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余弦定理PPT优秀课件

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余弦定理ppt课件

余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；

余弦定理(55张PPT)

余弦定理(55张PPT)

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：

1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)

1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C

高中数学《余弦定理》精品PPT课件

高中数学《余弦定理》精品PPT课件

2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB

c
c ab
c
2

c

c

(a

b)

(a

b)


a
a

2
a

b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)

6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)

6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)

课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从

《余弦定理》_优秀PPT课件-ppt【北师大版】1

《余弦定理》_优秀PPT课件-ppt【北师大版】1

a
b
3 2 2 3 2 2 3 2 3 c3 o 3 0 s
a 3
Bc
A
由正弦a定 理 b 得 sin A sin B
sinBbsinA312 3
a
32
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)
a= 2 21
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)
（2）解：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
பைடு நூலகம்
=
1 2
cos B
a2
c2 2ac
b2
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
例 1. 《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ，A=1200 ，求 a. （2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ，c= 6 2 ，
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
12(3)221317
2
22 4
BC 7 2
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精 品课件 ppt(实 用版)

《高一数学余弦定理》课件

《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。

余弦定理课件

余弦定理课件

例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A. 解法一：
∵ AB ＝√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 ,
BC ＝√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 ,
AC ＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5 ,
∴ cosA＝
AB
2＋ AC 2－ 2 AB AC
BC
2
A(b cosC,bsin C), B(a,0),C(0,0)
AB2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2 b2 cos2 C 2ab cosC a 2 b2 sin 2 C a2 b2 2ab cosC
c2 a2 b2 2abcosC
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
点A的坐标为：P(r cos O, r sin O)
当角O为锐角时，这一结果 成立吗？当角O为钝角时了？
余弦定理
勾股定理：
A
a2 b2 c2
证明： AB AC CB b
c
AB AB (AC CB)(AC CB)C
B
a
AC AC 2 AC CB CB CB
2
2
2
AB AC CB
C
AC AC 2AC CB CB CB
a
B
2
2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2abcosC

《余弦定理》ppt课件

《余弦定理》ppt课件
利用余弦定理，可以解决：
b
a
Ac
B
（1）已知三边，求三个利角用；余弦定
理可以解决什
（2）已知两边及夹角么，类求型第的三三边角和其他两个角。
形问题？
（3）判断三角形的形状。
6
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 5, c 5 3, A 30o,
求边a和角B、C的值
C
解：由余弦定理知，
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
cosACD cosACB
x2 即
72
7
2
2
27 x
2x2 72 42 2 7 2x
3
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
b,求边
c.学科网
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b) (a b)
﹚
aa2abb
2
b22aab bcos
C
向量法
a2 b2 2ab cos C
余弦定理
c 2 a 2 b2 2ab cos C
13
当a＝b时，△ABC为等腰三角形； 当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得：2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，

余弦定理：课件八(21张PPT)(人教A版必修5)

余弦定理：课件八(21张PPT)(人教A版必修5)

２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
25
练习； （1） ABC 中， 在 已知 b= 4 3 ， = 2 c
3，
1200 ，求 a. A=
（2）在 ABC 中，已知 a= 2 6 ，b= 2
2，
c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
26
cos a 2 = b 2 + c 2 －2 b c · A =84 解： （1）
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A C
B
60
0
A
c b
C
B
a
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A D B
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则
AD=4sin600,CD=4cos600,
BD=3－4cos600, ∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2
a= 2
21
b2 c2 a2 1 cos A （2）解： =2 2bc
2 a2 c2 b2 cos B = 2 2ac
600 ，B= 45 A=
0
1800 A B 750 则 C=
27
解： ∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600
=49
a=7
变式练习：
1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.
综合题:已知 : ABC的三 内角成等差数列,而A,B,C 三内角的对边a,b,c成等比 数列,试证明: ABC为正三 角形.

余弦定理-(优秀课件)

余弦定理-(优秀课件)

【训练3】（2014年高考题）已知△ABC中，∠B= 2 ，a 4
3 2014 b=12 ABC
ABC
2 B=
a4
3
3
_________ .
3
b=12，则△ABC的面积是 _________ .
3，
16
小结:
余弦定理：
推论:
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
6
考点一 已知一角和两边解三角形
检测1、在ABC中，已知b 3, c 2 3, A 30,
求角B、C和边a的值
C
a
b
Bc
A
变式：
检测2、若b 3, c 1, A 60 ,则a ________
检测3、在ABC 中，AB 2，BC 1，cosC 3 ,则AC __ 4
考点二 已知三边求三角形的角
Байду номын сангаас
A.60 B.45或135
C.120
D30
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
C
提炼：设a是最长的边，则
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
在ABC中，
b
a
Ac
B
b2 c2 a2 A为直角；△ABC是直角三角形 b2 c2 a2 A为锐角；△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 A为钝角 △ABC是钝角三角形
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1 解三角形。
变式：
【训练1】（2）在△ABC中，AB= 3+1，AC=2，BC= 2， 求三角形的三个内角.
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A __________
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∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
2 1
C
-4
-2
2
4
6
8
coA s AB2AC2BC2
2AB AC
2 365
∴ A≈84°.
解法二：∵ AB ＝(–8，3)，AC ＝(–2，–4).
问题探 索
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2a2b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹 角还有什么关系呢？
定理推
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和
导 夹此角的两边，求出此角的对边？
c [推导] 如图在ABC中，BC、CA、AB的长分别为a 、b 、 。
AC A B BC
c2a2b22acbo C s
coCs a2
b2 c2 2ab
2．余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三、讲解范例
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且sinC2( 61)，A=
。
120°
sinB 5
A
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos22 ，试判断此三角形的类型.
解：∵sinB·sinC＝cos2
A 2
, ∴sinB·sinC1＝ cos A
2
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］ 将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1
c2a2b22acbo Cs
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即
a2b2c22bcco A s coAs b2
c2 a2 2bc
b2c2a22acco B s coBsc2 a2 b2
2ca
五、小
结
余弦定理及其应用
b2 c2 a2
a2b2c22bcco AscoAs 2bc
b2c2a22acco B s coBsc2 a2 b2
2ca
c2a2b22acbo C s coCsa2 b2 c2
又0＜B，C＜π ，∴－π ＜B－C＜π ∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
3.在 AB中 C,BC 1,B,
3 当 AB的 C 面积 3时 为 ,tan C___.__
解 :S A B 1 2 A CB B sC iB n 1 2 A 1 B 2 3 3 A 4 B .C
1.1.2余弦定理课件
一、复习引入
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a
sin A
=
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
2bc
2ac
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0
C
AC A C (A B B) C (A B B)C
b
a
2
2
AB 2AB B C BC
A2 B 2 |A| B |B|c C 1 o A 8 s B () 0 c B2C B
c22 acco B s a2
即 b2c2a22acco Bs
同理可证 a2b2c22bcco As
AC 2AB 2BC 22AB BC CO B S
16 1241113AC 1.3
A
2
Ac2BC2AB2 13116 13
co sC


B
2AC BC 2 131 13
sinC
1
11332
2 26 13
tanCsinB23. cosB
三角形.
解：由 c2a2b22acbo C，s得 c≈4.297.
∵ coAs b2 c2 a2 ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, 2bc
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a sin C
(∵sinA＝
≈0.6299∴ A=39°或141°(舍).)
，
c
例 3 Δ ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.