专题10第二课时学业达标训练

(建议用时：30分钟)A组学业达标练1.(2019·江苏盐城期末)如图所示，三角形木块甲固定在水平面上，物体乙沿甲的斜面匀速下滑，则物体乙在水平和竖直方向的分运动分别为()A．匀速运动，匀速运动B．匀速运动，匀加速运动C．匀加速运动，匀速运动D．匀加速运动，匀加速运动解析：选A.物体乙沿甲的斜面匀速下滑，则乙受重力、支持力、摩擦力的合力为零，即水平方向的合力为零，竖直方向的合力为零，所以物体乙在水平和竖直方向的分运动都是匀速运动，选项A正确．2．(多选)一物体在Oxy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图像分别如图甲、乙所示，则物体0～t0时间内()A．做匀变速运动B．做非匀变速运动C．运动的轨迹可能如图丙所示D．运动的轨迹可能如图丁所示解析：选AC.0～t0时间内物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向上做匀减速直线运动，所受合力沿y轴负方向且大小保持不变，物体做向y轴负方向弯曲的匀变速曲线运动，故选项A、C正确．3.(2019·四川内江期末)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着细线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则下列说法中正确的是()A．橡皮做匀速直线运动B．橡皮做匀变速直线运动C．橡皮做匀变速曲线运动D．橡皮做变加速曲线运动解析：选A.橡皮参与了水平向右和竖直向上的分运动，如图所示，两个方向的分运动都是匀速直线运动，合运动也为匀速直线运动，A正确．4.(2019·河北邯郸高一检测)如图所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动．观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是()解析：选C.木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，即水平方向上受向右的恒力，所以轨迹方向弯向x轴正方向，故A、B、D错误，C正确．5．如图甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，正确的有()A．笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线B．笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变解析：选D.由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线，故A、B错误；在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化，故C错误；笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向竖直向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变，故D正确．6.如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为()A．v cos θ B.v cos θC．v D．v sin θ解析：选B.将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cos θ，故v船＝vcos θ，所以选项B正确．7.(2019·浙南名校联盟期末)粗糙的水平桌面上放置着一辆小车，小车上安装一竖直且注满清水的玻璃管，玻璃管中放一块适当的圆柱形的红蜡块，红蜡块能由底部匀速上升到顶端．小车从位置A开始以初速度v0向右运动，同时由底部释放红蜡块．经过一段时间后，小车运动到图中虚线位置B处．以蜡块初始位置为原点，按照如图建立坐标系，则在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可能是下图中的()解析：选A.当合速度的方向与合力(合加速度)的方向不在同一条直线上时，物体将做曲线运动，且轨迹夹在速度与合力方向之间，轨迹的凹向大致指向合力的方向；蜡块的合速度方向斜向右上方，因小车以初速度向右减速运动，则合加速度方向水平向左，不在同一直线上，轨迹的凹向要大致指向合力的方向，故选项A正确，B、C、D错误．8．(多选)在一次抗洪抢险战斗中，一位武警战士驾船把群众送到河对岸的安全地方．设河水流速为3 m/s，河宽为600 m，船相对静水的速度为4 m/s.则下列说法正确的是() A．渡河的最短时间为120 sB．渡河的最短时间为150 sC．渡河的最短航程为600 mD．渡河的最短航程为750 m解析：选BC.当船速垂直于河岸时，渡河时间最短，t ＝d v 船＝150 s ．当船沿垂直河岸方向行驶时即合速度垂直河岸时，航程最短为600 m ，故B 、C 正确．9．质量m ＝2 kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图(a)、(b)所示，求：(1)物体所受的合力； (2)物体的初速度；(3)t ＝8 s 时物体的速度；(4)t ＝4 s 内物体的位移．解析：(1)物体在x 方向：a x ＝0；y 方向：a y ＝Δv y Δt＝0.5 m/s 2 根据牛顿第二定律：F 合＝ma y ＝1 N ，方向沿y 轴正方向．(2)由题图可知v x 0＝3 m/s ，v y 0＝0，则物体的初速度v 0＝3 m/s ，方向沿x 轴正方向．(3)由题图知，t ＝8 s 时，v x ＝3 m/s ，v y ＝4 m/s ，物体的合速度为v ＝v 2x ＋v 2y ＝5 m/s ，tan θ＝43，θ＝53°，θ为合速度与x 轴正方向的夹角即速度方向与x 轴正方向的夹角为53°. (4)t ＝4 s 内，x ＝v x t ＝12 m ，y ＝12a y t 2＝4 m. 物体的位移l ＝x 2＋y 2≈12.6 m设t ＝4 s 时位移与x 轴的夹角为α，tan α＝y x ＝13. 答案：(1)1 N ，沿y 轴正方向(2)3 m/s ，沿x 轴正方向(3)5 m/s ，方向与x 轴正方向的夹角为53°(4)12.6 m ，方向与x 轴正方向的夹角的正切值为13B 组 素养提升练10．(2019·内蒙古赤峰期末)一条笔直的河流沿东西走向，两岸平行，各处的宽度均为d ＝80 m ，水流的速度均为v 水＝3 m/s ，船在静水中的速度恒为v 船＝5 m/s ，则A ．渡河的最短时间为20 sB ．渡河的最短位移为90 mC ．保持船头沿南北方向到达对岸，渡河位移最短D ．船能够沿南北方向的直线渡到正对岸的位置解析：选D.当v 船方向与河岸垂直时，渡河时间最短，t ＝d v 船＝16 s ，故A 错误；当小船合速度的方向与河岸的方向垂直时，渡河位移最短，设此时船头的方向与河岸的夹角为θ，cos θ＝v 水v 船＝35，船渡河的位移为河宽d ＝80 m ，船能够沿南北方向的直线渡到正对岸的位置，故B 、C 均错误，D 正确．11．有一个质量为3 kg 的质点在直角坐标系Oxy 所在的平面内运动，x 方向的速度—时间图像和y 方向的位移—时间图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )A ．质点做匀变速直线运动B ．质点所受的合外力为3 NC ．质点的初速度大小为5 m/sD ．质点初速度的方向与合外力的方向垂直解析：选C.从题图甲可知质点在x 方向上做初速度v 0＝3 m/s 的匀加速直线运动，加速度为a ＝6－32 m/s 2＝1.5 m/s 2，从题图乙中可知，质点在y 方向上做匀速直线运动，v y ＝82m/s ＝4 m/s ，所以质点受到的合力恒定，但初速度方向和合力方向不共线，做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律可得质点受到的合力为F ＝ma ＝4.5 N ，质点的初速度为v ＝v 20＋v 2y ＝5 m/s ，质点的合力方向沿x 正方向，初速度方向在x 、y 轴之间，故夹角不为90°，C 正确．12．(2019·广东中山期末)如图所示，风向水平向西，战机在离地面500 m 的高空匀速向东巡航，速度为360 km/h ，飞行员突然发现飞机正前方的地面上有一辆敌方的汽车，他迅速测知敌车正以20 m/s 的速度和飞机同向匀速运动．假设飞行员投弹后，风对炸弹的作用力水平向西、大小恒为炸弹重量的0.2，试问，飞行员在飞机和敌车的水平距离是多少时投弹，才能击中敌车？(g取10 m/s2)解析：根据题目得知炮弹水平方向做加速度为a＝0.2g的匀减速直线运行，竖直方向做自由落体运动．设炮弹的水平初速度为v0＝100 m/s，车的速度为v1＝20 m/s，水平位移：x1＝v0t－12，2at竖直位移：h＝122gt解得t＝10 s，所以炮弹的水平位移：x1＝900 m车的水平位移：x2＝v1t＝20×10 m＝200 m所以应该在距离小车Δx＝(900－200) m＝700 m的时候投放炸弹．答案：700 m。

新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网中学政治达提能基·稳固·达一、1.有的同学回家造作，看着文，想着数学作；听着英磁，想着技制作，整个夜晚一作都没好好达成，的同学需要（A.B.C.D.提示：初中的学要求初中生脱老和父亲母亲的依，成一个自主的学者。

就要求我合理的安排，心致志，提升学效率，因此就要依据自己的状况拟订学划，答案： BC2.以下表述中正确的选项是（A.B.C.D.提示：七年是一个新的起点，无是学境，是周的老同学，以及父亲母亲的依性上都有很大的化，中学生必整自我，全面展自己的才能，及与老家交流，答案： BC3. 学校每天在上午第二后安排了一次广播体操，第三后安排一次眼保健操，在下午第一后安排一次眼保健操，安排（A. 使学中止，不利于学B.C.有益于使我的体操做得更好D.提示：学必究必定的方法和奏，着重逸合，在学的程中既领会到学的快，又要促身体的全面展，才能提升学效率，也是素教育的需要。

因此资料答案： D4.开学次日，班主任老叫大家到室外排座位，我看到多同学都挑自己的同学排在一同。

可我也不，一感觉十分孤单。

下学回家后，我告了小学的同学，大家替我出想法。

我采的想法最好是⋯（A.B.C.D.提示：本主要考“怎新同学”。

入新的生活境不适是很正常的，我要用、极、主的度迎接重生活， A 中的做法是悲观的， B 中的做法是被的，D中的想法是片面的，不利于自己的身心健康。

因此我主找些新同学聊聊，交答案： C5. 在那些偏僻山区的失学小孩，八九岁仍旧背着草筐，拉着山羊，每日帮父亲母亲干活。

他们不是不想上学，是没有条件，跟我们对比较（A.B.C.D.提示：因为各样条件的限制以及各样要素的影响，我国还有极少量小孩没有上学的机遇，他们盼望上学，但是却没法入学，与我们正在接受教育的孩子对比，谁是幸福的呢，答案是显答案： A6.有名作家列夫·托尔斯泰在修业期间赌博、借债、游荡、花天酒地，考试成绩不合格，留了级。

中学政治达标提能练习基础·巩固·达标一、选择题1.有的同学回家做作业时，看着语文书，想着数学作业；听着英语磁带，想着劳技制作，整个晚上一样作业都没好好完成，这样的同学需要（A.B.C.D.提示：初中的学习要求初中生摆脱对老师和父母的依赖，成为一个自主的学习者。

这就要求我们合理的安排时间，专心致志，提高学习效率，所以就要根据自己的情况制定学习计划，答案：BC2.下列表述中正确的是（A.B.C.D.提示：七年级是一个新的起点，无论是学习环境，还是周围的老师同学，以及对父母的依赖性上都有很大的变化，中学生必须调整自我，全面发展自己的才能，及时与老师家长沟通，答案：BC3.学校每天在上午第二节课后安排了一次广播体操，第三节课后安排一次眼保健操，在下午第一节课后安排一次眼保健操，这样安排（A.使学习中断，不利于学习B.C.有利于使我们的体操做得更好D.提示：学习必须讲究一定的方法和节奏，注重劳逸结合，在学习的过程中既体会到学习的快乐，又要促进身体的全面发展，这样才能提高学习效率，这也是素质教育的需要。

所以材料答案：D4.开学第二天，班主任张老师叫大家到室外排队编座位，我看到许多同学都挑自己认识的同学排在一起。

可我谁也不认识，一时间感到十分孤独。

放学回家后，我告诉了小学时的同学，大家纷纷替我出主意。

我应采纳的主意最好是…（A.B.C.D.提示：本题主要考查“怎样结识新同学”。

进入新的生活环境不适应是很正常的，我们要用乐观、积极、主动的态度迎接新生活，A选项中的做法是消极的，B选项中的做法是被动的，D选项中的想法是片面的，不利于自己的身心健康。

所以我们应主动找些新同学聊聊，结交答案：C5.在那些偏远山区的失学儿童，八九岁仍然背着草筐，拉着山羊，天天帮父母干活。

他们不是不想上学，是没有条件，跟我们相比较（A.B.C.D.提示：由于各种条件的限制以及各种因素的影响，我国还有极少数儿童没有上学的机会，他们渴望上学，但是却无法入学，与我们正在接受教育的孩子相比，谁是幸福的呢，答案是显答案：A6.著名作家列夫·托尔斯泰在求学期间赌博、借债、游荡、醉生梦死，考试成绩不合格，留了级。

小学二年级数学上册解决问题应用题专题训练一.解答题(共100题，共582分)1.(1)如上图所示,8辆小汽车停车收费多少元?(2)一辆面包车和一辆货车停车收费多少元?2.一双袜子9元，妈妈买了9双，付给售货员90元，应找回多少元？3.有20名运动员和6名教练,一箱矿泉水共有24,每人1瓶,够吗?4.购物。

（1）一顶帽子比一个书包便宜24元，一顶帽子多少钱？（2）一双鞋比一顶帽子贵45元，一双鞋多少钱？（3）一个书包、一本书和一个布娃娃一共多少钱？5.冬冬今年4岁，爷爷75岁，3年后爷爷比冬冬大多少岁?6.妈妈买水果共花了多少元?你是怎样算的?请写出来。

7.我们班有学生40人，如果每人一个苹果，还差4个，有多少个苹果？8.超市运来52箱酸奶，卖出了36箱，又运进了48箱，超市现在有多少箱酸奶？9.合唱队有42个男生，女生比男生少8个，合唱队一共有多少人？10.看图回答。

（1）大客车有多少辆？（2）小汽车有多少辆？（3）你还能提出其他数学问题吗？并解答。

11.小明有一根30米的绳子，剪了6根跳绳，每根长4米，这根绳子还剩多少米？12.每人2 块蛋糕。

（1）3人要几块？（2）5人要几块？（3）9人要几块？13.用100元钱买下面的玩具，哪两件的价钱是最贵的？要用多少元钱？14.二年级（1）班上体育课，老师让24名同学做操，剩下的18名同学打篮球。

全班共有多少名同学？打篮球的同学比做操的同学少几名？15.小东有55元钱，买一辆玩具汽车还差17元钱，一辆玩具汽车多少钱？16.一个星期有7天，8个星期有几天？每个星期有2个休息日，8个星期一共有多少个休息日？17.一套《不一样的卡梅托》共6册，需要54元，平均每册多少钱?18.一本故事书共46页，从前往后数第20页是智力闯关游戏，如果倒过来数，这个游戏在第几页?19.看图回答。

（1）买一包挂面、一袋大米和一袋白糖需要多少钱?（2）李阿姨想买一袋大米和一桶油，她付了70元，应找回多少钱?20.书架上有23本漫画书，连环画比漫画书少5本。

专题一、物质的量及其计算一、有关概念（n 、NA 、M 、Vm 、c ）及其内涵1、物质的量、物质的量 （1）概念：用）概念：用 中所含的原子数目作为标准来衡量其他微粒集体所含微粒数目多少的目多少的 ，符号为，符号为 。

（2）单位：）单位： ，简称，简称 ，符号，符号 。

[注意事项] （1）“物质的量”是专用名词，是七个“物质的量”是专用名词，是七个 之一，在表达中四个字不可拆分。

之一，在表达中四个字不可拆分。

（2）物质的量及其单位摩尔计量的对象不是宏观物体，它只适于表示如：如： 等微粒及这些微粒的特定组合。

等微粒及这些微粒的特定组合。

（3）使用摩尔时必须用化学式指明微粒的种类，严禁指代不明。

例如： 1mol H 2表示的意义是表示的意义是 还应明确微粒的内在联系，如：1mol Al 2(SO 4)3中含___ mol _Al 3+,_____ mol SO 42-，1 mol Na+中含中含 mo l 质子质子 ；电子；电子 mol 。

2、阿伏加德罗常数、阿伏加德罗常数（1）概念：）概念： 摩任何微粒所含的微粒数或摩任何微粒所含的微粒数或 所含的碳原子数，符号为所含的碳原子数，符号为 ，近似值为近似值为（2）微粒个数N 与物质的量的关系：n = 或 N = [注意事项] （1）阿伏加德罗常数是一个）阿伏加德罗常数是一个 值。

6.02×1023是一个是一个 值，它是通过实验测定的，值，它是通过实验测定的，常用于计算，不能用于有关概念中。

常用于计算，不能用于有关概念中。

（2）阿伏加德罗常数不是一个数,而是有单位的，单位是而是有单位的，单位是【练习】①0.25 mol H 2SO 4中约含中约含个氧原子；个氧原子； ②3.01×3.01×101024个NH 4+的物质的量为的物质的量为 mol ③含2 N A 个氢原子的磷酸分子的物质的量为个氢原子的磷酸分子的物质的量为④0.5mol Fe 2(SO 4)3中所含的Fe 3+离子数为离子数为3、摩尔质量、摩尔质量（1）概念：单位物质的量的物质所具有的）概念：单位物质的量的物质所具有的 单位单位 符号符号（2）与相对原子质量的关系：当微粒（原子、离子、单质、化合物等）的摩尔质量以克为单位时，在数值上等于以克为单位时，在数值上等于例: M （O 2）= M （CO 32-）= M （H 2SO 4）= M （NH 4+）= （3）有关计算：）有关计算： n = n = n = （（m 与M 关系）关系） m= m= m=[思考1]下列正确的是下列正确的是 （（ ））A ．摩尔可以把物质的宏观数量（质量、气体体积等）与微观粒子的数量联系起来B ．水的摩尔质量和1mol 水的质量均可计为18g 18g··mol －1C ．水的摩尔质量和1mol 水的质量均可计为18g 18gD ．硫酸和磷酸的摩尔质量在数值上相等．硫酸和磷酸的摩尔质量在数值上相等 [思考2]设N A 代表阿伏加德罗常数，下列说法是否正确？①1mol 任何物质中都含有6.02×1023个粒子；个粒子；= g ，含有，含有 个 = ；含有；含有 NA = ，含有，含有 个电子。

《第2课首届诺贝尔奖颁发》课时练一、选择题1．下列各组词语中划线字注音有误的一项是（）A．诺贝尔（nuò）颁发（bān）逝世（shì）卓有成效（zhuó）B．渗透（cān）授奖（shóu）巨款（kuǎn）即日（jí）C．瑞典（ruì）挪威（nuó）疗法（liáo）仪式（yí）D．遗嘱（zhǔ）拨款（bō）贡献（gòng）荷兰（hé）2．下列对划线词语的含义理解有误的一项是（）A．瑞典国王和挪威诺贝尔基金会今天首次颁发了诺贝尔奖。

（颁发：发布（命令、指示、政策等）。

）B．根据诺贝尔的遗嘱，诺贝尔奖由4个机构（瑞典3个，挪威1个）颁发。

（遗嘱：人在生前或临死时对自己身后事如何处理用口头或书面形式所做的嘱咐。

）C．他在血清疗法的研究方面卓有成就。

（卓有成就：有突出的成绩。

）D．他在诗歌创作方面颇有建树。

（建树：建立的功绩。

）3．下列句子中没有语病的一项是（）A．生活有多广阔，语文就有多广阔，我们不仅要在课堂上学语文，还要在生活中学语文。

B．你不认真学习，那怎么能有好成绩是可想而知的。

C．通过语文综合性实践活动，使我们开阔了视野，增强了能力。

D．一进入体育场，大家就看到了五颜六色的旗子和欢呼声。

4．下列句中标点符号运用不恰当的一项是（）A．根据诺贝尔的遗嘱:“诺贝尔奖每年发给那些在过去的一年里，在物理、化学、医学、文学及和平事业方面为人类作出最大贡献者。

”B．美国著名的实业界和政界人士几年来一直在争论在中美的什么地方开凿运河的问题。

C．火灾、掳掠，外加经营不当，完全摧毁了宫殿式的豪华府第和数不清的附属建筑。

D．在欧洲各地，3亿人正在与他们日常生活中密切相关的十几种货币告别:法郎、马克、里拉、先令、盾、埃斯库多和比塞塔。

二、填空题5．阅读短文回答问题。

从即日起，根据诺贝尔的遗嘱，诺贝尔奖由4个机构（瑞典3个，挪威1个）颁发，从按诺贝尔遗嘱建立的基金中拨款。

第二课时　函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y ＝f (x )，x ∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1　图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示　最大值点是x ＝2，最大值是3；最小值点是x ＝0，最小值是－3.问题2　图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示　极大值点是x ＝－2，极大值是2；极小值点是x ＝0，极小值是－3.问题3　一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示　函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值　函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)提示　也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)提示　有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.4.函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值.(√)[微训练]1.连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析　由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值.答案　D2.(多空题)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.解析　f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583.答案　233　－583[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A ，则A 中的元素个数可能是多少？提示　可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f (x )在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？提示　是.题型一　求函数的最值【例1】　求下列各函数的最值.(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π].解　(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f (x )在[－1，1]上为增函数.故当x ＝－1时，f (x )min ＝－12；当x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3，计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32，f(4π3)＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.规律方法　求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】　求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2，4]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解　(1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2).令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f ′(x )＋0－0＋f (x )－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)f ′(x )＝(1e x)′－(e x )′＝－1e x－e x ＝－1＋e 2xe x.当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二　含参数的函数的最值问题【例2】　已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解　(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2，2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e )上单调递增，故f (x )min＝f(1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.规律方法　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】　已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值.解　f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.(1)当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .(2)当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.(3)当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝{8－4a 　（0<a ≤2），0 （2<a <3），综上所述，f (x )max ＝{8－4a 　（a ≤2），0 （a >2）.题型三　由函数的最值求参数问题【例3】　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b b －16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h ′(x )＋0－0＋h (x )28－4当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3.所以k 的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析　f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案　D2.函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析　因为y ′＝1－cos x ，当x ∈[π2，π]时，y ′>0，则函数在区间[π2，π]上为增函数，所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π，故选C.答案　C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.答案　A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案　－715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案　－4基础达标一、选择题1.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A.f (a )－g (a ) B.f (b )－g (b )C.f (a )－g (b )D.f (b )－g (a )解析　令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).答案　A2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A.[0，1) B.(0，1)C.(－1，1)D.(0，12)解析　∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B.答案　B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3 D.π3＋1解析　f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈[－π2，0]，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2].所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在[－π2，0]上恒成立.所以f (x )在[－π2，0]上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos (－π2)＝－π2.答案　A4.若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A.2B.1C.233D.0解析　∵f (x )在x ＝π3处有最值，∴x ＝π3是函数f (x )的极值点.又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′(π3)＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2.答案　A5.关于函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.下列说法中：①它的极大值为283，极小值为－43；②当x ∈[3，4]时，它的最大值为283，最小值为－43；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析　∵函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)·(x ＋2).由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)>0，得x >2或x <－2，此时函数单调递增；由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)<0，得－2<x <2，此时函数单调递减，∴③正确；当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝283，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝－43，∴①正确；x ∈[3，4]时，f (x )单调递增，它的最大值为f (4)＝433－4×4＋4＝283，最小值为f (3)＝333－4×3＋4＝1，∴②错误；f ′(0)＝－4，f (0)＝4，∴它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，∴④正确，故选C.答案　C二、填空题6.(多空题)设函数f (x )＝ln x x，x ∈[1，4]，则f (x )的最大值为________，最小值为________.解析　由f (x )＝ln x x 得f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e.∴函数f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，4]上单调递减，且f (1)＝0，f (4)＝ln 44>0，∴f (x )的最大值为f (e)＝ln e e ＝1e ，f (x )的最小值为f (1)＝0.答案　1e　07.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________.解析　f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2).答案　(－4，－2)8.已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.解析　∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1).即15x －3y －2＝0.答案　15x －3y －2＝0三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e ，e ]上的最大值.解　(1)f ′(x )＝a x－2bx (x >0).由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得{f ′（1）＝0，f （1）＝－12，即{a －2b ＝0，－b ＝－12，解得{a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e ]上的最大值为f (1)＝－12.10.已知函数f (x )＝2e x (x ＋1).(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值.解　(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值.(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上单调递减，在(－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)，∴f (x )min ＝{－2e －2，－3<t <－2，2e t （t ＋1），t ≥－2.能力提升11.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.解析　由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f(1a )＝－ln a －1＝－1.解得a ＝1.答案　112.已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值.解　函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的.∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞).(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )是单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )是减少的，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )是增加的，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32相矛盾.综上所述，a 的值为 e.创新猜想13.(多选题)下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )A.f (x )>0的解集是{x |0<x <2}B.f (－2)是极小值，f (2)是极大值C.f (x )没有最小值，也没有最大值D.f (x )有最大值无最小值解析　由f (x )>0得0<x <2，故A 正确.f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，当－2<x <2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值，当x ＝2时，f (x )取得极大值，故B 正确.当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0，且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值，故C 不正确，D 正确.答案　ABD14.(多选题)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )存在两个不同的零点B.函数f (x )既存在极大值又存在极小值C.当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D.若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2解析　A.令f (x )＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B.f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知 ，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确.故选ABC.答案　ABC。

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．8【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm 2.（结果保留一位小数）【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC .⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ，求B 的度数.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=，则BCD ABDS S ∆∆=_____．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD 的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.【变式6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方AB便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【变式6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60︒方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15︒方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．（1）填空：BAC ∠= 度，C ∠= 度；（2）求观测站B 到AC 的距离BP （结果保留根号）．【达标训练】1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2019·江苏中考真题）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．424．（2019·湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·广东中考真题）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（ ）A ．45B ．43C ．10D ．86．（2019·湖南中考真题）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．（2019·海南中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，5AB =，4BC =．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ AB ∥交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分ABC ∠时，AP 的长度为（ ）A ．813B ．1513C ．2513D ．32139．（2019·辽宁中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，ABCF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°10．（2019·四川中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④31BDP S ∆-=． 其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④11．（2019·辽宁中考真题）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（ ）A ．64°B ．32°C ．30°D ．40°12．（2019·青海中考真题）如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.213．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC ．若DE ＝1，则BC 的长是_____．14．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．15．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）16．（2019·山东中考真题）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点,,B C D 在同一直线上．若2AB =，则CD =____．17．（2019·湖北中考真题）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC ∆≌△DCB ∆的是_____（只填序号）．18．（2019·贵州中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．19．（2019·青海中考真题）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．20．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________cm.21．（2019·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）.22．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．23．（2019·江苏中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm ．24．（2019·湖南中考真题）已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．25．（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值． 26．（2019·四川中考真题）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CF AE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．28．（2019·湖北中考真题）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB n BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BM PQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）29．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.30．（2019·四川中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．（1）求古树BH 的高；（2）求教学楼CG 的高．（参考数据：2 1.4,3 1.7==）31．（2019·江苏中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．32．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．(1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．33．（2019·吉林中考真题）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角CAD ∠为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：0sin 430.68=，0cos430.73=，0tan 430.93=）34．（2019·陕西中考真题）如图，点A ，E ，F 在直线l 上，AE=BF ，AC//BD ，且AC=BD ，求证：CF=DE35．（2019·辽宁中考真题）如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60︒方向上，位于B 市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73≈）36．（2019·重庆中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．。

专题10 一元一次不等式(组) 【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)【注意】1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。

2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1)审题； (2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列出不等式(组)； (5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值； (7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧 【类型】一、解普通型的一元一次不等式组1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＜6，x －2≤0的解集，在数轴上表示正确的是( )2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①1－2x 3＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________． 5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13≤5.【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解． 6．解不等式⎪⎪⎪⎪3x －12≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解 7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案 1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组⎩⎨⎧－1<2x －13，①2x －13≤5.②解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由⎪⎪⎪⎪3x －12≤4，得－4≤3x －12≤4.则原不等式可转化为⎩⎨⎧3x －12≥－4，①3x －12≤4.②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解． 7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＞0，2x ＋1＜0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＜0，2x ＋1＞0.解(Ⅰ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜－12.∴此不等式组无解． 解(Ⅱ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用 【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2； (2)4x －13－x ＞1； (3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ① 去括号，得20－15x －1＜21＋15x. ② 移项，合并同类项，得－30x ＜2. ③ 系数化为1，得x ＞－115. ④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式 3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来． 【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围． 8．关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围． 参考答案1．解：(1)x ＞13x －2，23x ＞ －2， x ＞ －3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x －13－x ＞1，4x －1－3x ＞ 3，x ＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x ＋13≥2(x ＋1)，x ＋1≥ 6x ＋6， －5x ≥ 5， x ≤ －1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)． 去括号，得20－15x －15＜21＋15x. 移项，合并同类项，得－30x ＜16. 系数化为1，得x ＞－815.3．解：移项，合并同类项得，(a －1)x ＞2，当a －1＞0，即a ＞1时，x ＞2a －1； 当a －1＝0，即a ＝1时，x 无解； 当a －1＜0，即a ＜1时，x ＜2a －1. 4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13， 去括号，得9－3x ＋1＜13， 移项，合并同类项，得－3x ＜3， 系数化为1，得x ＞－1. 在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用 【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围． 【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题 题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1，x －2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( )A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ≥0，3x －b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7 ②有解，求实数a 的取值范围．参考答案 1．B2．解：(1)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋a ，y ＝－4－2a.∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋a ≤0，－4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3. (2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－3a ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1.①，x －2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b3.∵不等式组仅有整数解1，2，3， ∴0＜a 2≤1，3＜b3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12. ∵a ，b 为整数，∴a ＝1，2，b ＝10，11，12. 8．a ≤19．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7②，解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x ＜a －1，则a －1＞－6，a ＞－5. 【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：1?30? x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式① 得: x>1+a ,解不等式①得:x≤3 b -不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x＞3，则m的取值范围是（）.A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【答案】C【解析】详解：841x xx m+<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解①得，x>m，①不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m①3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 100 5 120x x -+>， 15 220x >，解得：443x >， 根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题． 故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ．2121m n -+>-+ B ．1144m n ++> C ．m a n b +>+ D ．am an -<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、①m >n ，①-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意； B 、①m >n ，①m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意； C 、①m >n ，①m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、①m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（ ）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件， 根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900， 故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（ ）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集． 【详解】由30x +>得：3x >- 由50x -≤得：5x ≤ ①35x -<≤ 故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键． 4．不等式3﹣x ＜2x +6的解集是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可． 【详解】解：326x x -<+， 移项得362x x -<+， 合并同类项得33x -<， 系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键． 5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断． 【详解】解：在数轴上表示不等式x >−1的解集的是A ． 故选：A ．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A ，B 两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A 种西瓜__________kg ．【答案】120【分析】设批发A 种西瓜x kg ，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A 种西瓜x kg ，则 （6-4）x +120043x-×（4-3）≥1200×40%， 解得x ≥120．答：该超市至少批发A 种西瓜120kg ． 故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解． 7．不等式2103x --<的解集为____． 【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解． 【详解】解：去分母，得：230x --<， 移项，得：23x <+， 合并同类项，得：5x <． ①不等式的解集为：5x <． 故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意①不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥， 解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-， ①3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥， ①不等式组的解集是：3x ≥． 在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）一、单选题1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ①将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴①； ①平移数轴①使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧． 则整数k 的最小值为（ ）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧， ∴k ⋅AC AB >，即42042k >， 解得15102k >，k 为正整数，①k 的最小值为511， 故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -， 移项，得：3+2<1x x -， 合并同类项，得：<1x -， 系数化为1，得>1x -， 在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b+=．则下列结论正确的是（ ）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c =【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b+=，得出c b ＜；B.根据112a cb +=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断． 【详解】A.①0a b ＞＞， ①11a b ＜， ①112a c b+=，①11c b＞， ①c b ＜，故A 错误；B.①112a cb +=，即2a c ac b+=， ①()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，①a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8， 解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ， ①不等式组至少有3个整数解， ①a ≥﹣5， 1133x ax x++=--， 去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a-=， ①分式方程有非负整数解， ①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a-为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4， ①符合条件的所有整数a 的和是：2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（ ） A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c =-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数， 则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩， 解得37711c ≤≤， ①3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c ＝﹣2+3c，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 _____． 【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >- 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ， 解得，254m >-， 故答案为：254m >-． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算． 7．若关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于x 的分式方程232x mx -=-的解为：x ＝6−m ， ①分式方程有可能产生增根2， ①6−m ≠2， ①m ≠4，①关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数， ①6−m ≥0， 解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4． 故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元． ①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；①若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+①购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式. ①根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解. （1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元. 依题意得100100510x x =++. 解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元； （2）解：①“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.①购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13. ()12003a a ∴≤-. 解得：50a ≤.51000w a =+.50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩ 【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解． 【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②， 解不等式①，得 1x ≥-，解不等式①，得 >7x -，①该不等式组的解集为 1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。