信号与系统第六章题目汇编

《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。

证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数） 解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。

若是，确定其周期。

（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。

显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。

（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。

（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。

1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。

（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。

6.4 根据下列象函数及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。

（1）1)(=z F ,全z 平面 （2）∞<=z z z F ,)(3 （3）0,)(1>=-z z z F(4）∞<<-+=-z z z z F 0,12)(2（5)a z azz F >-=-,11)(1（6）a z az z F <-=-,11)(16.5 已知1)(↔k δ，a z z k a k-↔)(ε，2)1()(-↔z z k k ε，试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换并注明收敛域。

（1）)(])1(1[21k kε-+ （3))()1(k k k ε- （5）)1()1(--k k k ε (7))]4()([--k k k εε （9）)()2cos()21(k k kεπ6。

8 若因果序列的z 变换)(z F 如下,能否应用终值定理？如果能，求出)(lim k f k ∞→。

（1）)31)(21(1)(2+-+=z z z z F （3）)2)(1()(2--=z z z z F6.10 求下列象函数的双边逆z 变换。

（1）31,)31)(21(1)(2<--+=z z z z z F （2)21,)31)(21()(2>--=z z z z z F （3)21,)1()21()(23<--=z z z z z F（4）2131,)1()21()(23<<--=z z z z z F6.11 求下列象函数的逆z 变换. （1）1,11)(2>+=z z z F （2）1,)1)(1()(22>+--+=z z z z zz z F （5）1,)1)(1()(2>--=z z z zz F(6)a z a z azz z F >-+=,)()(326.13 如因果序列)()(z F k f ↔,试求下列序列的z 变换.（1))(0i f a k i i∑= （2）∑=ki ki f a 0)(6.15 用z 变换法解下列齐次差分方程。

第六章 离散系统的Ｚ域分析　６．１学习重点　1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。

2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。

3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。

4、z 域系统函数()z H 及其应用。

5、离散系统的稳定性。

6、离散时间系统的z 域模拟图。

7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。

６．２ 教材习题同步解析　6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。

（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式　【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。

⋅
2⎤⎥⎦
⋅
u
(n
−
3)
=
2⋅
( −1)n
⎡2 ⎢⎣ k =0
( −1)− k
⎤ ⎥⎦
⋅
u
(n
−
3)
∑ y
f
(3)
=
2
⋅
(
−1)3
⎡ ⎢⎣
k
2 =0
(
−1)−k
⎤ ⎥⎦
=
2
⋅
( −1)
⋅
(1
−1
+
1)
=
−2
∑ y
f
(4)
=
2
⋅
(
−1)4
⎡ ⎢⎣
k
2 =0
(
−1)−k⎤ ⎥⎦=2⋅(1)
⋅
(1
−1
+
1)
-1
对应时刻点相乘后累加得 y(1) = 4 。 由于 f1(n) 和 f2 (n) 为有限序列，故该题可采用数乘法进行计算：
11112 2 2 2 ↑ 1 1 1 1 −1 −1 −1 ↑
−1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 − 2 − 2 −2 −2
u
(
n
+
4)
（4）利用卷积的性质（ f (n) *δ(n − m) = f (n − m) ）可得：
nu(n) * δ(n + 3) = nu(n) n=n+3 = (n + 3) u(n + 3)
6-7 如题图 6-4 所示，如果 y(n) = f1(n) * f2 (n) ，则试求 y(−2)、y(0)、y(1) 的值。

6－1 求下列信号的拉普拉斯变换和收敛域（1） t t 2e )(2+δ； （2） t t 3e −； （3） t t 2sin e −解：(1)2001()()(2())22stt st F s f t e dt t e e dt s δ∞∞−−==+=+−∫∫，收敛域为2σ> （2）3(3)(3)0(3)(3)21()()311()3(3)stt sts ts ts ts t F s f t e dt te e dt tedt tde s te e dt s s ∞∞∞∞−−−−+−+∞∞−+−+−====+−=−=++∫∫∫∫∫收敛域为3σ>−（3）22()()sin 24(1)stt st F s f t e dt e te dt s ∞∞−−===++∫∫，收敛域为1σ>− 6－2 求下列信号的拉普拉斯变换（1） )2(e −−t u t ； （2） )(e )2(t u t −−； （3） )2(e )2(−−−t u t 解：（1）()u t 的拉普拉斯变换为1s ，所以(2)u t −的变换为21s e s −，)2(e −−t u t的变换为2(1)11s e s −++ （2）(2)2e()()t tu t e e u t −−−=，拉普拉斯变换为21e s +（3）()te u t −的拉普拉斯变换为11s +，所以)2(e )2(−−−t u t 的拉普拉斯变换为21s e s −+6－3 求下列函数的拉普拉斯逆变换 （1）65542+++s s s ； （2） )5(12+s s解：（1）245453756(2)(3)23s s s s s s s s ++−==+++++++，所以其拉普拉斯逆变换为23(37)()t te e u t −−−+ （2）22211155(5)555(5)s s s s s s s s −=+=−+++，所以其拉普拉斯逆变换为1(1)()5u t − 6－4 用拉普拉斯变换求解下列微分方程（第2章习题2－1）t t e tt e t r t t r t t r d )(d 6d )(d 2)(6d )(d 5d )(d 2222+=++ 激励信号为)()1()(t u e t e t −+=，初始状态1)0(=−r ，0)0('=−r解：把激励信号代入方程的右端，得到方程为：()5()6()4()10()4()t r t r t r t t t e u t δδ−′′′′++=+− 对方程两边取拉普拉斯变换，得到24()(0)(0)5(()(0))6()4101s R s sr r sR s r R s s s −−−′−−+−+=+−+ 代入初始值后整理：2245155(1)15(1)4520112921()56(2)(3)(1)(2)(3)(1)123s s s s s s s R s s s s s s s s s s s s +−+++−++−−+====+++++++++++++所以求()R s 的逆变换可以得到：23()(292)()t t t r t e e e u t −−−=−+−6－5 由下列系统函数)(s H 求系统频率响应特性)(ωH （1） 842)(2+++=s s s s H ； （2）12)(2+=s s H 解：稳定的系统才有频率响应。

z re j eT e jT
(6―11)
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
X
(z)
,其收敛域为R∩(|z|＞1)。
证明 因为
n
k
x(
k
)
u(n
)
x(n),
u(n)
1
1 z
1
z
1
n
k
x(k)
1 1 z1
X
(z)
R ( Z 1)
6.2.9 初值定理
如果因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且lim X (z) x
存在，则lim X (z) x
证明
X (z) x[0]zn x[0] x[1]z1 x[2]z2
1) 有限长序列
x(n)
x(n)
n1 n n2
0 n n1, n n2
(1) n1＜0,n2＞0时，有
n2
1
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
nn1
n1
n2
x(n)zn x(n)zn
n1
nn1
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
nn1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，
即除z=0外都收敛。
(4)特殊n2 情况，n1=n2=0时，这就是序

1
2 t 2
cos
2 2
t ]u (t )
6.13 一个因果LTI系统的频率响应为：
5 jw 7 H ( jw) ( jw 4)[( jw) 2 jw 1]
(a) 求该系统的冲激响应
(b) 试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 (c)试确定由一阶系统和二阶系统构成的串联型结构 解:(a) 5 jw 7 1 jw 2
I 2 (w) 2 jw H ( jw) E (w) 8 jw 3
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
2 jw 1 H ( jw) 8 jw 3 4
h(t ) F 1{H ( jw)}
3 32 3 jw 8 3t 1 3 8 (t ) e u (t ) 4 32
(b) 对H(jw)作反傅立叶变换可得h(t)
3 3 3( jw 3) 2 H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw 2) jw 4
3 2t h(t ) F {H ( jw)} (e e 4t )u (t ) 2 (c) 3( jw 3) 3 jw 9 Y ( w) H ( jw) 2 ( jw 2)( jw 4) ( jw) 6 jw 8 X ( w)
1 X ( w) ( jw 2) 2
Y (w) H ( jw) X (w)
2 Y ( w) 3 ( jw 2) ( jw 4)
1 1 4 2 3 ( jw 2) ( jw 2) ( jw 2) ( jw 4) 1 4 1 2
1 2t 1 2t 1 2 2t 1 4t y (t ) F {Y ( w)} ( e te t e e )u (t ) 4 2 2 4 2 2 ( jw ) 2 (c) H ( jw) ( jw) 2 2 jw 1

d ( z 1) 2 X ( z ) z n 1 ] dz z 1 zn z 1 ( z 2) 2
z 1
d zn nz n1 )] z 1 [ ( dz z 2 z2 x(n) (2 n n 1)u (n)
( n 1)u (n)
⑵ X ( z)
X 1 ( z)
n
1 ( 2 ) u (n)z
n

n
1 ( ) n z n n 0 2
1 1 1 2z

2z 2z 1
1 1, 2z
z 1/ 2
3
1 1 1 x 2 n u n 10 2 2 2
m


z zm
z n
z a
a n
Z Z 1 a n u (n 1) Z a
6-7 （1） ， X (z)
1 0.5 z 1 1 0.5 z 1
z 0.5
5
X ( z)
1 0.5 z 1 X 1 ( z) X 2 ( z) 1 (0.5 z 1 ) 1 (0.5 z 1 )
x 2 (n) 5 3 n u ( n 1) x(n) x1 n x 2 n 5u (n) 5 3 n u ( n 1)
3、留数法：因为 1<lzl<3，故是双边序列，需要分别考虑 n 0和n 0 的情况。
z 1 ，右边序列， n 0 ，在此逆时针围线内 X z z n1 有一阶极点 z=1，
1
1 1 z 2

1 1 1 2z
,
z 1, 2
1 1 2z

H(s )
3s2
s 4s
1
1(1 2s
1
1 s3
) 1
故有
h(t)
1
(et
1
t
e3
)u(t)
2
3
求阶跃响应：
方法一：当输入为u(t) 时的响应，故 F (s) 1/ s
S(s)
3s2
s 4s
1
1 s
3s2
1 4s
1
1 2
(
s
1 1
s
1 1/
) 3
故有阶跃响应为
s( t) 1
( et
1 H 2G2 H 4G4 H 2 H3G9 G6 H6G4G1 H 2G2G3 H 2 H 4G2G4
T1 H1H2 H3H4 H5
1 1
T2 H1H6 H5
2 1 G3
H (s)
H1H 2 H3H 4 H5 H1H6 H5 (1 G3 )
1 H 2G2 H 4G4 H 2 H3G9 G6 H6G4G1 H 2G2G3 H 2 H 4G2G4
h(t) 1 [e2t et ]u(t) 1[et e2t ]u(t)
3
3
P320 8.4 解：
G(s)
(s
k(0.5s 1) 1)(0.5s2 s
1)
由题图8.2得 H (s) G(s) 1 G(s)
H
(s)
(s
k(0.5s 1) 1)(0.5s2 s 1)
k (0.5s
1)
a2 as
P251 6.4
解：
f
(t)
s2
1 2s
5
(2)
f
t cost

∞
e(t) = ∑δ (t − nT), k =−∞
e(t)
＋
－
延迟Ｔ (a)
n = 0,±1,±2,L,其波形如图(b)所示。
e(t )
rzs (t)
∫
L
(1)
LБайду номын сангаас
-T 0 T 2T
t
(b )
解：系统的单位冲激响应为：
h(t )
=
∫t
−∞
[δ
(τ
)
−
δ
(τ
− T )]dτ
=
u(t) − u(t
−T)
∴ rzi (t) = c1e−t + c2 e−2t
又
rz′ri (zi0()0)==−cc11
+ −
c2 2c
=1 2=
1
∴
cc21
=3 = −2
∴ rzi (t) = (3e −t − 2e−2t )u(t)
2）求冲激响应 h(t)
由特征根及 n > m ，得： h(t) = (k1e−t + k2e−2t )u(t) h′(t) = (k1 + k2 )δ (t) + (−k1e−t − 2k2e−2t )u(t) h′′(t) = (k1 + k2 )δ ′(t) + (−k1 − 2k2 )δ (t ) + (k1e −t + 4k 2e −2t )u(t) 将 e(t) = δ (t) ， r (t) = h(t ) 代入微分方程，各系数对应相等，有
∴ r4 (t ) = 2rzi(t) + 0.5rzs (t) = 6e −3tu(t ) − 0.5e−3tu(t ) + 0.5 sin 2t ⋅ u(t) = (5.5e −3t + 0.5sin 2t )u(t )

上式即为描述该系统的二阶微分方程。
例 6-3：判断系统 r (t) = te(t ) 是否为线性、时不变性和因果性的系统 解：（1）判断线性
e1(t) → r1(t) = te1(t)
e2 (t) → r2 (t) = te2 (t) 令 e3 (t ) = a1e1(t) + a2e2 (t)
则 e3 (t) → r3 (t ) = te3 (t) = t[a1e1 (t) + a2e2 (t)] = a1te1 (t) + a2te2 (t) = a1r1 (t) + a2r2 (t )
2kk11++kk22
=1 =1
∴ h(t ) = e −2tu(t)
∴
k1 k2
= =
0 1
3）求系统的零状态响应 rzs (t )
rzs (t ) = e(t) ∗ h(t ) = (2e−t −1)u(t ) ∗ e−2tu(t)
=
∫
t 0
(2e
−τ
− 1)e −2(t −τ )dτ
⋅ u(t )
2
3
得： uc′′(t) + 3uc′ (t ) + 2uc (t) = 2e(t )
1）求 h(t)
α 2 + 3α + 2 = 0 α1 = −1 α 2 = −2 n > m ∴ h(t ) = (k1e−t + k2e−2t )u(t) h′(t) = (k1 + k2 )δ (t) + (−k1e−t − 2k2e−2t )u(t) h′′(t) = (k1 + k2 )δ ′(t) + (−k1 − 2k2 )δ (t ) + (k1e −t + 4k 2e −2t )u(t) 又 h′′(t) + 3h′(t) + 2h(t) = 2δ (t)

第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。

2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。

3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。

4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。

5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。

6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。

7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。

8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。

9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。

信号与系统练习题 第6章一、选择题1、()k δ的Z 变换是（A ）A 、1B 、()δωC 、2()πδωD 、2π 2、已知一序列的Z 变换的收敛域为2z >，则该序列为（D ）A 、有限长序列B 、反因果序列C 、双边序列D 、因果序列 3、序列1()4(1)()()4kkh k k k εε=--+的z 变换收敛域为 (C) A 、14z >B 、4z >C 、144z << D 、4z < 4、象函数()1ZF Z Z=-（1Z <）的原序列为（B ）。

A 、(1)k ε--- B 、(1)k ε-- C 、()k ε- D 、()k ε 5、某LTI 离散时间系统的系统函数为65)(2+-=Z Z ZZ H ，该系统的单位响应=)(k h （F ）。

A 、(23)(1)kkk ε--- ； B 、(23)()kkk ε-；C 、(32)(1)kkk ε---；D 、)()23(k kk ε- 6、某因果序列()f k 的Z 变换为()5ZF Z Z =- （5Z >），则(0)f =（B ）。

A 、 0 ； B 、 1 ； C 、 5 ； D 、 -0.2。

7、已知126)(22-+=z z z z F 5.0>z ，则原函数=)(k f （B ）A 、 )(])1(2)5.0[(k kkε-⋅+- B 、)(])1(25.0[k kkε-⋅+ C 、 )(]25.0[k kε+ D 、)(]2)5.0[(k kε+-8、已知223()2z F z z z =+- 2z > ，则原函数=)(k f （A ）。

A 、 [2(2)1]()kk ε-+ B 、)(])1(25.0[k kk ε-⋅+ C 、 [0.51]()kk ε+ D 、[(2)1]()kk ε-+ 9、序列1()()2kf k =的z 变换及收敛域为（A ） A 、3()(21)(2)z F z z z =-- ，21<z <2 B 、3()(21)(2)F z z z -=-- ，z >2C 、3()(21)(2)z F z z z =--，z >2 D 、3()(21)(2)zF z z z -=-- ，21<z <210、已知一序列的Z 变换的收敛域为2z <，则该序列为（B ）A 、有限长序列B 、反因果序列C 、双边序列D 、因果序列11、已知一序列的Z 变换的收敛域为122z <<，则该序列为（C ） A 、有限长序列 B 、反因果序列 C 、双边序列 D 、因果序列 12、已知因果信号()f k 的单边Z 变换为()F z ，则信号(1)f k -的单边Z 变换为（C ） A 、1()(1)z F z f -+- B 、1()(1)z F z f --- C 、1()z F z - D 、()zF z 13、已知信号()f k 的单边Z 变换为()F z ，则信号(1)f k -的单边Z 变换为（A ）A 、1()(1)z F z f -+- B 、1()(1)z F z f --- C 、1()z F z - D 、()zF z 二、填空题1、离散信号)(2)(k k f kε-=的单边z 变换=)(z F 5.0z z-。

从而有
(s + 2)u (0 − ) + i(0 − ) = s + 2
u 0 − = 1V, i 0 − = 0
故得
( )
( )
H (s) =
6.6 图题 6.6 所示电路。(1)求
U2 (s) U1 ( s ) ；
(2)若 u1 (t ) = cos2tU( t )(V ), C = 1F, 求零状态响应 u 2 (t ) ；
故得单位冲激响应为
h ( t ) = te − t U ( t )(V )
（2） 非零状态条件下求零输入响应 u x (t ) 的 s 域电路模型如图 6.5 （c）所示。故
1 i 0− − u 0− 1 1 s u x (s ) = × + u 0− 1 s s 2+s+ s
( )
( )
( )
2Ω R
δ(s) =
又
U(s ) 1 1 + 1 s s
U 2 (s ) = KU(s )
以上三式联解得
H (s ) = U 2 (s ) K = 2 U1 (s ) s + (3 − K )s + 1
（2）当 K＜3 时， H(s ) 的极点位于 s 平面的左半开平面，系统稳 定。 （3）当 K=2 时，
( )
( )
( )
① 今
F(s) = 1, y(0 − ) = 0, y / 0 − = −2, 代入上式得
( )
s2 + 3 2(s + 1) Y(s) = 2 = 1− s + 2s + 5 (s + 1)2 + 4
故得全响应为

第一章 习 题1-1 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。

答案（1）)(1t f 的波形如图1.1（a ）所示.(2) 因t π10cos 的周期s T 2.0102==ππ,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f)]1()()[1()(2----=t u t u t t f)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案2002121)2(21121)2(21)(1≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=+=t t t t t t t f)2()1()()(2--+=t u t u t u t f)]2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f1-4 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。

答案(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.(3))3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T 。

《信号与系统》第1~8章习题参考解答第一章 (2)第二章 (13)第三章 (22)第四章 (35)第五章 (48)第六章（无） (56)第七章 (57)第八章 (65)第一章1-4 对于例1-1所示信号，由f (t )求f (−3t − 2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (−t )，讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解：(1). 例1-1的方法： f (t )→ f (t − 2)→ f (3t − 2)→ f (−3t − 2) (2). 方法二：f (t )→ f (3t )→ 2[3()]3f t − →f (−3t − 2) (3). 方法三：f (t )→f (−t ) →[(2)]f t −+ →f (−3t − 2)方法三：1-5 已知()f t ，为求0()f t at −应按下列哪种运算求得正确结果（式中0t ，a 都为正值）？（1）()f at −左移0t （2）()f at 右移0t （3）()f at 左移0t a （4）()f at −右移0ta解：（4）()f at −右移t a：故（4）运算可以得到正确结果。

注：1-4、1-5 题考察信号时域运算：1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果； 1-5 题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。

如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。

1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）()(2)()t f t e u t −=− （2）2()(36)()t t f t e e u t −−=+ （3）3()(55)()t t f t e e u t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]t f t e t u t u t π−=−−− 解：（1）()(2)()tf t e u t −=−（2）2()(36)()ttf t e eu t −−=+（3）3()(55)()ttf t e eu t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]tf t e t u t u t π−=−−−1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：（1）[()(1)]−−；t u t u t（2）(1)�；t u t−（3）[()(1)](1)−−+−；t u t u t u t（4）(1)(1)−−；t u t（5）(1)[()(1)]−−−−；t u t u t（6）[(2)(3)]−−−；t u t u t（7）(2)[(2)(3)]t u t u t−−−−。

Hd
(z)
=
Hc(z)
s
=1− 1+
z z
−1 −1
证明：H������(z)有一个位于单位圆内的极点和一个位于单位圆外的零点
c）对于系统函数H������(z)，证明�H�������ejω�� = 1
证明：
16
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
6-4 计算机设计题 答案暂略
17
和 x2(n) = �14�n u(n)
设序列x1(n)的单边和双边 变换分别为 X1( X2(z) 和 X2d (z) 。
1） 根据双边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 2） 根据单边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 3） 解释 1）和 2）的结果为何不同。 解：
，试用
z
变换的初值
和终值性质确定离散序列 x(n) 的初值 x(0) 和终值 x(∞) 。
6
第六章 z 变换 解：直接求出。
第 6 章 习题参考答案
6-2-26 某离散LTI系统由差分方程
y(n)
−
10 3
y(n)
+
y(n
+
1)
=
x(n)
描述。试求系统的单位样值响应 h(n) ，并确定系统的稳定性。
解：
5
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
∞
∑ 6-2-21 序列 x(n) 的自相关序列定义为φxx (n) = x(k)x(n + k) 。试利用 x(n) 的 z 变换 k =−∞
求出φxx (n) 的 z 变换。
解：