信号与系统(沈元隆_周井泉)第六章

书名：信号与系统——时域、频域分析及MA TLAB软件的应用作者：吴新余周井泉沈元隆页数：417页开数：16开字数：680千字出版日期：1999年12月第1版2000年5月第2次印刷出版社：电子工业出版社书号：ISBN 7–5053–5669–0定价：35．00元内容简介本书为一本面向21世纪教学的有关信号与系统分析的教材。

全书共分为八章，即信号与系统的基本概念，卷积积分，傅分变换，系统的性能分析，Z变换，状态变量分析以及Matlab软件在信号与系统分析中的应用。

本书各章附加了与内容相配合的例题和习题，书末附有习题答案，以便于自学。

为了适应科技形势迅速发展的需要，本书加强了学生计算机应用能力的培养。

编排了30余个Matlab应用程序以供学生训练用。

本书可作为通信、电子和自控类的各种专业本科生的教材，也可供有关技术人员参考。

未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。

版权所有，翻印必究。

作者简介吴新余，男，1939年8月生，1962年毕业于哈军工航空系，现为南京邮电学院电子工程系教授(1992)，IEEE高级会员(1994)。

在1986—1998年间，曾三次赴美国芝加哥伊里诺大学、一次赴美国加州大学伯克利本校作访问学者。

有编著、译著5本：1．《信号与线性系统》，人民邮电出版社，1985，为编者之一；2．《陈惠开教授论文选集》(译)，湖南科技出版社，1987，为主译者；3．《数字信号处理系统与实现》(译)，科学出版社，1989，为译者之一；4．《现代网络分析》，人民邮电出版社，1992，为第一副主编；5．《信号与系统——时域、频域分析与Matlab软件应用》，电子工业出版社，1999．12，为编者之一。

曾在国内外杂志和有关专业学术会议上发表论文100余篇。

1992年获国务院颁发的政府特殊津贴，两次作为课程建设的主持人而获得江苏省普通高校一类课程：“电路分析”(1993)、“信号与系统”(1995)，l996年获江苏省普通高校教学成果一等奖，1998年被评为江苏省优秀硕士生导师，其主要研究领域是：电路与系统理论及应用，应用图论，神经网络和遗传算法等。

第六章 离散系统的Ｚ域分析　６．１学习重点　1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。

2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。

3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。

4、z 域系统函数()z H 及其应用。

5、离散系统的稳定性。

6、离散时间系统的z 域模拟图。

7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。

６．２ 教材习题同步解析　6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。

（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式　【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。

第八章习题8.1 图示一反馈系统，写出其状态方程和输出方程。

解由图写出频域中输入、输出函数间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)(11)()3(3)(sYssEsssY把此式加以整理可得)(334)1(3)(23sEsssssY++++=故系统的转移函数为334)1(3)(23++++=sssssH根据转移函数，可以用相变量直接写出状态方程和输出方程分别为exxxxxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡143311'''321321[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32133xxxy8.2 写出下图所示三回路二阶系统的状态方程。

解：第一步，选取状态变量。

由于两个储能元件都是独立的，所以选电感电流为状态变量1x，电容电压为另一状态变量2x，如图所示。

第二步，分别写包含有电感电压的回路电压方程和包含有电容电流的节点电流方程。

根据第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有112122'ixxx+--=312'21ixx-=第三步，上两式中1i和3i不是状态变量，要把它们表为状态变量。

由第一个回路有1124xie-=，即112141xei+=由第三个回路有323ix=，即2331xi=把1i和3i分别代入第二步中两式，并经整理，最后得所求状态方程为exxx21'211+--=212322'xxx-=或记成矩阵形式8.3 图示一小信号谐振放大器的等效电路，这里的激励函数)(t e是一压控电流源，输出电压)(t y由耦合电路的电阻L R上取得。

要求写出此电路的状态方程和输出方程。

解：第一步，选状态变量。

因为电感电流和电容电压等三个变量都是独立的，所以选回路电感L中的电流1x、回路电容C上的电压2x、耦合电容c C上的电压3x为状态变量。

第二步，分别写回路方程或节点方程。

由RLC回路有211'xRxLx=+eixxCCx rc-=+++132''RL c i x C ='3第三步，消去非状态变量。

附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。

](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

《信号与系统》目录第一章引论 (2)第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析 (2)一．普通信号 (2)二、冲激信号 (3)三.卷积 (3)四.电路元件的运算模型 (4)五.连续时间系统时域分析 (4)六.系统的特征方程 (4)七.系统的冲激响应和单位养殖响应 (5)八.基本离散信号 (5)九.离散信号的性质 (5)十.信号的分解 (6)第四章.连续时间信号与系统频域分析 (6)一.周期信号的频谱分析 (6)二.非周期信号的傅里叶变换（备注） (7)三.非周期信号的傅里叶变换 (7)四.无失真传输 (10)五.滤波 (10)六.抽样与抽样恢复 (10)第五章.离散时间信号与时域分析 (11)一.离散傅里叶级数（DFT） (11)二.离散时间傅里叶变换DTFT (12)第六章.连续时间信号与时域系统分析 (13)一.拉氏变换定义 (13)二.拉氏反变换 (14)三.拉氏变换的性质 (14)第七章Z变换 (17)一.Z变换的定义 (17)二.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系 (17)三.Z反变换 (18)四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法 (18)五.Z变换性质 (18)H z的应用 (20)六.系统函数()七．数字滤波器 (20)第八章.系统函数与状态变量分析 (20)一.零极点和系统稳定性、因果性 (20)二.信号流图 (21)三.系统模拟 (21)四.连续系统离散化 (21)五.状态方程与输出方程 (22)六.状态方程的建立 (22)七.状态方程和输出方程的解法 (22)八.状态方程判断和系统的稳定性、可控性、可测性 (23)第一章引论⎪⎩状态变量系统模型第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析一．普通信号二、冲激信号三.卷积四.电路元件的运算模型五.连续时间系统时域分析六.系统的特征方程七.系统的冲激响应和单位养殖响应八.基本离散信号九.离散信号的性质十.信号的分解○1直流分量与交流分量 ○2奇分量与偶分量()()D A f t f f t =+常数平均是为零()()()e o f t f t f t =+1()[()()]21()[()()]2e o f t f t f t f t f t f t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t e h t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰ 点测法： ()()j t y t e H j ωω=⋅2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t Ttf t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑ 系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t ey t ∞Ω=-∞Ω=∑二.非周期信号的傅里叶变换（备注）三.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质3.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线4. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ：2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波六.抽样与抽样恢复第五章.离散时间信号与时域分析一.离散傅里叶级数（DFT ） 1.信号0j n e Ω基本特征信号0j neΩ 周 期 性：00()02j n N j nm eeNπΩ+ΩΩ=⇒=时有理数时具有周期性 基波频率：2N mπΩ=基波周期：02()N m π=Ω 2.信号0j t e ω与0j n e Ω之间的差别3.DFS 系数与IDFS 变换对4.离散傅里叶级数的性质二.离散时间傅里叶变换DTFT1. 离散时间傅里叶变换DTFT○1非周期信号：11()()0x n n N x n n N ⎧≤=⎨>⎩21()()21()()j nj nn x n X e d X x n e N ππΩ∞-Ω=-∞⎧=ΩΩ⎪⎪⎨⎪Ω=⎪⎩⎰∑离散时间傅里叶变换 应用条件：()n x n ∞=-∞<∞∑ ○2周期信号： 2()2()k n X a k N ππδ∞=-∞Ω=Ω-∑ 112()1()N jk n Nk n N a x n eN π-=-=∑2.离散时间傅里叶变换性质第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义二.拉氏反变换三.拉氏变换的性质1.拉氏变换的性质2.拉氏变换的性质备注3.双边拉氏变换4.双边拉氏变换对与双边Z变换对5.复频域分析6.拉氏变换和傅氏变换的关系第七章 Z 变换一.Z 变换的定义z[()]()()j e nj nnn n x n eex n zX z σσ+Ω∞∞=-Ω-=-∞=-∞⋅−−−−→=∑∑令 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑二.Z 变换和傅氏变换及拉氏变换的关系三.Z 反变换围线积分与极点留数法 11()()2n cx n X z z dz jπ-=⎰ 围线c 是在()X z 的收敛域内环绕z 平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线 1()[()c ]n x n X z z -=⋅∑在围线内的极点上的留数 0z 是一阶极点： 0110Re [()][()]()n n z z s X z z X z z z z --=⋅=⋅-0z 是s 阶极点：1111111Re [()][()()](1)!s n n s s z zd s X z z X z z z z s dz ----=⎧⎫⋅=⋅-⎨⎬-⎩⎭ 0n <时， '111()()2n c x n X p dp j pπ--=⎰ 四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法11()()()Mrr Nkk z q X z z z ==-=-∏∏ 当1z =时，即j z e Ω=时11()()()Mj r j r N j k k eq X e e z ΩΩ=Ω=-=-∏∏=()()j j X e eφΩΩ 令rkj j r r j j k k e q A e e z B eϕθΩΩ⎧-=⎨-=⎩ 于是11()Mrj r Nkk A X e BΩ===∏∏ 11()M Nr k r k φϕθ==Ω=-∏∏注意：1在0z =处加入或除去零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。

第一章 习 题1-1 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。

答案（1）)(1t f 的波形如图1.1（a ）所示.(2) 因t π10cos 的周期s T 2.0102==ππ,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f)]1()()[1()(2----=t u t u t t f)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案2002121)2(21121)2(21)(1≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=+=t t t t t t t f)2()1()()(2--+=t u t u t u t f)]2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f1-4 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。

答案(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.(3))3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T 。