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高中数学必修五课件 余弦定理

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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

必修五 余弦定理PPT课件

必修五 余弦定理PPT课件

c2a2b22 acbo Cs
A
证明：ABACCB
b
c
A•B A B (A C C)• B (A C C)B
A•C A C 2 A•C C B•C BC Ba
B
∴ A B 2 = A C 2 + 2 A C C B c o s ( 1 8 0 0 - C ) + C B 2
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
5
证明 格式二：逆用公式 ababcos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
2
同理可证：
= BC
=a2
b2=a2＋ c2－ 2· bc· co Bs
A c
b
D
Ca
B
8
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
b A
C
a 2 C D 2 B D 2
(b sinA )2 (c b co sA )2
a b 2 s in 2 A c 2 b 2 c o s 2 A 2 b c c o s A
c2=a2＋ b2－ 2· abcoCs
6
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：

高中数学必修5优质课件：余弦定理

高中数学必修5优质课件：余弦定理
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练]
2．在△ABC，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．
解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2 ∴c＝ 6－ 2. 法一：由余弦定理的推论得
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若c2－2aa2b－b2
＞0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
解析：由c2－2aa2b－b2＞0 得－cos C＞0，
所以 cos C＜0，从而 C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角
三角形．
答案：C
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十九 分。
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝π6，c＝2 3，则 b＝________. 解 析 ： 由 余 弦 定 理 得 b2＝ a2＋ c2 － 2accos B＝ 4＋ 12 － 2×2×2 3× 23＝4，所以 b＝2. 答案：2
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知：在△ABC 中，cos A＝35，a＝4，b＝3，则 c＝________. 解析：A 为 b，c 的夹角，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴16＝9＋c2－6×35c， 整理得 5c2－18c－35＝0. 解得 c＝5 或 c＝－75(舍)． 答案：5
[对点训练] 4．在△ABC 中，若 cos A＝ssiinn BC，试判断其形状． 解：由cos A＝ssiinn BC得cos A＝bc，即b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2， 因此△ABC是以C为直角的直角三角形．

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)

数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)

1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。

高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5

高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5

1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得

sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形

《余弦定理》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

《余弦定理》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

cos A b2 c2 a2 2bc
87.82 161.72 134.6 287.8161.7
2
0.5543,
cos
B
c2
a2 b2 2ca
134.62 161.72 87.8 2134.6161.7
2
0.8398,
C 1800 (A B)1800 (5602032053) 90047. [来源
；
A56020 ； B32053 ；
B
a2
c2 b2 2ac
cosC
b2
a2 2ba
c2
新课学习
[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 ； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
新课学习
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之
间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方 之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
又∵
6
2 ＞ 2.41.43.8,
2 3 ＜ 21.83.6, ∴ a ＜ c ， 即 00 ＜ A ＜ 900, ∴ A600.
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
新课学习
例2：在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形
新课学习
解：由余弦定理的推论得：
[来源:学+
新课总结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律， 勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围： ①．已知三边求三角； ②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
再见
北师大版·统编教材高中数学必修5
第二章 · 第一节
正弦定理与余弦定理

高中数学必修五 2.1余弦定理-课件

高中数学必修五 2.1余弦定理-课件

A≈44°
cosC＝
a2＋b2－c2 2ab ＝0.8071，
C≈36°
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
第十二页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
2. ΔABC中，a=2，b=2 ，2 C=15°，解此三角形.
解：∵ c 2 a 2 b2 2ab cos C＝8－4 3
∴c＝ 6 2
1.2余弦定理
第一页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
问题提出
在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边? 已知三条边,怎么求出它的三个角呢?
第二页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
分析理解
如图,根据向量的数量积,可以得到
a2 BC • BC
(AC AB) • (AC AB)
AC2 2AC • AB AB2 A
解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.
因为 BD2 BC2 CD2 2BC • CD cos BCD 12 12 211cos135 2 2
所以 BD 1.8 在△ABD中,AB=1, BD 2 2 , AD 3 因为 cos DAB AB2 AD2 BD2
2AB • AD
第十页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
12 ( 3)2 (2 2) 21 3
0.1691 所以 DAB 80
第十一页，编辑于星期日：二十三点 五十二分。
1. 在ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C.
解：∵
∴
∵
∴
cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝0.725，
例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两 人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和 4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?

人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件

人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件

A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B

情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？

人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理

人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理

人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
思考：余弦定理的使用范围是什么？ 人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？ △ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
2bc
2 2( 3 1)
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
练习：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0__ _______
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理

1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件

1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

人教A版高中数学必修5余弦定理教学课件ppt

人教A版高中数学必修5余弦定理教学课件ppt

变式:已知:a=3,b=5,c=7,试判断此三角形的形状. 变式:已知:a:b:c=3:5:7,试判断此三角形的形状.
2 2 2 0 a b c C =90 ① △ABC为直角三角形 ② a2 b2 c2 C 900 △ABC为钝角三角形 ③ a2 b2 c2 C 900？ △ABC为锐角三角形
一、复习回顾
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
变形： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
正弦定理可解决的两类问题： （1）已知三角形的任意两个角和一条边 （AAS型或ASA型） sin 75 cos15 6 2 4 （2）已知三角形的两条边和其中一边的对角 （SSA型）



练：(1)已知在三角形 ABC 中，b＝6，c＝4，A＝120 求边 a.
(2) 已知在三角形 ABC 中，a＝1，c＝4，B＝60 求边 b.
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B (2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A (3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 61 求B


(2) B 45 , C 60 , a 4 (3)a 2, b 2 3, A 30 (4) A 120 , c 5, a 7

复习：
(1) 已知 a 6, b 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b =________
（2）已知 a 5, b 4 且 a b =10，求 a 与 b 的夹角____________

人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件

人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件

B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)

高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt

高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt

问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
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解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 6＋ 3＋12－4 2 cosA＝ ＝ ＝ ，∴A＝45° . 2bc 2× 6× 3＋1 2 a2＋c2－b2 4＋ 3＋12－6 1 cosB＝ 2ac ＝ ＝2，∴B＝60° . 2×2× 3＋1 ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余 弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中， 由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 16 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
[点评]

1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属
于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
变式训练 1 已知在△ABC 中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，求△ABC 的 各角度数．
1.1.2 余弦定理
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍．即
若 a，b，c 分别是△ABC 的顶 点 A，B，C 所对的边长，则
b ＋c －2bccosA a ＝__________________ ，
2 2
2 2
a ＋c －2accosB b ＝__________________ ，
各角 ； (1)已知三边，求_____
第三边和其他两个角 (2)已知两边和它们的夹角，求 __________________．
思考感悟
1 ．已知三角形任意两边与一 角，借助于正、余弦定理是否能求 出其他元素？
2． 在解三角形的过程中， 求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30° ＝3，∴a＝ 3. a2＋c2－b2 32＋2 32－32 1 ∴cosB＝ ＝ ＝2. 2ac 2× 3×2 3 ∴B＝60° ，∴C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝90° .
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量， 它们分 别是三角形的三边和一个角， 知道其中的三个量， 代入等式， 便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60° . 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120° ，∴△ABC是等边三角形．
[点评]
判断三角形形状的方法
2A
1＋cosA b＋c b 2 ＝ 2c ，∴cosA＝c . b2＋c2－a2 b 根据余弦定理得 ＝ ， 2bc c ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
a ＋b －2abcosC c ＝__________________.
2
2 2
2
2
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与 对边之间的关系，它的另一种表达形式是 2 2 2 b ＋c －a cosA＝_____________ ， 2bc 2 2 2 a ＋c －b cosB＝_____________ ， 2ac 2 2 2 a ＋b －c cosC＝_____________. 2ab
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反 之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之， 若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.
(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
b＋c 变式训练2 在△ABC中，已知cos 2 ＝ 2c (a，b，c分
2A
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
b＋c 解：在△ABC中，由已知cos 2 ＝ 2c 得