1.1.2余弦定理课件

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1.1.2余弦定理课件人教新课标

岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
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1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2

课件7：1.1.2 余弦定理

2．在△ABC 中，求证 a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin
A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故由正弦定理得 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___，
a2＋c2－b2 cos B＝_____2_a_c____，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_____
[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，
2．在△ABC 中，已知 a＝9，b＝2 3，C＝150°，则 c 等于( )
A． 39
B．8 3
C．10 2
D．7 3
解析：选 D 由余弦定理得： c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150° ＝ 147 ＝7 3.
3．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则 A 的大小为( )
法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两解．

课件9：1.1.2 余弦定理

例 1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°.
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B．
∴2＝3＋c2－2 3·22c．
即 c2－ 6c＋1＝0，
解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2∠B＝2∠A 或 2∠B＋2∠A＝π，即∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π2. 故△ABC 是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
规律方法 1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将 sin A＝
2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2 ＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
类型2 已知三边或三边关系解三角形例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角．
解：(1)由余弦定理得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝(2

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)

1.1.2余弦定理
鹿邑三高史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一解边三角;形 (2)已知两边和其中一角边,解对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)

1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为等腰三角形。

1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)

当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证，当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C

1.1.2 余弦定理.ppt

在△ABC中，由余弦定理得
cos A AB2 AC2 BC2 2AB AC
2 0.1047 365
因此∠A≈84.0°.
例4. 求证：在△ABC中，
证明：由余弦定理，得
bcosC

ccos
B
b
a2
b2 2ab
c2

c
a2
c2 b2 2ac

a2

b2

c2 a 2a
=a2+b2－2abcosC. 同理可得
b2 =a2+c2－2accosB. a2 =b2+c2－2bccosA.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
即 13k2 16k 3 0
从而
k 3 13
或k=1.
又因为 k 3 时，b<0，故舍去。
13
所以k=1，a= 13 ，b= 5 13 ，c=4.
2
（2）已知两式中消去2b，得
c a2 3 4
代入(1)式a2－a－2b－2c=0，得
b 1 (a2 2a 3) 1 (a 3)(a 1)
4
cos C

a2
b2
c2

a2

(a 3)(a2 4
a)
2ab
2a 1 (a 3)(a 1)
4

4a2 (a 3)(a 1) a 2a(a 3)(a 1)

高中数学优质课件 1.1.2余弦定理

答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形，因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破（一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆��中，若�� = 2，�� = 2 2，�� = 15°，解此三角形．
自主探究（三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即为勾股定理，而且
自主探究（三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；
自主探究（二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法）（1）当三角形是锐角三角形时，如图， �� = ��sin��,�� = �� − �� = �� − ��cos�� 在��∆��中，根据勾股定理，有��2 = ��2 + ��2 = ��sin�� 2 + (�� − 2bcos��)2, 整理可得��2 = ��cos�� − �� 2 + (��sin��)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究（二）深层探究

课件6：1.1.2 余弦定理

解析：由正弦定理，可得 sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2. 代入 sinC＝2sinBcosA，得 c＝2b·b2＋2cb2c－a2.整理得 a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以 a2＋b2－c2＝ab，即 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12. 故 C＝π3.又 a＝b，所以△ABC 为等边三角形．
1 当 a＝6 时，由余弦定理 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝3 3×12＝323知本 1
题有两解．由正弦定理 sinC＝csibnB＝3 33×2＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋(3 3)2＝6，当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a＝3.
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2 说方法·分类探究类型一已知两边和一角解三角形【例 1】在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A. 思维启迪：思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，s(45°－30°)＝
知识点 2 余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论： cosA＝b2＋2cb2c－a2； cosB＝a2＋2ca2c－b2； cosC＝a2＋2ba2b－c2.
讲重点对余弦定理推论的理解 (1)应用推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角． (2)定理及推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (3)余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C＝90°，则 cosC＝0，于是 c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

课件10：1.1.2 余弦定理

则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
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【解析】由余弦定理，cos C＝a2＋2ba2b－c2， ∵c2－2aa2b－b2>0，∴cos C<0， ∵0°<C<180°，∴C>90°，∴△ABC 是钝角三角形．【答案】C
1.1.2 余弦定理
人教A版数学 ·必修5
考纲定位
重难突破
1.了解余弦定理的推导过程，重点：应用余弦定理掌握余弦定理及其推论．解三角形． 2.能利用余弦定理解三角形，难点：余弦定理的综
并判断三角形的形状.
合应用.
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[自主梳理]
文字三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
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方法归纳 1．判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． 2．在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccos A， b2＋c2＝(b＋c)2－2bc 等等．
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3．△ABC 中，2cos B·sin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】∵2cos B·sin A＝sin C，∴由正弦定理：2a·cos B＝c，由余弦定
理：2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．【答案】C
语言这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍
符号语言

1.1.2 余弦定理ppt课件

解析：因为A＝120° ，b＝3，c＝5，栏目所以根据余弦定理，得链 2 2 2 a ＝b ＋c －2bccos A＝9＋25－2×3×5×cos 120°接＝49，所以a＝7. 答案：7
跟踪训练 2．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求AC.
解析：由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 30° ， ∴AC2－2 3AC＋3＝0， ∴AC＝ 3.
栏目链接
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，栏再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定目链理求第三角．接
跟踪训练
3．E、F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝( ) 16 2 3 3 A. B. C. D. 27 3 3 4
自测自评
2．(2013· 上海卷)在△ABC中，角A、B、C所对边长 7 分别为a、b、c，若a＝5，c＝8，B＝60° ，则b＝________.
栏目链接
自测自评
3．△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为( A ) A．60° B．45° 或135° C．120° D．30°
栏目链接
题型2
已知三边解三角形
例2 已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各内角度数．
栏目链分析：由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c，接
再由余弦定理求解各角．
解析：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k. 由余弦定理，有 b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 2 cos A＝＝＝， 2bc 2 2· 6k· 3＋1k ∴A＝45° . 2 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b 4k ＋ 3＋1 k －6k 1 cos B＝＝＝， 2ac 2 2×2k 3＋1k ∴B＝60° . ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .

课件16：1.1.2 余弦定理

已知 b＝c，a2＝2b2(1－sin A).则 A＝( )
3π
π
π
π
A. 4
B.3
C.4
D.6
【解析】 (1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得 a2－c2＝b2＋bc，即 a2＝c2＋b2＋bc. 根据余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12，因为 A 为△ABC 的内角，所以 A＝120°.故选 C.
突破练 3 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin A ＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求 B； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解：(1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. 故 cos B＝ 22，因此 B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝b×ssiinn AB＝
2＋ 2
6＝1＋
3，ห้องสมุดไป่ตู้
c＝b×ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.

表 c2＝__a_2＋___b_2－__2_a_b_c_o_s__C__
达语
三角形中任何一边的平方等于言 _其__他__两__边___的__平__方__的__和__减__ 叙 _去__这__两__边___与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍___ 述
b2＋c2－a2 cos A＝________2_b_c_____________
(2)由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以 2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以 sin A＝cos A，即 tan A＝1，又 0＜A＜π，所以 A＝π4.故选 C.

1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

课件12：1.1.2 余弦定理

∵cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2，sin15°＝sin(45°
－30°)＝
6－ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
19 C.20
D．－270
【答案】A 【解析】cosB＝a2＋2ca2c－b2＝58.
3．在△ABC 中，当 sin2A＋sin2B<sin2C 时，△ABC 的形状是 ()
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】 C 【解析】由已知：a2＋b2<c2，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0，则 C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形．
探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定理．
思考题 1 在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则 AC＝________. 【解析】 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝ 3. 【答案】 3
1 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二由 b<c，B＝30°，
b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
1
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×2＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.

课件15：1.1.2 余弦定理

课堂探究探究1 已知两边及一角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a.
解解法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
2．在△ABC 中，已知 a＝2，则 bcosC＋ccosB 等于( ) A．1 B. 2 C．2 D．4
【解析】 bcosC＋ccosB＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·c2＋2aa2c－b2 ＝22aa2＝a＝2. 【答案】 C
3．在△ABC 中，若 a＝ 3＋1，b＝ 3－1，c＝ 10，则 △ABC 的最大角的度数为__1_2_0_°___．
拓展提升利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理、三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
跟踪训练3 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ ccosA)sinA，判断△ABC的形状．
解：利用边的关系判断，由正弦定理，得ssiinnCB＝bc，由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssiinnCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c， ∴△ABC 为等边三角形．
条件探究若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？

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从量化的角度来看，如何从B 已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
推论： b2 c2 a2
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5：
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.

1.1.2余弦定理课件

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