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高中联赛模拟试题 2
一试部分
考试时间：80 分钟
满分：120 分
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）
sin (α + 2β ) π π
1. 已知 = 3 ，且 β ≠ ， α + β ≠ n π + (n , k ∈
)，则 tan (
α + β )
= ．
sin α 2 2
tan β
2. 在等差数列{a n } 中，若
a
11 a 10
< -1 ，且前
n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n = ．
3. 若 a +b + c
= 1(a ,b , c ∈
)， 4a + 1 +
4b + 1 + 4c + 1 > m ，则
m 的最大值为 ．
4. 已知 ∆ABC 满足 AC = BC = 1 ， AB = 2x ( x > 0)．则 ∆ABC 的内切圆半径 r 的最大值为
．
5. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 BG 与 AD 所成角的余弦值为___ ___．
6. 函数 f ( x ) 在 上有定义，且满足 f ( x ) 为偶函数， f ( x - 1) 为奇函数．则 f (2019) =
．
7. 将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为
．
8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 ( z 1 - i )( z 2 + i ) = 1 ．若 z 1 = ，则 z 2 的取值范围是
．
二、解答题（第9 小题16 分，第10、11 小题20 分，共56 分）
x 2 y 2
9. 设P 为双曲线-= 1 上的任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A, B
a2 b2
两点．求□ABCD 的面积．
10. 求方程x5 - x3 - x2 + 1= y2 的整数解的个数．
11. 对于n ≥ 6 ，已知⎛1
- 1 ⎫
<
1
．求出满足3n + 4n ++(n + 2)n =(n + 3)n 的所有正整数n． n + 3 ⎪ 2
⎝⎭
n
高中联赛模拟试题 2
加试部分
考试时间：150 分钟
满分：180 分
一、（本题满分 40 分）
设 ∆ABC 为等腰三角形， AB = AC , D 为边 AB 上一点．设 ∆BCD 的外接圆 Γ 在点 D 处的切线与 AC 交 于点 E ， F 为过点 E 作圆 Γ 的另外一条切线的切点．设 BF 与 CD 交于点 G ， AG 与 BC 交于点 H ． 证明： BH = 2HC ．
A
二、（本题满分 40 分）
约定： n 维向量 x = ( x 1 , x 2 , , x n )( x i ≥ 0,i = 1, 2, , n ) 的 p - 范数记为：
x = x 1 + x 2 + + x n ( p ∈ ) p p p p
p
+
现有两个向量 A = (a ,b , c ), B = (d , e ) ．若： ⎧⎪ A = B ⎨ A = B ．
证明： A
≤ B ．
2 2 ⎪⎩
4 4
3
3
E
D
G
F B H
三、（本题满分 50 分）
设整数 n ≥ 4 ， a 1 , a 2 , , a n 为区间 (0, 2n ) 内两两不同的整数．证明：集合 A = {a 1 , a 2 , , a n } 存在所有元 素之和能被 2n 整除的子集．
四、（本题满分 50 分）
设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合{a , b ,
c } ， 其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有
多少个这 样的循环三元集？
5 5 5 2 1
高中联赛模拟试题 2
解答
一试部分
考试时间：80 分钟
满分：120 分
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1. 2．
sin (α + 2β )
+ 1 解析： tan (α + β ) = sin (α + β ) ⋅ cos β = sin (α + 2β ) + sin α = sin α = 2 ．
tan β
cos (α + β ) ⋅ sin β sin (α - 2β ) - sin α sin (α + 2β
)
-1
sin α
2. 19．
解析：由 S n 有最大值可知 a 1 > 0, d < 0 ，由
a 11
a 10
< -1 ，则 a 10 + a 11 < 0, a 11 < 0 < a 10 ，
20(a 1 + a 20 ) ⇒ S =
=
10(a + a ) < 0, S 19(a 1 + a
19 ) = = 19a > 0 ， 20 2 10 11 19 2 10
再由 S 19 - S 1 = a 2 + a 3 +
+ a 19 = 9(a 10 + a 11 ) < 0 ，知 S n 取最小正值时，
n = 19 ．
3. 2 + ．
解析： (a + 1)(b + 1) > 1 + a + b ⇒ a + 1 + b + 1+ 2 1 + a + b > 2 + a + b 2 1+ a + b
2 2
⇒ (
a + 1 +
+ 1) > (+
1 + a + b )
⇒ + 1 + b + 1 > 1 +
．反复利用上式，得：
4a +
b + 1 +
c + 1 > 1 + 4 (a + b ) + 1 + 4c + 1 > 1 + 1 +
= 2 + 5 ；另一方面，
当 a → 1,b → 0, c → 0 时，不等式左边趋于 2 + ．因此 2+ 为最大的下界．
4.
5 5 - 11 ．
2
解析：转化为求函数 f (
x ) = x (1 - x )
在 (0,1) 内的最大值．
1 + a + b
1 + 4 (a + b + c )
