∴AB DE (内错角相等,两直线平行).故答案为:(1)全等三角形对应边相等,AF ,CD ,CD ;(2)∠D ,全等三角形对应角相等,DE ,内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.24.(1)①AB AF =,理由见解析;②DF AC ⊥,理由见解析;(2)见解析【分析】(1)①SAS 证明AEF AEB △≌△,即可推出AB AF =;②根据AD 垂直平分BF 可得BD DF =,进而SSS 证明ADF ADB ≌,可得90DFA DBA ∠=∠=︒,即可求解.(2)过点C 作CG BC ⊥,交BF 的延长线于点G ,ASA 证明ABD BCG △≌△,可得DB CG =,进而证明△FCG ≌FCD ()SAS ,得出FDC FGC ∠=∠,根据同角的余角相等,可得G ADB ∠=∠,等量代换可得∠FDC =∠ADB .(1)①AB AF=,理由如下,AD平分∠BAC,FAD BAE∴∠=∠,BF⊥AD,AEB AEF∠=∠∴,又AE AE=,∴AEF AEB△≌△,∴AB AF=;②DF AC⊥,理由如下,AEF AEB△≌△,EF EB∴=,又AD FB⊥,DF DB∴=,在ADF△与ADB中AD ADAF ABDF DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ADF△≌ADB()SSS,90ABC∠=︒,∴90DFA DBA∠=∠=︒,即DF AC⊥;(2)过点C作CG BC⊥,交BF的延长线于点G,如图,90GCB DBA∴∠=∠=︒,BF AD⊥,90ABC∠=︒,∴90,90 GBD ADB ADB DAB∠+∠=︒∠+∠=︒,GBD DAB∴∠=∠,又AB BC=,∴ABD BCG △≌△()ASA ,DB CG ∴=,点D 为BC 的中点,BD CD ∴=12BC =, CG CD ∴=, ,90AB AC ABC =∠=︒,45ACB ∴∠=︒,45FCB FCG ∴∠=∠=︒,在△FCG 与FCD 中,CG CD GCF DCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FCG ≌FCD ()SAS ,FDC FGC ∴∠=∠,,CG CB AD BF ⊥⊥,FBD ADB FBD G ∴∠+∠=∠+∠,G ADB ∴∠=∠,∴∠FDC =∠ADB .【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. 25.(1)∠ADF =45°,ADDF ;(2)①成立,理由见解析;②1≤S △ADF ≤4.【分析】(1)延长DF 交AB 于H ,连接AF ,先证明△DEF ≌△HBF ,得BH =CD ,再证明△ADH 为等腰直角三角形,利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论;(2)①过B 作DE 的平行线交DF 延长线于H ,连接AH 、AF ,先证明△DEF ≌△HBF ,延长ED 交BC 于M ,再证明∠ACD =∠ABH ,得△ACD ≌△ABH ,得AD =AH ,等量代换可得∠DAH =90°,即△ADH 为等腰直角三角形,利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论;②先确定D 点的轨迹,求出AD 的最大值和最小值,代入S △ADF =214AD 求解即可.【详解】(1)解:∠ADF =45°,AD ,理由如下:延长DF 交AB 于H ,连接AF ,∵∠EDC =∠BAC =90°,∴DE ∥AB ,∴∠ABF =∠FED ,∵F 是BE 中点,∴BF =EF ,又∠BFH =∠DFE ,∴△DEF ≌△HBF ,∴BH =DE ,HF =FD ,∵DE =CD ,AB =AC ,∴BH =CD ,AH =AD ,∴△ADH 为等腰直角三角形,∴∠ADF =45°,又HF =FD ,∴AF ⊥DH ,∴∠F AD =∠ADF =45°,即△ADF 为等腰直角三角形,(2)解:①结论仍然成立,∠ADF=45°,AD DF,理由如下:过B作DE的平行线交DF延长线于H,连接AH、AF,如图所示,则∠FED=∠FBH,∠FHB=∠EFD,∵F是BE中点,∴BF=EF,∴△DEF≌△HBF,∴BH=DE,HF=FD,∵DE=CD,∴BH=CD,延长ED交BC于M,∵BH∥EM,∠EDC=90°,∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°,又∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°,∴∠HBA+∠DCB=45°,∵∠ACD+∠DCB=45°,∴∠HBA=∠ACD,∴△ACD≌△ABH,∴AD=AH,∠BAH=∠CAD,∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°,即∠HAD=90°,∴∠ADH=45°,∵HF=DF,∴AF⊥DF,即△ADF为等腰直角三角形,②由①知,S△ADF=12DF2=14AD2,由旋转知,当A、C、D共线时,且D在A、C之间时,AD取最小值为3-1=2,当A、C、D共线时,且C在A、D之间时,AD取最大值为3+1=4,∴1≤S△ADF≤4.【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点.构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键.遇到题干中有“中点”时,采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线.。
2017 学年度八年级期末总复习全等三角形专项
1.如图,∠D=∠C=90°,E 是 DC 的中点,AE 平分∠DAB,∠DEA=28°,则∠ABE 的度数是( )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 7.如图,在四边形 ABCD 中,M、N 分别是 CD、BC 的中点,且 AM⊥CD,AN⊥BC,已知∠MAN = 74°,∠DBC = 41°, 则∠ADC 的度数为( ).
A. 62° B. 31° C. 28° D. 25° 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,测得 BC=9,BE=3,则△BDE 的周长是 (
)
A. 49° B. 47° C. 45° D. 43° 8.如图,已知等边△ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数是( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3.如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
9.如图,AD 是△ ABC 中∠BAC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则 AC 长
是
.
A. 30° B. 40° C. 20° D. 35° 4.如图,△ABC≌△BAD,A 和 B、C 和 D 是对应顶点,如果 AB=5,BD=6,AD=4,那么 BC 等于( )
10.如图,已知 OC 平分∠AOB,CD//OB,若 OD=3cm,则 CD=___________cm.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 无法确定
5.如图,在 ABC 和 DEC 中, AB DE ,若添加条件后使得 ABC ≌ DEC ,则在下列条件中,不能添加的是
( ).
11.如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积等于 _____.
A. BC EC , B E B. A D , AC DC C. B E , BCE DCA D. BC EC , A D
6.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ()
12.如图,△ABC≌△DEF,已知∠A=50°,∠B=60°,则∠F=____度.
13.如图,△ABC 中,BA=BC,∠ABC=40°,∠ABC 的平分线与 BC 的垂直平分线交于点 O,E 在 BC 边上,F 在 AC 边上,将∠A 沿直线 EF 翻折,使点 A 与点 O 恰好重合,则∠OEF 的度数是_____.
14.如图,在△ABC 中,AB=AC,BF=CD,BD=CE.若∠A=40°,则∠FDE=__________°.
图1
图2
19.如图,校园有两条路 OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌 C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置
P 离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你用尺规作出灯柱的位置点 P。
(请保留作图痕迹)
15.如图,点 C、D 在 BE 上,BC=DE,∠1=∠2,要使得△ABD≌△AEC,还需要添加一个边或角的条件,你添加的 条件是__________.
20.已知:如图,在△ABC 中,D 为 BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC. (1)求证:△ADE≌△ADC; (2) AB 与 AC 相等吗?若相等,请说明理由.
16.如图,直线 l 上有三个正方形 a,b,c,若 a,c 的边长分别为 5 和 12,则 b 的面积为_________________.
17.如图,在 ABC 中,∠ABC=45°,AD,BE 是 ABC 的高,AD,BE 相交于点 F.求证:BF=AC.
21.如图,C 是线段 AE 上一点,△ABC、△CDE 都是等边三角形,AD 与 BC 交于点 M,BE 与 CD 交于点 N。
试说明:(1)AD=BE;(2)MN//AE。
18.⑴已知:如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,∠B=90°,AD 是∠BAC 的外角平分线,交 CB 边的延长线于点 D.求 证:BD=AB+AC ⑵对于任意三角形 ABC,∠ABC=2∠C,AD 是∠BAC 的外角平分线,交 CB 边的延长线于点 D,如图 2,请你写出线 段 AC、AB、BD 之间的数量关系并加以证明.
22.在五边形 ADBCE 中,∠ADB=∠AEC=90°,∠DAB=∠EAC,M、N、O 分别为 AC、AB、BC 的中点. (1)求证:△ EMO≌△OND; (2)若 AB=AC,且∠BAC=40°,当∠DAB 等于多少时,四边形 ADOE 是菱形,并证明.
23.在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 AD⊥MN 于 D,BE⊥MN 于 E. (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时,求证:DE=AD+BE;
(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请写出新的 结论并说明理由.
24.如图 1,在平面直角坐标系中,△AOB 为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求 B 点坐标; (2)如图 2,若 C 为 x 正半轴上一动点,以 AC 为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接 OD,求∠AOD 的度数; (3)如图 3,过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E,F 为 x 轴负半轴上一点,G 在 EF 的延长线上,以 EG 为直角边作等腰 Rt△EGH,过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M,连 FM,等式 AM=FM+OF 是否成立?若成立,请说明;若不成立,说明理 由.
参考答案 1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.C 9.3. 10.3 11.5 12.70 13.70° 14.70° 15.(答案不唯一)如:∠B=∠E ; ∠BCA=∠EDA ; ∠BDA=∠ECA ;AB=AE.等 16.169 17.略. 18.(1)略.;(2)略. 19.略. 20.(1)略.;(2)AB=AC. 21.(1)略.;(2)略. 22.(1)略.(2)当∠DAB 等于 35°时,四边形 ADOE 是菱形 23.(1)略.;(2)DE=AD-BE,理由略.. 24.(1)B(8,0);(2)90°;(3)AM=FM+OF 成立,理由略.
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