2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案

高中联赛模拟试题 2一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）sin21.已知3 ，且，nn , k，则tan．sin22tan2. 在等差数列a n中，若a 11 a101 ，且前 n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n．3. 若 a + bc1a ,b , c， 4 a 14 b14 c 1 m ，则 m 的最大值为 ．4. 已知 ABC 满足 AC BC 1 ， AB 2xx 0．则 ABC 的内切圆半径 r 的最大值为．5.在正方体 A BCDA 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 B G 与 A D 所成角的余弦值为___ ___．6.函数 f x 在 上有定义，且满足 f x 为偶函数， f x 1为奇函数．则 f22019．7.将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为5 的倍数的概率为．8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 z 1iz 2i 1 ．若 z 1，则 z 2 的取值范围是．二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）x 2 y 29. 设 P 为双曲线 1 上的任意一点，过点 P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于 A ,Ba 2b 2两点．求□ABCD 的面积．10. 求方程 x 5x 3 x 2 1 y 2 的整数解的个数．11. 对于 n6 ，已知 11n1．求出满足 3n4n n 2nn 3n的所有正整数n ．n 32高中联赛模拟试题 2加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）设 ABC 为等腰三角形， ABAC , D 为边 AB 上一点．设 BCD 的外接圆 在点 D 处的切线与AC 交 于点 E ， F 为过点 E 作圆 的另外一条切线的切点．设 B F 与 C D 交于点 G ， AG 与 B C 交于点H ． 证明： BH2HC ．A二、（本题满分 40 分）约定： n 维向量 xx 1 , x 2 ,, x nx i0,i 1, 2, , n 的 p 范数记为：xx 1x2x npp p pppB现有两个向量 Aa ,b ,c ,B d , e ．若：A B AB ．证明： AB ．22 4433三、（本题满分 50 分）设整数n4，a, a2 , , a n 为区间0,2n内两两不同的整数．证明：集合A a1 ,a2 ,,a n存在所有元素之和能被2n 整除的子集．四、（本题满分 50 分）设有17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合a, b, c，其中a队击败b队，b队击败c队，c队击败a队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少个这样的循环三元集？高中联赛模拟试题 2解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1.2．sin21解析：tansincossin2sinsin 2 ．tancossinsin2sinsin21sin2.19．解析：由 S n 有最大值可知 a 1 0,d0 ，由a 11 a 101 ，则 a 10a 11 0, a11a 10 ，20a 1 a20S1aa0, S19a 1 a1919a0 ，202101119210再由 S 19S 1 a 2 a 3 a 199a 10a 110 ，知 S n 取最小正值时， n 19 ．55213. 2 ．解析：a 1b1 1a b a 1b 1 2 1 a b2ab 2 1a b22a111 a b11 1．反复利用上式，得：114c 1 14 a b14c1 1 125 ；另一方面，当 a1,b0, c0 22 为最大的下界．4.112解析：转化为求函数 f xx1 x在 0,1内的最大值．+ x5.6122解析：BGCG1BC 6 BC cosGBCBC 6．又AD//BC，则BG 与AD所成角的余弦值为62 2BG 6． 6. 0．解析：由已知得 fx关于 x 轴及点1, 0对称．从而 4 为 f x 的一个周期，且 f10 ．故f2019 f10 ．7.43 216解析：和为 5 的形如 3、1、1 与 2、2、1，共 6 种．和为 10 的形如 6、3、1 的有 6 种，形如 6、2、2 的有 3 种，形如 5、4、1 的有 6 种，形如 5、 3、2 的有 6 种，形如 4、3、3 的有 3 种，形如 4、4、2 的有 3 种．合计 27 种．和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10 种．8.22．解析：设 z2x yix , y．则z 1zz 2izi1y xixy 1ix 2y222 ．由z 2 的几何 意义，知其范围为22, 22 ．21 1⎪ 22⎪1x -x -1 ⎪⎭二、解答题（第 9 小题16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分） 9.双曲线的两条渐近线方程分别为 yb x , ybx ．aa设 Ax , bax , B x , bax, P x , y．b由 OAPB 知， xx 1 x 2 , yaa2x 1x 2．代入双曲方程化简得 x 1 x 2．4于是， OAPB 的面积为 xb a2b x 1 x 2ax 1 x 21ab ．210. 原方程可化为 x 31x 2 1y 2 x1 2x1x 2 x 1y 2 ．------------------------------（1） 当 x 0 时， y 21 y1 ；当 x1 时， y0 ．设 x , y 为方程的整数解，且 x1, 0 ．由（1）式， x12| y2x1| yx1x 2x 1y．又因为 y 为整数，则x12ba2x1x2 x1为完全平方数．而x2 x1x x11x1,x2 x11，n n45 n + 3⎩⎪ x 1, x 2 x 1均为完全平方数 x 1 0x0, 1x 2 x 2 x 2 x 1 x12，显然，x 2 x 1不为完全平方数．综上，原方程只能有 4 组解：x ,y0,1,0, 1,1, 0,1, 0．11. 当 n6 时，由1 11n21n 3nn +2nn 2n．n3 2 n32nnn而34n 2 1，故：24n 3n 3n , 5n4n4n,n 3nn 2nn 2n.累加后 3n 4nn 2nn 3n3n n3n，此时无解． 直接检验 n 1, 2, 3, 4, 5 ，知当 n 2, 3 时等式成立．,．a4 4444一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分在 ABG , ACG 中，由正弦定理得BG AGCGAGsin BAH sinABFsinCAHsin ACD故BH sinBAH BG sinABF BGsinFCDsin DCBsinFCDFDCI．CH sin CAH CG sin ACD CGsinDBIsin CBFsin DBIDI CF设 AC 与圆的另一个交点为 I ．则四边形 C FID 为调和四边形． 于是，FI CD CF ID ． 由托勒密定理得 F DCIFICDCF ID2IDCF ． 从而， B H2HC ．二、（本题满分 40 分）等价于证明：设 a , b , c , d , e 为非负数，且满足a 2b 2c 2d 2e 2 b c de ，证明： a 3 b 3c 3d 3e 3 ．----------------------------------------------------------------------------------------（1） 注意到 2a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2a 2b 2c 22a 4b 4c 4d 2e 22⎣⎦d 4 e42d 2e 2 ． 则 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 d 2e 2 ．又 a 6b 6c 6 3a 2b 2c2 a 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 a 2b 2 b 2c 2 a 2c2d 2e 2 d 4e 4d 2e2d 6e 6（1）式两边平方得 a 6b 6c 6 2a 3b 3 b 3c 3 c 3a3d 6e 6 2d 3e 332a 3b 3 b 3c 3 c 3a33a 2b 2c 2 2d 3e 3 2a 3b 3 b 3c 3 c 3a33a 2b 2c 2 2a 2b 2 b 2c2c 2a 22---（2）3设 x ab , y bc , z ca ．则（2） 2x 3 y 3 z33xyz 2x 2 y 2 z 22．由柯西不等式，知2 x3y3z 32+ 3xyzx2x2yz+ y 2 y2zx2+ z 2z2xyx 2 y 2 z22x 2 yz22 y 2 zx22z 2 xy2x 2 y 2 z 24x 4 y 4 z48y 2 z 2z 2 x 2 x 2 y24x 2 y2z 2 3． 从而，结论成立．三、（本题满分 50 分）若 na 1 , a 2 , , a n，则 2n 个整数 a 1 , a 2 ,, a n , 2n a 1 , 2n a 2 , , 2n a n0, 2n．由抽屉原理，知其中 必有两个数相等． 不妨设 a i2na j ．因为 n a1 , a2 , , a n ，所以 ij ． 故a i , a j满足题意，命题成立． 若 na 1 , a 2 , , a n ，不妨设 a n n ．考虑 n 1n13个整数 a 1 , a 2 , , a n 1 ，在其中任取三个数 a ia ja k ． 若 a ka j , a j a i 均能被 n 整除，则 a ka i2n ，与 ak0, 2n矛盾． 因此， a 1 , a 2 ,, a n1中至少存在两个数，其差不能被 n 整除．不妨设 a1 , a2 之差不能被 n 整除．考察 n 个数： a 1 , a 2 , a 1 a 2 , a 1 a 2 a3 ,, a 1 a 2a n 1 ．（1）若这 n 个数关于模 n 的余数互不相同，则其中必有一个数能被 n 整除．令这个数为 k n ． 当k 为偶数时，结论成立；当 k 为奇数时，加上 a n 即构成所需要的子集．（2）若这 n 个数中有两个数关于模 n 同余，则其差能被 n 整除．因为 a 1 , a 2 不同余，所以这两个数之差 必为原集合 A 中若干数之和．由此归结为（1）中讨论． 综上，命题得证．四、（本题满分 50 分）一个三元集a , b , c不是循环的 有一支球队赢了另外两队 有一支球队输给了另外两队．用 A 1 , A 2 ,, A 17 代表这 17 支球队 ． 假 设 球 队 A i 赢了 a i 支球队，但输给了 b i 支球队 ．显然，Ca = Cb = C a + 217∑ ∑． a i b i1 6i 1, 2 , , 1． 171711717于是，不循环的三元集的个数为2ii 12ii12i 1ii 1Cb．ia a 1bb11a b2对于每一个 i ， C 2C2iii iiiab 56 ．a ib i2 2 2 2 ii则不循环的三元集的个数至少为 117564762故循环三元集最多有 C 3476 204 个．当且仅当 a i b i8i 1, 2, ,17时，循环三元集的个数最多为 204．2。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

{(x ，y ) x + y 2≤3 ，x ∈ Z ，y ∈ Z ，则 A 中元素的个数为3．函数 f (x ) = 的图像大致为+ - + … + - ，设计了右侧的程序框图，2018 年全国二卷数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 1 + 2i=1 - 2i4 3A ． - - i5 54 3 B ． - + i5 53 4 C ． - - i 5 53 4D ． - + i5 52．已知集合 A =A ．92}B ．8C ．5D ．4e x - e - xx 24．已知向量 a ， b 满足 | a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则 a ⋅ (2a - b ) =A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为A ． y = ± 2 xB ． y = ± 3xC ． y = ± 22x D ． y = ± 3 2 x6．在 △ABC 中， cos C 5 =2 5， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB =A ． 4 27．为计算 S = 1 -B ． 30C ． 29D ． 2 51 1 1 1 1234 99 100开始则在空白框中应填入A ． i = i + 1B ． i = i + 2是 N = 0, T = 0i = 1i < 100否C ． i = i + 3D ． i = i + 4N = N +1 iS = N - TT = T +1 i + 1输出 S结束12B ． 6C ． 5D ． 4B ．12．已知 F ， F 是椭圆 C ： a 2 b 214．若 x, y 满足约束条件 ⎨ x - 2 y + 3 ≥ 0 ， 则 z = x + y 的最大值为__________．⎪ x - 5 ≤ 0 ，8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A ． 11 14 C ． 1 15 D ． 1 189．在长方体 ABCD - A B C D 中， AB = BC = 1 ， AA = 3 ，则异面直线 AD 与 DB 所成角1 1 1 1111的余弦值为A ．1 5 B ． 5 52210．若 f ( x ) = cos x - sin x 在 [-a, a] 是减函数，则 a 的最大值是A ． ππ 2 C ． 3π4 D ． π11 ．已知 f ( x ) 是定义域为 (-∞, +∞ ) 的奇函数，满足f (1- x) = f (1+ x) ．若 f (1)= 2，则f (1)+ f (2)+ f (3)+… + f (50)=A ． -50B ．0C ．2D ．501 2 x 2 y 2 += 1( a > b > 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上， △PF F 为等腰三角形， ∠F F P = 120︒ ，则 C 的离心率为1 2 1 2A ．23B ．12C ．1 3 D ． 14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．曲线 y = 2ln( x + 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．⎧ x + 2 y - 5 ≥ 0 ，⎪⎩15．已知 sin α + cos β = 1， cos α + sin β = 0 ，则 sin(α + β ) = __________．16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 所成角的余弦值为 7，SA 与圆锥底面所成角为 45°，8若 △SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共 70 分。

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一 ，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行 口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。

2018年全国高中数学联赛一试一、填空题1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为__________.2. 设点P 到平面α点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________.3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________.4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、， 椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为_________.5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上严格递增，且满足()1,(2)2f f ππ== ，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和 为__________.7. 设O 为ABC 的外心，若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________.8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=， 则这样的数列的个数为__________.二、解答题9.已知定义在R +上的函数()f x为3log 1,09()49x x f x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩ ，设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围10.已知实数列123,,,...a a a ，满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和，证明：（1）对任意正整数n ,有n a <2）对任意正整数n ,有11n n a a +<11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不用于点,,O A B ）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.。

2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.1.已知集合A={x,xy,x+y}，B={0,x,y}且A=B，则x2018+y2018=（解析：由A=B可知x=0或x=1，若x=0，则y=0，不符合题意，故x=1，代入A=B中得y=-1，故x2018+y2018=2）2.规定：对于任意实数x，当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，则4[x]-28[x]+45≤2的解集为[9/4,11/4)。

解析：当n≤x<n+1时，[x]=n，所以4[x]-28[x]+45=4n-28n+45=17-24n，要使得17-24n≤2成立，则n=1或n=0，代入解得[9/4,11/4)）3.在平面直角坐标系中，若与点A(2,2)的距离为1，且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有三条，则实数m的取值集合是{1,5}。

解析：由于与点A的距离为1，所以直线必须过点(2,2)的两个垂直平分线上，即x=2或y=2，又因为与点B的距离为3，所以直线必须与以点B为圆心，以3为半径的圆相交于两点，这两点分别在点B的左侧和右侧，故m=1或m=5）4.在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1.动点P在边CD 上，设∠PAB=α，∠PBA=β，则PA·PB·cos(α+β)的最大值为3/4.解析：由于PA+PB=4，所以PA·PB=4(2-PA-PB)，又因为cos(α+β)=sinα·sinβ+cosα·cosβ，所以PA·PB·cos(α+β)=4sinα·sinβ+4cosα·cosβ-4PA-4PB，将PA+PB=4代入，得PA·PB·cos(α+β)=3-4cosα·cosβ，由于-1≤cosα·cosβ≤1，所以PA·PB·cos(α+β)的最大值为3/4，当且仅当cosα·cosβ=-1时取到）5.已知x≥1，y≥1且lg2x+lg2y=lg10x2+lg10y2，则u=lgxy的最大值为1/2.解析：由已知得x·y=10，所以XXX(1/x)-XXX(1/y)，又因为XXX(1/x)+lg(1/y)=XXX[(1/x)(1/y)]=lg(1/xy)=lg0.1，所以u=lg10-lg0.1=1，又因为x≥1，y≥1，所以u≤1/2）6.若△A1A2A3的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是40π。

最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。

（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。

（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。

（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。

（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。

8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。

2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析一、填空题(每小题8分，共80分)1.若复数z 满足|z －1|+|z －3－2i|=22，则|z |的最小值为 . 【解析】答案：1.设z =x +y i ，则|z －1|+|z －3－2i|=22的几何意义为点P (x ，y )到点A (1，0)，B (3，2)的距离之和为22，因为|AB |=22，从而点P 在线段AB 上，从而：|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中，已知二面角A —SB —D 的正弦值为63，则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案：60°.A —SB —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角，设底面的中心为O ，取AD 的中点M ，连接SO 、SM 、OM ，过点O 作OE ⊥SM 于E ，易证OE ⊥平面SAD ，过点E 作EP ⊥SD 于点P ，连接OP ，从而：A —SD —B 的二面角为∠EPO .设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，于是：OM =a ，SO =4b 2－2a 2，OD =2a ， 所以：OE =a 4b 2－2a 24b 2－a 2，OP =2a ·4b 2－2a 22b ，所以：sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2－a 2=63，解得：a =b .于是：△SAD 为正三角形，从而：直线SA 与BC 所成的角为60°.OP MDEC SA3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案：{－1，0，1，2}.【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π4时，[sin2x ]=1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=2； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π2时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =3π4时，[sin2x ]=－1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=－1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=－1；此时f (x )=－1； 其他区间按此方法讨论.4.在△ABC 中，∠BAC =60°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，且有AD →=14AC →+tAB →，若AB =8，则AD = . 答案：6 3.【解析】易知t =34，从而：AC =24，AD 2=116×242+916×82+316×8×24=108，从而：AD =6 3.5.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢：前一场输者，则下一场先掷，若第一场甲先掷，则甲赢得第n 场的概率为 . 【解析】答案：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 设甲赢得第n 场的概率为P n ，则P n +1=23(1－P n )+13P n ，P 1=23，解得：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 6.若直线6x －5y －28=0交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0，且a ，b 为整数)于A 、C ，设B (0，b )为椭圆的上顶点，而△ABC 的重心为椭圆的右焦点F 2，则椭圆的方程为 . 【解析】设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，依题意知：⎩⎨⎧x 1+x 2=3c ，y 1+y 2+b =0，联立椭圆方程和直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1，6x －5y －28=0，得：⎩⎨⎧x 1+x 2=336a 236a 2+25b 2=3c ①，y 1+y 2=－280b 236a 2+25b 2=－b ②，①÷②可得：2a 25b 2=c b， 即：2a 2=5bc ，两边平方，并有c 2=a 2－b 2可得：4a 4－25a 2b 2+25b 4=0，解得：a 2=5b 2或者a 2=54b 2，7.设a 、b ∈R ，则max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}的最小值为 . 【解析】答案：12.max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}=max{|a |+|b |，|1－b |}≥|a |+|b |+|1－b |2≥|a |+12≥12. 当且仅当a =0，b =12时等号成立.8.已知a 、b ∈Z ，且a +b 是方程x 2+ax +b =0的一个根，则b 的最大可能值为 . 【解析】答案：9.将a +b 代入方程可得：(a +b )2+a (a +b )+b =0，整理可得：b 2+(3a +1)b +2a 2=0，显然a 、b 中至少有一个为负数，欲求b 的最大值，则a <0，b >0. 视b 为主元，解得：b =－(3a +1)－(3a +1)2－8a 22=－(3a +1)－a 2+6a +12，其中：a ≥22－3或者a ≤－(22+3)，因为b ∈Z ，从而：a 2+6a +1=m 2，m ∈Z ， 即：a 2+6a +1－m 2=0有整数解.=36－4(1－m 2)=4(m 2+8)为完全平方数，令m 2+8=n 2，其中：n ∈Z ，所以：(n +m )(n －m )=8=2×4=(－2)×(－4)，解得：⎩⎨⎧n =±3，m =±1，a =0或－6，b =－1或9，于是b max = 9，此时a =－6.9.设集合A 、B 满足A ∪B ={1，2，…，10}，若A ∩B = ，若集合A 的元素个数不是集合A 的元素，集合B 元素个数不是集合B 的元素，则满足条件的所有集合A 的个数为 . 【解析】令|A |=k ，则|B |=10－k ，k ≠5，否则5∈A ∩B ，从而由题意可知：k ∈B ，10－k ∈A ，此时A 中剩余的k －1个元素有C k －18种选择，且剩余的9－k 个元素必定属于集合B .于是，满足题意的集合A 的个数为m =∑k =19C k －18－C 5－18=28－70=256－70=186个.10.设f (n )为最接近4n 的整数，则∑k =120181f (k )= . 【解析】答案：28867.用[n ]表示与4n 最接近的整数，则：当n ∈[1，8]时，[n ]=1，f (n )=1，其中n =1，2，…，8；故∑k =181f (k )=8， 当n ∈[9，48]时，[n ]=2，f (n )=2，其中n =9，10，…，48，故∑k =9481f (k )=20；当n ∈[49，168]时，[n ]=3，f (n )=3，其中：n =49，50，…，168，故∑k =491681f (k )=40； 当n ∈[169，440]时，[n ]=4，f (n )=4，其中n =169，170，…，440，故∑k =1694401f (k )=68； 当n ∈[441，960]时，[n ]=5，f (n )=5，其中：n =441，…，960，故∑k =4419601f (k )=104； 当n ∈[961，1848]时，[n ]=6，f (n )=6，其中n =961，…，1848，故∑k =96118481f (k )=148. 当n ∈[1849，2018]时，[n ]=7，其中n =1849，…，2018，故∑k =184920181f (k )=1707， 综上：∑k =120181f (k )=8+20+40+68+104+148+1707=28867. 事实上，当k ≤4n ≤k +1时，若n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]时，[n ]=k ，当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1. 因为当n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]，则n 4－k 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<(k +1)4－n 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 而当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，(k +1)4－n 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<n 4－k 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 于是：当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1； 当n 4∈[(k +1)4，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，即当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，此时共有(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)－(k 4+2k 3+3k 2+2k )=4k 3+12k 2+16k +8=4(k +1)(k 2+2k +2)个数，于是：∑k 4－2k 3+3k 2－2k +1k 4+2k 3+3k +2+2k1f (k )=4(k 2+1)， 所以：∑k =120181f (k )=∑k =164(k 2+1)+∑i =184920181f (i )=388+1707=28867. 二、解答题(本大题共4小题，共70分)11.已知圆O ：x 2+y 2=4与曲线C ：y =3|x －t |，A (m ，n )，B (s ，p )(m ，n ，s ，p ∈N*)为曲线C 上的两点，使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值.【解析】答案：t =43.取圆上的点C (2，0)，D (－2，0)，E (0，2)，F (0，－2)，依题意有：⎩⎨⎧(2－m )2+n 2(2－s )2+p 2=(2+m )2+n 2(2+s )2+p 2=ms，m 2+(2－n )2s 2+(p －2)2=m 2+(2+n )2s 2+(2+p )2=np，于是：OA →=tOB →，所以，点A 、B 、O 三点共线.由阿波罗尼斯圆的性质：OA ·OB =R 2=4，且OA =Rλ，OB =Rλ，其中λ>1，则OA <OB ，所以：OA <2；因为：m 2+n 2=OA 2=4λ2，又m 、n ∈N*，从而：OA 2=4λ2∈N*，(1)若OA 2=4λ2=1，则λ=2，此时：m 2+n 2=1，必有mn =0，因为m 、n ∈N*，不符合题意；(2)若OA 2=4λ2=2，则λ=2，此时：m 2+n 2=2，得：m =n =1，s =p =2，直线AB 的方程为y=x ，则点A (1，1)，B (2，2)在曲线C 上，代入解得：t =43.(3)若OA 2=4λ2=3，此时：m 2+n 2=3，无正整数解，不合题意.综上：t =43.12.已知数列{a n }满足：a 1=π3，0<a n <π3，sin a n +1≤13sin3a n (n ≥2)， 求证：sin a n <1n. 证明：由于0<a n <π3，于是：sin a n ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 当n =1时，有sin a 1=12<1；当n =2时，sin a 2∈⎝⎛⎭⎫0，12<12成立； 设当n =k 时，有sin a k <1k， 则当n =k +1时，sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )，令f (x )=3x －4x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则f ′(x )=3－12x 2>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递增， 于是：sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )≤1k －43k k，所以只需证明：1k －43k k <1k +1(k ≥2) 即可. 即证明：3k －43k<k k +1， 平分后整理可得：15k 2+8k －16>0，即证明对任意k ≥2有：(3k +4)(5k －4)>0，显然成立.于是：对任意n ∈N*，有sin a n <1n. 13.实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=λ(λ>0)，试求f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}的最大值.【解析】由i 对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 从而：a －b >a －c >0，于是有：f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}=min{(a －b )2，(b －c )2}≤(a －b )(b －c )≤⎣⎡⎦⎤(a －b )+(b －c )22=(a －c )24≤λ2.当且仅当b =0，a =－c =2λ2时等号成立. 14.证明对所有的正整数n ≥4，存在一个集合S ，满足如下条件： (1)S 由都小于2n－1的n 个正整数组成；(2)对S 的任意两个不同非空子集A 、B ，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和.【解析】当S ={20，21，22，…，2n －1}时满足题意.法一、证明：用|T |表示集合T 中的元素个数，M (A )表示集合A 中的元素之和. 当n =4时，若|A |=1，则M (A )={1，2，4，8}； 若|A |=2，则M (A )={3，5，9，6，10，12}， 若|A |=3，则M (A )={7，11，13，14}， 若|A |=4，则M (A )={15}，即集合S 的15个子集，其和值也有15个，每个子集的和值各不相同， 所以：当A ≠B 时，总有M (A )≠M (B ). 故：当n =4时，S ={1，2，4，8}满足题意；假设当n =k 时，集合S ={20，21，22，…，2k －1}满足题意， 此时集合S 的2k －1个非空子集有2k －1个不同的值，其集合为{1，2，…，2k －1}，则当n =k +1时，集合S 的2k 个子集的和值组成的集合为{1，2，3，…，2k －1，2k ，2k +1，…，2k +2k －1}，即：{1，2，3，…，2k －1，2k ，…，2k +1－1}，所以当n =k +1时，集合S 的2k +1－1个子集有2k +1－1个不同的值. 综上：集合S ={20，21，22，…，2n －1}总是满足题意.法二、不妨假设a 1<a 2<…<a m ，b 1<b 2<…<b t ，且对任意的i ，j ，a i ≠b j ，b t <a m ， 根据题意只需证明：∑i =1m 2a i≠∑j =1t2b j即可.若不然，设∑i =1m2a i=∑j =1t2bj ，则：2a m<∑i =1m2a i=∑j =1t 2bj ，所以：1<2b 1－a m+2b 2－a m+…+2b t －a m≤12+122+…+12t －m =1－12t －m +1<1，矛盾. 从而：集合S ={20，21，…，2n －1}的任意的两个子集之和不同. 所以：存在满足题意的集合S ={20，21，…，2n －1}.。