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2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题。
（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一题项是符合题目要求的）1．设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{3，5}B ．{2，6}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，4，6}2．“√a 2=√b 2”是“(√a)2=(√b)2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2﹣ax +1＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．[﹣2，2]4．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，下列结论中错误的是（ ） A ．xy 的最大值是18B ．2x +4y 的最小值是2C ．1x+2y的最小值是9D ．x 2+4y 2的最小值是125．设（﹣∞，a ）是函数y ＝x 2﹣4|x |+5的一个减区间，则实数a 的取值为（ ） A ．a ≥﹣2B ．a ≤﹣2C ．a ≥2D ．a ≤26．已知函数f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，则f （x ）+g （x ）＝x 2+x ﹣2，则f （2）＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在（0，+∞）上单调递增 B ．偶函数且在（0，+∞）上单调递减C ．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增D ．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递减二、多项选择题。
2013年中考数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。
）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 22. 如果\( a \)和\( b \)互为相反数，那么\( a + b \)的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 不确定3. 已知\( x \)和\( y \)满足\( x + y = 5 \)，\( x - y = 1 \)，求\( x \)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径是5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 下列哪个不是二次根式？A. \( \sqrt{4} \)B. \( \sqrt{9x} \)C. \( \sqrt{x^2} \)D. \( \sqrt{16} \)7. 如果一个数的平方等于81，这个数是多少？A. 9B. -9C. ±9D. ±38. 一个数的立方等于-27，这个数是多少？A. -1B. -3C. 3D. 19. 一个分数的分子和分母都乘以相同的数，分数的值会如何变化？A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定10. 下列哪个是完全平方数？A. 20B. 21C. 22D. 23二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
请将答案填在题中横线上。
）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
12. 如果\( a \)和\( b \)互为倒数，那么\( ab \)的值等于______。
13. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3和4，它的体积是______。
14. 一个数的平方根是4，这个数是______。
15. 如果\( x \)的立方等于27，那么\( x \)的值是______。
2013学年第一学期期中试卷高二职高数学本试题卷共4页，五大题17小题。
全卷满分100分。
考试用时100分钟注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷一、选择题（本大题共l2小题．每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的）1、已知 A （－5，2）B （0，－3）则直线AB 斜率为 （ ） A 、 －1 B 、1 C 、31D 、0 2、经过点（1，2）且倾斜角为450的直线方程为 （ ） A 、1+=x y B 、x y 2= C 、3+-=x y D 、x y 2-= 3、如图直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k 则 （ ） A 、1k ＞2k ＞3k B 、2k ＞1k ＞3k C 、3k ＞2k ＞1k D 、2k ＞3k ＞1k4、直线06=+-y x 与直线0=+y x 的交点坐标为 ( ) A 、 （－3，3） B 、 （3，－3） C 、（4，2） D 、（3，3）5、直线1l 的倾斜角130α=o，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为 ( )A 3-B 3C 33-D 336、经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程为 ( ) A 23100x y -+= B 01032=++y x C 23100x y +-= D 23100x y --=7、过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程为 ( ) A 20x y += B 20x y -= C 02=-y x D 20x y +=8、三条直线相交于一点，可以确定的平面个数是 （ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、1个或3个9、下列选项中，能确定一个平面的是 （ ） A 、三个点 B 、一点和一条直线 C 、两条直线 D 、两条平行直线 10、若直线a 平行于平面α内的一条直线，则a 与平面α的位置关系是 （ ） A 、α//a B 、α⊂aC 、α//a 或α⊂aD 、α//a 或a 与α相交 11、用符合语言表示“点P 在直线l 上，l 在平面α内”，正确的是 （ ） A 、α∈∈l l P , B 、α⊂∈l l P , C 、α∈⊂l l P , D 、α⊂⊂l l P ,12、圆心为（-1,4），半径为5的圆的方程为 （ ） A 、25)4()1(22=++-y x B 、25)4()1(22=-++y x C 、5)4()1(22=++-y x D 、5)4()1(22=-++y x二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在对应的位置上，其答案书写不清，模棱两可均不得分）13x+y+1=0的倾斜角为 ___ 14、原点到直线0834=+-y x 的距离为____________15、已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则圆心坐标为__________,半径为___________ 16、已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱所在的直线总共有_______对是异面直线 17、已知c b a ,,是三条直线，给出下列命题：（1）若a 与b 垂直，c 与b 垂直，则a 与c 也垂直；（2）若a 与b 是异面直线，c 与b 是异面直线，则a 与c 也是异面直线；（3）若a 与b 是相交直线，c 与b 是相交直线，则a 与c 也是相交直线；（4）若a 与b 共面，c 与b 共面，则a 与c 也共面。
2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}sin 2A y y x ==，{B x y ==，则A B = （）A.[]0,1 B.(]0,1 C.[)0,1 D.∅【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的值域得到集合A ，二次根式定义得到集合B ，再由集合交集的定义得到结果.【详解】∵[]sin 21,1x ∈-，∵y =，∴[)0,x ∈+∞∴[]0,1A B =I ，故选：A2.设复数z 满足(2i)i z +=，则z 的虚部为（）A.2 B.2- C.2iD.2i-【答案】B 【解析】【分析】运用除法运算进行复数化简，再根据虚部概念判断.【详解】复数z 满足()2i i z +=，则2i12i iz +==-.则z 的虚部为−2.故选：B.3.已知直线:2l y kx =-的一个方向向量为)，则直线l 的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】A 【解析】【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.【详解】已知直线l 的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率3k ==.因为直线的斜率tan k α==0πα≤<，所以π6α=.故选：A.4.“14a <”是方程“221341x y a a +=-表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出a 的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断14a <与这个取值范围的关系.【详解】要使方程221341x y a a +=-表示双曲线，则3(41)0a a -<.解不等式3(41)0a a -<，可得10a 4<<.当14a <时，不一定满足10a 4<<，例如当1a =-时，方程221341x y a a +=-不表示双曲线；而当方程221341x y a a +=-表示双曲线时，一定有10a 4<<，那么一定满足14a <.所以14a <是方程221341x y a a +=-表示双曲线的必要不充分条件.故选：B.5.已知cos 2cos(3π)2π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭αα，则21cos sin 22αα+=（）A.15-B.25C.35D.1【答案】C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将已知条件化简，求出tan α的值，再将所求式子利用二倍角公式化简，最后将tan α的值代入化简后的式子进行计算.【详解】根据诱导公式πcos()sin 2αα+=-，cos(3π)cos αα+=-，则sin 2cos αα-=-，即sin tan 2cos ααα==.根据二倍角公式sin 22sin cos ααα=，则221cos sin 2cos sin cos 2ααααα+=+.将其分子分母同时除以2cos α得到222cos sin cos sin cos ααααα++，进一步化为21tan tan 1αα++.把tan 2α=代入上式，可得2123215+=+.故选：C.6.已知正四面体PABC 的棱长为1，动点M 在平面ABC 上运动，且满足PM PA PB mPC =--+，则PM AB ⋅的值为（）A.2- B.1- C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】由,,,M A B C 四点共面推得3m =，再以,,PA PB PC为基底进行向量运算可得.【详解】动点M 在平面ABC 上运动，且,AB AC不共线，则存在实数,x y ，使AM xAB y AC =+.即()()PM PA x PB PA y PC PA -=-+-，所以(1)PM x y PA xPB yPC =--++ .又PM PA PB mPC =--+，,,PA PB PC 不共面，由空间向量基本定理可知111x y x y m --=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故21m -=，解得3m =.即3PM PA PB PC =--+.因为四面体PABC 正四面体，且棱长为1.所以12PA PB PB PC PB PA ⋅=⋅=⋅= ，2221PA PB PC === .所以()()3PM AB PA PB PC PB PA⋅=-+-⋅- ()33PA PB PB PB PC PB PA PA PB PA PC PA=-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅+⋅ ()221313PA PB PB PA=---+⋅-+ 0=.故选：C.7.已知事件,A B 满足()0.6,()0.1P A P B ==，则（）A.若A 与B 相互独立，则(0.06P AB =B.若A 与B 互斥，()0.06P AB =C.若()()1P B P C +=，则C 与B 相互对立D.若B A ⊆，则()0.6P A B ⋃=【答案】D 【解析】【分析】A 项，相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B 项，由互斥定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C 项，不能判断,B C 是否互斥与对立；D 项，由A B A = 可得.【详解】选项A ，若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立，所以()()()()0.610.10.540.06P AB P A P B =⋅=⨯-=≠，故A 错误；选项B ，若A 与B 互斥，则,A B 不可能同时发生，即()0P AB =，故B 错误；选项C ，若()()1P B P C +=，则由于不确定C 与B 是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件C =“出现奇数点”；事件B =“出现点数不大于3”，则1()(),()()12P B P C P B P C ==+=，但事件,B C 并不互斥，也不对立，故C 错误；选项D ，若B A ⊆，则A B A = ，则()()0.6P A B P A == ，故D 正确.故选：D.8.设2()(8)sin f x x x ω=-，若存在a ∈R ，使()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（）A.π4B.π8C.π16D.π32【答案】C 【解析】【分析】直接利用函数2y x =的奇偶性与三角函数的对称性质，结合两个偶函数的积函数的性质，选出满足题意的选项即可.【详解】由函数()()()28sin f x x x ω=-⋅，x ∈R .则()()()28sin f x a x a x a ω⎡⎤+=+-⋅+⎣⎦是偶函数，因为()28y x a =+-不可能是奇函数，由两函数解析式可知，若()28y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，满足题意.要使()()()2228288y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则80a -=，即8a =，当8a =时，()()28sin 8f x x x ωω+=+，函数2y x =为偶函数，要使()()28sin 8f x x x ωω+=+为偶函数，只需()sin(8)g x x ωω=+为偶函数即可.由()()g x g x -=恒成立，即sin(8)sin(8)x x ωωωω-+=+对任意x R ∈恒成立，882πx x k ωωωω-+=++（不合题意，舍去），或882ππx x k ωωωω-+++=+，k ∈Z .可得π8π2k ω=+，k ∈Z ，即21π16k ω+=，取0k =可得π16ω=，故C 正确，其余选项不存在k ∈Z ，使其成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知圆221:2O x y +=与圆222:4230O x y x y +-++=交于,M N 两点，则（）A.两圆半径相同B.两圆有3条公切线C.直线MN 的方程是4250x y -+=D.线段MN【答案】AD 【解析】【分析】由圆的方程得到圆心和半径，由此判断A 选项正确；由圆心距和半径的关系得到圆与圆的位置关系知道公切线条数，判断B 选项错误；两个方程作差即可得到交点弦的方程，判断C 错误；由垂径定理求得线段长，判断D 选项正确.【详解】1r =，22r ==，所以A 选择正确；()10,0O ，()22,1O -，∴12O O =<，两个圆相交，所以有2条公切线，B 选项错误；两个方程相减得4250x y --=，C 选项错误；垂径定理可得221225322244MN O O r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴MN =D 选项正确；故选：AD.10.已知样本数据是两两不同的四个自然数1234,,,x x x x ，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）A.众数为4B.上四分位数为6C.中位数为4D.最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】我们可以根据这两个公式列出关于1234,,,x x x x 的方程，再结合数据是自然数以及各个选项的特点进行分析判断.【详解】已知样本数据1234,,,x x x x 的平均数为4，根据平均数公式12344x x x x x +++=，可得123416x x x x +++=.又已知方差为5，根据方差公式2222212341[(4)(4)(4)(4)]54s x x x x =-+-+-+-=，则22221234(4)(4)(4)(4)20x x x x -+-+-+-=.展开结合123416x x x x +++=，则2222123484x x x x +++=，则222222412344844x x x x x x <+++=<即2244844x x <<，则242184x <<.开方则4459,N x x ≤≤∈.不妨设1234x x x x <<<，则123409x x x x ≤<<<≤，（1）当49x =时，1237x x x ++=，2221233x x x ++=，显然无解.（2）当48x =时，1238x x x ++=，2222231233203x x x x x <++=<，则2320203x <<，开方则3334,N x x ≤≤∈.再讨论：令33,x =222121215,311,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令34,x =221121224,4,4x x x x x x +=<+<=，显然无满足题意自然数解.（3）当47x =时，1239x x x ++=，2222231233353x x x x x <++=<，则2335353x <<，开方则3345,N x x ≤≤∈.再讨论：令34,x =222121215,419,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令35,x =222121214,410,x x x x x x ++=<<=，显然121,3x x ==满足题意自然数解.（4）当46x =时，12310x x x ++=，2222231233483x x x x x <++=<，则231648x <<，开方则3356,N x x ≤≤∈.又346x x <=，则35,x =222121215,523,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.（5）当45x =时，12311x x x ++=，2222231233593x x x x x <++=<，则2359593x <<，开方则3357,N x x ≤≤∈.又345x x <=，则显然无满足题意自然数解.综上所得，满足题意得自然数解只有：12341,3,5,7x x x x ====.分析各个选项.众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，这里数据两两不同，没有众数，所以A 选项错误.上四分位数：40.753⨯=，即7562+=，所以上四分位数为6，B 选项正确.中位数：将数据从小到大排序为1,3,5,7，中位数为3542+=.C 选项正确最小值：最小值为1，D 选项正确.故选：BCD.11.数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点12(,0),(,0)(0)F a F a a ->，动点P 到12,F F 的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）A.双纽线有对称中心和对称轴B.双纽线的方程是()()2222222x y a x y +=-C.12PF PF +的最大值为2aD.12PF F 面积的最大值为22a 【答案】ABD 【解析】【分析】运用对称性验证即可；求曲线方程，需要根据距离公式建立等式；求12||||PF PF +的最大值以及12PF F 面积的最大值则可以根据基本不等式和根据已有的条件和相关数学知识进行分析推导.【详解】对于A ，因为1(,0)F a -，2(,0)F a 关于原点对称，设点(,)P x y 是双纽线上的点，那么点P 关于原点对称点(,)P x y '--到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同.关于x 轴，设(,)P x y 在双纽线上，点P 关于x 轴对称的点(,)P x y ''-到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A 选项正确.对于B ，设(,)P x y ，1||PF =2||PF =因为212||||PF PF a =，所以2a =.展开可得22224(())(())x a y x a y a ++-+=.进一步展开2222224(2)(2)x ax a y x ax a y a +++-++=.令222m x y a =++，则4(2)(2)m ax m ax a +-=，即22244m a x a -=.将222m x y a =++代回得2222224()4x y a a x a ++-=.展开2222224224()2()4x y a x y a a x a ++++-=.整理得222222()2()x y a x y +=-，B 选项正确.对于C ，由均值不等式12PF PF +≥.已知212||||PF PF a =，所以122PF PF a +≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，12PF PF +的最小值为2a ，C 选项错误.对于D ，设12F PF θ∠=，根据三角形面积公式121||||sin 2S PF PF θ=.因为212||||PF PF a =，所以21sin 2S a θ=.因为sin θ最大值为1，所以S 的最大值为212a ，D 选项正确.故选；ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则点F 坐标为______．【答案】1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据抛物线方程和焦点坐标公式计算.【详解】已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则焦点在x 轴上，则124p =,由抛物线焦点坐标公式知道点F 坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,04⎛⎫⎪⎝⎭.13.若关于x 的方程20x m +-=有解，则m 的取值范围是______．【答案】⎡-⎣【解析】【分析】利用三角换元转化为函数值域问题求解可得【详解】令2sin ,x θ=2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则cos 0θ≥，2cos θ==，即2sin 2cos 2m θθ+=.方程20x m =有解，可转化为sin cos m θθ=+，即关于θ的方程π4m θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解.设π()4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,ππ3π444θ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，则当ππ42θ+=即π4θ=时，()f θ取最大值，max π()2f θ==；当π4π4θ+=-即π2θ=-时，()f θ取最小值，min π()14f θ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；则()f θ的值域为⎡-⎣，要使()m f θ=有解，则m 的取值范围是⎡-⎣.故答案为：⎡-⎣.14.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD 内一点，且AP =，则1BP C P +的最小值为______．【答案】3+【解析】【分析】连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，可得1AC ⊥平面1,3A BD AO =，从而可得点P 在圆上，结合圆的性质可得BP 的最小值，以及1C P 的值，即可得结果.【详解】如图，连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，因为ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ，由1AC ⊂平面11ACC A ，则1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，因为11A A BD A ABD V V --=，且1A BD 为边长为即111122232322AO ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得3AO =，又因为AP =3OP ==，且1A BD 的内切圆半径63r =，外接圆半径263R =，即333<<，可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），当且仅当点P 在线段OB 上时，BP 取到最小值333=-，又因为113C O AC AO =-=，可得1C P =，所以1BP C P +26153+.26153+.【点睛】关键点点睛：本题的关键是求得3OP =，分析可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），结合圆的性质分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线:10l x y +-=．（1）若直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线l 平行，求m 的值；（2）若圆22:4450C x y x y ++++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ，直线2l 过点()2,2P ，求曲线Γ截直线2l 所得的弦长的最小值．【答案】（1）3m =（2）2【解析】【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值；（2）求出圆T 的标准方程，分析可知，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离最大，此时，圆T 截直线2l 的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值.【小问1详解】因为直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线:10l x y +-=平行，则()232212111m m m -++-=≠-，解得3m =.【小问2详解】圆()()22:223C x y +++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ是圆T ，圆C 的圆心为()2,2C --，半径为，设圆心(),T a b ，直线l 的斜率为1-，由题意可得()2112221022b a a b +⎧⋅-=-⎪⎪+⎨--⎪+-=⎪⎩，解得3a b ==，所以，圆T 的标准方程为()()22333x y -+-=，因为()()2223233-+-<，所以，点()2,2P 在圆T 内，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离取最大值，且TP ==所以，圆T 截直线2l的弦长的最小值为2==.16.在平面四边形ABCD 中，120,2B AB ∠=︒=，点E 在BC 上且满足AB BE AC EC=，且3AE =（1）求BAE ∠；（2）若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值【答案】（1）π12；（2）226【解析】【分析】（1）在ABE 中，由正弦定理，sin sin AE AB B BEA =∠，求解得BEA ∠和BAE ∠.（2）由（1）结合已知求得2BC AB ==令AD m =，CD n =，由余弦定理及基本不等式可求出AD CD +的最大值，即可求出四边形ABCD 周长的最大值.【小问1详解】在ABE 中，由正弦定理得：sin 22sin 23AB B AEB AE ∠==，又AEB B ∠<∠，则45AEB ∠=︒，于是1801204515BAE ∠=︒-︒-︒=︒．【小问2详解】依题意，1sin sin 21sin sin 2ABE CBE AB AE BAE S AB BE AB BAE AC EC S AC CAE AC AE CAE ⋅∠∠====∠⋅∠ ，则sin sin BAE CAE ∠=∠，有15B CAE AE ∠=︒∠=，30,30BAC ACB ︒︒∠=∠=，则2BC AB ==，在ABC 中，221(2)(2)222()62AC =+-⋅⋅-，令,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理得22262cos 60()3m n mn m n mn =+-=+-︒，于是22()6363()2m n m n mn ++=+≤+，解得26m n +≤，当且仅当6m n ==时取等号，所以四边形ABCD 周长的最大值为2226+.17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，4π//,AD BC BAD ∠=，224,.AD BC PB AP CD ===⊥（1）求证：CD ⊥平面APB ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角D PC B --的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】【分析】（1）过点B 作//BH CD ，根据角度关系证明AB CD ⊥，结合AP CD ⊥可证明CD ⊥平面APB ；（2）方法一：根据四棱锥的体积先计算出四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系分别求解出平面PCD 和平面PBC 的法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通过三垂线作法先找到二面角的平面角，然后结合线段长度求解出二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】过点B 作//BH CD 交AD 于H 点，如下图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，π4BAD ∠=，∴π4BHA ADC BAD ∠=∠=∠=，所以π2ABH ∠=，即AB BH ⊥，即AB CD ⊥，又,,,AP CD AP AB A AP AB ⊥=⊂∩平面PAB ，CD \^平面PAB .【小问2详解】方法一：设四棱锥的高为h ，12,3P ABCD ABCDV S h -=⋅=梯形//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，2,AH AD BC ∴=-=222,AH AB BH BH AB =+=，AB BH ∴==()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S +⨯+=== 梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；如图，以B 为原点，以,,BH BA BP 方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系B xyz -，ππ2sin ,2sin ,044C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)C ∴，BH CD =，()D ∴，且()()0,0,0,0,0,2,BP)())2,,PC DC BC ∴=-==- ，设平面PCD 的法向量为 =s s，则200PC m z DC m ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =-，则0,x y ==∴()1m =- ，设面PBC 法向量为 =s s，则200PC n c BC n ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1a =，则1,0b c ==，∴得()1,1,0n =，由题意，cos ,3m n m n m n ⋅=== ，设二面角D PC B --夹角为,θθ是钝角，则cos 3θ=-．方法二：设四棱锥的高为h ，123P ABCD ABCDV s h -=⋅=梯形，()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S ++===梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；又PB ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面ABCD ，过D 作DF BC ⊥交BC 延长线于F ，平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，DF ⊂平面ABCD ，∴DF ⊥平面PBC ，PC ⊂ 平面PBC ，,DF PC ∴⊥过F 作PC 的垂线，垂足为E ，连DE ，由于,,,,EF PC DF PC EF DF F EF DF ⊥⊥=⊂ 平面DEF ，∴PC ⊥平面,DEF DE ⊂ 平面DEF ，PC DE ∴⊥，则DEF ∠为所求二面角的平面角的补角．//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，π2sin 4BH CD AB ∴====，2,PB BC == ，π4BCP ∴∠=，AD //BC ，π4ADC DCF ∴∠=∠=，2sin 1,1,s ,πin 4π42DF CD CF DF EF CF ∴======DF ⊥Q 平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，DF EF ∴⊥，2DE ∴==，32cos ,362DEF D E E F ∴∠===设二面角D PC B --的平面角为,θ则cos cos 3DEF θ=-∠=-．18.椭圆22:143x y C +=，动直线l 与椭圆C 相切于点P ，且点P 在第一象限．（1）若直线l 的斜率为1-．求点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，垂足为Q ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）4737,77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（2）14【解析】【分析】（1）设直线l ：y x b =-+，与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，所以方程组只有一解，可求b 的值，进而可得切点坐标.（2）设直线l ：y kx m =+，根据直线与椭圆相切，可得,k m 的关系；再根据直线l OQ ⊥，得到直线OQ 的方程，联立直线l 的方程，可得Q 点坐标，表示出OPQ △的面积，结合基本（均值）不等式求最大值.【小问1详解】设直线l ：y x b =-+，代入椭圆22:143x y C +=，得：22784120x bx b -+-=动直线l 与椭圆C 相切于点()2,Δ163210,P b b ∴=-+==．又因为点P在第一象限，b ∴=方程27160x -+=的解为477x =，得4737,.77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】如图：设直线:(0,0)l y kx m k m =+<>交x 轴于,0,m A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为直线1l 与l 垂直，11:l y x k ∴=-．联立1l 与l ，得22,.11km m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭将:(0,0)l y kx m k m =+<>代入椭圆22:143x y C +=得()2223484120,k x kmx m +++-=动直线l 与椭圆C 相切于点()()2222,Δ644344120,P k m k m ∴=-+-=得2243,k m +=3,P m m ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭即43,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2211311,22142112OPQ Q P k m m S OA y y k k m k k k =⋅-=⨯⋅-==≤+⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当1||||k k =，即1k =-时取等号．OPQ △面积的最大值为14．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中有关最值的问题，通常解法有：（1）转化成二次函数的最值问题解决；（2）有时候要经过换元，转化成利用基本（均值）不等式求最值；（3）采用三角换元，利用三角函数的性质求值域；（4）少数题目利用求导，分析函数的单调性求最值.19.曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点()()1122,,,,A x y B x y 它们之间的曼哈顿距离1212(,).D A B x x y y =-+-（1）已知点(2,1),(3,3)A B -，求(,)D A B 的值；（2）已知平面直角坐标系内一定点(2,1)A ，动点P 满足(,)2D A P =，求动点P 围成的图形的面积：（3）已知空间直角坐标系内一定点(2,1,3)A ，动点P 满足(,)(0)D A P m m =>，若动点P 围成的几何体的体积是，求m 的值．【答案】（1）5（2）8（3）【解析】【分析】（1）根据定义计算即可；（2）设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积；（3）动点P 的正三角形，根据公式得到体积，求m ．【小问1详解】(,)|23||13|5D A B =-++=．【小问2详解】设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，当24,13x y ≤≤≤≤时，5x y +=；当24,11x y ≤≤-≤<时，3x y -=；当02,13x y ≤≤≤≤时，1x y -=-；当02,11x y ≤≤-≤<时，1x y +=．所以动点P 围成的图形是正方形，边长为，面积为8．【小问3详解】动点P 的正三角形，其体积为3186V m m =⨯==．证明如下：不妨将A 平移到(0,0,0)A '，处，设(,,)P x y z ，若()(),0D A P m m '=>，则||||||x y z m ++=，当,,0x y z ≥时，即()0,,x y z m x y z m ++=≤≤，设123(,0,0),(0,,0),(0,0,)M m M m M m ，由112233OP OM OM OM λλλ=++ ，得1231λλλ++=所以123,,,P M M M 四点共面，所以当,,0x y z ≥时，P 的等边三角形123M M M 内部（含边界），同理可知等边三角形内部任意一点(),,Q x y z '''，均满足()0,,x y z m x y z m '''++=≤≤．所以满足方程()0,,x y z m x y z m ++=≤≤的点P ，的等边三角形内部（含边界）、由对称性可知，P 的等边三角形．故该几何体体积3186V m m =⨯==。
2012-2013学年度下学期期末考试五校联考高二年级数学（理科）试题 2013年7月试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和学号填写在第II 卷和答题卡上，并在答题卡上用2B 铅笔将相应的信息点涂黑。
不按要求填涂的，答卷无效。
2、 单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、 非单项选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将第II 卷及答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
） 1、已知全集U R =，集合{}5,4,3,2,1,0=M 和{}Z n n x x N ∈==,2的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数bi a -为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（ ）A ．7B ．15C ．20D ．254、下列函数中,既是奇函数又在()+∞,0上单调递增的是（ ）A ．2x y =B ．x y sin =C ．x y =D ．3x y =5、如图2所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体 的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．186、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且54cos ,5,6===A b a ，则=B （ ） A ．6π B ．3πC ．6π或65πD ．3π或32π7、执行如图3所示的程序框图（in C 为组合数）,如果输入5=n ，则输出的S 的值是（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1288、对于正整数b a ,（b a <）.定义)()3)(2)((!ka b a b a b a b b a -⋅⋅⋅---=,其中k 是满足ka b >的最大整数，则=!20!1864（ ） A ．1 B ．427 C ．215 D ．415 第二部分 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．） (一)必做题(9～13题)9、函数)32lg()(2++-=x x x f 的定义域为 .10、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生.11、已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的离心率为 .12、设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的最小值为 .13、设0a >.若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a = .（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14、(坐标系与参数方程选讲选做题) 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .15、(几何证明选讲选做题) 如图4,AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的切线，且3=BC ，连接CO CA ,分别交圆O 于E D ,，且1=CE ，则=CD _______.三、解答题（本大题共6小题，共80分，要写出详细的解答过程或证明过程） 16、（本小题满分12分）已知函数),0,0)(6cos()(R x A x A x f ∈>>-=ωπω的最大值为2，最小正周期为π. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）若41)12(=+παf ，)0,2(πα-∈，求αsin 的值.17、（本小题满分12分）甲、乙两班各15名同学参加数学竞赛，甲班同学的成绩茎叶图如图5所示，其中茎为十位数,叶为个位数；乙班同学的成绩频率分布直方图如图6所示, 其中成绩分组区间是:[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100． （Ⅰ）根据图5计算甲班同学成绩的均值； （Ⅱ）计算图6中x 的值；（Ⅲ）从甲、乙两班成绩在90分以上（含90分）的同学中随机选取2人，记ξ为抽到乙班同学的人数，求ξ的分布列和数学期望．图418、(本小题满分14分) 如图7，平面图形ABCDEFG 由一个等腰直角三角形和两个正方形组成，其中1===CD BC AB ，现将该平面图形分别沿BG 和CF 折叠，使ABG ∆和正方形CDEF 所在平面都与平面BCFG 垂直，再分别连接GE AD AE ,,，得到如图8所示的空间图形．（Ⅰ）求证：⊥AE 平面CDG ； （Ⅱ）求二面角G AE C --的余弦值．19、(本小题满分14分) 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n S S a a +=12对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求1a ,2a 的值； （Ⅱ）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++121log )2(n a n a 的前n 项和为nT ，求证：43<n T .20、(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，焦点()0,a 在直线022=--y x 上，圆M 的方程为012822=+-+x y x ,圆心为M . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过抛物线C 上的动点P 作圆M 的两条切线，切点为B A ,，求四边形AMBP 的面积的最小值；（Ⅲ）直线1l 经过圆M 的圆心，与抛物线C 交于F E ,两点，直线2l 经过EF 的中点，且与y 轴交于点),0(b .若直线1l 与2l 的倾斜角互补，求b 的取值范围.21、 (本小题满分14分) 已知函数221)(x bx ae x f x+-=在点)1,0(处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若kx x f x h +'=)()(，设)(k g 是)(x h 在[]1,0上的最小值，求)(k g 的表达式，并探讨)(k g 在)2,(--e 上的单调性.图8图72012-2013学年度下学期期末考试五校联考高二年级数学（理科）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2012-2013学年高一下学期五校联考期中考试高一数学 试题卷说明：1．本试卷满分为100分；2．考试时间为90分钟，考试过程中不得使用计算器； 3．所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本题有10个小题,每个小题3分，共30分）1,…则23是该数列的（ ）A . 第6项B . 第7项C .第8项D . 第9项 2．在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,2=a ，则b 等于（ ）A.6B.2C.3D. 62 3．已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，若2008=n a ，则n =（ ）A.667B.668C.669D.670 4．=-8sin 8cos44ππ（ ）A 、0B 、1CD 、 5. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S等于（ ） A ．66B ．99C ．144D ．2976. 若函数21)4(sin )(2-+=πx x f ，则函数)(x f 是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为π的奇函数7.ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ） A ．- 12B ．12C ． -1D ．18.若()2tan 5αβ+=，且1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A 、1613 B 、223C 、2213D 、163 9.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=( )Ａ．2-Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．210． 给出下列4个命题：①若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆是等腰三角形；②若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形；③若0cos cos cos <C B A ，则ABC ∆是钝角三角形；④若1)cos()cos()cos(=---A C C B C A ，则ABC ∆是等边三角形.其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①④ D ．②③二、填空题（本题有6个小题,每个小题4分，共24分）11. 在△ABC 中，已知三边c b a ,,满足ab c b a =-+222，则∠C = ； 12. 若31sin =α且παπ32<<，则=+2cos 2sin αα ；13. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值= ；14. cos 23x x a +=-中，a 的取值范围是 ； 15.已知A 船在灯塔C 北偏东80处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40处，B A 、两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为 ；16．等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且8776,S S S S ><则 ①此数列的公差d ＜0 ②9S 一定小于6S③7a 是各项中最大的一项 ④7S 一定是n S 中的最大值其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号）三、计算题 （本题有四个大题，17题10分，18～20题各12分，共46分）17.求值： ①sin 47sin17cos30cos17- ②10cos 310sin 1-18. 已知函数x x x x f 22cos 2)cos (sin )(++=，（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的最大值和最小值.19.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且有0)cos(32sin =++B A C . （1）13,4==c a ，求ABC ∆的面积； （2）若AB CA CA BC BC AB C B A ∙-∙-∙>=32,cos cos ,3求π的值.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数12+-=x y 的图像上. （1）写出n S 关于n 的函数表达式； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）计算16T =||||||||16321a a a a ++++ ； （4）已知213-=n n a b ，若对一切*∈N n 均有n n b m S ∙<-3成立，求实数m 的取值范围.2012学年第二学期五校联考期中卷高一数学 答案二、 填空题（每空4分，共24分） 11、 60 12、332- 13、9 14、2521≤≤a 15、61+- 16、①②④ 三、 解答题（17题10分，18～20题各12分，共46分） 17、①21；② 4 ……. 每小题各5分。
2024-2025学年第一学期九年级数学练习（二）试题卷本卷考试范围：九年级上册1-3章考生须知：1.全卷共三大题，24小题，满分为120分。
考试时间为120分钟。
2.本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效。
3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！卷Ⅰ说明：本卷共有一大题，10小题，共30分。
请用2B 铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.二次函数的一次项系数是（ ）A.-2B.6C.-6D.-12.一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球，从中任意摸出1个球，摸出的球（ ）A.一定是绿球B.一定是黄球C.一定是红球D.红球的可能性大3.已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）A.点在外 B.点在上 C.点在内D.不能确定4.下列变量之间具有二次函数关系的是（ ）A.圆的周长与半径B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量C.正三角形的面积与边长D.匀速行驶的汽车，路程与时间5.已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）A. B. C. D.6.如图是二次函数的图象，表明无论为何值，函数值永远为负，则下列结论成立的是（）2261y x x =-+-O e 9cm 10cm OA =A O e A O e A O e A O e C ry x S a s t()1,2M ()3,3N -(),P x y P (3,5)(3,5)-(1,7)-(1,3)-2y ax bx c =++x yA.，B.，C.，D.，7.以原点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点的坐标为（ ）A. B. C. D.8.将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ）A. B. C. D.9.如下表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（ ）…1 1.1 1.2 1.3 1.4……-0.75-0.465-0.160.1650.51…A. B. C. D.10.如图，平面直角坐标系中，经过三点，，，点是上的一动点.当点到弦的距离最大时，点的坐标是（ ）A. B. C. D.卷Ⅱ说明：本卷共有两大题，14小题，共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上.二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.从初中数学6本书中随机抽取1本，则抽到的那本为九年级的概率为_____.12.二次函数，当时，随的增大而______.（填“增大”或“减小”）0a >240b ac ->0a >240b ac -<<0a 24>0b ac -0a <240b ac -<()4,5P 90 Q (4,5)-(4,5)-(5,4)-(5,4)-O e A B C ADB ∠3045606522.5y ax bx =+-x y 22.50ax bx +-=1x xγ11 1.1x <<11.1 1.2x <<11.2 1.3x <<11.3 1.4x <<P e ()8,0A ()0,0O ()0,6B D P e D OB D (9,3)(9,6)(10,3)(10,6)()21y x =-0x <y x13.已知的一条弦把圆的周长分成1:5的两个部分，则弦所对的弧的度数为_____.14.小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度（单位：米）与在空中飞行的时间（单位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间_____秒时，篮球距离地面最高.15.如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处.若折痕_____.16.函数在有最大值6，则实数的值是_____.三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）17.（8分）平面直角坐标系中，点、、、在上.（1）在图中清晰标出点的位置；（2）点的坐标是_____.18.（8分）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数.则乙胜.（1）转出的数字为3的概率是_____.（2）转出的数字不大于3的概率是_____.O e AB AB h t 2412h t t =-+=AOB 90AOB ∠=AOB O AB C DE =222y x ax =-+-13x -≤≤a ()2,9A ()2,3B ()3,2C ()9,2D P e P P（3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？19.（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点.连接、、.（1）求证：；（2）若，，求的直径.20.（8分）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：（1）圆形团扇的半径为_____（结果保留），正方形团扇的边长为_____；（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.21.（8分）已知二次函数（是常数）.（1）求证：无论为何值，该二次函数图象与轴一定有交点；（2）已知该二次函数的图象与轴交于，两点，且，求的值.22.（10分）网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元.设销售板栗的日获利为（元）.（元）789430042004100（1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式：（不用写自变量的取值范围）（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？23.（10分）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足AB O e CD AB CD ⊥E AC OC BC CAO BCD ∠∠=3BE =8CD =O e 2400cm πcm cm ()223y x m x m =--+-m m x x A B 2AB =m /kg ()y kg x /kg /kg w x /kg ()y kg y x w C D ACB P AB，则称是的“相望角”，如图，（1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接.求证：是的“相望角”；（2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长.24.（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.（1）求抛物线的解析式；（2）当点到轴的距离为8时，求的值；（3）当图象的最大值与最小值的差为4时，求的取值范围.APC BPD ∠∠=CPD ∠CD CE AB ⊥D BC DE AB P CP CPD ∠CD 6AB =CE AB ⊥CD 90CD 2y x bx c =-++x ()1,0A ()5,0B -y C P C P m C P G P x m G m2024-2025学年第一学期九年级数学练习（二）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.B2.D3.A4.C5.C6.D7.C8.D9.C 10.A 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.12.减小 13.或 14. 15. 16.或三、解答题（共8小题，共72分）17.（8分）解：弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，因而交点的坐标是.18.（8分）解：（1）一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同，转出的数字为3的概率是，（2）一共有5个数字，数字不大于3的有3个，转出的数字不大于3的概率是，（3）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下：一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同，任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为，，乙获胜的概率大，这样的游戏规则对甲、乙两人不公平.19.（8分）（1）证明：为的直径，是弦，且于点，，；4分（2）解：设的半径为，则，，，，1360 3003224π-92-AB 6y =CD 6x =P (6,6) ∴15∴35∴35252355∴<∴∴AB O e CD AB CD ⊥E »»BCBD ∴=CAO BCD ∴∠=∠O e R 3OE OB BE R =-=-AB CD ⊥ 8CD =118422CE CD ∴==⨯=在中，由勾股定理可得，，解得，的直径为.20.（8分）解：（1）由题意得：，，，20；（2），圆形团扇的周长为：，正方形团扇的边长为，正方形团扇的周长为：，，圆形团扇所用的包边长度更短.21.（8分）解：（1）当时，，，一元二次方程有实数根，无论为何值，该二次函数图象与轴一定有交点；（2）当时，，得，，，，或.22.（10分）解：（1）设与之间的函数关系式为，Rt CEO △222OC OE CE =+()22234R R ∴=-+256R =O ∴e 253)cm =()20cm = cm ∴)2cm π= 20cm ∴()20480cm ⨯=80<=80∴<∴0y =()2230x m x m --+-=()()()222224134441281640m m m m m m m m =---⨯⨯-=-+-+=-+=-≥⎡⎤⎣⎦△∴()2230x m x m --+-=∴m x 0y =()2230x m x m --+-=()242m m x -±-==13x m ∴=-21x =()3142AB m m ∴=--=-=6m ∴=2m =y x ()0y kx b k =+≠把，和，，代入得：，解得，日销售量与销售单价之间的函数关系式为；（2）由题意得：，，对称轴为直线，由已知得，，当时，有最大值为48400元.当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为48400元.23.（10分）（1）证明：直径，弦，垂直平分弦，，，，是的“相望角”；（2）解：由题意知，是的“相望角”，，，直径，弦，，，，，如图1，记圆心为，连接，，则图1，，由勾股定理得，的长为.7x =4300y =8x =4200y =7430084200k b k b +=⎧⎨+=⎩1005000k b =-⎧⎨=⎩∴y x 1005000y x =-+()()61005000w x x =--+2100560030000x x =-+-()21002848400x =--+1000a =-< 28x =630x ≤≤∴28x =w ∴w AB CE AB ⊥AB ∴CE APC APE ∴∠=∠APE BPD ∠=∠ APC BPD ∴∠=∠CPD ∴∠»CD CPD ∴∠»CD90CPD ∠=45APC BPD ∴∠=∠= 6AB =CE AB ⊥PEC PCE ∴∠=∠45APC APE ∠=∠= 90CPE ∴∠= 45PEC PCE ∠=∠= O OC OD 132OC OD AB ===»»CDCD = 290COD PEC ∴∠=∠=CD ==CD∴24.（12分）解：（1）抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标代入得：，解得抛物线的解析式为；（2）是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，，点到轴的距离为8时，得到：或，当时，整理得，解得或；当时，整理得，解得或；综上，的值为-1或-3或或；（3）抛物线与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.当时，，点的坐标为，图象的最大值与最小值的差为4，①当点在点上方时，，且，，解得或0（舍去），，②当点在点下方时，此时点在点左侧，不满足题意，点在点右侧，，解得或（舍去），综上所述，的取值范围是或.2y x bx c =-++x ()1,0A ()5,0B -A B 2y x bx c =-++102550b c b c -++=⎧⎨--+=⎩45b c =-⎧⎨=⎩∴245y x x =--+P C P m ()2,45P m m m ∴--+ P x 2458m m --+=2458m m --+=-2458m m --+=2430m m ++=1m =-3m =-2458m m --+=-24130m m +-=2m =-+2m =-m 2-2-245y x x =--+y C P C C P G 0x =5y =∴C (0,5) G P C ()224529y x x x =--+=-++ 954-=2455m m --+=4m =-42m ∴-≤≤-P C P C ∴P C ()25454m m ∴---+=2m =-+2m =--m 42m -≤≤-2m =-+。
2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x =0的倾斜角是 ( )A. 0B. π2C. πD. 不存在2.已知直线l 1：mx +2y +2=0，l 2：2x +y +4m =0，若l 1//l 2，则m = ( )A. −1B. −4C. 4D. 13.曲线C ：x 2m +1−y 2m +3=1, 则“m >−1”是“曲线C 表示双曲线”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )A. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥n B. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交C. 若m//α，n ⊂α，则m//nD. 若m//α，n//α，则m//n5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为( )A. 1B.2−1C. 2D.2+16.已知a,b 均为正实数，a−1b =2，则5a −b 的最大值为 ( )A. 52−5B. 3−5C. 3−25D. 3+257.曲线y =sin (ωx +1)与y =−2cos (ωx +2)在x ∈(0,π)内有3个交点，则ω可能的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 18.已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点到y =12的距离为1，M 是抛物线C 上的动点，M 到y =−12的距离与|MP |之和的最小值为1，则点P 的轨迹围成的面积是( )A. 4π3−3B. 8π3C. 4π3+3D. 4π二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z 1=a +bi ，z 2=a−bi (a ∈R,b ∈R )，且b ≠0，则以下四个命题正确的是( )A. z 1+z 2∈R B. z 1−z 2为纯虚数C. z 1z 2为纯虚数D. z 1z 2为虚数10.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，焦距为2c ，直线y =kx 与双曲线C 交于A 、B 两点，点A 位于第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为N ，点F 为双曲线的左焦点，则 ( )A. 若AF⊥BF，则|AB|=2cB. 若k=3，则e>2C. 若e=2，则|AF||AN|>2 D. |AF|−|AN|≥2a11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F是棱CC1、BC的中点，动点P满足AP=λAB+μAD+γAA1，其中λ,μ,γ∈[0,1]，则下列命题正确的是 ( )A. 若λ=2μ,γ=0，则D1B⊥面A B1PB. 若λ=μ，则D1P与A1C1所成角的取值范围为[π4,π2 ]C. 若PD1//面DEF，则λ+2μ−2γ=0D. 若PD1⊥PF，则λ+μ+γ∈[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
第二学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()i 1i z =-，则z =（ ）A ．2B ．3C D2．如图，用斜二测画法得到ABC △的直观图为等腰直角三角形A B C '''，其中A B ''=，则ABC △的面积为（）A ．B ．C ．2D ．13．设{}12,e e是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）A ．122e e + 和12e e -B ．123e e - 和2126e e -C ．123e e + 和213e e + D ．1e 和12e e + 4．在ABC △中，a x =，2b =，60B =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．2x <<B ．2x <<C 2x <<D ．2x <<5．,a b 为不重合的直线，,αβ为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若αβ∥，a α⊂，b β⊂，则a b ∥B ．若a b ∥，a α∥，b β∥，则αβ∥C ．若a b ∥，b α∥，则a α∥D ．若a α∥，b α⊂，则a b ∥或a 与b 异面6．已知向量(1,a = ，1b = ，且()()223a b a b -⋅+=．则2a b + 在a 方向上的投影向量的坐标是（ ）A．32⎛⎝B．12⎛⎝C．12⎛- ⎝D．32⎛ ⎝．7．点O 在ABC △的内部，且满足：1255AO AB AC =+，则ABC △的面积与AOB △的面积之比是（ ）A ．72B ．3C ．52D ．28．已知,,a b e是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π4，向量b 满足2680b b e -⋅+= ，则a b -的最小值是（ ）A1-B1+C1+D．2二、多选题：本题共3小题，共18分。
