高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1_2 基本不等式课后练习 新人教A版选修4-5

和． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，则 (|x − 4| + |x − 3|)min > a ，因为 (|x − 4| + |x − 3|)min = 1 ，所以 a < 1．
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高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步绝对值不等式
一、知识清单
绝对值不等式的解法
二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法 描述： 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质． （1）|f (x)| > |g(x)| ⇔ f 2 (x) > g 2 (x)； （2）|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x)； （3）|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x)； （4）含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解，也可用图象法去求解． 例题： 解不等式 1 < |x + 1| < 3 ． 解：原不等式等价于
x − 3 < 2x − 1 < 3 − x,
解得 −2 < x <
4 ，故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ − 2 < x < } . ∣ 3
解不等式 |x − 1| + |x + 2| ⩾ 5 ． 解：当 x < −2 时，原不等式化为 1 − x − x − 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩽ −3； 当 −2 ⩽ x ⩽ 1 时，原不等式化为 1 − x + x + 2 ⩾ 5 ，不等式无解； 当 x > 1 时，原不等式化为 x − 1 + x + 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩾ 2． 综上，原不等式的解集为 {x | x ⩽ −3或x ⩾ 2}． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：由绝对值的几何意义可知，|x − 4| + |x − 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之

2.基本不等式基础巩固1函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.3√2−3B.−3C.6√2D.6√2−33x2+6x2+1=3x2+3+6x2+1−3.∵3x2+3>0,6x2+1>0,∴y≥2√(3x2+3)·6x2+1−3=6√2−3,当且仅当3x2+3=6x2+1时,y取得最小值6√2−3.2已知a>0,b>0,则1x +1x+2√xx的最小值是()A.2B.2√2C.4D.51 x +2√xx≥2√1xx+2√xx≥4,当且仅当a=b,√xx=1时,等号成立,即a=b=1时,1 x +1x+2√xx取最小值4.3若x,y∈R,且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是()A.3√93B.1+2√2C.6D.7x+27y+1=3x+33y+1≥2√3x·33x+1=2√3x+3x+1=2×3+1=7,当且仅当x=3y时,等号成立.故所求最小值为7.4设a,b是正实数,以下不等式恒成立的序号为()①√xx>2xxx+x;②x>|x−x|−x;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+2xx>2.A.①③B.①④C.②③D.②④,√xx−2xxx+x =√xx(x+x)-2xxx+x=√xx(x+x-2√xx)x+x=√xx(√x-√x)2x+x≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D.5设a>0,b>0,若√3是3x与3x的等比中项,则1x +1x的最小值为()A.8B.4C.1D.14√3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3x·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1x +1x=x+xx+x+xx=2+(xx +xx)≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1x +1x的最小值为4.6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2√xx,x2+x2,2xx中最大的是.a+b>2√xx,x2+x2>2xx.∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.7已知正数x,y满足x+2y=1,则x+8xxx的最小值为.x,y满足x+2y=1,则x+8xxx=(1x+8x)(x+2x)=10+xx +16xx≥10+2√xx·16xx=18,当且仅当{x +2x =1,xx=16xx,即{x =23,x =16时,等号成立.所以x +8xxx的最小值为18.8已知a ,b ,c>0,且a+b+c=1,求证:1x+1x+1x≥9.注意“1”的代换. (2)x +x +x x +x +x +x x +x +x +x x3+(x x +x x )+(x x +x x )+(x x +xx).这一步为使用基本不等式创造了条件.1x +1x =x +x +x x +x +x +x x +x +x +xx =3+(xx +xx )+(xx +xx )+(xx +xx )≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c =13时,等号成立.9若a>0,b>0,且1x +1x =√xx . (1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a ,b ,使得2a+3b=6?并说明理由.由√xx =1x +1x ≥√xx,得ab ≥2,当且仅当a=b =√2时等号成立.故a 3+b 3≥2√x 3x 3≥4√2,当且仅当a=b =√2时,等号成立.所以a 3+b 3的最小值为4√2.(2)由(1)知2a+3b ≥2√6×√xx ≥4√3, 由于4√3>6,因此不存在a ,b ,使得2a+3b=6.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?n 年后报废最合算,这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元, 则y =10+0.9x +0.2x +x (x -1)2·0.2x=10x +x10+1≥3,当且仅当10x =x10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)(1x +xx)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8x+y)(1x +xx)=1+x+xxx+xx≥1+a+2√x=(√x+1)2,当且仅当xx=√x时,等号成立.∵(x+y)(1x +xx)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√x+1)2≥9.∴a≥4.故选B.2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5 km处B.4 km处C.3 km处D.2 km处x km,由已知得y1=20x,x2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x ≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2x+x+x的最小值为() A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以4-2√3=x2+xx+xx+xx=14(4x2+4xx+4xx+2xx+2xx)≤14(4x 2+4xx +4xx +2xx +x 2+x 2), 当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2√3−2)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2√3−2.故选D .4函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1x+2x 的最小值为 . y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1).∵点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0. 则(1x +2x )(2x +x )=2x +xx+4x +2xx=2+x x +4·x x +2≥4+2√x x ·4·xx =4+4=8,当且仅当m =14,x =12时,等号成立. 5(2017天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则x 4+4x 4+1xx的最小值为 .a ,b ∈R ,且ab>0, ∴x 4+4x 4+1xx≥4x 2x 2+1xx=4xx +1xx≥4( 当且仅当{x 2=2x 2,4xx =1xx ,即{ x 2=√22,x 2=√24时取等号). ★6若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .√xx =x (x >0),则由ab=a+b+3≥2√xx +3(当且仅当a=b 时,等号成立),得t 2≥2t+3,即t 2-2t-3≥0.解得t ≥3或t ≤-1(不合题意,舍去).∴√xx ≥3. ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立. +∞)7已知a ,b ,x ,y>0,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a+b=10,xx +xx =1,x +x 的最小值为18,求x ,x 的值.(x+y )(x x +xx )=a+b +xx x +xxx ≥a+b+2√xx =(√x +√x )2, 当且仅当xx x =xxx 时,等号成立.故(x+y )min =(√x +√x )2=18, 即a+b+2√xx =18.① 又a+b=10,② 由①②可得{x =2,x =8或{x =8,x =2.8已知a>b ,ab=1,求证:a 2+b 2≥2√2(x −x ).a>b ,∴a-b>0. 又ab=1,∴x 2+x 2x -x =x 2+x 2-2xx +2xx x -x =(x -x )2+2xxx -x=(a-b )+2x -x ≥2√(x -x )·2x -x =2√2.∴x 2+x 2x -x≥2√2,即a 2+b 2≥2√2(x −x ),当且仅当a-b =2x -x ,即a-b =√2(x −x =−√2舍去)时,等号成立. ★9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60 m 2,问当a ,b 各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A ,B 孔的面积忽略不计),设为y.由题意y 与ab 成反比,又设比例系数为k ,则y =xxx .由于受箱体材料多少的限制,a ,b 之间应有一定的关系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a ,b 为何值时,y =xxx 最小.y ,由题意知y =xxx ,其中k 为比例系数(k>0). ∵据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-x2+x(由a>0,b>0可得a<30).∴y=xxx =x30x-x22+x.令t=a+2(t>0),则a=t-2.从而30x-x22+x =30(x-2)-(x-2)2x=34x-x2-64x=34−(x+64x),∴y=xxx ≥34-2√x·x=x18,当且仅当t=64x ,即a+2=64x+2时取等号.∴a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.y,依题意y=xxx,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2√2xx(当且仅当a=2b时取等号),∴ab+2√2√xx≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。

2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有因为不等式的解集为(-1,2),去.当a<0时,a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥22,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x,不等式为3x≥2,解得x故x②当-1≤,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤故x<-1.综上,(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.a≤0.故aB组1.()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,5<b<7.(5,7)5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得当≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得由x>2,则x>2.综上所述,6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)|h(x)|≤2,x因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},a=3.。

1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即