山东省烟台第二中学2021-2022高二数学12月冬学竞赛试题(无答案)

山东省烟台第二中学2021-2022高二地理12月冬学竞赛试题（无答案）一、选择题右图是经纬网图层和中国省级行政中心图层的叠加图，图中经纬线间隔度数相等。

读图回答第3～4题。

1．经纬网的纬线间距约为( )A．3° B．5° C．8° D．10°2．人口密度差值最大的两个网格区是( )A．①和④ B．②和③C．③和⑤ D．④和⑤3．图示城市周围区域发展种植业的制约因素是A．土壤肥力 B．热量 C．水 D．光照4．与同纬度我国东部地区相比，图示城市附近地区①年太阳辐射总量高②多大风③水能丰富④森林分布广A.①② B．②③ C．③④ D．①④区域既可以按自然要素划分，也可以按人文要素划分。

我国地域广阔，各区域间差异明显。

读“我国三大自然区划分图”，完成5-6题。

5.有关I，II，III三个自然区的叙述，正确的是A．III区比II区纬度低，故光照较II强B．I区比III区纬度高，故热量较III少C．II区比I区北部降水少，故以400mm等降水量线为两区界线D．III区与I区南部距海远近不同，故以400mm等降水量线为两区界线6.地理界线P南北两侧种植业不同，主要原因是A．地形条件不同B．土壤条件不同C．水热条件不同D．光照条件不同下图表示了黄土高原地区降水、植被与侵蚀之间的关系。

据图回答7-8题。

7.降雨侵蚀力急剧增大，而森林的水土保持作用仍较小的年降水量范围是A．300mm—450mm B．300mm—530mm C．450mm—530mm D．≥450mm8.关于该地区降水、植被与侵蚀之间关系的叙述，正确的是A．降雨侵蚀力是伴随森林的覆盖率提高而变强B．当年降水量超过300mm后树木才迅速生长C．森林的覆盖率决定降雨侵蚀力的大小D．年降水量超过450mm后，森林对水土保持作用明显增加有热心驴友将“追寻金秋”的四条路线晒到网上，线路分布如图所示。

图中标注的日期为各地入秋时间。

山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和10185S =.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第2n 项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列
的前n 项和n G .
16．设()()2
56ln f x a x x =-+()R a Î，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于
点()0,6，求函数()f x 的极值．
17．数列{}n
a 的前n 项和为n S ，11a =，12(),n n
a S n N *+=Î，
(1)求数列{}n a 的通项n a ;
(2)求数列{}n
na 的前n 项和n T .
18．已知函数()()2e x f x x ax b -=++在1x =处取得极值．
(1)求b
的值；
(2)讨论函数()f x 的单调性．
19．一个仓库由上下两部分组成：上部分形状是正四棱锥P- A 1B 1C 1D 1，下部分形状是正四
棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并且正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？。

山东省烟台市2021-2022高二数学下学期期末考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，{}0,1,2B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,2,42．已知31log 2a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．b a c >>3．函数()2323lg 1x x f x x x ++=-+的定义域为（ ）A ．()2,1--B ．(]2,3-C ．()()13,31,⋃---D ．()(]12,31,⋃---4．已知函数()221f x x ax a +++=为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．210x y --=5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[)20,80（单位：mg ）即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL ，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n 小时才能开车，则n 的最小整数值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．若函数()()32213af x x a x x +-++=在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a <或4a >B ．4a ≥C ．14a <<D ．14a ≤≤7．函数()1ln1xf x x-+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()21x xe f ex -=，若()()313log log 21f x f x f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为（ ） A ．113x ≤≤ B ．133x ≤≤ C ．13x ≥D ．03x <≤ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，为假命题的是（ ） A ．()0,1x ∃∈，12x x=B ．“x ∀∈R ，210x x +->”的否定是“x ∃∈R ，210x x +-<”C ．“函数()f x 在(),a b 内()0f x >”是“()f x 在(),a b 内单调递增”的充要条件D ．已知()f x 在0x 处存在导数，则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 的极值点”的必要不充分条件10．已知函数()121x f x a =+-，则（ ） A ．对于任意实数a ，()f x 在(),0-∞上均单调递减 B ．存在实数a ，使函数()f x 为奇函数C ．对任意实数a ，函数()f x 在()0,∞上函数值均大于0D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()1f x >的解集为()0,211．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫⎪⎝⎭=（a 为常数），则（ ）A ．当00.2x ≤≤时，5y x =B ．当0.2x >时，0.118x y -⎛⎫⎪⎝⎭=C ．2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下D ．1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下12．已知函数()()1ln f x x x x --=，下述结论正确的是（ ） A ．()f x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．存在实数a ，使得()2f a >C ．方程()1f x =-有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D ．当1k <时，函数()f x 与()g x kx =的图象有两个交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设集合{}02A x x =<<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数[]y x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，当(]1.5,3x ∈-时，函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________．15．设1x 满足223x x +=，2x 满足2221x x -=-，则12x x +=________．16．已知λ∈R ，函数()32,2,x x x f x x x λλ⎧->=⎨--≤⎩，当0λ=时，不等式()0f x <的解集是________；若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合{A x y ==，{}2,03xB y y x ==<<．（1）若1m =，求A B ⋃；（2）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知函数()()322f x x x x a a +++=∈R ．（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有3个零点，求a 的取值范围． 19．（12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()1xf x e x =+-．（1）求()f x 的解析式；（2）若存在[]1,1k ∈-，使不等式()()222230f t t k f t kt +++++<-成立，求实数t 的取值范围． 20．（12分）已知函数()1ln x f x ea x --=．（1）若函数()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，证明：()ln f x a a a -≥． 21．（12分）某科技公司2021年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2021年增加科研投入．假设2021年利润增加值y （千万元）与科研经费投入x （千万元）之间的关系满足：①y 与t x x ⎛⎫⎪⎝⎭+成正比，其中t 为常数，且[]1,16t ∈；②当2x =时，4y t =+；③2021年科研经费投入x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求2021年利润增加值y 的最大值以及相应的x 的值． 22．（12分）已知函数()()2ln f x x a x x +-=，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()1234ln 2f x f x +<--．2021-2022度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 二、多选题9．BC 10．ABD 11．AD 12．ACD 三、填空题 13．2a ≥ 14．{}2,1,0-- 15．216．()2,1，2λ<-或01λ≤<注：16题第一空写作：(]()2,00,1-⋃，也给分． 四、解答题17．解：（1）若1m =，由()20x x -≤，解得02x ≤≤，所以[]0,2A =．当03x <<时，18y <<，所以()1,8B =． 所以[)0,8A B ⋃=．（2）由()()110x m m x -++≥-，可得11m x m -≤≤+，所以集合[]1,1A m m =-+， 由（1）知()1,8B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则AB ．所以1118m m ->⎧⎨+<⎩，解得27m <<．18．解：（1）()2341f x x x '++=，令()23410f x x x '++==，解得13x =-或1x =-，则有：所以，当1x =-时，()f x 取得极大值a ， 当13x =-时，()f x 取得极小值427a -． （2）要使函数()f x 有3个零点，只需04027a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得4027a <<． 19．解：（1）当0x <，0x ->，又因为()f x 是奇函数，所以()()()11x x f x f x e x e x ----=-=-=-++-，所以()1,01,0xxe x xf x x e x -⎧+-≥⎪=⎨+-<⎪⎩．（2）当0x ≥时，()10xf x e =+'>，所以()f x 在[)0,+∞上是增函数．又()f x 是为R 的奇函数，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数． 于是()()222230f t t k f t kt +++++<-等价于()()22223f t t k f t kt +-<+-， 即22223t t k t kt ++<--． 于是原问题可化为，存在[]1,1k ∈-，使得()()21230g k t k t t +-++<=有解．只需()10g <或()10g -<，由()21340g t t ++-<=得4t >或1t <-，由()2120g t t --+<=得1t >或2t <-，故1t <-或1t >．20．（1）由题意，()10x af x e x-'-≥=在()0,+∞上恒成立． 即1x a xe -≤在()0,+∞上恒成立． 令()1x g x xe-=，则()()110x g x x e-'+>=，所以()1x g x xe-=在()0,+∞上单调递增．于是()()00g x g >=，所以0a ≤． （2）当0a >时，()11x x a xe a f x ex x---'-== 由（1）知，函数()1x g x xe-=在()0,+∞单增，且()()0,g x ∈+∞．因此，存在唯一的00x >满足010x x e a -=，且当00x x <<时，10x xe a --<，即()0f x '<； 当0x x >时，10x xe a -->，即()0f x '>．因此()0f x 为()f x 在()0,+∞上的极小值，也是最小值． 下证：()0ln f x a a a -≥． 因为010x x ea -=，所以010x ae x -=，001ln ln x a x -=-， 于是()0100ln x f x ea x --≥()0000ln 1ln a aa a x ax a a a x x =--+=+--ln ln a a a a a a ≥-=-，不等式得证．21．（1）设t x x y k ⎛⎫= ⎪⎝⎭+， 当2x =时，4y t =+，可得2k =， 所以22t y x x=+， 因为x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%； 所以定义域为[]2,6x ∈，所以y 关于x 的函数表达式为22ty x x=+，[]2,6x ∈． （2）令()22ty f x x x==+，[]2,6x ∈，[]1,16t ∈． 则()222222x t t y x x-'=-=． 当14t ≤≤时，0y '≥恒成立，22ty x x=+在[]2,6上单调递增， 此时，()max 6123t y f ==+． 当416t <≤时，(22x x y x -'=，()f x在⎡⎣单调递减，在⎤⎦单调递增，此时，()(){}max max 2,6y f f =． 又()24f t =+，()6123t f =+， 所以()()()262124833t t f f t +=+--=-， 当412t <≤时，2803t-≥，()()26f f >，()max 6y f =． 当1216t <≤时，2803t-<，()()26f f <，()max 2y f =．综上：当112t ≤≤时，科研经费投入6千万元，利润增加值y 的最大值为123t ⎛⎫+⎪⎝⎭千万元； 当1216t <≤时，科研经费投入2千万元，利润增加值1216t <≤的最大值为()4t +千万元．22．解：（1）()()212121ax ax f x a x x x-+'=+-=，0x >．当0a =时，()10f x x'=>， ()f x 在()0,+∞单调递增，没有极值点；当0a ≠时，令()221g x ax ax =-+，设当280a a ∆=->时，方程()221g x ax ax =-+的两根为1x ，2x ，且12x x <．若0a <，则280a a ∆=->，注意到()01g =，1212x x +=， 知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<． 当()20,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减， 所以()f x 只有一个极值点；若08a <≤，则0∆≤，()2210g x ax ax =-+≥，即()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增，所以()f x 没有极值点；若8a >，则0∆>，注意到()01g =，1212x x +=， 知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<． 当()10,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减； 当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 所以()f x 有两个极值点．综上：当0a <时，()f x 有一个极值点； 当08a <≤时，()f x 没有极值点； 当8a >时，()f x 有两个极值点．（2）由（1）知，当8a >时，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1212x x +=，1212x x a=． 所以()()()()2212111222ln ln f x f x x a x x x a x x =+-++-+()()()212121212ln 2x x a x x ax x a x x =++--+ ()1ln1ln 21244a aa a =--=---，8a >， 令()()ln 214ah a a =---，8a >．则()ln 2ln 141104a a h a a '⎛⎫==--< ⎪⎭-⎝'---，所以()h a 在()8,+∞单调递减，所以()()834ln 2h a h <=--，所以()()1234ln 2f x f x +<--．。

2021-2022学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题一、单选题1．若数列的通项公式为221n a n =+，则该数列的第5项为（ ） A ．13B ．16C ．113D ．126【答案】C【分析】直接根据通项公式，求5a ； 【详解】52215113a ==+， 故选：C2．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（ ） A ．()11nn a =-+ B ．()1221n n a +=-⨯-C ．()12cos 2n n a π-=D ．()12cos2n n a π-=【答案】D【分析】举特例排除ABC ，分2,n k k Z =∈和21,n k k Z =+∈讨论确定D. 【详解】A.当1n =时，10a =，不符； B.当1n =时，10a =，不符； C.当3n =时，32a =-，不符； D.当2,n k k Z =∈时，()212cos2cos 2cos 0222n k a k ππππ-⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，当21,n k k Z =+∈时，()2112cos 2cos 22n k a k ππ+-===，符合.故选：D.3．以()11,0F -，()21,0F 为焦点，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．2214x y +=【答案】B【分析】根据焦点在x 轴上，c =1，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a 可得.【详解】因为焦点在x 轴上，所以C 不正确；又因为c =1，故排除D ；将31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22132x y +=得3211313212+=≠，故A 错误，所以选B. 故选：B4．若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m < B ．2m >C ．02m <<D ．2m <且0m ≠【答案】A【分析】根据双曲线定义，且焦点在y 轴上，则可直接列出相关不等式.【详解】若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在y 轴上的双曲线，则必有：20m ->，且0m <解得：0m < 故选：A5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（ ）A ．45B ．55C ．90D ．110【答案】B【分析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第n 层有()123n +++⋅⋅⋅+个球. 【详解】根据规律，可以得知：第一层有1个球；第二层有()12+个球；第三层有()123++个球，则根据规律可知：第n 层有()123n +++⋅⋅⋅+个球 设第n 层的小球个数为n a ，则有：()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+= 故第十层球的个数为：1055a = 故选：B6．已知1F ，2F 为椭圆22195x y+=的左､右焦点，P 为椭圆上一点，若125PF PF ⋅=，则P点的横坐标为（ ） A ．2±B ．3±C ．4D ．9【分析】设(),P x y ，12(2,0),(2,0)F F -，根据向量的数量积得到229x y +=，与椭圆方程联立，即可得到答案；【详解】设(),P x y ，12(2,0),(2,0)F F -，()2212(2,)(2,)45PF PF x y x y x y ⋅=---⋅--=--+=， 229x y ∴+=与椭圆22195x y +=联立，解得：3x =±，故选：B7．已如双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且143AF AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．102B ．10C ．52D ．5【答案】A【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到13AF a =，2AF a =，利用勾股定理得到关于,a c 的等量关系，求出离心率.【详解】连接1F B ，设13AF x =，则根据143AF AB =可知，4AB x =，因为1AF AB ⊥，由勾股定理得：15F B x =，由双曲线定义可知：122AF AF a -=，122BF BF a -=，解得：232AF x a =-，252BF x a =-，从而32524x a x a x -+-=，解得：x a =，所以13AF a =，2AF a =，由勾股定理得：22294a a c +=，从而102c a =，即该双曲线的离心率为102.8．记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]0.51-=-，[]3π=.已知数列{}n a 的通项公式28log n a n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使0n a ≥的正整数n 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．15D ．16【答案】C【分析】根据取整函数的定义，可求出1215,,,a a a 的值，即可得到答案；【详解】[]12log 83a ==，[]22log 42a ==，328log 13a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦278,,log 17a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]82log 10a ==， 1528,,log 015a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，1621log 12a ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦，当17n ≥时，22088128log 1log n a n n n ⎡⎤<-⇒=⎢⎣⇒<⎥⎦<， ∴使0n a ≥的正整数n 的最大值为15，故选：C 二、多选题9．已知公差为d 的等差数列{}n a 中，27a =，935a =，其前n 项和为n S ，则（ ） A ．519a = B ．3d =C ．41n a n =-D ．22n S n n =+【答案】ACD【分析】根据题意求出基本量首项和公差，再根据前n 项和公式即可求解.【详解】设等差数列的首项为1a ，由题意得，117835a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，所以()31441n a n n =+-⨯=-所以519a =，22n S n n =+故选：ACD.10．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为12y x =±，实轴长为4，则（ ）A．该双曲线的虚轴长为B．该双曲线的焦距为CD ．直线20x y -+=与该双曲线有两个公共点【答案】BD【分析】由已知条件求出双曲线方程，然后逐个分析判断即可【详解】由题意设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，实轴长为4，所以1224b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2,1a b ==，双曲线方程为2214x y -=，所以c =对于A ，该双曲线的虚轴长为2，所以A 错误， 对于B，该双曲线的焦距为2c =B 正确， 对于C，该双曲线的离心率为c e a =，所以C 错误， 对于D ，由221420x y x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，得2316200x x ++=，因为2164320160∆=-⨯⨯=>，所以方程2316200x x ++=有两个不相等的实根，所以直线20x y -+=与该双曲线有两个公共点，所以D 正确， 故选：BD11．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足13a =，24144a a =，其前n 项和为n S .数列{}n b 的通项公式11n n n n a b S S ++=⋅，设{}n b 的前n 项和为n T ，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式为132n n a -=⨯B ．321nn S =⨯-C ．n T 随n 的增大而增大D ．2193n T ≤< 【答案】ACD【分析】先根据等比中项求出312a =及公比，进而求出通项公式和求和公式，判断AB 选项，裂项相消求出{}n b 的前n 项和为n T ，判断其单调性及取值范围，判断CD 选项.【详解】又题意得：2243144a a a ==，因为各项均为正数，所以312a =，2314a q a ==，2q ，所以数列{}n a 的通项公式为132n n a -=⨯，A 正确；()31232312n n n S ⨯-==⨯--，B 错误；()()11111132332332332233n n n n n n n n n a b S S ++++===⨯-⋅⨯-⨯-⨯-⨯-，所以122231111111323323323323323323n n n n T b b b +=+++=-+-++-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-1111113233233323n n ++=-=-⨯-⨯-⨯-，n T 随n 的增大而增大，C 正确； 111133233n n T +=-<⨯-，且由于n T 随n 的增大而增大，所以129n T T ≥=，故2193nT ≤<，D 正确. 故选：ACD12．已知双曲线22:13y C x -=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为2B ．若F 为C 的左焦点，点P 在C 上，则满足2FM MP =的点M 的轨迹方程为22(32)34x y +-=C ．若A ，B 在C 上，线段AB 的中点为()2,2，则线段AB 的方程为340x y --=D ．若P 为双曲线上任意一点，点P 到点()2,0和到直线12x =的距离之比恒为2 【答案】BCD【分析】根据点到直线距离公式求顶点到其渐近线的距离，判断A ，根据曲线轨迹方程的求法求出点M 的轨迹方程，判断B ，由点差法判断C ，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P 到点()2,0和到直线12x =的距离由此判断D. 【详解】双曲线22:13y C x -=的顶点为(1,0)-，(1,0)0y ±=， 顶点(1,0)-0y ±=的距离d ==顶点(1,0)0y ±=的距离d ==A错， 双曲线22:13y C x -=的左焦点F 的坐标为(2,0)-，设(,)M x y ，(,)P x y ''， ∵2FM MP =，∴ (2,)2(,)x y x x y y ''+=--， ∴ 322x x +'=，32y y '=，又(,)P x y ''在双曲线C 上，∴ 2233+22123y x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭-= ⎪⎝⎭， ∴ 22(32)34x y +-=，B 对， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵ 线段AB 的中点为()2,2，∴ 12124,4x x y y +=+=，由已知可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以121212123-()(-)x x x x y y y y ++()()-=0， ∴1212-3-y y x x =，∴ 直线AB 的斜率为3， ∴ 线段AB 的方程为23(2)y x -=-，即340x y --=，联立340x y --=与双曲线C 的方程可得223(3-2)3x x -=，化简得261270x x -+=， 方程261270x x -+=有两解，所以直线340x y --=与双曲线相交，满足要求，C 对，设00(,)P x y ，点P 到点()2,0的距离d '==∴101|d x =-，又点P 到到直线12x =的距离201||2d x =-， ∴ 点P 到点()2,0和到直线12x =的距离之比恒为2，D 对， 故选：BCD. 三、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，112n na a +=+，则4a =___________. 【答案】177327. 【分析】由递推关系取1n =可求2a ，再取2n =求3a ，取3n =求4a . 【详解】由112n na a +=+分别取1n =，2，3可得2112a a =+，3212a a =+，4312a a =+，又11a =，∴23a =，373a =，4177a =， 故答案为：177. 14．过抛物线22x y =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为4，则线段AB 的长度为___________. 【答案】9【分析】由焦点弦公式和中点坐标公式可得. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1242y y +=，即128y y +=，12819AB y y p ∴=++=+=. 故答案为：915．将连续的正整数21,2,...,n 填入n 行n 列的方阵中，使得每行､每列､每条对角线上的数之和相等，可得到n 阶幻方.记n 阶幻方每条对角线上的数之和为n N ，如图：315N =，那么4N 的值为___________.【答案】34【分析】根据每行数字之和相等，四行数字之和刚好等于1到16之和可得. 【详解】4阶幻方中，4行数字之和416(116)4123 (161362)N +=++++==， 得434N =. 故答案为：34 四、双空题16．已知直线l 是抛物线2:2C y px =（0p >）的准线，半径为34的圆过抛物线的顶点O 和焦点F ，且与l 相切，则抛物线C 的方程为___________；若A 为C 上一点，l 与C 的对称轴交于点B ，在ABF 中，sin 2AFB ABF ∠=∠，则AB 的值为___________. 【答案】 22y x =2【分析】（1）由题意得：圆的圆心横坐标为14p ，半径为34，列方程，即可得到答案； （2）由正弦定理得||2|AB AF =，从而求得直线AB 的方程，求出点A 的坐标，即可得到答案；【详解】由题意得：圆的圆心横坐标为14p ，半径为34， ∴33144p p =⇒=， ∴抛物线C 的方程为22y x =；设A 到准线的距离为d ，sin 2AFB ABF ∠=∠，||2|AB AF ∴=，∴2cos ||2d ABF AB ==∠，∴45ABF ︒∠=，∴1:2AB l y x =+代入22y x =，解得：1,12A A x y ==，||12A PAF x d ∴=+==，∴||AB =故答案为：22y x =五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =，若8n S n λ≥+对任意的正整数n 成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(],12-∞-【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意得11426a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程得12a =，2d =，进而得()()2212n n n S n n +==+，故27n n λ≤-恒成立，再结合二次函数的性质得当3n =或4时，()f n 取得最小值12-，进而得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为d ， 由已知214a a d =+=，511545510302S a d a d ⨯=+=+=. 联立方程组11426a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，2d =.所以2n a n =，()()2212n n n S n n +==+， 由题意28n S n n n λ=+≥+，即27n n λ≤-.令2()7f x x x =-，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为72x =， 所以当3n =或4时，()f n 取得最小值12-， 所以实数λ的取值范围是(],12-∞-.18．双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率e =(M -.(1)求a ，b 的值；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P 的双曲线的标准方程.【答案】(1)1a =，2b =(2)22182-=y x【分析】（1）根据已知条件建立关于a 、b 、c 的方程组可解；（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为2222x y a bλ-=可得.(1)因为离心率c e a =224b a =.又因为点(M -在双曲线C 上，所以224121a b-=. 联立上述方程，解得21a =，24b =，即1a =，2b =. (2)设所求双曲线的方程为()2204y x λλ-=≠，由双曲线经过点P，得2034λ-=，即2λ=-. 所以双曲线的方程为2224y x -=-，其标准方程为22182-=y x . 19．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足11n n S n a ++=-. (1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)设2log (1)n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析 (2)21222n n n n T +-=-+ 【分析】（1）当2n ≥时，由11n n S n a ++=-，得111n n S n a -+-=-，两式相减化简可得121n n a a +=+，再对等式两边同时减去1，化简可证得结论，（2）由（1）得21nn n b =+-，然后利用分组求和可求出n T(1)由已知得，11n n S n a ++=-. 当2n ≥时，111n n S n a -+-=-. 两式相减得，121n n a a +=+. 于是112(1)n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+， 又23a =，214a +=，1120a +=≠，所以21121a a +=+满足上式， 所以1121n n a a ++=+对n N *∀∈都成立，故数列{}1n a +是等比数列. (2)由（1）得21n n a =-，21nn n b =+-，()()2322221231nn T n =+++++++++-⎡⎤⎣⎦21222n n n+-=-+. 20．已知点F 为抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点，点(1,)P t 在抛物线Γ上且在x 轴上方，2PF =. (1)求抛物线Γ的方程；(2)已知直线:1l x my =+与曲线Γ交于A ，B 两点（点A ，B 与点P 不重合），直线P A 与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，直线PB 与x 轴､y 轴分别交于M 、N 两点，当四边形CDMN 的面枳最小时，求直线l 的方程. 【答案】(1)24y x =； (2)1y x =-或1y x =-+.【分析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出p 即可作答.(2)联立直线l 与抛物线Γ的方程，用点A ，B 坐标表示出点C ，D ，M ，N 的坐标， 列出四边形CDMN 面枳的函数关系，借助均值不等式计算得解. (1)抛物线Γ的准线：2px =-，由抛物线定义得122p PF =+=，解得2p =， 所以抛物线Γ的方程为24y x =. (2)因为点(1,)P t 在2:4y x Γ=上，且0t >，则2t =，即(1,2)P ，依题意，0m ≠，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得2440y my --=，则有124y y m +=，124y y =-， 直线P A 的斜率是1121112241214PA y y k y x y --===-+-，方程为()14212y x y -=-+， 令0y =，则12y x =-，令0x =，则1122y y y =+，即点C 1(,0)2y -，点D 112(0,)2y y +， 同理点M 2(,0)2y -，点N 222(0,)2y y +， 则122y y CM -=，()()1212)4(22y y DN y y -=++，四边形CDMN 的面积S 有：()()1212124(1122222)y y y y S CM DN y y --=⋅=⨯⨯++()()()()()2212121212121242224y y y y y y y y y y y y -+-==+++++221616222248m m m m m m++===+≥，当且仅当22m m =，即1m =时取“=”，所以当1m =±时四边形CDMN 的面积最小值为4，直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. 21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且12314++=a a a ，21a +是13,a a 的等差中项.数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21122n S n n =+，n *∈N . (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()22,42,nnn n n n b n a c b b n a ⎧⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为奇数为偶数，求{}n c 的前2n 项和2n T . 【答案】(1)2n n a =，n b n =（*n N ∈） (2)2211018659184n n n n T ---=+⨯ 【分析】（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可； （2）数列{}n c 根据n 的奇偶分段表示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前n 项和，偶数项则是通过裂项求和. (1)由()1232131421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩得，24a =.又14a q=，34a q =，所以44414q q ++=，即22520q q -+=，解得2q或12q =（舍去）.所以2n n a =（*n N ∈），当1n =时，111b S ==， 当2n ≥时，()()2211111112222n n n b S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，经检验，1n =时，11b =适合上式， 故n b n =（*n N ∈）. 综上可得：2n n a =，n b n = (2)由（1）可知，()22,42,nn n nn a c n n n a ⎧⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为奇数为偶数 当n 为奇数时，2n nnc =， 当n 为偶数时，()222222n n n n n c --=-， 由题意，有135213521135212222n n n T c c c c ---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=+奇 ① 357212111352321422222n n n n T -+--=+++⋅⋅⋅++奇 ② ① - ② 得：337212121113122222112144142222222214n n n n n n T -++---=++++⋅⋅⋅+-=+--奇 542156563424664n n nn n -+=--=-⨯⨯⨯， 则有：110659184n n T -+=-⨯奇. ()()22222222246220426422222220426422222222n n n n n T c c c c -⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-+-⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=⎦偶()22222012042244nn n n n n -=-==.故2221111065101865918449184n n n n n n n n T ---+--=-+=+⨯⨯. 22．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的左､右焦点，E短轴长为2.(1)求椭圆E 的方程：(2)过点1F 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2212x y +=(2)存在，t =【分析】(1)由条件列出a ，b ，c 的方程，解方程求出a ，b ，c ，由此可得椭圆E 的方程：(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，联立直线l 的方程与椭圆方程化简可得()2222124220k xk x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，可得12x x +，12x x ，由此证明11AB BF =，再证明当直线l的斜率不存在时11AB BF =也成立，由此确定存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立 (1)由已知得1b =，离心率e =，所以2222a b ==，故椭圆E 的方程为2212x y +=.(2)当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+.12AB x =-=)22112k k +=+.1AF ===，1BF所以()121211242x x x x AF BF +++==222222228411212212k k k k k k --++++==+.所以11AB BF =. 当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，联立方程组22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得A ⎛-⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭.AB1112AF BF ==，所以11AB BF=. 综上，存在实数t =使得11AB t AF BF =恒成立.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

山东省部分学校联考（烟台市第二中学等校）2021-2022学年高三上学期阶段质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}3215A x x =-≤-+<，()1ln 1B x y x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,2- B ．(]1,2- C ．()()1,00,2-⋃D ．()(]1,00,2-2．设3i 35i z =+，则z =（ ） A ．53i -+ B ．53i -- C ．53i -D ．53i + 3．在空间中，“直线AB 与CD 没有公共点”是“直线AB 与CD 异面”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()ln x xxf x e e -=+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论. 甲：该圆经过点()2,2.丙：该圆的圆心为()1,0.丁：该圆经过点()7,0，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈） A ．6B ．7C ．8D ．98．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从()15,A m 沿直线1y m =发出的光线经抛物线24y x =两次反射后，回到光源接收器()25,D m ，则该光线经过的路程为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14二、多选题9．下列式子等于cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的是（ ）A ．5cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭CD ．22cos 1122x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则（ ） A ．xy 的取值范围是[]1,9 B ．x y +的取值范围是[)2,+∞C ．4x y +的最小值是3D ．2x y +的最小值是3-11．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得()f x 的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．2sin y x = B ．tan y x = C ．12x y x -=+，()2,x ∈-+∞ D ．e ln x y x =-12．对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=，则（ ）A ．()777log 76log 6ϕ=+ B ．数列(){}3nϕ为等比数列C ．数列(){}2n ϕ单调递增D ．数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和恒小于4 三、填空题13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；①焦点在坐标轴上；①离心率为13.14．已知函数()sin(3)5f x x π=+的图象关于直线()0x m m π=<<对称，则m 的最大值为___________.15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，当210x x >>时，()()12122121e e x xf x f x x x x x ->-，若()22e 1f =+，则()2ln ln f x x x>+的解集为______． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是边长为4的等边三角形，四边形ABCD 是等腰梯形，AD BC ∥，60ABC ∠=︒，AB AD =，若四棱锥P ABCD -的体积为24，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是___________.四、解答题17．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos 220A A +=. (1)求A ；(2)若b c +=ABC 外接圆面积的最小值. 18．在数列{}n a 中，12a =，且11221n n n n a a ++-=-+. (1)证明；数列{}1n a n -+是等比数列.(2)若()4log 1n n b a n =-+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t 的最小值．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,120,ABCD PA AB BAD AC BD ∠===⊥，BCD △是等边三角形.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD . (2)求二面角B PC D --的正弦值.21．如图，已知双曲线22:13x C y -=，过()1,1P 向双曲线C作两条切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，且120,0x x <>.(1)证明：直线PA 的方程为1113x xy y -=. (2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：πAFP BFP ∠∠+=. 22．已知函数1()(1)x f x e a x -=--． (1)讨论()f x 的零点个数．(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，证明：124x x +>．参考答案：1．D 【解析】 【分析】先求出集合,A B ,再由交集运算可得答案. 【详解】由3215x -≤-+<可得424x -≤-<解得22x -<≤，所以(]2,2A =-又()1ln 1y x x =++中x 满足100x x +>⎧⎨≠⎩，所以1x >-且0x ≠，所以()()1,00,B =-⋃+∞所以()(]1,00,2A B ⋂=-⋃. 故选：D 2．A 【解析】 【分析】直接根据复数的四则运算即可求出53i z =-+ 【详解】 由题意可得：()235i i 35i 3i 553i i i 1z ++-====-+-- 故选：A 3．A 【解析】 【分析】由于在空间中，若直线AB 与CD 没有公共点，则直线AB 与CD 平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果. 【详解】在空间中，若直线AB 与CD 没有公共点，则直线AB 与CD 平行或异面. 故“直线AB 与CD 没有公共点”是“直线AB 与CD 异面”的必要不充分条件. 故选：A. 4．D 【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B 选项，根据特殊点，排除C 选项，根据分子和分母的增长速度排除A 选项. 【详解】因为()f x 定义域为()(),00,∞-+∞，且()()f x f x =-，所以()f x 是偶函数，排除B ；又()10f =，排除C ；当1x >时，函数x x y e e -=+比ln y x =增长得更快，故函数的大致图象为D 选项. 故选：D 5．D 【解析】 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案. 【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心()1,0到点()2,2的距离与圆心()1,0到点()7,0的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点()2,2到点()7,0的距离大于()1,0到点()2,2. 故选：D 6．D 【解析】 【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得. 【详解】记BP x =，[0,4]x ∈ 因为AP BP BA =-，所以222222(1)11AP BP BP BA BP BP BP x x x ⋅=-⋅=-=-=--≥-. 故选：D7．C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式()120120%20x-<，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式. 【详解】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C 8．B 【解析】 【分析】设出B 、C 坐标，由坐标和焦点弦公式表示出三条线段直接可得. 【详解】设()11,B x m ，()22,C x m ，所以15AB x =-，122BC x x =++，25CD x =-，所以该光线经过的路程为12. 故选：B 9．CD 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可判断A ，B 不正确；根据三角恒等变换，即可判断C 正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D 正确，由此即可得到答案. 【详解】5cos cos cos cos 6666x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；2sin sin cos cos 36266x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；1sin cos 26x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故C 正确；22cos 1cos cos 12266x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD. 10．BD 【解析】 【分析】利用基本不等式x y +≥A ，利用基本不等式()22x y xy +≤判断选项B ，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C 、D. 【详解】因为0x >，0y >，所以x y +≥3xy -≥解得01<≤，即01xy <≤，则A 错误.因为0x >，0y >，所以()22x y xy +≤，所以()232x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即()()24120x y x y +++-≥，解得2x y +≥，则B 正确. 因为30x y xy ++-=，所以34111y x y y -+==-+++， 则()44414415245311x y y y y y +=-++=++-≥⨯-=++， 当且仅当()4411y y =++即0y =时等号成立.因为0y >.所以43x y +>，则C 错误. ()44212213311x y y y y y +=-++=++-≥++，当且仅当()4211y y =++即1y =时等号成立，则D 正确. 故选：BD 11．ACD 【解析】【分析】函数()y f x =的图象上存在两点，使得()f x 的图象在这两点处的切线互相垂直， 则判断()y f x '=存在两个函数值的乘积为1-即可. 【详解】当21cos 2sin 2x y x -==时，[]sin 21,1y x '=∈-，当123,44x x ππ==时，满足条件； 当tan y x =时，210cos xy '=>恒成立，不满足条件； 当12x y x -=+，()2,x ∈-+∞时，()()()()223,2,123,1,2x x y x x ∞-⎧∈-⎪+⎪=⎨⎪∈++⎩'⎪，当125,24x x =-=，满足条件； 当e ln x y x =-时，1e x y x '=-，函数1e xy x'=-单调递增，且1331x y =<-'，1e 11x y ==->'，所以存在11x x y ='=-，21x x y ='=，满足条件.故选：ACD. 12．ABD 【解析】 【分析】根据欧拉函数的定义结合对数的运算判断A ，由欧拉函数定义结合等比数的通项公式判断B ，根据欧拉函数求出()2n ϕ判断C ，由欧拉函数求出()122nn ϕ-=，再由数列的错位相减法求和可判断D. 【详解】因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有76777=个，所以()()776777log 7log 776log 6ϕ=-=+，故A 正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅，则数列(){}3n ϕ为等比数列，故B 正确；因为()21ϕ=，()42ϕ=，()62ϕ=，所以数列(){}2n ϕ不是单调递增数列，故C 错误；因为()122n n ϕ-=，所以()11122222nn n i i i i i i i i i ϕ=====∑∑∑. 设21122222n n i n i i n S ===+++∑，则231112122222n n n n n S +-=++++， 所以1231111111121222112222222212n n n n n n n n n S ++++-+=++++-=-=--， 所以222n n n S +=-，从而数列()2n n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为122442n n n S -+=-<，故D 正确. 故选：ABD13．22198x y （答案不唯一）【解析】【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足2289a b =，答案不唯一【详解】只要椭圆方程形如221(0)98x y m m m +=>或221(0)98y x m m m+=>即可. 故答案为：22198x y .（答案不唯一） 14．2330π##23π30 【解析】 【分析】根据给定条件结合正弦函数的性质求出m 的关系式，再根据所给范围计算作答.【详解】由()352x k k πππ+=+∈Z 得函数()sin(3)5f x x π=+图象的对称轴：()103k x k ππ=+∈Z ， 依题意，()103k m k ππ=+∈Z ，而0m π<<，于是得{0,1,2}k ∈，当2k =时，max 2330m π=， 所以m 的最大值为2330π. 故答案为：2330π 15．()21,e ##{}2|1e <<x x【解析】【分析】构造()()e =-x g x xf x x ，可得()g x 在()0,∞+上单调递减．由()2ln ln f x x x>+，转化为()()ln 2g x g >，利用单调性可得答案．【详解】由()()12122121e e x xf x f x x x x x ->-，得()()12111222e e x x x f x x x f x x ->-， 令()()e =-xg x xf x x ，则()()12g x g x >，又210x x >>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减．由()2ln ln f x x x>+，得()ln ln ln 2xf x x x ->，因为()()22222e 2g f =-=， 所以()()ln 2g x g >，所以0ln 2x <<，得21e x <<．故答案为：()21,e .16．2083π##208π3【解析】【分析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定OO '垂直平面ABCD ，构造直角三角形求解球的半径即可得解.【详解】如图，分别取BC ，AD 的中点O '，E ，连接PE ，O E '，O A '，O D '.因为PAD △是边长为4的等边三角形，所以PE =因为四边形ABCD 是等腰梯形，4AB AD ==，AD BC ∥，60ABC ∠=︒，所以O E '=8BC =.因为四棱锥P ABCD -的体积为24，所以()4812432+⨯⨯=，所以h = 因为E 是AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为PE h ==PE ⊥平面ABCD .因为4O A O B O C O D ''''====，所以四边形ABCD 外接圆的圆心为O '，半径4r =.设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，连接OO '，OP ，OB ，过点О作OF PE ⊥，垂足为F .易证四边形EFOO '是矩形，则EF OO '=，OF O E '==设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222222R OO O B OF PF O E PE OO ''''=+=+=+-，即(()222224R OO OO ''=+=+，解得2523R =， 故四棱锥P ABCD -外接球的表面积是220843R ππ=. 故答案为：2083π 17．(1)3A π=(2)9π【解析】【分析】 （1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a 的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.(1)因为cos 220A A +=，所以22sin 30A A -+=，解得sin A =或sin A =， 又ABC 为锐角三角形，所以3A π=.(2)因为()()22222222cos 3274b c a b c bc A b c bc b c bc +=+-=+-=+-≥=，当且仅当b c =时，等号成立，所以a ≥ ABC外接圆的半径32sin a R A ==≥，故ABC 外接圆面积的最小值为9π. 18．(1)证明见解析； (2)41n n S n =+. 【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.(1)①11221n n n n a a ++-=-+，①()()11221n n n n a a ++---=， 又①12a =，①120a -=，①数列{}2n n a -是首项为0，公差为1的等差数列，①21n n a n -=-，①12n n a n -+=，从而()11121n n a n a n +-++=-+， ①数列{}1n a n -+是首项为2，公比为2的等比数列；(2)由（1）知12n n a n -+=，则()4log 12n n n b a n =-+=， ①()11411411n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ①1111144122311n n S n n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 19．(1)()260cos 680y x x tπ=-+≥ (2)25【解析】【分析】（1）建立坐标系，由68y OA =-得出所求函数关系式；（2）由98y ≥得出21cos2x t π≤-，由余弦函数的性质得出第一圈满足98y ≥持续的时间，再解不等式225333t t -≥得出t 的最小值． (1) 如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处1O 为原点，以地平面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系1xO y ，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O 到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t 分钟，所以12x O OP tπ∠=． ()126868cos 60cos 680y OA OP O OP x x tπ=-=-∠=-+≥． (2) 依题意，可知260cos6898x y t π=-+≥，即21cos 2x t π≤-， 不妨取第一圈，可得22433x t πππ≤≤，233t t x ≤≤， 持续时间为225333t t -≥，即25t ≥，故t 的最小值为25． 20．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）设AC BD O =，由已知得AD CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD 得PA CD ⊥，利用线面垂直的判断定理得CD ⊥平面PAD ，再由面面垂直的判断定理可得平面PAD ⊥平面PCD ； （2）以O 为坐标原点，,OB OC 的方向分别为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -.求出平面PBC 的法向量、平面PCD 的法向量，由二面角的向量求法可得答案.(1)设AC BD O =，因为BCD △是等边三角形，且AC BD ⊥，所以O 是BD 的中点，则AB AD =，又120BAD ∠=，所以30ADB ∠=，所以90CDA CDB ADB ∠∠∠=+=，即AD CD ⊥，又PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .(2)以O 为坐标原点，,OB OC 的方向分别为,x y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为2PA AB ==，所以)()(),0,3,0,,(0,1,)2BC D P -， ()()()3,1,2,0,4,2,3,1,2=-=-=--PBPC PD ， 设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，则1111120,420,y z y z +-=-=⎪⎩令11y =，得()3,1,2m=， 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22222420,20,y z y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令21y =，得()3,1,2n =-， 1cos ,4m n m n m n ⋅==，0,π≤≤m n ， 故二面角B PC D --= 21．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A 的横坐标与纵坐标，进而表达出直线PA 的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.(1)显然直线PA 的斜率存在，设直线PA 的方程为()11y k x -=-， 联立()221,311,x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩得()()22231613(1)30k x k k x k ---+-+=，则()()2222Δ36(1)4313220k k k k k =---⨯-+=，化简得210k k +-=.因为方程有两个相等实根，故切点A 的横坐标()()2122613331231k k k k x k k ---=-=--，得12131k y k -=-，则113x k y =， 故()1111:3x l y x x y y =-+，则22111133xx x yy y =-+，即1113x x y y -=. (2) 同理可得22:13PB xx l yy -=，又PA l 与PB l 均过()1,1P ， 所以12121,133x x y y -=-=. 故():1,2,03AB x l y F -=-，()()11113,12,36FP FA x y x y ⋅=⋅+=++， ()()22223,12,36FP FB x y x y ⋅=⋅+=++，又因为120,0x x <>，所以123,3x x -，则1103cos ,x FP FA ⎛⎫+ ⎪===2103cos ,x FP FB ⎛⎫+ ⎪===， 故cos ,cos ,FP FA FP FB =-，故πAFP BFP ∠∠+=.【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.22．(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解； （2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.(1)因为(1)10f =≠，所以1不是()f x 的零点．当1()(1)0x f x e a x -=--=，可变形为1e 01x x -=-， 令1()1x e g x x -=-，则()f x 的零点个数即直线y a =与()g x 图象的交点个数． 因为12(2)()(1)x e x g x x ---'=，()0g x '=，得2x =，又1x ≠， 所以()g x 在(,1),(1,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．因为(2)g e =，且当1x <时，()0<g x ，所以当[0,)a e ∈时，()f x 没有零点；当(,0){}a e ∈-∞⋃时，()f x 有一个零点；当(,)a e ∈+∞时，()f x 有两个零点．(2)证明：由（1）知，当(,)a e ∈+∞时，()f x 有两个零点．设12x x <，则12(1,2),(2,)∈∈+∞x x ，由()()12111210,10,x x e a x e a x --⎧--=⎪⎨--=⎪⎩得121211--=-x x x e x ， 所以()()1212ln 1ln 1-=---x x x x ，即()()1122ln 1ln 1--=--x x x x ．令()ln(1),(1,)=--∈+∞h x x x x ，则12()111x h x x x -'=-=--， 易得()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．要证124x x +>，即证214x x >-．因为212,42>->x x ，且()h x 在(2,)+∞上单调递增，所以只需证()()214>-h x h x ． 因为12h x h x ，所以即证()()114>-h x h x ． 令()()(4)ln(1)(4)ln(3)24ln(1)ln(3),(1,2)=--=----+-=---+-∈F x h x h x x x x x x x x x ，则2112(2)()2013(1)(3)-=-+='<----x F x x x x x ， 所以()F x 在(1,2)上单调递减．因为()(2)0>=F x F ，所以()(4)0-->h x h x ． 因为1(1,2)x ∈，所以()()114>-h x h x ，故124x x +>．。

山东省烟台第二中学2019-2020学年高二数学12月冬学竞赛试题（无答案）考试总分： 120 分 考试时间： 100 分钟一、单项选择题（共 10小题 ,每小题 5 分 ，共 50 分 )1。

“0mn <”是“221mx ny -=表示椭圆"的________条件( ）A 。

充分不必要B 。

必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.下列命题，是全称命题又是真命题的是 （ ）A.菱形的两条对角线相等B.22,,0a b R a b ∈+<对任意的都有C 。

x R x ∀∈=D 。

对数函数在定义域上是单调函数3.曲线222312x y +=的焦点坐标为 （ ）A.(0,B.(C.(0,D.(4。

已知命题2000:,2390p x R x ax ∃∈-+<,若p ⌝是真命题,则a 的范围是( )A 。

[- B.(,-∞- C 。

(- D 。

)+∞5。

若点P 是椭圆22194x y +=上的一动点,12,F F 是其两焦点,则12cos F PF ∠的最小值为（ ） A 。

59- B.19- C.19 D 。

126。

“11a x a -≤≤+”是“2230x x +-<”的充分不必要条件，则a 范围（ ） A 。

(2,)-+∞ B.(2,0]- C 。

[2,)-+∞ D 。

(2,0)-7.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条弦所在的直线方程为x-y+5=0，弦的中点是M （—4,1）,则椭圆的离心率为（ ）A.12 B C 。

8.设A 、B 是双曲线22124y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，且34PA PB =，则PAB ∆面积为（ ）A.。

24 D 。

489.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，双曲线上一点P 满足12P F F ∆是顶角为0120的等腰三角形，该双曲线的离心率为（ )B210.设A 、B 是椭圆22C 1122x y +=：的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆22M 10x y +=：的一个交点，则PA PB -=( ）A。

山东省烟台第二中学2021-2022高二地理12月冬学竞赛试题（无答案）一、选择题右图是经纬网图层和中国省级行政中心图层的叠加图，图中经纬线间隔度数相等。

读图回答第3～4题。

1．经纬网的纬线间距约为( )A．3° B．5° C．8° D．10°2．人口密度差值最大的两个网格区是( )A．①和④ B．②和③C．③和⑤ D．④和⑤3．图示城市周围区域发展种植业的制约因素是A．土壤肥力 B．热量 C．水 D．光照4．与同纬度我国东部地区相比，图示城市附近地区①年太阳辐射总量高②多大风③水能丰富④森林分布广A.①② B．②③ C．③④ D．①④区域既可以按自然要素划分，也可以按人文要素划分。

我国地域广阔，各区域间差异明显。

读“我国三大自然区划分图”，完成5-6题。

5.有关I，II，III三个自然区的叙述，正确的是A．III区比II区纬度低，故光照较II强B．I区比III区纬度高，故热量较III少C．II区比I区北部降水少，故以400mm等降水量线为两区界线D．III区与I区南部距海远近不同，故以400mm等降水量线为两区界线6.地理界线P南北两侧种植业不同，主要原因是A．地形条件不同B．土壤条件不同C．水热条件不同D．光照条件不同下图表示了黄土高原地区降水、植被与侵蚀之间的关系。

据图回答7-8题。

7.降雨侵蚀力急剧增大，而森林的水土保持作用仍较小的年降水量范围是A．300mm—450mm B．300mm—530mm C．450mm—530mm D．≥450mm8.关于该地区降水、植被与侵蚀之间关系的叙述，正确的是A．降雨侵蚀力是伴随森林的覆盖率提高而变强B．当年降水量超过300mm后树木才迅速生长C．森林的覆盖率决定降雨侵蚀力的大小D．年降水量超过450mm后，森林对水土保持作用明显增加有热心驴友将“追寻金秋”的四条路线晒到网上，线路分布如图所示。

图中标注的日期为各地入秋时间。

山东省烟台第二中学2021-2022高二化学12月冬学竞赛试题（无答案）一、选择题（每题只有一个答案）1.下列说法不正确的是（ ）A ．3p 2表示3p 能级上有2个电子B ．处于最低能量的原子叫做基态原子C ．同一原子中，3s 、3p 、3d 、4s 能级的能量逐渐增大D ．同一原子中，3s 、3p 、3d 能级的轨道数依次增多2. 下列各组元素中，第一电离能依次减小的是（ ）A ．H 、Li 、Na 、KB ．Na 、Mg 、Al 、SiC ．I 、Br 、Cl 、FD ．F 、O 、N 、C3.下列各组表述中，两个微粒一定不属于同种元素原子的是( )A ．3p 能级有一个空轨道的基态原子和核外电子排布为1s 22s 22p 63s 23p 2的原子B ．M 层全充满而N 层为4s 2的原子和核外电子排布为1s 22s 22p 63s 23p 63d 64s 2的原子C ．最外层电子数是核外电子总数的15的原子和价电子排布为4s 24p 5的原子 D ．2p 能级有一个未成对电子的基态原子和价电子排布为2s 22p 5的原子4. 下列各组原子中，彼此化学性质一定相似的是( )A ．原子核外电子排布式为1s 2的X 原子与原子核外电子排布式为1s 22s 2的Y 原子B ．原子核外M 层上仅有两个电子的X 原子与原子核外N 层上仅有两个电子的Y 原子C ．2p 轨道上有一对成对电子的X 原子和3p 轨道上只有一对成对电子的Y 原子D ．最外层都只有一个电子的X 、Y 原子5 . 已知X 、Y 是主族元素，I 为电离能，单位是kJ·mol －1。

根据下表所列数据判断错误的是（ ）A ．元素X 的常见化合价是+1价B ．元素Y 是ⅢA 族的元素C ．元素X 与氯形成化合物时，化学式可能是XClD ．若元素Y 处于第3周期，它可与冷水剧烈反应6.用R 代表短周期元素，R 原子最外层的p 能级上的未成对电子只有2个。

山东省烟台第二中学２０19－202０学年高二物理12月冬学竞赛试题一、选择题（共 12 道小题，每小题4分,其中1-７只有一个选项正确，8-12有两个或两个以上选项正确)１。

关于万有引力的说法正确的是（ )A ．教室里两个同学之间没有吸引在一起,说明这两个同学之间没有引力Ｂ.放在筐里的几个篮球之间的距离为零，它们之间的万有引力为无穷大C ．计算地球与太阳之间的万有引力时，半径是地心到太阳中心的距离D 。

神舟七号与地球之间的引力半径为神舟七号到地面的高度2.下面的几个图显示了磁场对通电直导线的作用力,其中正确的是（ ) ３。

若某双星系统A 和Ｂ各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动。

已知A 星和B 星的质量分别为m １和m 2，相距为d ,下列说法正确的是（ )A. A 星的轨道半径为112m d m m +Ｂ．　A 星和Ｂ星的线速度之比为ｍ1：m 2C 。

若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m '的星体对它的引力，则()32212'm m m m =+D 。

若在O 点放一个质点，它受到的合力一定为零4、为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的。

一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应.如果某路面上的减速带的间距为1.5ｍ，一辆固有频率为2赫兹的汽车匀速驶过这排减速带,下列说法正确的是( ）A.当汽车以5m/s的速度行驶时，其振动频率为２HzB．当汽车以3m／s的速度行驶时最不颠簸C。

当汽车以3ｍ/s的速度行驶时颠簸的最厉害ﻫD．汽车速度越大，颠簸的就越厉害5。

如图所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，Ａ球在水平面上静止放置，B球向左运动与A球发生正碰，B球碰撞前、后的速率之比为3∶1，A球垂直撞向挡板，碰后原速率返回。

两球刚好不发生第二次碰撞,则A、B两球的质量比为（）A.１∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶16、一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、ｂ、c，则（）Ａ. 此刻a的加速度最小B．此刻b的速度最小C。

2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若函数f（x）＝sin x cos x，则f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x≤0}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|0≤x＜1}3．（5分）若p：实数a使得“∃x0∈R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[1，+∞），x2﹣a＞0”为真命题，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e−0.5+kx1+e−0.5+kx．已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为60%，则贷款小微企业的年收入约为（）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．14万元B．16万元C．18万元D．20万元5．（5分）函数f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．6．（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)={4−2x+2，x ≥0g(x)，x ＜0，则f(g(log 245))的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．47．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），y ＝f （x +1）是偶函数，若f （x ）在（0，1）上单调递增，a ＝f （ln 2），b =f(−√e)，c =f(52)，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a8．（5分）已知函数f （x ）＝（x +1）e x ，若函数F （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）+m ﹣1有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−1e 2，0) B ．(−1e 2，1) C ．(1−1e 2，1) D ．(1−1e 2，1)∪(1，+∞) 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． （多选）9．（5分）已知a ＝log 212，b ＝log 318，则（ ） A ．a ＜b B ．（a ﹣2）（b ﹣2）＝1 C ．a +b ＜7D ．ab ＞9（多选）10．（5分）已知函数f(x)=x 21−x，则（ ） A ．f （x ）有极大值﹣4B ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增C ．f （x ）的图象关于点（1，﹣2）中心对称D ．对∀x 1，x 2∈（1，+∞），都有f(x 1+x 22)≥f(x 1)+f(x 2)2（多选）11．（5分）对于函数f （x ），若在其定义域内存在x 0使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数f （x ）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（ ）A ．f(x)=2x 2+14B ．f （x ）＝e x ﹣3xC ．f （x ）＝e x ﹣1﹣2lnxD ．f(x)=lnx −2x（多选）12．（5分）关于曲线f （x ）＝lnx 和g(x)=ax(a ≠0)的公切线，下列说法正确的有（ ）A ．无论a 取何值，两曲线都有公切线B ．若两曲线恰有两条公切线，则a =−1eC ．若a ＜﹣1，则两曲线只有一条公切线D ．若−1e 2＜a ＜0，则两曲线有三条公切线 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f （x ）＝ ． ①f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）；②f （x ）为增函数．14．（5分）若函数f （x ）＝x 2﹣x +alnx 在（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 ． 15．（5分）已知函数f(x)={e x +a ，x ≤0ln(x +3a)，x ＞0，若方程f （x ）＝1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．16．（5分）若f （x ）是区间[a ，b ]上的单调函数，满足f （a ）＜0，f （b ）＞0，且f ″（x ）＞0（f ″（x ）为函数f ′（x ）的导数），则可用牛顿切线法求f （x ）＝0在区间[a ，b ]上的根ξ的近似值：取初始值x 0＝b ，依次求出y ＝f （x ）图象在点（x k ﹣1，f （x k ﹣1））处的切线与x 轴交点的横坐标x k （k ＝1，2，3，…），当x k 与ξ的误差估计值|f(x k )|m（m 为|f ′（x ）|（x ∈[a ，b ]）的最小值）在要求范围内时，可将相应的x k 作为ξ的近似值．用上述方法求方程x 3+2x ﹣1＝0在区间[0，34]上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k 的最小值为 ，相应的x k 值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣3＜x ＜2a +1}，B ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}． （1）当a ＝1时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2+2x ，f ′（x ）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a ，b 的值；（2）若g （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，g （x ）＝f （x ），求不等式g （2x ﹣3）+g （x ）＞0的解集．19．（12分）若函数f （x ）＝ae x +bx ﹣1在x ＝0处取得极小值0． （1）求f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若不等式f （x ）+f （2x ）≥3x +m 恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣lnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：当0＜a ＜1时，∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）＜3a ﹣a 2﹣ln 2．21．（12分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x （万元）和年增加利润y （万元）近似满足如下关系y ={90+2x −3√x 2+900，x ∈[0，40]90x −x 2−1980，x ∈(40，100]．（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？ （2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=xlnx +12x 2−x ．（1）求函数f （x ）的零点个数；（2）若g （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣af （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若函数f（x）＝sin x cos x，则f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x【解答】解：f（x）＝sin x cos x，则f'（x）＝（sin x）'cos x+sin x（cos x）'＝cos2x﹣sin2x＝cos2x．故选：C．2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x≤0}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|0≤x＜1}【解答】解：根据韦恩图，阴影部分表达的是集合A中不属于集合B的元素组成的集合，又A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，故阴影部分表示的集合为{x|﹣3＜x＜0}．故选：A．3．（5分）若p：实数a使得“∃x0∈R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[1，+∞），x2﹣a＞0”为真命题，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于p：∃x0∈R，x02+2x0+a=0，所以Δ＝4﹣4a≥0，即a≤1．对于q：∀x∈[1，+∞），x2﹣a＞0，因为函数y＝x2﹣a在[1，+∞）上单调递增，所以当x＝1时，（x2﹣a）min＝1﹣a，则1﹣a＞0，即a＜1．所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e−0.5+kx1+e−0.5+kx．已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为60%，则贷款小微企业的年收入约为（）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．14万元B．16万元C．18万元D．20万元【解答】解：由题意可知P(10)=e−0.5+10k1+e−0.5+10k=50%=12，∴e﹣0.5+10k＝1，得k＝0.05，∴P(x)=e−0.5+0.05x1+e−0.5+0.05x．令P(x)=e−0.5+0.05x1+e−0.5+0.05x=60%=35，得5e﹣0.5+0.05x＝3（1+e﹣0.5+0.05x），得e−0.5+0.05x=3 2，取对数得−0.5+0.05x=ln 3 2得x=ln3−ln2+0.50.05≈18．故选：C．5．（5分）函数f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由{|x −1|＞0|x +1|＞0，得x ≠±1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），关于原点对称， 又f （﹣x ）＝ln |﹣x ﹣1|﹣ln |﹣x +1|＝ln |x +1|﹣ln |x ﹣1|＝﹣f （x ）， 所以函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD 选项； 当x =12时，函数f(x)=ln 12−ln 32=ln 13＜ln1=0，当x =−12时，函数f(x)=ln 32−ln 12=ln3＞ln1=0，故排除B 选项．故选：A ．6．（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)={4−2x+2，x ≥0g(x)，x ＜0，则f(g(log 245))的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4【解答】解：由于log 245＜0，所以g(log 245)=f(log 245)，由于f （x ）为奇函数，所以f(log 245)=−f(−log 245)=−f(log 254)，f(log 254)=4−2log 254+2=4−4×2log 254=4−4×54=−1， 所以g(log 245)=f(log 245)=−f(log 254)=1，f(g(log 245))=f(1)=4−23=−4，故选：C ．7．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），y ＝f （x +1）是偶函数，若f （x ）在（0，1）上单调递增，a ＝f （ln 2），b =f(−√e)，c =f(52)，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a【解答】解：因为在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，则b =f(−√e)=f(2−√e)，c =f(52)=f(12)，又因为2−√e −12=32−√e =√94−√e =√2.25−√e ＜0， 1＞ln 2＞ln √e =12，所以0＜2−√e ＜12＜ln2＜1，又因为f（x）在（0，1）上单调递增，于是f(2−√e)＜f(12)＜f(ln2)，所以b＜c＜a．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）e x，若函数F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．(−1e2，0)B．(−1e2，1)C．(1−1e2，1)D．(1−1e2，1)∪(1，+∞)【解答】解：函数f（x）＝（x+1）e x的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+2）e x，当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，f(x)min=f(−2)=−1e2，且x＜﹣1，恒有f（x）＜0，由F（x）＝0，得[f（x）﹣1][f（x）﹣m+1]＝0，即f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由f（x）＝1，得x＝0，于是函数F（x）有3个不同零点，当且仅当方程f（x）＝m﹣1有2个不同的解，即直线y＝m﹣1与y ＝f（x）图象有2个公共点，在同一坐标系内作出直线y＝m﹣1与y＝f（x）的图象，如图，观察图象知，当−1e2＜m−1＜0，即1−1e2＜m＜1时，直线y＝m﹣1与y＝f（x）的图象有2个公共点，所以实数m的取值范围为(1−1e2，1)．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知a＝log212，b＝log318，则（）A．a＜b B．（a﹣2）（b﹣2）＝1C．a+b＜7D．ab＞9【解答】解：对于A，因为a＝log212＞log28＝3，b＝log318＜log327＝3，所以a＞b，故A错误；对于B，因为a＝log212＝log23+log24＝log23+2，即a﹣2＝log23，b＝log318＝log32+log39＝log32+2，即b﹣2＝log32，所以（a﹣2）（b﹣2）＝log23×log32＝1，故B正确；对于C，因为a＝log212＜log216＝4，由A选项知，b＜3，所以a+b＜7，故C正确；对于D，由B选项知，a＝log23+2，b＝log32+2，因为log23≠log32，且log23＞log21＝0，log32＞log31＝0，所以ab=(log23+2)(log32+2)=5+2(log23+log32)＞5+4√log23×log32=9，即ab＞9，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=x21−x，则（）A．f（x）有极大值﹣4B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增C．f（x）的图象关于点（1，﹣2）中心对称D．对∀x1，x2∈（1，+∞），都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2【解答】解：对于A：f（x）=x21−x的定义域为{x|x≠1}，f′（x）=2x⋅(1−x)−(−1)⋅x2(1−x)2=−x2+2x(1−x)2，令f′（x）＝0得x＝0或2，所以在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝2时，f（x）极大值＝f（2）＝﹣4，故A正确；对于B：由上可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故B错误；对于C：f（1﹣x）+f（1+x）=(1−x)21−(1−x)+(1+x)21−(1+x)=1−2x+x2x−1+2x+x2x=−4xx=−4，所以f（x）关于点（1，﹣2）对称，故C正确；对于D：由（1）知f′（x）=−x2+2x (1−x)2，所以f″（x）=(−2x+2)(1−x)2−2(1−x)⋅(−1)⋅(−x2+2x)(1−x)4=−2x+2(1−x)4，当x＞1时，f″（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上向下凸，所以对∀x1，x2∈（1，+∞），都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，故D正确，故选：ACD．（多选）11．（5分）对于函数f（x），若在其定义域内存在x0使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）A．f(x)=2x2+14B．f（x）＝e x﹣3xC．f（x）＝e x﹣1﹣2lnx D．f(x)=lnx−2 x【解答】解：A：f（x）定义域为R，f(x)=2x2+14=x，则2x2−x+14=0，由于Δ=1−4×2×14＜0，故方程无实数根，故A错误，B：f（x）定义域为R，f（x）＝e x﹣3x＝x，记g（x）＝e x﹣4x，则g（x）的图象是连续不断的曲线，g （0）＝1＞0，g（1）＝e﹣4＜0，根据零点存在性定理可知g（x）在（0，1）存在零点，故B正确，C：f（x）定义域为（0，+∞），f（x）＝e x﹣1﹣2lnx＝x，由于f（1）＝e0﹣0＝1，所以x＝1是f（x）的一个不动点，故C正确，D：f（x）的定义域为（0，+∞），f(x)=lnx−2x=x，令F(x)=lnx−2x−x，则F′(x)=1x+2x2−1=−x2+x+2x2=−(x−2)(x+1)x2，故当x＞2时，f′（x）＜0，F（x）单调递减，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，F（x）单调递增，故当x ＝2时，F（x）取极大值也是最大值，故F（x）≤F（2）＝ln2﹣3＜0，故f(x)=lnx−2x=x在（0，+∞）无实数根，故D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）关于曲线f（x）＝lnx和g(x)=ax(a≠0)的公切线，下列说法正确的有（）A．无论a取何值，两曲线都有公切线B．若两曲线恰有两条公切线，则a=−1 eC．若a＜﹣1，则两曲线只有一条公切线D．若−1e2＜a＜0，则两曲线有三条公切线【解答】解：不妨设曲线f（x）＝lnx和g(x)=ax(a≠0)的公切线分别与两曲线相切于（m，lnm）（m＞0），(n，an)(n≠0)，因为f′(x)=1x，g′(x)=−ax2，所以f′(m)=1m，g′(n)=−an2，此时公切线的方程为y−lnm=1m(x−m)，即y=1mx+lnm−1，也可以为y−an=−an2(x−n)，即y=−an2x+2an，所以{1m=−an2lnm−1=2an，整理得ln(−n2a)−1=2an，所以lnn2−2an−ln(−a)−1=0(a＜0)，当a＞0时，﹣a＜0，此时上述式子无意义，则两曲线没有公切线，故选项A错误；不妨设F(n)=lnn2−2an−ln(−a)−1(n＞0)，此时F(n)=2lnn−2an−ln(−a)−1(n＞0)，可得F′(n)=2n+2an2=2(n+a)n2，当0＜n＜﹣a时，F′（n）＜0；当n＞﹣a时，F′（n）＞0，所以函数F（n）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，则F（n）min＝F（﹣a）＝2ln（﹣a）+2﹣ln（﹣a）﹣1＝ln（﹣a）+1，当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＜0，即−1e＜a＜0时，F（n）＝0有两解，此时方程lnn2−2an−ln(−a)−1=0在n＞0时有两解，当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝0，即a=−1e时，F（n）＝0只有一解，此时方程lnn2−2an−ln(−a)−1=0在n＞0时只有一解，当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＞0，即a＜−1e时，F（n）＝0无解，此时方程lnn2−2an−ln(−a)−1=0在n＞0时无解，不妨设F(n)=lnn2−2an−ln(−a)−1(n＜0)，此时F(n)=2ln(−n)−2an−ln(−a)−1(n＜0)，得到F′(n)=2n+2an2=2(n+a)n2＜0，所以函数F（n）在（﹣∞，0）上单调递减，当n→﹣∞时，2ln（﹣n）→+∞，−2an→0，所以F（n）→+∞，当n→0时，2ln（﹣n）→﹣∞，−2an→−∞，所以F（n）→﹣∞，易知函数F（n）在（﹣∞，0）上一定存在n0使得F（n0）＝0，即方程lnn2−2an−ln(−a)−1=0在n＜0时只有一解，综上所述，当a=−1e时，有两条公切线，故选项B正确；当a＜−1e时，有一条公切线，又−1＜−1 e ，所以当a＜﹣1时，只有一条公切线，故选项C正确；当−1e＜a＜0时，有三条公切线，因为−1e＜−1e2，所以当−1e2＜a＜0时，有三条公切线，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f （x ）＝ log 2x ． ①f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）；②f （x ）为增函数．【解答】解：取f （x ）＝log 2x ，该函数的定义域为（0，+∞），对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1x 2）＝log 2（x 1x 2）＝log 2x 1+log 2x 2＝f （x 1）+f （x 2）， 即f （x ）＝log 2x 满足①；又因为函数f （x ）＝log 2x 为定义域（0，+∞）上的增函数，即f （x ）＝log 2x 满足②． 故函数f （x ）＝log 2x 满足条件．故答案为：log 2x （形如f （x ）＝log a x （a ＞1）都可以，答案不唯一）．14．（5分）若函数f （x ）＝x 2﹣x +alnx 在（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 [﹣1，+∞） ． 【解答】解：因为f （x ）＝x 2﹣x +alnx ，x ＞1， 所以f ′(x)=2x −1+a x =2x 2−x+a x，又函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以f ′(x)=2x 2−x+ax≥0在x ∈（1，+∞）上恒成立， 即a ≥﹣2x 2+x 在x ∈（1，+∞）上恒成立， 令g （x ）＝﹣2x 2+x ，对称轴为直线x =14，所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递减， 所以g （x ）＜g （1）＝﹣1， 所以a ≥﹣1，即实数a 的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．15．（5分）已知函数f(x)={e x +a ，x ≤0ln(x +3a)，x ＞0，若方程f （x ）＝1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 [0，e3) ．【解答】解：当x ≤0时，0＜e x ≤1，则a ＜f （x ）≤1+a ， 若a ＞0，当x ＞0时，f （x ）＝ln （x +3a ）＞ln 3a ， 因为方程f （x ）＝1有两个不相等的实数根，如图，所以{a ＞0a ＜1≤1+a ln3a ＜1，即0＜a ＜e3．若a ≤0，当x ＞0时，f （x ）＝ln （x +3a ），此时方程f （x ）＝1有1个解，如图，当x ≤0时，方程f （x ）＝1有1个解需满足{a ≤0a ＜1≤1+a，即a ＝0．综上所述，实数a 的取值范围为[0，e 3)．故答案为：[0，e3)．16．（5分）若f （x ）是区间[a ，b ]上的单调函数，满足f （a ）＜0，f （b ）＞0，且f ″（x ）＞0（f ″（x ）为函数f ′（x ）的导数），则可用牛顿切线法求f （x ）＝0在区间[a ，b ]上的根ξ的近似值：取初始值x 0＝b ，依次求出y ＝f （x ）图象在点（x k ﹣1，f （x k ﹣1））处的切线与x 轴交点的横坐标x k （k ＝1，2，3，…），当x k 与ξ的误差估计值|f(x k )|m（m 为|f ′（x ）|（x ∈[a ，b ]）的最小值）在要求范围内时，可将相应的x k 作为ξ的近似值．用上述方法求方程x 3+2x ﹣1＝0在区间[0，34]上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k 的最小值为 2 ，相应的x k 值为 511．【解答】解：设f （x ）＝x 3+2x ﹣1， 则f ′（x ）＝3x 2+2，f ″（x ）＝6x ， 当x ∈(0，34)，f″(x)=6x ＞0，故可用牛顿切线法求f （x ）＝0在区间[a ，b ]上的根ξ的近似值．由于|f ′（x ）|＝3x 2+2在x ∈[0，34]单调递增，所以|f ′（x ）|≥2，所以|f ′（x ）|的最小值为2，即m ＝2， y ＝f （x ）图象在点（x k ﹣1，f （x k ﹣1））处的切线方程为：y =(3x k−12+2)(x −x k−1)+x k−13+2x k−1−1， 化简得y =(3x k−12+2)x −(2k k−13+1)，令y ＝0，则x k =2x k−13+13x k−12+2，由于x 0=b =34，所以x 1=2x 03+13x 02+2=2×(34)3+13×(34)2+2=12，x 2=2x 13+13x 12+2=2×(12)3+13(12)2+2=511， 所以f(x 1)=f(12)=(12)3+2×12−1=18，|f(x 1)|2=116＞1100，f(x 2)=f(511)=(511)3+2×(511)−1=(511)3−111=4113，|f(x 2)|2=2113＜2103＜1100，故x 2作为ξ的近似值， 故答案为：2；511．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣3＜x ＜2a +1}，B ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}． （1）当a ＝1时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当a ＝1时，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}， 而B ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}＝{x |﹣5≤x ≤2}， 所以A ∩B ＝{x |﹣2＜x ≤2}． （2）因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，当A ＝∅时，a ﹣3≥2a +1，即a ≤﹣4，此时满足A ⊆B ； 当A ≠∅时，要使A ⊆B 成立，则需满足{a −3＜2a +1a −3≥−52a +1≤2，解得−2≤a ≤12．综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤﹣4或−2≤a≤12 }．18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+2x，f′（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，g（x）＝f（x），求不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax3+bx2+2x，所以f′（x）＝3ax2+2bx+2，又f′（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），所以1和2是方程3ax2+2bx+2＝0的两个根，且a＞0，所以{1+2=−2b3a 1×2=23a，解得a=13，b=−32．（2）由（1）知，f(x)=13x3−32x2+2x，由题意，当x≤0时，g(x)=f(x)=13x3−32x2+2x，则g′（x）＝x2﹣3x+2＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又g（x）是定义在R上的奇函数，g（0）＝0，所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数g（x）在R上单调递增．由g（2x﹣3）+g（x）＞0，得g（2x﹣3）＞﹣g（x）＝g（﹣x），所以2x﹣3＞﹣x，即x＞1，所以不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集为（1，+∞）．19．（12分）若函数f（x）＝ae x+bx﹣1在x＝0处取得极小值0．（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝ae x+bx﹣1，则f′（x）＝ae x+b，因为函数f（x）在x＝0处取得极小值0，则{f(0)=a−1=0 f′(0)=a+b=0，解得{a=1b=−1，此时f（x）＝e x﹣x﹣1，则f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＜0可得x＜0，由f′（x）＞0可得x＞0，所以函数f（x）的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），所以函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝0，合乎题意，则f（1）＝e﹣2，f′（1）＝e﹣1，因此f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x﹣1．（2）由f（x）+f（2x）≥3x+m可得m≤f（x）+f（2x）﹣3x，设g（x）＝f（x）+f（2x）﹣3x＝e x+e2x﹣6x﹣2，则m≤g（x）min，因为g′（x）＝2e2x+e x﹣6＝（e x+2）（2e x﹣3），由g′（x）＜0可得x＜ln 32，由g′（x）＞0可得x＞ln32，所以，函数f（x）的减区间为(−∞，ln 32)，增区间为(ln32，+∞)，所以g(x)min=g(ln 32)=32+94−6ln32−2=74−6ln32，故实数m的取值范围为(−∞，74−6ln32)．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax﹣lnx（x＞0），则f′(x)=a−1x−=ax−1x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，当x∈(0，1a)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递减，在(1a，+∞)上单调递增．（2）证明：由（1）可知，当0＜a＜1时，f（x）在x=1a处取得最小值1+lna，若∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）＜3a ﹣a 2﹣ln 2，只需1+lna ＜3a ﹣a 2﹣ln 2，即a 2﹣3a +1+lna +ln 2＜0恒成立即可， 令g （a ）＝a 2﹣3a +1+lna +ln 2（0＜a ＜1），则g ′(a)=2a −3+1a =(2a−1)(a−1)a， 当a ∈(0，12)时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增，当a ∈(12，1)时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减，故当a =12时，g(a)max =g(12)=14−32+1+ln 12+ln2=−14＜0，所以∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）＜3a ﹣a 2﹣ln 2．21．（12分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x （万元）和年增加利润y （万元）近似满足如下关系y ={90+2x −3√x 2+900，x ∈[0，40]90x −x 2−1980，x ∈(40，100]．（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？ （2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由． 【解答】解：（1）当x ∈[0，40]时，y =90+2x −3√x 2+900，则y ′=2−3×12×2x √x +900=2−3x √x +900，令y ′＝0，则23x√x +900=0，化简得x 2＝720，解得x =12√5或x =−12√5（舍去），当x ∈[0，12√5]时，y ′＞0，则y =90+2x −3√x 2+900在[0，12√5]上递增， 当x ∈[12√5，40]时，y ′＜0，则y =90+2x −3√x 2+900在[12√5，40]上递减，所以当x =12√5时，y =90+2x −3√x 2+900取得最大值90+24√5−3√720+900=90−30√5， 因为90−30√5＜30，所以目标不能实现；（2）由（1）可知，当x ∈[0，40]时，公司年增加最大利润为90−30√5万元， 当x ∈（40，100]时，y ＝90x ﹣x 2﹣1980＝﹣（x ﹣45）2+45， 所以当x ＝45时，y ＝90x ﹣x 2﹣1980取得最大值45， 因为90−30√5＜45，所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元． 22．（12分）已知函数f(x)=xlnx +12x 2−x ．（1）求函数f （x ）的零点个数；（2）若g （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣af （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=xlnx +12x 2−x 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝lnx +x ，显然f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′(1e)=ln1e+1e=−1+1e＜0，f′（1）＝ln1+1＝1＞0，所以存在x0∈(1e，1)，使得f′（x0）＝0，即lnx0+x0＝0，当0＜x＜x0时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，x0）上单调递减，当x＞x0时f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，且f(x0)=x0lnx0+12x02−x0=−12x02−x0＜0，且x→0时f（x）＜0且f（x）→0，f（2）＝2ln2＞0，f(1)=−12＜0所以f（x）在（1，2）上有唯一的零点．（2）因为g(x)=(x−1)e x−af(x)=(x−1)e x−a(xlnx+12x2−x)，定义域为（0，+∞），则g′（x）＝xe x﹣a（lnx+x）＝xe x﹣aln（xe x），因为g（x）＝（x﹣1）e x﹣af（x）有两个极值点，所以g′（x）有两个变号零点，令t＝xe x＞0，m（x）＝xe x，x∈（0，+∞），则m′（x）＝（x+1）e x＞0，所以m（x）＝xe x在（0，+∞）上单调递增，要使以g′（x）有两个变号零点，只需h（t）＝t﹣alnt，t∈（0，+∞）有两个变号零点，ℎ′(t)=1−at =t−at，当a≤0时h′（t）＞0在（0，+∞）上恒成立，h（t）单调递增，不满足题意，当a＞0时，当0＜t＜a，h′（t）＜0，即h（t）单调递减，当t＞a，h′（t）＞0，即h（t）单调递增，所以h（t）在t＝a处取得极小值即最小值，h（t）min＝h（a）＝a﹣alna，要使h（t）有两个变号零点，则h（t）min＝h（a）＝a﹣alna＜0，即lna＞1，解得a＞e，此时h（1）＝1＞0，h（e a）＝e a﹣a2＞0，所以h（t）在（1，a）和（a，e a）上各有一个变号零点，满足题意，综上所述，实数a的取值范围为（e，+∞）．。