[课件]大学物理3-1PPT

( c d ) ( d ) ( c )



即 ( , d ] ( , c ] ( c , d ] 由于 P ( c d ) P ( d ) P ( c )

(事件相等)
所以,要研究P(c<<d) ,只需研究 P ( x ) ,x (是任意实数)即可. 定义3.1 定义在样本空间Ω上,取值于实数的函数( ) ，称 为是样本空间Ω上的(实值)随机变量,并称
( ) ( a b )
显然它的可能取值充满整个区间[a,b] .
那么如何来描述()的统计规律呢?显然,由上述等可能的定义,投 中任意一点的概率为零.若依照研究离散型随机变量的方式来研究 这种随机变量显然是不合理的. 另外,在类似的实际问题中,我们一般不关心随机变量取某一个值 的概率,我们关心的是随机变量取值在某个取间的的情况.因此,我 们必须寻找另外的”工具”来描述这类随机变量的统计规律. 在这个问题中,设 B=[c,d][a,b] 就有 d c P ( c d ) P ( 点 B 中 落 P ( B ） ) 入 b a ( c d ) P ( c d ) 又因为P ,所以 P ( d ) 0 而 P ( c d ) P ( d ) P ( c )


F ( ) l i m F ( x ) 1 ( 2 ) F ( ) lim F ( x ) 0
(3) 右连续
F ( x 0 ) F ( x )
x
x
性质(1)显然,只证性质(2)和(3)
证明 性质(2) { n} 且 { n } { ( n 1 )} 由于 法一 n1 故知 Lim F ( n ) Lim P ( n ) P ( ) 0 .

P x ( ) x P ( x ( ) x ) n 1 n n 1 n n 1 n 1
n n n
若 Lim P ( A ) P ( Lim A ), 其 Lim 中 A A , n n n n

( 2 )A A n 1 , 2 ,...) n n 1 (
称P在事件域上是上连续的。
n n
称P在事件域上是下连续的。来自n 1 F ( x ) P ( ( ) x ) , x ( , )
是随机变量( )的概率分布函数，简称为分布函数或分布. 注:分布函数的另一种形式: F ( x ) P ( ( ) x ) , x ( , )
从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数，都 具有下述性质： ( x ) F ( x ) (1) 单调性.若 x ,则 F x 1 2 1 2
n
n 1
再由于 故知
且 { n } { n 1 }, { n } ( 必然事件 ) ，
n




Lim F ( n ) Lim P ( n ) P ( ) 1 .
n n

注：概率的连续性
( 1 )A A n 1 , 2 ,...) n n 1 (
x n
再证明性质 (3)
(x 0 ) 因为F(x) 是单调有界函数,其任一点的左极限 F 必存在.从而由海涅定理,只需证明对一单调数列成立. x x ,x x ( n ) 令 x 1 2 n n
F ( x ) F ( x ) P ( x ( ) x ) 1 1
大学物理课件31
§3.1 随机变量及其分布函数
在有些实际问题中,随机变量的取值可以充满某个区间或区域; 例如,”测量某地气温”,”人的身高或者体重”等等. 例3.1 等可能地在[a,b]上投点.这里等”可能”的含义是指,” 所投的点落在 [a,b]中的任一子取间B=[c,d]中的概率,与B的长度 lB成正比,而与在[a,b]中的位置无关”.如果记”落入B中”这一 事件为B, 则上述等可能性即意味着 l d c B P ( B ) b a b a 如果投在[a,b]中的点的坐标为(a≤≤b),令
若 Lim P ( A ) P ( Lim A ), 其 Lim 中 A A , n n n n
n n 1
法二
F ( x ) 1 由于 0 且F(x)单调,故
lim F ( x ) lim F ( n ) lim F ( x ) lim F ( m ) x n x m 都存在,由概率的完全可加性有 (两个事件相等) ( ( ) ) n ( ) n 1 n 1 P ( () ) P n () n 1 n n P ( i ( ) i 1 ) P ( n ( ) n 1 )lim


lim F ( n ) lim F ( m ) l i m ( F ( i 1 ) F ( i ) ) n m
n i m m
n

n
n i m m
lim F ( x ) lim F ( m ) 0 F ( x ) lim F ( n ) 1 所以必有 lim x m